CÁLCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES

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1 UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS CÁLCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES Rmón Bruzul Mrisel Domínguez Crcs, Venezuel Julio 25

2 Rmón Bruzul Correo-E: Mrisel Domínguez Correo-E: Lbortorio de Forms en Grupos Centro de Análisis Escuel de Mtemátic Fcultd de Ciencis Universidd Centrl de Venezuel lbfg

3 Prólogo Ests nots hn sido concebids pr ser utilizds en l segund prte del curso de Análisis II de l Licencitur en Mtemátic de l Universidd Centrl de Venezuel y son el resultdo de l experienci de los utores en el dictdo de dicho curso. Es l continución nturl de l Guí de Cálculo Diferencil en Vris Vribles, elbord por los utores pr l primer prte del curso. En este curso se debe dr un visión riguros del cálculo en vris vribles. L primer prte de este curso corresponde con el cálculo diferencil en vris vribles y l segund con el cálculo integrl en vris vribles. Se supone que el estudinte y h visto un curso riguroso de cálculo en un vrible, que domin l topologí básic de R n, que h visto un curso introductorio de cálculo en vris vribles y que y h estudido l Guí de Cálculo Diferencil en Vris Vribles o un texto equivlente. Los siguientes tems son trtdos en form exhustiv: (1) Integrles múltiples. Integrl de Riemnn, condiciones de integrbilidd. Teorem de Fubini. Cmbio de vrible. Integrles impropis. (2) Integrles de líne. Curvs, curvs rectificbles, prmetrizción. Independenci del cmino, potenciles. Teorem de Green. (3) Funciones de vlores vectoriles. Grdiente, rotor, divergenci y Lplcino. Superficies, representciones prmétrics e implícits. Integrles de superficie. Teorems de Guss y Stokes. iii

4 iv Tnto el trbjo de mecnogrfí como l elborción de los gráficos estuvo crgo de los utores. Agrdecemos culquier observción o comentrio que deseen hcernos llegr. Rmón Bruzul. Mrisel Domínguez. Julio 25.

5 Contenido Cpítulo 1. Integrles múltiples El cso de un dimensión Integrles dobles Integrles múltiples Cálculo de un integrl múltiple medinte integrción iterd Condiciones de integrbilidd Integrles múltiples sobre regiones generles Cmbio de vribles en integrles múltiples Integrles impropis. 43 Ejercicios Cpítulo 2. Integrles de líne y Teorem de Green Curvs y tryectoris Longitud de rco y reprmetrizción Prmetrizción por l longitud de rco Integrl de un cmpo esclr lo lrgo de un curv Integrles de líne Teorem fundmentl del cálculo pr integrles de líne El teorem de Green Ecuciones diferenciles excts de primer orden. 76 Ejercicios Cpítulo 3. Análisis vectoril Integrles de superficie Superficies orientbles Integrles de superficie El Teorem de Stokes El Teorem de l divergenci o Teorem de Guss 95 v

6 vi CONTENIDO Ejercicios Bibliogrfí 13 Índice 15

7 CAPÍTULO 1 Integrles múltiples. 1. El cso de un dimensión. En est sección recordremos lgunos resultdos y definiciones relciondos con l integrl de Riemnn en un dimensión. El enfoque usul de l integrl de Riemnn, trvés de sum superiores e inferiores, es el siguiente. Definición 1.1. Sen, b R, < b. Un prtición del intervlo [, b] es un colección finit de puntos de [, b], de los cules uno es y otro es b. Los puntos de un prtición pueden ser numerdos como x, x 1,..., x k, de form tl que el conjunto quede ordendo de l siguiente mner = x o < x 1 < < x k 1 < x k = b. Al hblr de un prtición siempre supondremos que está ordend de l form nterior. Definición 1.2. Sen, b R, < b y f : [, b] R un función cotd. P = {x o, x 1,..., x k } un prtición del intervlo [, b]. Pr 1 i n, sen Se m i = inf{f(x) : x i 1 x x i }, M i = sup{f(x) : x i 1 x x i }. L sum inferior de f correspondiente P, se denotrá por L(f, P ) y es L(f, P ) = n m i (x i x i 1 ). i=1 L sum superior de f correspondiente P, se denotrá por U(f, P ) y es U(f, P ) = n M i (x i x i 1 ). i=1 1

