Geometria / GQ 2. Invariants euclidians de les còniques S. Xambó

Transcripción

1 Geometria / GQ 2. Invariants euclidians de les còniques S. Xambó,, Classificació de còniques mitjançant invariants Obtenció de les equacions reduïdes i canòniques a partir dels invariants Exemple: àrea d una el lipse Exemple: angle entre les asímptotes d una hipèrbola Exemple: semidistància focal d una cònica amb centre Definició alternativa de les còniques no degenerades

2 2 Posem i A per denotar la matriu projectiva i la matriu a l infinit (part principal de ), referides a coordenades rectangulars,, de l equació d una cònica. Denotem, anàlogament, i les matrius projectiva i de l infinit de l equació referida a un altre sistema de coordenades rectangulars,. Posem det, det, tr. Els símbols, i es defineixen de manera anàloga a partir de i. Així doncs, det és el polinomi característic de i el de. Diem que és el discriminant de l equació de la cònica i que és el discriminant de la part principal.

3 3 Lema.,,. Prova. En efecte, existeix una matriu tal que 1, 2,,,,, i. Com que det det 1, la primera relació ens dóna que i la segona, que i. Si en lloc de usem ( un escalar no nul) per calcular, llavors,,. En resulta que expressions com ara / (suposant 0) o / (suposant 0) són independents del sistema de coordenades i de l equació que emprem per representar la cònica. Aquesta és la raó per la

4 4 qual expressions com les que acabem de considerar s anomenen invariants euclidians de les còniques. Pel que fa a les quantitats, i, observem que relacions com ara 0, 0 i 0 (o 0, 0, 0) són també independents de l equació de la cònica emprada per verificar les. El mateix passa amb relacions com ara 0 o 0. Aquestes propietats fan que, per abús de llenguatge, sovint ens referim a, i dient que són invariants euclidians relatius, o semiinvariants, de les còniques. Per raons que es posaran de manifest després, introduïm també el símbol per denotar la traça de segon ordre de, tr (és el coeficient de grau 1 del polinomi característic de, canviat de signe). El símbol es defineix anàlogament mitjançant la matriu. Amb les notacions de la prova del lema tenim:

5 5 Si les dues referències tenen el mateix origen, llavors (en aquest cas la matriu és ortogonal). Classificació de còniques mitjançant invariants Les còniques no degenerades, que per definició són les el lipses (reals o imaginàries), les hipèrboles i les paràboles, es distingeixen de les còniques degenerades, que per definició són les parelles de rectes (reals o imaginàries, paral leles o no, distintes o coincidents), pel fet que les primeres compleixen 0 i les segones, 0. Aquesta afirmació es dedueix immediatament calculant mitjançant les equacions reduïdes i tenint en compte que per algun escalar 0.

6 6 Algorisme ellipse 0 real circumferència si 4 0 imaginària 0 hipèrbola hipèrbola equilàtera si 0 0 paràbola 0 parell de rectes imaginàries 0 parell de rectes reals 0 parell de rectes paral leles reals 0 0 parell de rectes paral leles imaginàries 0 parell de rectes coincidents Prova. Suposem primer que 0. Com que 0 equival a 0, és a dir, que i tenen el mateix signe, és clar que estem en presència d una el lipse. Atès que, en termes de l equació reduïda,, i que, resulta que 0 si té signe contrari del de i i que 0 si té el mateix signe que i. El primer cas, que equival a 0, dóna

7 7 una el lipse real, i el segon, que equival a 0, dóna una el lipse imaginària. En el cas real, una el lipse és una circumferència si i només si, i aquesta relació és clarament equivalent a l anul lació del discriminant de (el polinomi característic de ). El cas 0 ens diu que i tenen signes contraris i, per tant, es tracta necessàriament d una hipèrbola. Com que una hipèrbola és equilàtera si i només si i són nombres reals amb el mateix valor absolut i de signes contraris, és clar que queden caracteritzades, entre les hipèrboles, per la relació 0. Si 0, llavors un valor propi és nul, diguem 0, i com que la cònica és no degenerada, només es pot tractar d una paràbola. Considerem ara les còniques degenerades ( 0). Si 0, l equació reduïda és necessariament del tipus centrat amb 0, la qual cosa dóna un parell de rectes imaginàries conjugades si 0 i un parell de rectes reals si 0. Si 0, llavors és clar que l equació reduïda cau en el cas de rectes paral leles. Com que, / té el mateix signe que, amb la qual cosa tenim un parell de rectes paral leles reals si 0, un parell de rectes paral leles imaginàries conjugades si 0 i una recta doble si 0. El resultat es dedueix ara del fet que els canvis que passen de

