Para pensar: Cómo se pudo obtener ese

Transcripción

1 La teoría de las probabilidades se inició con los juegos de azar en el siglo XVI, pero sin embargo pronto se aplicó a diversos problemas, como las estadísticas de las poblaciones humanas, en las que la probabilidad aparece como resultado de la experiencia, sin que se pueda pensar en calcularla de antemano. La probabilidad es una rama de la Matemática que mide la incertidumbre, debido a eso, es muy utilizada para analizar las posibilidades de ganar juegos de azar. Sin embargo, sus aplicaciones son utilizadas en diferentes disciplinas, como la Física, la Genética, la Astronomía, la Medicina, la Economía, la Sociología, entre otras. Por ejemplo, hacer referencia a la incertidumbre, sería un caso como el siguiente: Supongamos que en una librería se registró que, de las últimas personas que ingresaron, 1250 efectuaron la compra de algún libro. Entonces la probabilidad de que una persona que ingresa a esa misma librería efectúe la compra de un libro sería igual a 0,125, que equivale a pensar que fue el 12,5% Para pensar: Cómo se pudo obtener ese resultado? Esta probabilidad se llama probabilidad experimental, porque se obtiene como el cociente entre la cantidad de casos favorables y la cantidad de casos posibles, pero usando los resultados de la experiencia. La probabilidad experimental es la frecuencia relativa observada con la cual ocurre un suceso 1

2 Ley de los grandes números La Ley de los grandes números afirma que cuando se aumenta la cantidad de observaciones de un experimento aleatorio, la frecuencia relativa de un suceso toma valores que se aproximan cada vez más a la probabilidad de ese suceso, es decir que la probabilidad experimental y la probabilidad teórica, si puede calcularse, tienden a coincidir cuando el número de experimentos es grande. Existen diferentes tipos de experimentos, en probabilidad nos interesan aquellos en los cuales es imposible predecir el resultado, y son conocidos como experimentos aleatorios, se podría decir que son aquellos que dependen del azar. Pero sí se puede describir cuáles son todos los posibles resultados posibles. El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se llama espacio muestral, este conjunto habitualmente se lo designa con la letra S. En un experimento aleatorio, un resultado posible o bien un conjunto de ellos es lo que constituye un suceso o evento. Es decir que representan un subconjunto del espacio muestral. ActividadNº1: Construir el espacio muestral del experimento aleatorio que consiste en arrojar tres monedas equilibradas de distinto color cada una. Cuántos elementos tiene el conjunto? Para recordar: La cantidad de elementos que tiene un conjunto se llama El cardinal del conjunto Actividad Nº2: Completar el cuadro que contiene algunos Experimentos aleatorios, todos los resultados posibles y alguno de los sucesos posibles. 2

3 Experimento aleatorio Espacio Muestral Suceso Se eligen veinte personas al azar Son todas mujeres cuenta la cantidad de mujeres Se registra la cantidad de pasajeros hay en un avión de 120 asientos Para Ejercitar 1) De una caja con cinco bolitas rojas, siete azules y dos blancas, todas iguales excepto que las distingue el color, se extrae una al azar. a) Cuál es el espacio muestral? Tienen todos sus elementos igual probabilidad? b) Cuál es la probabilidad de que la bolita extraída sea azul? 2) Cuál es la probabilidad de que al arrojar dos dados equilibrados al azar, la suma de sus puntos no sea 7? 3) El siguiente dibujo Qué posibles actividades te sugiere realizar? Cómo las enunciarías? Para tener en cuenta: en el ejercicio 1) cuando respondiste si todos los elementos tiene la misma probabilidad, significa que esto puede o no suceder, entonces a partir de los conceptos de probabilidad que iremos construyendo vamos a decir que: Un espacio Muestral es Equiprobable, si todos sus elementos tienen la misma posibilidad de ocurrir o de tener éxito. 3

