Para funciones de una variable, el área que encierra la gráfica de la función sobre un intervalo se puede medir con

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1 Integrción sore conjuntos sencillos - Fernndo Sánchez - - Pr funciones de un vrile, el áre que encierr l gráfic de l función sore un intervlo se puede medir con f ( ) I [, ] En el cso de funciones de dos vriles, l integrl - Fernndo Sánchez - - áre f ( ) f ( ) I (se hn puesto ls comills intenciondmente que l integrl mide l diferenci de áres por encim por dejo del eje X ). Pr hcer el cálculo de l integrl se hll un primitiv de l función se plic l regl de Brrow. F(, d mide el volumen del sólido que tiene como suelo l gráfic de l función como techo (se hn puesto comills en l plr volumen porque l integrl mide diferenci de volúmenes). El cálculo de l integrl dole requiere colocr los límites de integrción del conjunto, es decir, colocr los vlores en los que vrín ls dos vriles e, luego clculr primitivs de l función. L principl novedd con respecto integrles de un vrile es que no es inmedito (ni fácil) colocr los límites de integrción. El esquem es el siguiente: Los límites de integrción los diferenciles dentro de l integrl deen escriirse siempre siguiendo el esquem límite eterno con diferencil etern límite interno con diferencil interno (mrcdos con colores distintos más rri) Ejemplo. Pr el rectángulo [, ] [,] los límites de integrción son ì í î sí ó é ù ( + ) d ( + ) d + ô õ ê ë ú û æ ö é ù 8 ó õ è ç ø ê ë ú û Además, según el teorem de Fuini, se puede hcer cmindo el orden de los límites los diferenciles: z F(, F(, d Límites de integrción ì í î c d ó é ù ô õ ê ë ú û ( ) ( ) + d + d + é ù 8 ( + ) + + ê ë ú û c d c d F(, ) d Cálculo de primitivs F (, ) d

2 Integrción sore conjuntos sencillos Ejemplo. Pr el rectángulo [,] [, ] se tiene mién ( ) ( ) - Fernndo Sánchez - - ó é ù e - d e - d ô e - õ ê ë ú û æ ö é ù ó e - e - e- - õ ç çè ø êë úû - - é ù ë - û ( ) ( ) e d e d e d Ejemplo. Pr el rectángulo [ 4,6 ] [,] Además, 6 6 óó ó d ó d [ ln ] 4 õõ ô õ õ 4 é ù 9 ( e- - ) d e - - e- - ê ë ú û 6 é ù ó ln ln ln õ ê ë ú û óó õõ ó é ù ô 4 õ êú ë û4 d d d - Fernndo Sánchez ó d [ ln ] ( ln - ln ) ln õ Los rectángulos son conjuntos cuos límites de integrción, izquierd-derech jo-rri son cutro números. Son los únicos conjuntos que tienen est propiedd. Culquier otro tipo de conjunto tiene los límites de integrción lgo más complicdo lguno de ellos no será un número. Por ejemplo, el triángulo diujdo l izquierd no tiene límites de integrción tn sencillos. Se trt de - escriir ls condiciones ì í î - que cumplen los puntos de ese triángulo. D : j( ) C : f( ) En generl, pr un conjunto en el plno, los límites izquierdo derecho son ls dos rects verticles que delimitn l conjunto. Ests dos rects son ls que mrcn el vlor izquierdo derecho de los límites de integrción. En ls ecuciones de l curvs C D, l despejr l vrile se otiene f( ) pr C (es el límite de jo) j( ) pr l otr. En resumen, ì í î f( ) j( )

3 Ejemplos de integrles doles sore conjuntos sencillos π π 4 (+d (+d cos( d cos( d + + d π [ + ] [ ] + d - Fernndo Sánchez - - [ sen( ] π [ ] cos( d ( + 9 ) ( + ) d π cos( d [ + 9 ] [ + ] [ ] π sen( 6 6 [(+)log( +)] 4 ( (+)(log(4) log(5))) [ (log(4) log(5))( +) ] 4 log(4)+4 log(5) d 4 [ [4 log( +)] 4 ] + d + 4 ( ) 4 d + 4 log(4)+4 log(5) ( + ) d ( + ) d [ + ] [ ] + - Fernndo Sánchez - - d ( ) ( + ) d [ ] [ + ] 8 8 e d e d [ ] e [e ] d (e ) d ( / ) [ d log( [ ] log() 6 log()+7 ( / ) d ] [ ] d [ 9 6 log( ] 6 log()+7 [ ] (e ) ( ) log() ( ) 6 ( ) d

