Máster en Ecología. Métodos para el estudio de Sistemas Ecológicos. Diseño, Análisis y Modelización: Algunos métodos avanzados

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1 Máster en Ecología Métodos para el estudio de Sistemas Ecológicos. Diseño, Análisis y Modelización: Algunos métodos avanzados mediante modelos estadísticos Javier Seoane javier.seoane@uam.es despacho C102 tel.: Máster en Ecología Métodos para el estudio de Sistemas Ecológicos: Diseño, Análisis y Modelización. - Cuatro jornadas: 1 hora de teoría (AU ) y 3 teórico-prácticas (Adi BIO4) - Selección de contenidos: - Modelos: introducción y estrategia de modelización - Modelos lineares generalizados: - regresión logística, binomial, de Poisson (y análisis de devianza) - Métodos autodocimantes (bootstrap) - Programa estadístico R (lenguaje de programación S) 1

2 Máster en Ecología: Métodos 10 [15:00-15:50]. Introducción, estrategias y MLG [16:00-18:00]. Introducción a R (I): la GUI Rcmdr [18:10-19:30 (!)]. Introducción a R (II): comandos [15:00-15:50]. Reg. logística, binomial y de Poisson 11 [16:00-18:00]. Regresión logística y binomial [18:10-19:30 (!)]. Regresión de Poisson [15:00-15:50]. Modelos aditivos generalizados (GAM) 14 [16:00-18:00]. Debate artículo (regresión logística) [18:10-19:30]. Modelos aditivos generalizados (GAM) Máster en Ecología: Métodos 15 [15:00-15:50]. Árboles de regresión y clasificación [16:00-18:00]. Árboles de regresión y clasificación [18:10-19:30 (!)]. Realización memorias [15:00-15:50]. Métodos autodocimantes 16 [16:00-18:00]. Métodos autodocimantes [18:10-19:30 (!)]. Realización memorias 2

3 Máster en Ecología Métodos para el estudio de Sistemas Ecológicos: Diseño, Análisis y Modelización. I. Modelos y estrategia de modelado I. Modelos y estrategia de modelado Pepe Cáceres está comenzando su tesis doctoral sobre el efecto del cangrejo rojo en los humedales de Doñana. Entre otras cosas, desearía poder pronosticar la abundancia de la especie cada año y el grado de ocupación de la marisma. Su director le ha dicho que necesita modelizar, pero se siente un poco perdido. Podemos ayudarle? 3

4 Métodos. Tres principios - 1. "In God we trust, all others must bring data" W. Edwards Deming ( , estadístico estadounidense) - 2. Tres estadísticos fueron de caza y vieron un ciervo. El primero dispara pero se queda a un metro a la derecha. El segundo dispara y falla, esta vez por un metro a la izquierda. El tercero no dispara, sino que grita triunfante: en promedio le dimos! Los métodos son el refugio del incompetente (variación de la violencia es el último refugio del incompetente, de I. Asimov) Ergo: 1) necesitamos datos (y hay que buscarlos) 2) hay que interpretarlos con sensatez 3) y no hay que enamorarse demasiado de los métodos Fuente: 1 es un clásico, para 2 para 3 no lo recuerdo 4

5 Modelos Bien, sí, pero qué es un modelo? - Una descripción simplificada de la realidad cuyo objeto es explicar o analizar (entender) algo. - En general derivan de una hipótesis -- de una hipótesis pueden derivarse modelos distintos - Los modelos se construyen con datos -- se ha de comprobar la bondad de ajuste de los modelos a los datos Fuente: Modificado de Quinn y Keough, Del rigor en la ciencia Modelos En aquel imperio, el arte de la cartografía logró tal perfección que el mapa de una sola provincia ocupaba toda una ciudad, y el mapa del imperio, toda una provincia. Con el tiempo, esos mapas desmesurados no satisficieron y los colegios de cartógrafos levantaron un mapa del imperio, que tenía el tamaño del imperio y coincidía puntualmente con él. Menos adictas al estudio de la cartografía, las generaciones siguientes entendieron que ese dilatado mapa era inútil y no sin impiedad lo entregaron a las inclemencias del sol y de los inviernos. En los desiertos del Oeste perduran despedazadas ruinas del mapa, habitadas por animales y por mendigos; en todo el país no hay otra reliquia de las disciplinas geográficas. Jorge Luis Borges (El hacedor, 1960) De una idea de Juan Ignacio Pozo (Psicología, UAM) 5

