Introducción a MATLAB

Transcripción

1 Introducción a MATLAB J.M. González de Durana Dpto. de Ingeniería de Sistemas y Automática EUITI e ITT, UPV-EHU VITORIA-GASTEIZ 26 de enero de 2004

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3 Capítulo 1 Los primeros pasos en Matlab 1.1 Características Matlab es un paquete de software orientado hacia el cálculo numérico científico e ingenieril. Integra cálculo numérico, computación de matrices y gráficos en un entorno de trabajo cómodo para el usuario. Su nombre significa Laboratorio de Matrices y fue escrito inicialmente en base a los ya existentes paquetes de cálculo matricial LINPACK y EIS- PACK. Posteriormente se han añadido librerías, denominadas Toolboxes, especializadas en diferentes áreas científicas. De entre ellas podemos destacar Simulink Toolbox Control System Toolbox System Identification Toolbox Robust Conntrol Toolbox Signal Processing Toolbox Filter Design Toolbox Symbolic Math Toolbox por su particular interés para nuestra área de conocimiento. La última de la lista, Symbolic Math Toolbox, está basada en el programa de cálculo simbólico Maple y utiliza una sintaxis diferente. Matlab ha evolucionado y crecido con las aportaciones de muchos usuarios. En entornos universitarios se ha convertido, junto con Mathematica y Maple, en una herramienta instructora básica para cursos de matemáticas aplicadas así como para cursos avanzados en otras áreas. En entornos industriales se utiliza para investigar y resolver problemas prácticos y cálculos de ingeniería. Son aplicaciones típicas el cálculo numérico, la realización de algoritmos, la resolución de problemas con formulación matricial, la estadística, la optimización, etc. Es de destacar la aplicación en el estudio, simulación y diseño de los sistemas dinámicos y de control. 3

4 4 CAPÍTULO 1. LOS PRIMEROS PASOS EN MATLAB 1.2 Funcionamiento Matlab es un programa intérprete de comandos. Esto quiere decir que es capaz de procesar de modo secuencial una serie de comandos previamente definidos, obteniendo de forma inmediata los resultados. Los comandos pueden estar ya definidos en el propio Matlab y pueden también ser definidos por el usuario. Para que Matlab pueda realizar este proceso el usuario ha de escribir la lista de comandos en la ventana de comandos, si su número es reducido, o en un fichero con extensión.m, constituyendo entonces un programa. El método que debe seguirse para procesar los datos es muy simple: 1. El usuario escribe expresiones en la ventana de comandos, o bien en un archivo de texto apropiado (archivo.m). 2. Tras la orden de ejecución enter (o escribir el nombre del fichero), Matlab procesa la información. 3. Matlab Escribe los resultados en la ventana de comandos y los gráficos (si los hubiere) en otras ventanas gráficas. 1.3 Sintaxis Para escribir las expresiones es preciso respetar ciertas reglas sintácticas propias de Matlab. Algunas se parecen bastante a las de otros lenguajes de programación por lo que no resultan extrañas Expresiones algebraicas Están formadas por cadenas de caracteres, números y operadores algebraicos. Las cadenas de caracteres pueden ser símbolos de variables (matrices) o funciones de Matlab. Las mayúsculas y minúsculas son distintas. Podemos distinguir dos tipos de expresiones: numéricas (propias de Matlab) y simbólicas (propias de Maple). Una expresión numérica puede conterner símbolos (nombres de variables) pero éstos han de estar previamente asignadas a valores numéricos. Las expresiones >> a = 2; b = 3; >> a + b son numéricas; el valor de a + b es hallado y mostrado por Matlab inmediatamente: ans = 5. Sin embargo, una expresión simbólica puede contener símbolos sin valor numérico asignado. Si escribimos >> syms x >> p = 2*x^2-7; la segunda expresión representa un polinomio en la indeterminada x. El valor de p para x = 1 se puede obtener con >> subs(p,x,1) que dará como resultado: ans = 5.

5 1.3. SINTAXIS Operadores Hay operadores para números (reales o complejos) y para matrices. Para números: + - * / ^ Números complejos: Está definida la unidad imaginaria, 1, que se denota indistintamente por los símbolos i y j Para matrices: + - * / \ ^ Para matrices elemento por elemento:.+.-.*./.^ Los operadores para números se colocan entre dos números y dan como resultado otro número. Por ejemplo o a + b, si a y b han sido asignadas previamente a números. Los operadores para matrices se colocan entre dos matrices y dan como resultado otra matriz. Los operadores de relación son para números reales, se colocan entre dos números y dan como resultado 1, que significa cierto, o 0, que significa falso. El significado de todos ellos resulta obvio, si bien conviene aclarar que el operador == significa igual, en el sentido de condición (por ejemplo a==b puede ser cierto o falso), y es diferente del operador = que sirve para asignar un valor a una variable (por ejemplo a=3) significa dar a la variable a el valor de 3. El operador ~= significa distinto, también en el sentido de condición. Los operadores de condición se utilizan, sobre todo, en las estructuras de programación if-then-else, for, y while. Para delimitar las matrices se utilizan los corchetes [ ]. Para separar elementos consecutivos, el espacio en blanco (barra espaciadora) o la coma, y para pasar de fila, la tecla enter o el punto y coma ;. La traspuesta conjugada de una matriz de números complejos A se representa por A. Otros operadores, para usos varios, son Ayudas al usuario: Operaciones lógicas: who, help,!, save, load & (AND),! (OR), ~ (NOT) Funciones elementales Matlab dispone de las funciones elementales más comunes (las que tienen las calculadoras de bolsillo) y otras especiales, propias. Realizan una operación sobre un argumento numérico dado de tipo matriz y operan elemento por elemento. Las más usuales son: Trigonométricas: sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, asinh, acosh, atanh. Lógicas: any, all, find, exist, isnan, finite, isempty, isstr, strcomp. Otras: abs, angle, sqrt, real, imag, conj, round, fix, floor, ceil, sign, rem, exp, log, log10. Especiales: bessel, gamma, rat, ert, invertf, ellipk, ellipj.