4 - Fernndo Sánchez Fernndo Sánchez - - Estos ejemplos se hn credo con SAGE (www.sgemth.org). Otr form de hcer integrles es con MAXIMA: cortndo pegndo h que crer un fichero Prue.wm rirlo desde MAXIMA. /* [wmim tch file version ] [ DO NO EDI BY HAND! ]*/ /* [ Creted with wmim version.8. ] */ /* [wmim: input strt ] */ f(,:(+; : ; : ; c: ; d: ; /* [wmim: input end ] */ /* [wmim: input strt ] */ print ( integrte( integrte(f(,,, c, d),,, ), " ", integrte(integrte(f(,,, c, d),,, ), " ", integrte(integrte(f(,,, c, d),,, )); /* [wmim: input end ] */ /* Mim cn t lod/tch files which end with comment! */ "Creted with wmim"$ El resultdo en el progrm MAXIMA dee ser similr esto: (%i) f(,:(+; : ; : ; c: ; d: ; (%o) f (, : + (%o) (%o) (%o4) (%o5) (%i6) print ( integrte( integrte(f(,,, c, d),,, ), " ", integrte(integrte(f(,,, c, d),,, ), " ", integrte(integrte(f(,,, c, d),,, )); +d El resultdo finl no es perfecto. Fltn lgunos préntesis, pero se entiende ien. En culquier cso el vlor finl sí es correcto.

5 Integrción sore conjuntos más complejos - Fernndo Sánchez - - Los conjuntos que son rectángulos son los únicos que tienen sus límites de integrción de l form ì í î c d donde los vlores cd,,, son números, e indicn los ordes izquierdo, derecho, jo rri que delimitn el rectángulo. Pr estos conjuntos se cumple demás el teorem de Fuini, que firm que d d F (, ) d F (, ) d c c siempre que l función F se continu en el rectángulo [, ] [ cd, ]. Pr conjuntos que no son rectángulos, es preciso ser clculr cuáles son esos ordes. (,) rect - (, ) es el triángulo de vértices (, ),(, ) (, ) ì í î - ( ) - F, (, ) F d o tmién ì - í ( ) ( ) î - F,, F d pr culquier función F(, ). (,) rect (, ) es el triángulo de vértices (, ),(, ) (, ) ì í ( ) ( ) î F,, F d - Fernndo Sánchez - - o tmién ì í ( ) ( ) î F, F, d pr culquier función F(, ). rect es l región delimitd por l práol ì í ( ) ( ) î F,, F d o tmién ì í ( ) ( ) î F,, F d pr culquier función F(, ). Por ejemplo, pr este último conjunto, si F(, - entonces l integrl dole se puede hcer de dos forms distints, unque el resultdo es mismo [ ] ( )( ) (, ) F (, ) ( - ) d ( - ) - - ( - + ) - + 4

6 Integrción sore conjuntos más complejos - Fernndo Sánchez - - tmién éæ öù F (, ) ( ) d - - d ê ë çè ø ú û æ ö é ù d èç ø ê ë 4 6 ú û 4 6 No es necesrio clculr l integrl hciendo los cálculos de ls dos forms posiles, unque es un uen técnic pr hcer ejercicios de integrles, que los resultdos deen coincidir. Es importnte no olvidr que los límites que son mos números deen ir en l integrl eterior, es decir, en l primer que se coloc en l integrl dole. En conjuntos que sen rectángulos se puede poner en primer lugr culquier de los límites, que los cutro son números, los diferenciles siempre deen ir en el orden correcto. Además, se pueden plicr ls regls de simplificción cundo los conjuntos están formdos por vrios trozos con límites de integrción distintos. Si A È B entonces F (, F(, F(, + F(, ). AÈB A B mién, l integrl (tnto sencill como dole) es linel, es decir, ( F (, ) + G(, )) F(, ) + G(, ) l F (, ) l F(, ) ests dos regls permiten simplificr los cálculos en muchos csos. - Fernndo Sánchez - -