6 Quetzal (Pharomachrus mocinno) realidad modelos Entonces para qué un modelo? Models are like politicians: support them, use them, but don t unquestioningly trust them. (Morrison et al 1998, p.313) Essentially, all models are wrong, but some are useful. (George E. Box y Norman R. Draper 1987, p.424) 6

7 Modelos estadísticos ( ah, bueno, de esos!) - La realidad a describir se mide con la variable respuesta (o dependiente) -- Y ó VR, cuya variación se tratará de explicar - Las variables explicativas (VE) o predictores o variables independientes (Xs) o covariables -- los factores (X 1, X 2, etc) que quizás expliquen Y - VR y VE son continuas o categóricas el objetivo es describir la relación entre VR y VEs Un vademécum para ir abriendo boca - Primero se han de identificar la(s) variable(s) respuesta (VR), explicativa (VE) y su tipo (continua, categórica, un conteo), para seleccionar el método estadístico adecuado (1) clave dicotómica - Se desarrolla el modelo, buscando el que mejor se ajusta a los datos (2) tipos de modelos estadísticos según su complejidad - Ante un conjunto de explicaciones (modelos) igualmente plausibles escogeremos la más sencilla (navaja de Ockham) (3) simplificación de los modelos 7

8 (1) Clave dicotómica de métodos estadísticos - Es incompleta, pero nos ilustra los que trataremos aquí: 1. VE todas categóricas 2 al menos una VE es continua 4 2. VR es un conteo Tabla de contingencia VR no es conteo 3 3. VR es continua Análisis de varianza VR distinta de continua Análisis de devianza 4. VE todas continuas Regresión (5) Hay VE continuas y categóricas Análisis de covarianza (5) 5. VR es continua Regresión o ANCOVA VR es conteo Modelos Log-lineares (errores de Poisson) VR es una proporción Modelo logístico (errores binomiales) VR es tiempo de espera Análisis de supervivencia VR es binaria (1 ó 0) Regresión logística binaria VE es tiempo Análisis de series temporales Fuente: Crawley, M.J The R book. (2) Tipos de modelos estadísticos según su complejidad -Modelo nulo sólo un parámetro: la media de todos los datos ajuste ninguno, SSE=SSY gdl=n-1, ninguna capacidad explicativa - Modelo mínimamente adecuado un modelo simplificado con sólo algunos factores (0 p p) el ajuste es menor que el del modelo máximo pero no significativamente menor gdl=n-p -1, capacidad explicativa es R 2 =SSR/SSY - Modelo máximo contiene todos los factores (p) y sus posibles interacciones que pueden resultar de interés, aunque no sean significativos gdl=n-p-1, capacidad explicativa variable - Modelo saturado un parámetro por cada punto (ajuste perfecto) gdl=0, muy explicativo pero predictivo?, R 2 = 1; SSE=0 Tests de eliminación 8

9 (3) Simplificación de los modelos - Generalmente buscaremos el modelo mínimamente adecuado como la mejor representación de la realidad (de forma alternativa, se pueden generar varios modelos y ponderar el resultado final según su calidad, pero esa es otra historia...). Elegiremos: un modelo con n-1 parámetros a otro con n un modelo con k-1 VE a otro con k un modelo linear a otro con curvatura un modelo sin interacciones a otro que las contenga un modelo con VE fáciles de medir a otro con VE complejas un modelo mecanicista a otro puramente empírico (hmm...) Para lo que (por orden): eliminaremos interacciones y términos curvos no significativos despreciaremos VE no significativas agruparemos niveles de un factor que no difieran entre sí Máster en Ecología Métodos para el estudio de Sistemas Ecológicos: Diseño, Análisis y Modelización. II. Modelos lineales generalizados 9