6 6 CAPÍTULO 1. LOS PRIMEROS PASOS EN MATLAB 1.4 Desarrollo de una sesión Los manuales de Matlab explican detalladamente los conceptos, comandos y procedimientos del programa. Aquí vamos realizar una introducción a su manejo mediante algunos ejemplos. Es conveniente que los alumnos realicen por su cuenta otros parecidos y traten de utilizar Matlab para resolver problemas de Matemáticas, Física y otras asignaturas. La instalación se realiza automáticamente con el CD de Matlab. Una vez instalado el programa, al picar con el ratón en el icono de MATLAB aparece en la pantalla la ventana: Esta ventana se llama MATLAB command window y es en la que el usuario opera. En la primera línea aparecen las opciones disponibles Comandos de Utilidad Los comandos demo, help, who, whos, dir, diary y algunos otros, resultan muy útiles pera el usuario en el desarrollo de la sesión. El comando demo nos muestra, de modo interactivo, un amplio abanico de ejemplos de aplicación de Matlab y es de gran ayuda durante nuestros inicios con el programa. El comando help función_deseada muestra en la pantalla un texto explicando cómo se utiliza. Por ejemplo, >> help poly POLY Characteristic polynomial. If A is an N by N matrix, POLY(A) is a row vector with N+1 elements which are the coefficients of the characteristic polynomial, DET(lambda*EYE(A) - A). If V is a vector, POLY(V) is a vector whose elements are the coefficients of the polynomial whose roots are the elements of V. For vectors, ROOTS and POLY are inverse functions of each other, up to ordering, scaling, and roundoff error.

7 1.5. OPERACIONES NUMÉRICAS 7 ROOTS(POLY(1:20)) generates Wilkinson s famous example. See also ROOTS, POLYVAL. muestra en la pantalla la ayuda sobre el polinomio característico de una matriz. El uso de la ayuda es muy conveniente, sobre todo en el período de aprendizaje. Los comandos who y whos dan una lista de las variables que están actualmente en la memoria (workspace de Matlab. El comando dir, igual que el de DOS, lista el directorio actual. El comando diary sirve para que todo lo que vamos tecleando y los resultados obtenidos (incluidos los errores) se almacene en un archivo. Para ello debemos escribir, en el instante a partir del cual queremos grabar la sesión >> diary dia12 en donde dia12 es el nombre del archivo en el que queremos que se escriba. Para terminar el proceso de grabación hemos de teclear >> diary off El uso de la ayuda es muy conveniente, sobre todo en el período de aprendizaje. 1.5 Operaciones numéricas Matlab puede operar como una calculadora: si el usuario escribe las órdenes apropiadas, los resultados aparecen en la ventana de comandos (Command Window). Obsérvese que si ponemos ; al final de la expresión el resultado no se escribe en la pantalla. Es capaz de realizar las operaciones aritméticas suma, resta, multiplicación, división y potenciación, con números (reales y complejos), con vectores (polinomios) y con matrices. Además, mediante la librería Symbolic Math Toolbox, puede también operar con expresiones simbólicas Operaciones aritméticas Las operaciones aritméticas con números son, quizás, las más sencillas que pueden efectuarse. Para ilustrar su realización, a continuación se muestran una serie de líneas que comienzan por >>, indicativo (o prompt) de la pantalla de comandos en una sesión de Matlab, seguido de una orden y del resultado que aparecería inmediatamente en la pantalla si se ejecutara. >> a = 4 a = 4 >> b = 5 + a b = 9 >> c = a^2 + b^2 c = 97 >> sin (30*pi/180) ans = 1/2

8 8 CAPÍTULO 1. LOS PRIMEROS PASOS EN MATLAB Si el usuario no ha asignado el resultado a una variable, Matlab lo hace utilizando la variable ans Números complejos La forma de operar con números complejos es igual que para los reales. >> a=1; b=2; c=3; >> x1=(-b+sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a) x1 = i >> x2=(-b-sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a) x2 = i >> a*x1^2+b*x1+c ans = 0 >> c1=1+2*i c1 = i >> c2=1-2*i c2 = i Paso rectangulares polares: >> M=abs(c1) M = >> alpha=angle(c1) alpha = >> alpha_grados=alpha*180/pi alpha_grados = >> M*cos(alpha) ans = 1 >> M*sin(alpha) ans = 2 Podemos comprobar el resultado con las órdenes real(c1), imag(c1) Operaciones con vectores MATLAB no precisa una notación especial para vectores. Vamos a hacer algunas operaciones sencillas con vectores.