8 8 l equació inicial a la reduïda fan que. Això és clar si no hi ha canvi d origen, com ja s ha vist, i per tant podem suposar que l equació inicial és de la forma 2 0 (si fos 0, es tractaria d una paràbola). En tal situació, tenim. Si ara completem el quadrat, obtenim l equació 0, amb / i /. Per tant,. Obtenció de les equacions reduïdes i canòniques a partir dels invariants La discussió anterior dóna les equacions reduïdes en termes dels invariants. Per exemple, en el cas de les còniques centrades, l equació reduïda ens dóna i, per tant, / /, d on resulta que l equació reduïda és 0. D una manera similar, es veu que l equació canònica d una paràbola és

9 9 2 / 0. Finalment, l equació reduïda de rectes paral leles es pot escriure 0 ja que. Exemple: àrea de l el lipse Suposem que hem determinat que una cònica de matriu projectiva és una el lipse, és a dir, que 0 i 0. Com podem trobar la seva àrea en funció dels invariants? En termes de l equació canònica, l àrea de l el lipse és. Sabem, però, que

10 10 /, / (l equació reduïda és 0), de manera que /. Tenint en compte que /, finalment obtenim la fórmula /. Exemple: angle de les asímptotes d una hipèrbola L angle que formen les asímptotes d una hipèrbola, o un parell de rectes reals, es pot determinar per la fórmula cos / 4. En efecte, en els dos casos l equació canònica de les rectes és 0. Com que, i, són vectors directors d aquestes rectes,

11 11 cos. Però 1/ i 1/, d on cos. Finalment és suficient constatar que 4 4. Exemple: semidistància focal d una cònica no degenerada amb centre La semidistància focal,, d una el lipse o d una hipèrbola ve donada per 4. Els raonaments són similars als dels exemples anteriors.

12 12 Exemple: definició alternativa de les còniques A la introducció hem vist que la paràbola és el lloc geomètric dels punts que compleixen la condició,,, on és el focus i la directriu. Remarcablement, l argument que hem usat per demostrar aquest fet es pot adaptar fàcilment al cas d una el lipse (suposant que no és circumferència), o al cas d una hipèrbola, per demostrar que, en qualsevol dels dos casos, la cònica és el lloc geomètric dels punts tals que,,, on és un focus, la directriu d aquest focus (es defineix com en el cas de la paràbola), cos/cos, amb l angle entre l eix del con i una generatriu i l angle entre el pla de la cònica i l eix del con. Notem que, amb les notacions de la figura del cas de la paràbola, en lloc de tindrem /cos /cos, ja que és l angle format per i Π.

13 13 Vegem com establir l enunciat anterior per mitjans analítics, com una il lustració del mètode dels invariants. Un avantatge d aquest procediment és que quedarà establert, ensems, que la constant coincideix, en el cas de l el lipse i la hipèrbola, amb l excentricitat. Com que 1 en el cas de la paràbola, d ara endavant L considerarem que la paràbo la té excentricitat 1. 6 p p Sigui un nombre real positiu. Siguin, en un pla euclidià, una recta i un punt exterior a. Llavors, el lloc geomètric dels punts tals que 5 p 7 p 10 O F O F,, 7 e = 10 (el lipse) e = 6 5 (hipèrbola) e = 1 (paràbola)

14 14 és una el lipse, una paràbola o una hipèrbola segons que 1, 1 o 1. En tots el casos, és un focus, la recta per perpendicular a és l eix principal i és l excentricitat. En efecte, sigui el peu de la perpendicular a pel punt i considerem una referència rectangular amb origen i eixos i. L eix, doncs, coincideix amb la perpendicular a per. També tenim que,0, on és la distància de a (en diem paràmetre focal). Per un punt,, la condició,, és equivalent a la relació és a dir, a, [] La matriu projectiva d aquesta cònica és

15 Per tant 1, 1, 2. 0 no degenerada, i 1 ellipse paràbola 1 hipèrbola En el cas de l el lipse, és una el lipse real, ja que 0. Centre., ,0 Equació reduïda. 1 0

16 Semieixos., / Semidistància focal. El lipse:. Hipèrbola:. Excentricitat:. Focus. El lipse:, 0,0,0, 0. Hipèrbola:, 0,0,0, 0. Remarca. En una cònica d excentricitat i paràmetre focal, el punt, (mateix sistema de coordenades que a la figura) és de la cònica. Té la propietat que és perpendicular l eix principal de la cònica, ja que 0,. Tenim, a més, que,. Aquesta distància es denomina semicostat de la cònica i posarem per denotar lo (el costat, o latus rectum en terminologia tradicional, és 2 2).

17 17 Tipus de cònica Cònica centrada ( 0) Paràbola Rectes paral leles (distintes o coincidents) Equació reduïda Magnituds relatives a còniques Àrea d una el lipse Angle format per asímptotes hipèrbola Semidistància focal cònica no degenerada Expressió amb invariants / cos / 4 4