8 2 1. INTEGRALES MÚLTIPLES. Es importnte notr que l hipótesis f cotd es esencil pr poder grntizr que tnto M i como m i están definidos. Tmbién es necesrio definirlos como supremo e ínfimo y no como máximos y mínimos, y que f no se supone continu. Definición 1.3. Un función cotd f definid en [, b] es integrble Riemnn o integrble sobre [, b] si sup{l(f, P ) : P es un prtición de [, b]} = inf{u(f, P ) : P es un prtición de [, b]}. Definición 1.4. En cso de que f se integrble el número común de l definición nterior recibe el nombre de integrl de f sobre [, b] y se denot por b f. Si l función f es no negtiv, l integrl de f sobre [, b] represent el áre de l región pln limitd por el gráfico de f, el eje x y ls verticles x = y x = b. Tenemos que si f es continu en [, b], slvo en un cntidd finit de puntos, entonces f es integrble sobre [, b]. Además, pr funciones continus tenemos lo siguiente. Definición 1.5. Si P = {x, x 1,..., x k } es un prtición del intervlo [, b], l norm de P se define por P = mx{x i x i 1 : i = 1,..., k}. Teorem 1.6. Se f : [, b] R un función continu. Entonces pr cd ε > existe δ > tl que k f(c i )(x i x i 1 ) i=1 b f < ε pr tod prtición P = {x, x 1,... x k } de [, b] tl que P < δ y pr culquier conjunto de puntos {c i } tles que c i [x i 1, x i ]. Observción 1.7. El resultdo nterior se suele expresr de l siguiente mner: Si f es continu en [, b] entonces c i [x i 1, x i ]. b f = lim P k f(c i )(x i x i 1 ) i=1 Ls sums que precen en l fórmul nterior se conocen con el nombre de sums de Riemnn de f.

9 1. EL CASO DE UNA DIMENSIÓN. 3 Es muy importnte recordr el siguiente resultdo, que estblece un conexión entre el cálculo diferencil y el cálculo integrl, y que es summente útil en el momento de clculr integrles. Teorem 1.8 (Teorem fundmentl del cálculo). Si f es integrble sobre [, b] y f = g pr lgun función g, entonces b f = g(b) g(). Existe otr form equivlente de bordr l integrl de Riemnn, trvés del concepto de función esclond. Este el enfoque que utilizremos pr bordr ls integrles múltiples. Pr fcilitr l comprensión de ls integrles múltiples vmos dr un breve descripción de cómo se puede llegr l integrl de Riemnn unidimensionl trvés de ls funciones esclonds. Definición 1.9 (Función esclond). Sen, b R, < b y s : [, b] R un función. Se dice que s es un función esclond si existe un prtición P = {x o, x 1,..., x k } del intervlo [, b] tl que s es constnte en cd uno de los intervlos biertos que determin P, es decir, pr cd i = 1,..., k existe un número rel s i tl que s(x) = s i si x i 1 < x < x i. Definición 1.1 (Integrl de un función esclond). Si s : [, b] R es un función esclond y P = {x o, x 1,..., x k } es un prtición del intervlo [, b] tl que s(x) = s i si x i 1 < x < x i, se define l integrl de s sobre el intervlo [, b] por b k s(x) dx = s i (x i x i 1 ). i=1 Es clro que un función esclond s, se le pueden socir diferentes prticiones tles que s es constnte en cd uno de los intervlos biertos que ést determin. Como ejercicio, demostrr que l integrl de un función esclond está bien definid, es decir, demostrr que el vlor de l sum que prece en l definición nterior es independiente de l prtición escogid P, tl que s es constnte en cd uno de los intervlos biertos que determin P. Definición Se f : [, b] R un función cotd. L integrl superior de f se define por { b } I(f) = inf s(x) dx : s es un función esclond y s f.

10 4 1. INTEGRALES MÚLTIPLES. cso L integrl inferior de f se define por I(f) = sup{ b s(x) dx : s es un función esclond y s f}. Se puede probr que f es integrble Riemnn en [, b] si y sólo si I(f) = I(f) y en este b f(x) dx = I(f) = I(f). 2. Integrles dobles. Definición Se Q = [, b] [c, d] un rectángulo contenido en R 2. Se P un colección de subrectángulos de Q. Se dice que P es un prtición de Q si existen un prtición P 1 = {x,..., x N1 } de [, b] y un prtición P 2 = {y,..., y N2 } de [c, d] tles que P = { [x i 1, x i ] [y j 1, y j ] : 1 i N 1, 1 j N 2 }. El pr (P 1, P 2 ) lo usremos pr denotr P. Notr que si P 1 origin N 1 intervlos y P 2 origin N 2 intervlos entonces P contiene N 1 N 2 subrectángulos. y y 2 =d y 1 y o =c x o = x 1 x 2 x 3 =b x Figur 1.1. Prtición de [, b] [c, d] Integrl doble de un función esclond. Definición Se Q = [, b] [c, d] un rectángulo contenido en R 2 y se s : Q R un función. Se dice que s es un función esclond si existe un prtición P de Q tl que s es constnte en cd uno de los subrectángulos biertos de P.

