TEMA 4 Variables aleatorias discretas Esperanza y varianza

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1 Métodos Estadístcos para la Ingenería Curso007/08 Felpe Ramírez Ingenería Técnca Químca Industral TEMA 4 Varables aleatoras dscretas Esperanza y varanza La Probabldad es la verdadera guía de la vda. Ccerón

2 Métodos Estadístcos para la Ingenería Curso007/08 Felpe Ramírez ÍNDICE ÍNDICE Ingenería Técnca Químca Industral TEMA 4 S ALEATORIAS DISCRETAS Varables aleatoras dscretas contínuas Funcón de masa de probabldad Funcón de dstrbucón acumulada Esperanza. Propedades Varanza. Propedades

3 Métodos Estadístcos para la Ingenería Curso007/08 Felpe Ramírez ALEATORIA. ALEATORIA. FINICIÓN FINICIÓN Ingenería Técnca Químca Industral FINICIÓN N Denomnamos ALEATORIA a toda funcón que asoca a cada suceso de un determnado espaco muestral E, un valor numérco. : P( E) R S ( S) Solemos escrbr las varables aleatoras con letras mayúsculas, Y, Z reservando las letras mnúsculas para los valores que toma dcha funcón. Así ( A) x repesenta que la varable toma el valor numérco x para el suceso A.

4 Métodos Estadístcos para la Ingenería Curso007/08 Felpe Ramírez ALEATORIA. ALEATORIA. EJEMPLOS EJEMPLOS Ingenería Técnca Químca Industral EJEMPLO En el expermento lanzar dos dados smultáneamente se defnen las varables aleatoras como el valor máxmo de la trada Y como la suma de los resultados de los dos dados Z como s los dos resultados son guales y 0 en otro caso. EJEMPLO En el acceso a un sstema de ordenadores de tempo compartdo con dos puertos de comuncacones, s un estudante ntenta conectarse y los dos puertos están ocupados no se establece la conexón (FALLO) mentras que s al menos uno de los puertos está dsponble, se produce el acceso (ACCESO). Defnmos la varable aleatora (A) y (F) 0 EJEMPLO 3 Los sstemas de muestreo aleatoro suelen utlzar un marcador automátco de teléfonos que accede a un número de teléfono aleatoramente. Defnmos la varable: Y 0 s el teléfono selecconado está en el lstado s el teléfono selecconado NO está en el lstado

5 Métodos Estadístcos para la Ingenería Curso007/08 Felpe Ramírez ALEATORIA. ALEATORIA. EJEMPLOS EJEMPLOS Ingenería Técnca Químca Industral EJEMPLO 4 En una empresa que fabrca bateras, unas son defectuosas (F) y otras son correctas (C). Se defne el expermento examnar bateras hasta que aparezca una batería correcta. Se defne la vaable aleatora el número de bateras examnadas antes de que termne el expermento. (C), (FC), (FFC)3 puede tomar los valores,,3, EJEMPLO 5 De forma aleatora se escoge un lugar de España pennsular con la pareja de números (lattud, longtud). Se defne la varable aleatora Y alttud del lugar selecconado Y puede tomar cualquer valor entre 0 (Valenca) y 3479 (Mulhacen)

6 Métodos Estadístcos para la Ingenería Curso007/08 Felpe Ramírez ALEATORIA. ALEATORIA. TIPOS TIPOS Ingenería Técnca Químca Industral FINICIÓN N Una varable aleatora se dce que es DISCRETA s su rango de valores es fnto o nfnto numerable. Se dce que es CONTINUA s el rango de valores que puede tomar es R o un ntervalo de R, es decr un conjunto no numerable. FINICIÓN N 3 Una varable aleatora que sólo puede tomar dos valores o 0 se dce que es una ALEATORIA BERNOULLI.

7 Métodos Estadístcos para la Ingenería Curso007/08 Felpe Ramírez MASA MASA PROBABILIDAD PROBABILIDAD Ingenería Técnca Químca Industral FINICIÓN N 4 Dada una varable aleatora dscreta la DISTRIBUCIÓN N PROBABILIDAD establece como se dstrbuye la probabldad entre 0 y de cualquera de los valores de. EJEMPLO 6 Ses lotes de componentes están lstos para que certo proveedor los enve. El número de componentes defectuosos en cada lote es el sguente: Lote Nº componetes defectuosos Se elge un lote al azar para envarlo a un clente. Sea la varable que asgna el número de componentes defectuosos del lote selecconado. Cuál es su dstrbucón de probabldad?

8 Métodos Estadístcos para la Ingenería Curso007/08 Felpe Ramírez MASA MASA PROBABILIDAD PROBABILIDAD Ingenería Técnca Químca Industral FINICIÓN N 5 Dada una varable aleatora dscreta la DISTRIBUCIÓN N PROBABILIDAD o N p, se defne como: MASA PROBABILIDAD, p, Obvamente se verfca que: p(p{} x p( para todo x posble p( 0 En el ejemplo 6, tendríamos que: p( 0,5 s x 0 0,67 s x 0,333 s x 0 en otro caso

9 Métodos Estadístcos para la Ingenería Curso007/08 Felpe Ramírez DISTRIBUCIÓN DISTRIBUCIÓN Ingenería Técnca Químca Industral FINICIÓN N 6 Dada una varable aleatora dscreta la N DISTRIBUCIÓN N ACUMULADA o F, se defne como: DISTRIBUCIÓN, F, 0,5 s x 0 0,67 s x p( 0,333 s x 0 en otro caso F ( P{ x} p( y) Toda funcón de dstrbucón es una funcón escalonada, con una dscontnudad de salto fnto en cada posble valor de. El salto de la funcón es justamente la probabldad de ese punto. En el ejemplo 5 como teníamos: y x F( 0,5 0,667 s x < s x < s x