7 Coordends polres - Fernndo Sánchez - - Coordends polres en el plno. Pr conjuntos que no están delimitdos por línes rects, especilmente los conjuntos circulres, se suelen utilizr otro tipo de coordends, como ls coordends polres. Ls coordends polres de un punto (, ) del plno son dos números ( r,j) donde ( r + tg( j ), ) es decir, r ì rcos( j ) j í î rsen( j ) Ls coordends polres ( r,j) siempre verificn ls condiciones r ³, jî[, p). El número r indic l distnci l origen el número j l inclinción con respecto l semieje X positivo en sentido contrrio ls gujs del reloj. Por ejemplo, el punto ( ), p 4 es coordends polres., en coordends crtesins se escrie como ( ) 4 ì 6 í î 4 ì r Dí î j p 4 r r r j p 4 D j eorem de cmio de vriles. Si se definen nuevs vriles u v de form que ì ( uv, ) í î f( uv, ) entonces donde 6 - Fernndo Sánchez - - F(, d F( ( uv, ), f( uv, )) J dudv (, ) ( uv, ) u v J u v En el cso prticulr del cmio coordends polres, F (, ) d F ( r cos ( j), r sen( j) ) r dr dj ( en coordends (, )) ( en coordends ( r, j )) (se ponen los límites de integrción en coordends polres, se cmin e por sus vlores en coordends polres, es decir, rcos ( j), rsen( j), se ñde un r junto los nuevos diferenciles).

8 Coordends polres - Fernndo Sánchez - - Ejemplo. Si es l prte del círculo unidd del primer cudrnte, como muestr el diujo, se puede clculr l integrl en coordends crtesins, - - ó é ù d d ô õ ê ë ú û - ó - õ 6 tmién en coordends polres, p p d r senjdjdr é r cosjù dr r dr ë - û Ejemplo. Un círculo centrdo en el origen de rdio 7 tiene como coordends polres los límites r 7, j p. Por tnto, su áre es 7 p 7 d rdrdj j p p7 rd dr 7 Si F(, entonces F (, ) d d r cos( j) djdr - Fernndo Sánchez p 7 p ér sen( j ) ù ë û dr Ejemplo. Pr medir el volumen de l mitd superior de un esfer de rdio se necesit conocer el suelo sore el que se v clculr l integrl (en el diujo z - - prece rlldo) l gráfic de l función que mrc el techo del ojeto. Si denot el suelo F(, - - entonces el volumen de l mitd superior de l esfer es - F (, ) d. Este cálculo se puede hcer en coordends crtesins - F (, ) d - - d no prece sencillo. En cmio, en coordends polres p F(, d r -r djdr éæ ö ù ( ) - p r - r dr p r - êç ë çè ø p úû

9 Coordends polres sí D D D - Fernndo Sánchez - - Ls coordends polres son idónes pr clculr integrles sore conjuntos circulres del tipo de los que precen l izquierd. Por ejemplo, resultn mu fáciles ls integrles d, d, ( - ) d D siempre que se utilicen coordends polres. En ests coordends ì r ì r D í í îp 4 j p î j p 4 p d r cosjdjdr p 4 p 4 d r dj dr p 4 ( - ) d r ( senj-cosj) djdr - Fernndo Sánchez - -

10 - Fernndo Sánchez - - Qué miden ls integrles doles triples? Conjuntos en el plno ( es el suelo en los dos primeros diujos) - Fernndo Sánchez - - z f (, f (, d z vol f (, d vol d áre( ) (un sólido de se ltur tiene como volumen el áre de su se) d(, ) densidd ms( ) d (, ) d Conjuntos en el espcio vol( ) ddz f (,, z) ddz ms ( ) d(,, z) ddz L mism epresión puede clculr vris mgnitudes (que coinciden) l vez. Por ejemplo, + d ( ) mide el volumen del sólido que tiene como suelo l gráfic de + como techo; pero tmién mide l ms de si en cd punto (, ) de l densidd es d(, +. Siempre que interviene l densidd, ls integrles clculn mgnitudes relcionds con l ms. d(,, z ) densidd