11 2. INTEGRALES DOBLES. 5 z y x Figur 1.2. Gráfico de un función esclond. Se Q = [, b] [c, d] un rectángulo contenido en R 2 y se P = (P 1, P 2 ) un prtición de Q. Se s : Q R un función esclond, que es constnte en cd uno de los subrectángulos biertos de Q, es decir, si P 1 = {x,..., x N1 } y P 2 = {y,..., y N2 } entonces s(x, y) = c ij si (x, y) (x i 1, x i ) (y j 1, y j ), pr i = 1,..., N 1, j = 1,..., N 2. Definición 1.14 (Integrl doble de un función esclond). L integrl doble de s sobre Q es N 1 N 2 s = c ij (x i x i 1 ) (y j y j 1 ) Q i=1 j=1 Ejercicio Demostrr que l integrl doble de un función esclond está bien definid. Observción Notr que si s entonces l integrl doble de s sobre Q es el volumen del sólido limitdo por el gráfico de s y Q. Otr notción muy común pr s es Q Q s(x, y) dxdy,

12 6 1. INTEGRALES MÚLTIPLES. o tmbién Q s da. Se s como en l Definición 1.14 un función esclond y se Q ij = [x i 1, x i ] [y j 1, y j ], entonces Q ij s(x, y) dxdy = c ij (x i x i 1 ) (y j y j 1 ). Un cálculo directo muestr que xi ( yj ) Q ij s(x, y) dxdy = x i 1 s(x, y) dy y j 1 dx = yj y j 1 ( xi ) s(x, y) dx dy, x i 1 por l linelidd de l integrl unidimensionl, obtenemos el resultdo de Fubini pr integrles de funciones esclonds (1.1) s(x, y) dxdy = Q b ( d c ) s(x, y) dy dx = d c ( b ) s(x, y) dx dy. Ejercicio Se Q = [, b] [c, d] un rectángulo contenido en R 2. (1) Demostrr que si s 1 y s 2 son dos funciones esclonds en Q y c 1 y c 2 son dos constntes reles, entonces (c 1 s 1 (x, y) + c 2 s 2 (x, y)) dxdy = c 1 s 1 (x, y) dxdy + c 2 s 2 (x, y) dxdy. Q Q Q (2) Demostrr que si s es un función esclond en Q y se tiene que Q = Q 1 Q 2, donde Q 1 y Q 2 son rectángulos de ldos prlelos los ejes de coordends, tles que interior(q 1 ) interior(q 2 ) =, entonces s(x, y) dxdy = s(x, y) dxdy + Q 1 Q 2 Q 1 Q 2 s(x, y) dxdy. (3) Demostrr que si s y t son funciones esclonds en Q y s(x, y) t(x, y) pr todo (x, y) Q, entonces s(x, y) dxdy t(x, y) dxdy. Q Q

13 2. INTEGRALES DOBLES. 7 En prticulr, si t(x, y) pr todo (x, y) Q, entonces t(x, y) dxdy. Q 2.2. Integrl doble de un función cotd en un rectángulo. Se Q = [, b] [c, d] un rectángulo contenido en R 2 y se f : Q R un función cotd. Se M > tl que f(x, y) M si (x, y) Q. Sen s o, t o : Q R definids por s o (x, y) = M y t o (x, y) = M, tenemos que s o y t o son funciones esclonds y s o (x, y) f(x, y) t o (x, y) pr todo (x, y) Q. Definición L integrl superior de f sobre Q es I(f) = inf t(x, y) dxdy : t es un función esclond y f t. Q L integrl inferior de f sobre Q es I(f) = sup s(x, y) dxdy : s es un función esclond y s f. Q Definición Se Q = [, b] [c, d] un rectángulo contenido en R 2 y se f : Q R un función cotd. Se dice que f es integrble sobre Q si I(f) = I(f). Este vlor común se denomin l integrl doble de f sobre Q y se denot por f(x, y) dxdy, o simplemente por Q Q f. Ejercicio 1.2. Se Q = [, b] [c, d] un rectángulo contenido en R 2. Demostrr ls siguientes propieddes de l integrl.