10 Métodos Estadístcos para la Ingenería Curso007/08 Felpe Ramírez DISTRIBUCIÓN.PROPIEDAS DISTRIBUCIÓN.PROPIEDAS Ingenería Técnca Químca Industral Las propedades analítcas de toda N DISTRIBUCIÓN N ACUMULADA, son:

11 Métodos Estadístcos para la Ingenería Curso007/08 Felpe Ramírez DISTRIBUCIÓN. DISTRIBUCIÓN. PROBABILIDAS PROBABILIDAS Ingenería Técnca Químca Industral S se conoce la N DISTRIBUCIÓN N ACUMULADA, se tene perfectamente defnda la funcón de masa de probabldad. En efecto basta observar que se cumple: Para dos números cualesquera a y b con a<b se tene que: P( a b) F( b) F( a ) donde a - representa el MAYOR valor posble de que es ESTRICTAMENTE MENOR que a. En partcular s solo toma valores enteros y s a y b son enteros se tene que: P( a b) P( F( b) F( a ) Y tambén, hacendo ba que: a o P( a) F( a) F( a ) a + o... o b)

12 Métodos Estadístcos para la Ingenería Curso007/08 Felpe Ramírez FUNCIONES FUNCIONES MASA MASA Y Y DISTRIBUCIÓN. DISTRIBUCIÓN. EJEMPLOS EJEMPLOS Ingenería Técnca Químca Industral EJEMPLO 7 Consdere un grupo de cnco posbles donantes de sagre A,B,C,D y E- de los cuales sólo A y B tenen grupo sanguíneo 0+. Cnco muestras de sangre, una de cada ndvduo, se tpfcan en orden aleatoro hasta que se dentfca un ndvduo 0+. Sea la varable aleatora Y número de tpfcacones necesaras para dentfcar un ndvduo 0+. Determnar la funcón de masa de probabldad y la funcón de dstrbucón acumulada. EJEMPLO 8 Comenzando en un tempo determnado, se observa el género de cada recén nacdo en un hosptal hasta que nace un nño (V). Sea p P(V). Suponendo que los nacmentos sucesvos son ndependentes y defnda la varable aleatora número de nacmentos observados, obtener la funcón de masa de probabldad y la funcón de dstrbucón acumulada.

13 Métodos Estadístcos para la Ingenería Curso007/08 Felpe Ramírez ESPERANZA ESPERANZA UNA UNA Ingenería Técnca Químca Industral FINICIÓN N 7 Sea una varable aleatora dscreta con un conjunto D de posbles valores y una funcón de masa de probabldad p. Se denomna VALOR ESPERADO y se denota como E[] o E() al valor: E [ ] µ xp( x x D El valor esperado também se denomna ESPERANZA de y MEDIA de. El valor esperado de no tene por qué concdr con nngún valor de la varable. El valor esperado de no tene por qué ser fnto sempre. Cuando el valor esperado es nfnto se habla de que la dstrbucón es de cola larga

14 Métodos Estadístcos para la Ingenería Curso007/08 Felpe Ramírez ESPERANZA ESPERANZA UNA UNA.. PROPIEDAS PROPIEDAS Ingenería Técnca Químca Industral PROPIEDAS S es una varable aleatora dscreta con un conjunto D de posbles valores con funcón de masa de probabldad p y h es una funcón de se cumple que: Se denomna VALOR ESPERADO h() y se denota como E[h()] al valor: En partcular se verfca que: E h( )] µ h( p( [ h( ) x D E[ a + b] µ a + b ae[ ] + b aµ + b

15 Métodos Estadístcos para la Ingenería Curso007/08 Felpe Ramírez VARIANZA VARIANZA UNA UNA Ingenería Técnca Químca Industral FINICIÓN N 8 Sea una varable aleatora dscreta con un conjunto D de posbles valores y una funcón de masa de probabldad p. Se denomna VARIANZA y se denota como V[] o V() al valor: V[ ] E[( E[ ]) ] x D ( x E[ ]) p( El varanza de se puede calcular tambén por la expresón: V [ ] E[ ] E[ ] x p( E[ x D ]

16 Métodos Estadístcos para la Ingenería Curso007/08 Felpe Ramírez VARIANZA VARIANZA UNA UNA.. PROPIEDAS PROPIEDAS Ingenería Técnca Químca Industral PROPIEDAS La varanza de h() es el valor esperado de la dferenca cuadrada entre h() y su valor esperado: V[ h( )] E[( h( ) E[ h( )]) ] x D ( h( E[ h( )]) p( En partcular la varanza de no es lneal. V [ a + b] a V[ ]

17 Métodos Estadístcos para la Ingenería Curso007/08 Felpe Ramírez Ingenería Técnca Químca Industral ADICIÓN S. ESPEANZA Y VARIANZA. ADICIÓN S. ESPEANZA Y VARIANZA. La ESPERANZA de es adtva respecto a las varables. Es decr: PROPIEDAS PROPIEDAS ] [ n n E E ] [ n n V V La varanza de no es adtva respecto de las varables. Es decr: Sean,, n n varables aleatoras dscretas, entonces: ] [ son INPENDIENTES varables las S n n n V V,... Aunque se verfca que:

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