11 Qué miden ls integrles doles triples? - Fernndo Sánchez - - Ejemplo. Si es el rectángulo [, ] [,] entonces su áre es (es el producto de su se por su ltur), unque se puede clculr con integrles - Fernndo Sánchez - - d d. Si en cd punto (, ) l densidd viene dd por l función d(, + entonces l ms de es m( ) ( + d ( + d é ù æ ö + + ê ú è ç ø ë û Ejemplo. El cilindro delimitdo por ls superficies ì + z í z î z tiene como volumen el áre de l se por l ltur, + es decir, p. Utilizndo integrles z ddz p rdzdjdr p Si en cd punto (, z, ) del cilindro se se que l densidd es d(,, z) - z, l ms del cilindro será p m( ) d (,, z ) d dz ( -z ) r dz dj dr Los mismos cálculos (volumen ms) se puede hcer con el cilindro U delimitdo por, si en cd punto (, z, ) l densidd es d(,, z) ì + U í z î z - - (hor l tpder superior no es horizontl). En este cso el volumen es U U ddz p --, l ms es p -rcosj-rsenj rdzdjdr m( U ) d (,, z ) d dz r cosjdz djdr U z -- + z

12 L integrl como promedio. Centros geométricos El promedio o vlor medio de un función F(,...) en un conjunto A es - Fernndo Sánchez - - promedio de F en A F A A donde l integrl es simple, dole, triple, dependiendo del número de vriles involucrds. Si el conjunto A es un intervlo de entonces l integrl es simple; si el conjunto está en el plno, l integrl es dole, etc. Ejemplo. El vlor medio de l función f ( ) en el intervlo A [, ] es é ù ê ë ú û 4 F A A Ejemplo. Sore los puntos de un círculo de centro el origen rdio el promedio de ls distncis l centro del círculo viene ddo por p F rd dr rdr A + A p p p p j A Ejemplo. En el rectángulo [,] [, ] del diujo se supone que en cd punto (, ) l tempertur viene dd por (, +. Por ejemplo, en el origen l tempertur es en el punto (, ) l tempertur es 5. L tempertur medi en el rectángulo es ( + ( + d Fernndo Sánchez ( ) é ù 6 + 6ë + û Ejemplo. En un prlelepípedo rectngulr S [,] [,] [, 4 ] l tempertur en cd punto (, z, ) viene dd por l función (,, z) z. Entonces, l tempertur medi es 4 z S S 4 ( ) S 4 ( ) z dz d 5,8 Como csos especiles de vlores medios se pueden utilizr ls funciones que mrcn ls coordends de los puntos, es decir, F(,... ), o ien F(,... ), etc. Al clculr los vlores medios con ests funciones sore un conjunto, se están clculndo ls coordends medis de los puntos de dicho conjunto. Se consigue sí encontrr un punto que se el centro de dicho conjunto. Este punto se llm centro geométrico l form de clculrlo se descrie continución. S

13 L integrl como promedio. Centros geométricos Pr un conjunto del plno, se llm centro geométrico l punto (, ) donde - Fernndo Sánchez - -, Pr un conjunto del espcio, se llm centro geométrico l punto (, z, ) donde z,, z z - Fernndo Sánchez - - A veces se pueden no hcer integrles pr clculr o si son figurs de ls que se conoce su áre o su volumen, como en los csos de círculos, esfers, rectángulos prlelepípedos. En otro cso se dee hcer l integrl dole o triple con l función constnte pr clculr es áre o ese volumen. Cd centro geométrico ps por culquier eje de simetrí del conjunto, sí que pr figurs conocids como rectángulos, círculos, el centro geométrico es el corte de los ejes de simetrí. En un rectángulo es donde se cortn ls digonles, por ejemplo. En un círculo, donde se cortn dos diámetros. Pr conjuntos que sólo presentn un eje de simetrí est propiedd puede udr en los cálculos de ls coordends del centro geométrico. Ejemplo. Pr el triángulo del diujo el centro geométrico se clcul sí: (,) rect - - d - d (, ) Además, este conjunto tiene un eje de simetrí, l digonl del primer cudrnte cu ecución es. Luego el centro geométrico dee cumplir es ecución por tnto dee cumplirse que en este triángulo. Esto permite horrrse los cálculos pr hllr.