14 8 1. INTEGRALES MÚLTIPLES. (1) Linelidd: Si f y g son dos funciones integrbles sobre Q y c 1 y c 2 son dos constntes reles, entonces c 1 f + c 2 g es integrble sobre Q y (c 1 f(x, y) + c 2 g(x, y)) dxdy = c 1 f(x, y) dxdy + c 2 g(x, y) dxdy. Q Q Q (2) Si f es un función integrble sobre Q y se tiene que Q = Q 1 Q 2, donde Q 1 y Q 2 son rectángulos de ldos prlelos los ejes de coordends, tles que interior(q 1 ) interior(q 2 ) =, entonces f es integrble sobre cd Q i, i = 1, 2 y f(x, y) dxdy = f(x, y) dxdy + Q 1 Q 2 Q 1 Q 2 f(x, y) dxdy. (3) Monotoní: Si f y g son funciones integrbles sobre Q y g(x, y) f(x, y) pr todo (x, y) Q, entonces g(x, y) dxdy f(x, y) dxdy. Q En prticulr, si f(x, y) pr todo (x, y) Q, entonces f(x, y) dxdy. Q 2.3. Cálculo de un integrl doble medinte integrción iterd. Teorem 1.21 (Fubini). Se Q = [, b] [c, d] un rectángulo y se f : Q R un función cotd, integrble sobre Q. Supongmos que: () Pr cd y [c, d] l función x f(x, y) de [, b] en R es integrble sobre [, b]. (b) L función y b f(x, y) dx de [c, d] en R es integrble sobre [c, d]. Entonces Q f(x, y) dxdy = d c Q ( b ) f(x, y) dx dy. Demostrción. Sen s y t dos funciones esclonds definids en Q tles que Entonces, pr y [c, d], b s(x, y) dx b s f t. f(x, y) dx b t(x, y) dx.

15 2. INTEGRALES DOBLES. 9 Luego d c ( b ) s(x, y) dx dy d c ( b ) f(x, y) dx dy d c ( b ) t(x, y) dx dy. Usndo el resultdo de Fubini pr integrles de funciones esclonds (ver l ecución (1.1)) tenemos que Q s(x, y) dxdy d c ( b ) f(x, y) dx dy Q t(x, y) dxdy. Hciendo vrir ls funciones esclonds, tenemos que el número que está en el centro de est desiguldd es un cot superior pr ls integrles que están l izquierd y es un cot inferior pr ls integrles que están l derech. Luego d ( b ) I(f) f(x, y) dx dy I(f). que c Por ser f integrble tenemos que I(f) = I(f). Usndo l definición de integrl tenemos Q f(x, y) dxdy = d c ( b ) f(x, y) dx dy. Observción Si en el Teorem nterior suponemos que () Pr cd x [, b] l función y f(x, y) de [c, d] en R es integrble sobre [c, d]. (b) L función x d f(x, y) dy de [, b] en R es integrble sobre [, b]. c Entonces, con un rgumento completmente nálogo, obtenemos b ( d ) f(x, y) dxdy = f(x, y) dy dx. Q El Teorem de Fubini tiene un interpretción geométric que dmos continución. Si f entonces Q es el volumen de l región limitd por el gráfico de f y el plno xy. Este volumen tmbién lo podemos obtener por integrción unidimensionl del áre de su sección trnsversl. En l figur A(x o ) = d c f c f(x o, y) dy.

16 1 1. INTEGRALES MÚLTIPLES. z Are = A(x o ) x o y x Figur 1.3. Observción L existenci de l integrl doble no grntiz l existenci de ls iterds y vicevers, ver ejercicios 8 y Condición suficiente de integrbilidd. En est sección vmos ver que si un función cotd es continu, slvo en un conjunto pequeño, entonces es integrble. Pr medir el tmño de un conjunto introducimos el siguiente concepto. Definición Se A un subconjunto cotdo del plno. Se dice que A tiene contenido bidimensionl nulo si pr cd ε > existe un conjunto finito de rectángulos {Q 1,..., Q N } de ldos prlelos los ejes tles que l sum de ls áres de los Q i es menor que ε y N A interior (Q i ). i=1 Ejercicio Demostrr ls siguientes firmciones. (1) Culquier subconjunto finito del plno tiene contenido bidimensionl nulo. (2) L unión de un fmili finit de conjuntos de contenido bidimensionl nulo tiene contenido bidimensionl nulo. (3) Todo subconjunto de un conjunto de contenido bidimensionl nulo tiene contenido bidimensionl nulo. (4) Todo segmento de rect tiene contenido nulo. (5) Se A R 2, demostrr que si pr cd ε > se tiene que existe un conjunto finito de rectángulos cotdos {Q 1,..., Q N } tles que l sum de ls áres de los Q i es