4 Sucesos incompatibles y sucesos independientes En algunos experimentos hay sucesos que no pueden ocurrir a la vez, estos se llaman sucesos incompatibles Ejemplo: Si se lanza un dado al azar, el espacio muestral es Ahora bien si pensamos en este experimento algunos posibles sucesos son: Suceso Probabilidad Obtener el número 3 1/6=0,16 (16%) Obtener un número par Obtener el número 5 ó un número par Obtener el número 2 ó obtener un número par Cuáles de los sucesos de la tabla anterior pueden ser incompatibles? Por qué? Si dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de que ocurra alguno de ellos es la suma de cada una de las probabilidades: En Símbolos A y B sucesos incompatibles P(A o B) = P(A) + P(B) Dos sucesos son independientes cuando el hecho de que ocurra uno de ellos no modifica la posibilidad de que ocurra el otro. Actividad Nº3: Supongamos que un experimento aleatorio consiste en arrojar dos dados juntos al azar, uno rojo y otro verde. Cuál es la probabilidad de obtener 6 puntos en el dado rojo y 5 en el dado verde? Hay resultados posibles y sólo un caso favorable, entonces la probabilidad de obtener seis y cinco P(6 y 5) =. 4

5 En este caso la P(6) = 1/6 y P(5) =. Entonces se cumple que la probabilidad buscada es: P(6 y 5) = P(6). P(5) =... Solo cuando dos sucesos son incompatibles se cumple que la probabilidad de que ocurran ambos sucesos, es decir uno y el otro, es igual al producto de sus probabilidades. En Símbolos: Actividades: A y B son independientes si y solo si P(a y B) = P(A). P(B) tres caras al arrojar tres monedas al azar? 3) Se tira un dado equilibrado cinco veces. Cuál es la probabilidad de sacar 6 en todos los tiros? 1) En una escuela, el 40% de los estudiantes va caminando a clases, el 35% en transporte escolar, y el resto en auto con sus padres. Al elegir un estudiante al azar. A) Cuál es la probabilidad de que llegue en auto? B) Y en auto y en transporte escolar? 2) Cuál es la probabilidad de obtener Probabilidad Condicional En algunas ocasiones conocer información sobre el resultado de un experimento aleatorio condiciona las posibilidades de algunos sucesos. Se define la probabilidad condicional a la probabilidad de que ocurra el suceso B sabiendo que ya ha ocurrido el suceso A. la forma de simbolizarlo es P(B/A), y la / se lee diciendo dado que o bien ya que o sabiendo que. En la siguiente tabla figuran algunos datos sobre la cantidad de alumnos que asisten a clases de gimnasia. Analicemos la información que nos brinda la siguiente tabla: 5

6 mañana tarde total mujeres varones 23 total 37 Luego completarla de acuerdo a los valores y responder: A la mañana hay estudiantes mujeres. A la tarde hay.. estudiantes varones. Al turno mañana van. estudiantes en total. La cantidad de alumnos es de Si se elige al azar un estudiante que asiste a las clases de gimnasia, la probabilidad de que sea varón es.pero si se sabe que es un estudiante del turno tarde, la probabilidad de que sea varón es otra, porque los casos posibles son los.. estudiantes del turno tarde y los favorables son los.. estudiantes que son varones y van al turno tarde, así que la probabilidad es el hecho de saber que es del turno tarde modificó la probabilidad. P( B / A) P( AyB ) P( A) Ahora podemos calcular la probabilidad de que ocurran dos sucesos A y B, aun cuando no son independientes, la forma de realizarlo es despejando P(A y B) de la fórmula anterior y obtendremos: P( A y B ) = P( A ). P ( B / A ) Y también se puede definir con mayor precisión que dos sucesos son independientes cuando se cumple que P ( A / B ) = P ( A ), el hecho de que ocurra el suceso B no modifica la probabilidad de que ocurra el suceso A, también se deberá cumplir que P ( B / A ) = P ( B ) 6