14 El teorem de Pppus Si se hce girr un figur pln lrededor de un eje que no l trvies, se otiene un sólido de revolución, cuo volumen superficie vienen ddos por V p dist ( eje, (, ) S p dist ( eje, (, )) L donde (, ) ( L, L) son los centros de L (). Este resultdo se conoce como teorem de Pppus (de Alejndrí, siglos III-IV). r - Fernndo Sánchez - - L - Fernndo Sánchez - - L Ejemplo. Si se consider un toro de rdio menor r rdio mor, como en l figur, entonces su superficie su volumen son S p pr 4p r V p pr p r Ejemplo. Pr un cilindro de ltur h cu se se un círculo de rdio r el volumen es V p ( r ) rh pr h, que es el áre de l se por l ltur. mién se puede conocer su superficie, que es S p r h+ p r pr( r+ h), se corresponde con el áre lterl más el áre de ls dos tpders del cilindro. Estos ejemplos muestrn que lguns veces se puede utilizr el teorem de Pppus de form csi instntáne si se conocen (por motivos geométricos por ejemplo o ien porque el enuncido dice qué vlores son) ls mgnitudes que se utilizn: l distnci del eje l centro de grvedd el áre el perímetro de lo que se hce girr. En generl, pr hcer el cálculo de un volumen de revolución lrededor de un eje de un figur pln requiere hcer lo siguiente.. Clculr l ecución del eje. Es un rect en el plno por lo tnto dee tener un ecución del tipo + + c. A veces se dice qué rect es veces h que clculrl.. Clculr el áre el centro geométrico (, ) de donde, si no se conocen por motivos geométricos, se deen hcer los cálculos,. L distnci del eje l centro geométrico es + + c dist ( eje, (, )) dist( + + c, (, )) + (Si en l ecución de l rect se tiene que entonces en l epresión de l distnci no interviene el vlor no hce flt su cálculo. Lo mismo ocurre si que entonces no hce flt clculr ) 4. Finlmente, el volumen del sólido de revolución es V p dist ( eje, (, ) L

15 El teorem de Pppus - Fernndo Sánchez - - Ejemplo. Un cono cu se es un círculo de rdio que tiene un ltur 5 es un sólido de revolución, resultdo de hcer girr un triángulo de se ltur 5 lrededor del eje Y, tl como muestr l figur. El eje es l rect sí l distnci del centro geométrico l eje es. El 5 volumen del cono es 5 p V p p puesto que el vlor de es d ( + 5 ). 5 5 Pr un cono de ltur cu se teng rdio el volumen que se otiene p. Siempre l tercer prte del cilindro que se form con ls misms dimensiones. Ejemplo. El volumen de un semiesfer de rdio es el resultdo de hcer girr un curto de círculo del mismo rdio lrededor de un diámetro. Así, el volumen de l esfer es V p 4p d 4p r cos( ) ddr 4 4p r dr p - Fernndo Sánchez - - donde es el curto de círculo de rdio situdo en el primer cudrnte, cuos límites de integrción son r, p Ejemplo. Clculr el volumen del sólido que se otiene l hce girr el cudrdo [, ] [, ] lrededor de l rect que une los puntos (, ) (, ). El eje es un rect + + c donde los vlores, c se clculn l poner como condiciones que l rect pse por los puntos (, ) (, ) sí + + c + + c Al resolver este sistem se otiene l rect +. L distnci de est rect l centro geométrico (, ) es p - + dist ( eje, (, )) dist( - +, (, )) que (, ) (, ). El volumen del sólido de revolución es V p p. f() Otr plicción del teorem de Pppus es el cálculo del volumen del sólido de revolución que result l hcer girr l figur que encierr l gráfic de un función f :[, ]. Si hcemos girr lrededor del eje X, el volumen del sólido de revolución será