17 2. INTEGRALES DOBLES. 11 menor que ε y N A i=1 Q i entonces A tiene contenido bidimensionl nulo (es decir, no es necesrio suponer que los ldos de Q i son prlelos los ejes y podemos colocr Q i en vez de interior (Q i ) en l definición de contenido nulo). Teorem Se Q = [, b] [c, d] un rectángulo y se f : Q R un función cotd. Si el conjunto de ls discontinuiddes de f tiene contenido bidimensionl nulo entonces f es integrble sobre Q. Demostrción. Se M > tl que f(x) M pr todo x Q. Se D el conjunto de ls discontinuiddes de f. Se ε >. Como D tiene contenido bidimensionl nulo existe un colección finit de rectángulos de ε ldos prlelos los ejes, R 1,..., R N1 tles que l sum de sus áres es menor que 4M y El conjunto D N 1 i=1 C = Q \ interior (R i ). N 1 i=1 interior (R i ) es compcto y f es continu en C, luego f es uniformemente continu en C. Por lo tnto podemos dividir C en rectángulos R 1,..., R N 2 pr i = 1,..., N 2. tles que mx{f(x, y) : (x, y) R i} min{f(x, y) : (x, y) R i} < ε 2 áre (Q), Se P = {Q 1,... Q N } un prtición de Q tl que culquier rectángulo R i, 1 i N 1, ó R i, 1 i N 2 es unión de rectángulos pertenecientes P. Se (x, y) Q. Definimos ls funciones esclonds s y t en el punto (x, y) de l siguiente mner: Si (x, y) pertenece l rectángulo R i pr lgún i, entonces s(x, y) = m i = min{f(x, y) : (x, y) R i} y t(x, y) = M i = mx{f(x, y) : (x, y) R i}, en otro cso s(x, y) = M y t(x, y) = M.

18 12 1. INTEGRALES MÚLTIPLES. De l definición de s y t sigue que s(x, y) f(x, y) t(x, y) pr todo (x, y) Q. Q (t(x, y) s(x, y)) dxdy = donde s i y t i son los vlores respectivos de s y t en Q i. N (s i t i ) áre (Q i ), Si Q i es uno de los rectángulos contenido en lgún R 1,..., R N 2 En otro cso s i t i = 2M. en R 1,..., R N 2 s i t i < i=1 ε 2 áre (Q). tenemos que Por construcción l sum de ls áres de los rectángulos de P que no están contenidos ε es menor que, por lo tnto tenemos que 4M ( ) Q (t(x, y) s(x, y)) dxdy (áre (Q)) ε 2 áre (Q) + 2M ( ε ) 4M = ε. Luego f es integrble sobre Q. Ejemplo Verificr l existenci y clculr l siguiente integrl doble (x 2 + y) dxdy. [,1] [,1] Como el integrndo es un función continu, result ser integrble. Además como se cumplen ls hipótesis del teorem de Fubini tenemos que: 1 (x 2 + y) dx = x3 x=1 3 + yx = y, x= luego 1 1 (x 2 + y) dxdy = = 1 1 ( 1 = 1 3 y + y2 2 ) (x 2 + y) dx dy ( ) y dy y=1 y= = = 5 6.

19 2. INTEGRALES DOBLES Integrles dobles sobre conjuntos más generles. Teorem Se ϕ : [, b] R un función continu. Entonces el gráfico de ϕ tiene contenido bidimensionl nulo. Demostrción. Se A el gráfico de ϕ, es decir, A = {(x, y) R 2 : x b, y = ϕ(x)}. Se ε >. Por ser [, b] compcto, ϕ es uniformemente continu y por lo tnto existe un prtición P = {x o,..., x k } del intervlo [, b] tl que l oscilción de ϕ en cd uno de los intervlos de P es menor que ε/(b ). Pr i = 1,..., k sen M i = sup{ϕ(x) : x [x i 1, x i ]} y m i = inf{ϕ(x) : x [x i 1, x i ]}. Estos vlores son finitos porque ϕ es continu en los compctos [x i 1, x i ]. Además y Finlmente A k [x i 1, x i ] [m i, M i ] i=1 M i m i ( k ) áre [x i 1, x i ] [m i, M i ] = i=1 ε b. k (x i x i 1 ) (M i m i ) i=1 ε b k (x i x i 1 ) = ε. i=1 Sen S un subconjunto cotdo de R 2 y f : S R un función cotd. Se Q un rectángulo de ldos prlelos los ejes y cotdo tl que S Q. Se f : Q R l función definid por f(x, y) si (x, y) S, (1.2) f(x, y) = si (x, y) Q \ S. El conjunto de los puntos de discontinuidd de f está contenido en el conjunto de los puntos de discontinuidd de f unido con l fronter de S. Por lo tnto, si l fronter de S y el conjunto de los puntos de discontinuidd de f tienen contenido nulo, entonces f es integrble sobre Q.