10 Modelos Lineales Generalizados (GLM-MLG): introducción Y, es VR X 1, X 2... son VEs Modelo lineal: Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X término error β 0 es la constante o intercepta (el valor cuando todas las VEs son cero) β 1, β 2... son los coeficientes o pendientes en una regresión asociados a cada VE término error, la parte de VR no explicada por las VEs Fuente: Modificado de Quinn y Keough, Modelos Lineales Generalizados (GLM-MLG): introducción - Modelos lineales (ANOVA, regresión lineal): estos análisis asumen que (1) las poblaciones (respuesta) tienen una distribución de valores normal, (2) los errores del modelo ajustado también y (3) homogeneidad de varianza variable respuesta (VR) = función lineal de variables explicativas f(ves) Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X errores (N(µ,σ)) en general son robustos a los incumplimientos de estas asunciones ( pero lo son siempre? y en qué medida?) y además podemos utilizar transformaciones (p.e., y = log(y), y =arcsen[ y]) ( pero son estos nuestros datos?) 10

11 Modelos Lineales Generalizados (GLM-MLG): introducción - La técnica de los modelos lineales generalizados (GLM, de Generalized Linear Models) permite modelar variables respuesta con otro tipo de distribuciones por ejemplo, datos binarios (regresión logística) o conteos (regresión de Poisson) desarrollo conceptual muy joven: Nelder & Wedderburn (1972) y McCullough & Nelder (1989) Veámoslos con algunos ejemplos (más adelante) El triunvirato de los MLG Un GLM se basa en: (1) componente aleatorio: VR y su distribución de probabilidad familia exponencial: VR continua: puede ser una distribución normal VR binaria: distribución binomial VR conteo: distribución de Poisson o binomial negativa (2) componente sistemático (predictor lineal): los predictores del modelo (VEs) continuos, categóricos, en interacción o como polinomios (3) función de vínculo: une los componentes anteriores g(µ) = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X d.30 11

12 El triunvirato de los MLG (3) función de vínculo: une los componentes anteriores vincula el valor esperado de VR a las VEs: g(µ) = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X función identidad (como en modelos lineales): g(µ) = µ función logaritmo (se modela el logaritmo de la media [>0]) g(µ) = log(µ) función logit (µ [0-1]): g(µ) = log[µ/(1-µ)] Comparativa: ML y MLG Unas notas sobre el cómputo matemático: - Los modelos lineales se basan en estimas de mínimos cuadrados, que pueden hacerse a mano con relativa facilidad. - Los GLM se basan en estimas por máxima verosimilitud, que requieren un algoritmo iterativo y ponderado cuya resolución exige computación por ordenador. - Los modelos lineares se pueden considerar un caso particular de los GLM con variables normales y vínculo identidad. En tal caso las estimas por mínimos cuadrados son muy similares a las de máxima verosimilitud. 12

13 Relaciones entre modelos de tipo regresión REGRESIÓN LINEAR normalidad linealidad heterocedasticidad GLM MODELOS ADITIVOS MODELOS MIXTOS GAM Modelos aditivos mixtos GLMM GAMM De LM a AM y a GLM y GAM Patrones en los residuos? - Transforma VE - Añade otras VE - Añade interacciones - Añade VE no lineales (VE 2?) - Usa suavizados ((g)am) - Modela la varianza desigual (gls) - Usa modelos mixtos De Zuur et al

14 Recapitulación: MODELOS LINEARES - REGRESIÓN -ANOVA -MANOVA - ANCOVA VR cont. cont. conts. cont. VE cont. categ. categ. cont./categ. MODELOS GENERALIZADOS LINEARES VR VE - R.POISSON conteo cont. - R.LOGÍSTICA binaria cont. - R.BINOMIAL binomial cont. 14