16 El teorem de Pppus f ( ) - Fernndo Sánchez - - f ( ) V p p d p d p Si hcemos girr lrededor del eje Y, el volumen del sólido de revolución será f( ) f ( ) V p p d p d p Not. Pr el cálculo del centro geométrico,,... de un curv L : r ( t) ( ( t), ( t) ), t Î[, ] h que escriir ( t) + ( t) dt ( t) + ( t) dt Así, pr el semicírculo superior de rdio cu ecución es L : r ( t) ( cos ( t), sen ( t) ), t Î[, p ] se otiene p - Fernndo Sánchez - - cos( t) dt p dt p sen( t) dt p p p dt () Puede verse en

17 - Fernndo Sánchez - - Distintos tipos de integrles Integrles simples, doles triples f ( ) I f ( ) I f ( ) - g( ) I I f ( ) I - Fernndo Sánchez - - eorem de Pppus. Cundo se hce girr un figur pln lrededor de un eje que no l trvies, se otiene un sólido de revolución, cuo volumen viene ddo por su superficie por F (, ) d Áre que delimit l función f ( ) sore el intervlo I, en concreto cuánto h de positivo menos cuánto h de negtivo. Por ejemplo - Áre que delimit l función f ( ) sore el intervlo I en totl: cuánto h de positivo más cuánto h de negtivo. Por ejemplo - Áre encerrd por ls gráfics de ls funciones f g en el intervlo I Vlor medio de f en el intervlo I Volumen (prte positiv menos prte negtiv) del sólido que tiene como suelo como techo l gráfic de F. Pr l función F(, ) se otiene áre( ) d F (, ) d Volumen totl (prte positiv más prte negtiv) del sólido que tiene como suelo como techo l gráfic de F (, )- (, ) que tiene como proección en el suelo (, ) F d Vlor medio de F en F G d Volumen del sólido encerrdo entre ls gráfics de F G, d Coordend del centro geométrico de d (, ) d Ms m ( ) de, entendiendo que en cd punto (, ) de l densidd es d(, ) d dz (,, ) Volumen de d z d dz Ms m( ) del sólido entendiendo que en cd punto (, z, ) de l densidd es d(,, z ) d dz Coordend del centro geométrico de V p dist ( eje, (, )) S p dist ( eje, (, ) L donde (, ) es el centro geométrico de L es l longitud del orde de.

18 Integrles de superficie - Fernndo Sánchez - - Pr un función f :[, ], cómo se mide l longitud de l gráfic? Es evidente que f() I - Fernndo Sánchez - - I I I - f ( ) áre encerrd por l gráfic sí que es longitud (en rojo) dee medirse con otr epresión. esult que long ( f ) [ ] I + f ( ), I En el cso de dos vriles, si S es l imgen de en l gráfic de l función (son ls dos tpders del sólido), entonces z f (, d S f (, d volumen del sólido Est últim se llm integrl de superficie. Por ejemplo, l superficie S de un esfer otiene ( ) z - - S I ( ) ( ) æ f ö æ f ö + ç + d S è ø çè ø + + z de rdio se puede clculr se p æ zö æ zö d + + çè ø è ç ø p æ - ö æ - ö + + d ç ç è - - ø è - - ø p p - ( ) d r -r djdr p r -r dr 4p é ê- -r ë L superficie de l ierr es proimdmente ù ú û 4p 4p Km Otro ejemplo: se puede clculr el áre del cudrilátero que formn los puntos (,,4 ), (,, ), (,, ), (,, ) Pr este cálculo h que encontrr el plno en el que se sitú ese cudrilátero cuál es su somr en el suelo. Esto último es fácil: se trt del cudrilátero que se form poniendo l coordend z igul en los cutro puntos. En el cso en que h densidd, tods ls integrles clculn mss (en l integrl prece multiplicndo l función densidd).

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