20 14 1. INTEGRALES MÚLTIPLES. Definición Se S un subconjunto cotdo de R 2 tl que su fronter tiene contenido nulo. Se f : S R un función cotd, tl que el conjunto de los puntos de discontinuidd de f tiene contenido nulo. Sen Q y f como en (1.2), se define f(x, y) dxdy = f(x, y) dxdy. S Q Ejercicio 1.3. Demostrr que f(x, y) dxdy está bien definid, es decir, probr que no depende del rectángulo Q que contiene S. S Ejercicio Supongmos que S es un subconjunto de R 2. Se χ S l función crcterístic de S, es decir, 1 si x S, χ S (x) = si x / S. Demostrr que el conjunto de los puntos de discontinuidd de χ S es l fronter de S Tomndo en cuent lo nterior result muy nturl l siguiente definición. Definición Se S es un subconjunto cotdo de R 2 tl que su fronter tiene contenido bidimensionl nulo. El áre o contenido bidimensionl de S es l integrl doble de χ S, es decir, áre(s) = dxdy. Observción Notr que el áre de S es l integrl doble sobre S de l función constnte igul 1. S A continución vmos ver cómo clculr l integrl doble de un función, usndo integrción iterd, sobre regiones bstntes generles. Definición Un región del tipo I es un región de l form R 1 = {(x, y) R 2 : x b, ϕ 1 (x) y ϕ 2 (x)} donde ϕ 1 y ϕ 2 son funciones continus en [, b], tles que ϕ 1 ϕ 2.

21 2. INTEGRALES DOBLES. 15 y y = ϕ 2 (x) y = ϕ 1 (x) b x Figur 1.4. Región tipo I Del Teorem 1.28 sigue que l fronter de tod región del tipo I tiene contenido nulo. Supongmos que f es continu en l región del tipo I donde R 1 = {(x, y) R 2 : x b, ϕ 1 (x) y ϕ 2 (x)}. Si c = inf{ϕ 1 (x) : x b} y d = sup{ϕ 2 (x) : x b} entonces R 1 [, b] [c, d]. Luego R 1 f(x, y) dxdy = [,b] [c,d] f(x, y) dxdy, f(x, y) si (x, y) R 1, f(x, y) = si (x, y) [, b] [c, d] \ R 1. Por ser f continu tenemos que, pr cd x [, b], l función y f(x, y) es integrble sobre [c, d] y de l definición de f sigue que Por el Teorem de Fubini d c f(x, y) dy = R 1 f(x, y) dxdy = b ϕ2 (x) ϕ 1 (x) f(x, y) dy. ( ) ϕ2 (x) f(x, y) dy dx. ϕ 1 (x) Definición Un región del tipo II es un región de l form R 2 = {(x, y) R 2 : c y d, ψ 1 (y) x ψ 2 (y)} donde ψ 1 y ψ 2 son funciones continus en [c, d] tles que ψ 1 ψ 2.

22 16 1. INTEGRALES MÚLTIPLES. y c x = ψ 1 (y) x = ψ 2 (y) d x Figur 1.5. Región tipo II Al igul que ntes se puede mostrr que si f es continu en un región del tipo II R 2 = {(x, y) R 2 : c y d, ψ 1 (y) x ψ 2 (y)}, entonces f(x, y)dxdy = R 2 d ( ) ψ2 (y) f(x, y) dx dy. c ψ 1 (y) Finlmente, pr clculr un integrl sobre un región rbitrri, l descomponemos como un unión de regiones tipo I y tipo II. Ejemplo Cmbir el orden de integrción en l siguiente integrl 2 ( 4 ) f(x, y)dy dx. x 2 Tenemos que l región de integrción está dd por x 2, x 2 y 4. y 4 y=x 2 2 x Figur 1.6.

23 2. INTEGRALES DOBLES. 17 Otr mner de describir l región es y 4, x y, por lo tnto, l cmbir el orden de integrción obtenemos 4 ( y ) f(x, y)dx dy. Ejemplo Se R l región {(x, y) R 2 : 1 x 2 + y 2 4}. Escribiremos fda en términos de integrles iterds. R y x Figur 1.7. R f(x, y)dxdy = ( ) 4 x 2 f(x, y) dy dx + 4 x 2 ( ) 1 x 2 f(x, y) dy dx x ( ) 4 x 2 f(x, y) dy dx 1 x 2 ( ) 4 x 2 f(x, y) dy dx 4 x 2 Ejemplo Clculr el volumen del sólido limitdo por el elipsoide x y2 b 2 + z2 c 2 = 1. El elipsoide es l región comprendid entre los gráficos de ls funciones f 1 (x, y) = c 1 x2 y2 y f 2 b 2 2 (x, y) = c 1 x2 y2 2 b, 2

24 18 1. INTEGRALES MÚLTIPLES. pr (x, y) S, donde S = {(x, y) R 2 : x2 + y2 2 b 1}. 2 Por lo tnto, denotndo por V l volumen del sólido, tenemos que V = (f 1 (x, y) f 2 (x, y)) dxdy. Tomdo en cuent ls simetrís del sólido tenemos que V = 8c 1 x2 y2 2 b dxdy, 2 S S 1 donde Por lo tnto S 1 = {(x, y) R 2 : x, y, x2 2 + y2 b 2 1}. V = 8c b 1 x2 2 1 x2 y2 2 b dy dx. 2 Como ejercicio, verificr que l integrl nterior es igul 4 3 πbc. 3. Integrles múltiples El concepto de integrl puede extenderse del espcio bidimensionl R 2 l espcio n- dimensionl R n. Ls definiciones, el trtmiento y los resultdos son completmente nálogos. Desrrollremos el concepto de integrl múltiple pr n 3. Dd l nlogí menciond omitiremos lguns pruebs y detlles. Definición Se Q = [ 1, b 1 ]... [ n, b n ] R n un prlelepípedo rectngulr. Se P un colección de prlelepípedos contenidos en Q. Se dice que P es un prtición de Q si existen prticiones P k = {x k, x k 1,..., x k N k } de [ k, b k ] tles que P = { [x 1 i 1 1, x 1 i 1 ] [x n i n 1, x n i n ] : 1 i 1 N 1,..., 1 i n N n }. (P 1,..., P n ) denotrá l prtición P. Notr que si P k const de N k puntos entonces P contiene N 1 N n subprlelepípedos.

25 3. INTEGRALES MÚLTIPLES Integrl múltiple de un función esclond. Definición 1.4. Se Q = [ 1, b 1 ]... [ n, b n ] R n un prlelepípedo rectngulr y se s : Q R un función. Se dice que s es un función esclond si existe un prtición P de Q tl que s es constnte en cd uno de los subprlelepípedos biertos de P. Definición Se Q = [ 1, b 1 ]... [ n, b n ] R n un prlelepípedo rectngulr. El volumen n-dimensionl o contenido n-dimensionl de Q es Vol(Q) = (b 1 1 ) (b n n ). Supongmos que Q = [ 1, b 1 ]... [ n, b n ] R n es un prlelepípedo rectngulr y que s : Q R un función esclond. Se P = {Q i1...i n, i 1 = 1,..., N 1,..., i n = 1,..., N n } un prtición de Q tl que en int(q i1...i n ) s(x 1,..., x n ) = c i1...i n Definición 1.42 (Integrl múltiple de un función esclond). L integrl múltiple, o simplemente, l integrl de s sobre Q es Q s dv = Q N 1 s(x 1,..., x n ) dx 1... dx n = i 1 =1 N n i n =1 c i1...i n Vol(Q i1...i n ). Al igul que en el cso bidimensionl tenemos que, si s es un función esclond, entonces (1.3) Q s dv = bj1 j1 (... bjn j n ) s(x 1,..., x n ) dx jn... dx j1. donde (j 1,..., j n ) es un permutción de (1,..., n). Tmbién se cumplen los nálogos de ls propieddes estblecids en el Ejercicio Integrl múltiple de un función cotd en un rectángulo. Se Q = [ 1, b 1 ]... [ n, b n ] R n un prlelepípedo rectngulr y se f : Q R un función cotd.

26 2 1. INTEGRALES MÚLTIPLES. Definición L integrl superior de f sobre Q es I(f) = inf t dv : t es un función esclond y f t. Q L integrl inferior de f sobre Q es I(f) = sup s dv : s es un función esclond y s f. Q Definición Se f : Q R un función cotd, se dice que f es integrble sobre Q si I(f) = I(f). Este vlor común se denomin l integrl múltiple, o simplemente, l integrl de f sobre Q y se denot por f(x 1,..., x n ) dx 1... dx n, o simplemente por Q f dv. Q L siguiente notción f( x) d x, pr l integrl múltiple tmbién es común y conveniente en lgunos csos. Q Ls propieddes estblecids en el Ejercicio 1.2 tmbién vlen pr integrles múltiples. 4. Cálculo de un integrl múltiple medinte integrción iterd. Teorem 1.45 (Fubini). Se Q = I 1... I n R n un prlelepípedo rectngulr, donde I k = [ k, b k ] es un intervlo cotdo y se f : Q R un función integrble sobre Q. Sen p y q enteros positivos tles que p + q = n. Sen Q 1 = I 1... I p y Q 2 = I p+1... I n. Supongmos que: () Pr cd u Q 1 l función v f( u, v) de Q 2 en R es integrble.

27 4. CÁLCULO DE UNA INTEGRAL MÚLTIPLE MEDIANTE INTEGRACIÓN ITERADA. 21 (b) L función u Q 2 f( u, v) d v de Q 1 en R es integrble sobre Q 1. Entonces f( x) d x = f( u, v) d v d u. Q Q 1 Q 2 L demostrción de este resultdo es completmente nálog l del Teorem 1.21 y l dejremos como ejercicio. Aplicndo sucesivmente el resultdo nterior obtenemos. Corolrio Se Q = I 1... I n R n un prlelepípedo rectngulr, donde I k = [ k, b k ] es un intervlo cotdo y se f : Q R un función integrble en Q. Se (j 1, j 2,,j n ) un permutción de (1,..., n). Supongmos que ls siguientes integrles iterds están definids bj1 f(x 1,..., x n ) dx j1, j1 ( bj1 bj2 j2 bjn j n. ( j1... f(x 1,..., x n ) dx j1 bj2 j2 ) dx j2, ( ) ) bj1 f(x 1,..., x n ) dx j1 dx j2... dx jn. j1 Entonces Q fdv = bjn j n (... bj2 ( ) ) bj1 f(x 1,..., x n ) dx j1 dx j2... dx jn. j2 j1 Observción Si tenemos un función integrble como en el corolrio nterior y ls integrles iterds de f existen en dos órdenes diferentes, entonces ests dos integrles iterds son igules l integrl de f sobre Q. En prticulr, cundo f es integrble y ls integrles iterds existen en todos los órdenes posibles, tods ests integrles nos dn el mismo vlor. Otr notción común pr ls integrles iterds es l siguiente:

28 22 1. INTEGRALES MÚLTIPLES. En vez de escribir bjn j n (... bj2 ( ) ) bj1 f(x 1,..., x n ) dx j1 dx j2... dx jn, j2 j1 se suele escribir bj n jn dx jn (... bj2 j2 dx j2 ( bj1 j1 dx j1 f(x 1,..., x n ) ) ) Condiciones de integrbilidd Al igul que en el cso bidimensionl, si un función cotd es continu, slvo en un conjunto pequeño, entonces es integrble. Pr medir el tmño de un conjunto en R n generlizremos, de mner nturl, el concepto de contenido nulo. Cundo hblemos de prlelepípedo rectngulr en R n supondremos que se trt de un conjunto de l form [ 1, b 1 ] [ n, b n ], es decir, supondremos que sus crs son prlels los espcios coordendos. Definición Se A un subconjunto cotdo de R n. Se dice que A tiene contenido n-dimensionl nulo si pr cd ε > existe un conjunto finito de prlelepípedos rectngulres {Q 1,..., Q N } tles que l sum de los contenidos n-dimensionles de los Q i es menor que ε y demás N A interior (Q i ). i=1 Ejercicio Demostrr ls siguientes firmciones. (1) Culquier subconjunto finito de R n tiene contenido n-dimensionl nulo. (2) L unión de un fmili finit de conjuntos de contenido n-dimensionl nulo tiene contenido n-dimensionl nulo. (3) Todo subconjunto de un conjunto de contenido n-dimensionl nulo tiene contenido n-dimensionl nulo. (4) Todo subconjunto cotdo de R n contenido en un subespcio fín de dimensión menor que n tiene contenido n-dimensionl nulo.

29 5. CONDICIONES DE INTEGRABILIDAD 23 (5) Se A R n, demostrr que si pr cd ε > existe un conjunto finito de prlelepípedos rectngulres {Q 1,..., Q N } tles que l sum de ls contenidos n- dimensionles de los Q i es menor que ε y N A i=1 Q i entonces A tiene contenido n-dimensionl nulo (es decir, podemos colocr Q i en vez de interior (Q i ) en l definición de contenido nulo). De mner completmente nálog como se demostrron los Teorems 1.26 y 1.28 se pruebn los siguientes resultdos. Los detlles se los dejmos l lector. Teorem 1.5. Sen Q R n un prlelepípedo rectngulr cotdo y ϕ : Q R un función continu. Entonces el gráfico de ϕ tiene contenido nulo en R n+1. Teorem Se Q R n un prlelepípedo rectngulr cotdo y se f : Q R un función cotd. Si el conjunto de ls discontinuiddes de f tiene contenido n-dimensionl nulo en R n entonces f es integrble en Q. Ejercicio Se Q R n un prlelepípedo rectngulr y se f : Q R un función cotd. Se P un prtición de Q. Definir U(f, P ), l sum superior pr f con respecto l prtición P y definir L(f, P ), l sum inferior pr f con respecto l prtición P. Demostrr los siguientes resultdos (clrr bien el significdo de l notción en el segundo). Teorem 1.53 (Condición de Riemnn). Se Q R n un prlelepípedo rectngulr y f : Q R un función cotd. Entonces f es integrble sobre Q si y sólo si pr cd ε > existe un prtición P de Q tl que U(f, P ) L(f, P ) < ε. Teorem Se Q R n f : Q R un función continu entonces () f es integrble. (b) Si c i1...i n Q i1...i n, l integrl de f en Q es: N 1 fdv = lim... Q P 1,..., P n i 1 =1 un prlelepípedo rectngulr cerrdo y cotdo, se N n i n=1 f( c i1...i n )Vol (Q i1...i n ).