9 1.5. OPERACIONES NUMÉRICAS 9 >> a = [ ] a = >> b = a + 2 b = >> c = a + b c = >> d = a.* b c = Los vectores, por defecto, son vectores fila. Operaciones con polinomios Los polinomios se representan en Matlab como vectores fila. Por ejemplo, el polinomio 3s 3 5s 2 + 7s + 3 se representa por >> p=[ ] Las raíces de un polinomio se hallan mediante la función roots: >> r=roots(p) El producto de dos polinomios se realiza a través de la convolución de los vectores de sus coeficientes, mediante la función conv. Por ejemplo, >> p1=[ ]; >> p2=[ ]; >> p=conv(p1,p2); Para la división se usa la deconvolución. Mediante la función deconv se obtiene el cociente q y el resto r de la división. >> [c,r]=deconv(p,p1); La función polyval sirve para hallar el valor de un polinomio. Si el parámetro que le pasamos es un vector, calcula otro vector con los valores del polinomio para cada uno de los del vector. La función polyfit sirve para hacer ajustes polinómicos de una secuencia de datos dada por dos vectores X e Y. Se puede elegir el grado del polinomio. En el siguiente ejemplo se utilizan estas dos funciones: >> x=[0:10]; >> y=rand(x); >> plot(x,y) >> p=polyfit(x,y,3); % Elegimos grado 3 >> z=polyval(p,x); >> hold >> plot(x,z)

10 10 CAPÍTULO 1. LOS PRIMEROS PASOS EN MATLAB Citaremos por último la función residue que sirve para hallar los residuos de una función racional en los polos de la misma (o coeficientes de su expansión en fracciones simples), bajo el supuesto de que los polos sean simples. Además, dicha función calcula también los polos y el término directo. >> B = [ ]; >> A = [ ]; >> [r,p,k] = residue(b,a); Operaciones con matrices Veamos cómo se efectúan algunas de las operaciones más comunes con matrices: Introducir una matriz A: >> A = [1 2 3;4 5 6;7 8 0] Cálculo de la transpuesta: >> B = A Producto matricial: >> C = A * B Determinante: >> det(a) Rango de la matriz: >> rank(a) Número de condición: >> cond(a) Matriz inversa: >> inv(a) Valores propios y vectores propios: >> [val,vec]=eig(a) Valores singulares: >> svd(a) Exponenciación matricial (e A ): >> expm(a) Polinomio característico: >> p = poly(a) Las raíces de p, roots(p), deben ser los valores propios de A, eig(a).

11 1.6. OPERACIONES SIMBÓLICAS Operaciones simbólicas La librería Symbolic Math Toolbox da acceso a Matlab a algunas funciones del núcleo de Maple que permiten operar con expresiones simbólicas Operaciones aritméticas En las primeras versiones de la librería Symbolic Math Toolbox era necesario emplear los comandos especiales symadd, symsub, symmul, symdiv y sympow para las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y potenciación, respectivamente, de expresiones simbólicas. Afortunadamente, esto ya no es necesario y se pueden usar para ello los operadores numéricos +, -, +, *, / y ^, siempre y cuando las variables simbólicas se hayan declarado previamente con sym() o syms. Si ponemos >> syms a b p x >> a = x^3+3*x^2-2*x+7; >> b = x^2+x+3; >> p = a * b p = (x^3+3*x^2-2*x+7)*(x^2+x+3) obtenemos el polinomio producto en forma factorizada. Si lo queremos ver forma expandida, pondremos >> expand(p) ans = x^5+4*x^4+4*x^3+14*x^2+x+21 Las demás operaciones simbólicas se efectúan de modo similar Sustitución de variables La sustitución de un símbolo por otro en una expresión simbólica se puede realizar con la orden subs. La forma de hacerlo es subs(expr, old, new), en donde expr es una expresión simbólica, old es el símbolo (o valor) que se desea sustituir y new es el nuevo símbolo o valor. Supongamos que en el polinomio f = ax 2 + bx + c queremos sustituir x por -1. Para ello, si escribimos >> syms x a b c >> f = a*x^2 + b*x + c; >> g = subs(f,x,-1) entonces sale g = a - b + c Se pueden también sustituir varias variables a la vez. Si en el mismo polinomio de antes quisiéramos sustituir a por 1, b por 2 y c por k, podemos poner

12 12 CAPÍTULO 1. LOS PRIMEROS PASOS EN MATLAB >> syms x a b c k >> f = a*x^2 + b*x + c; >> g = subs(f,[a,b,c],[1,2,k]) y obtendremos g = x^2+2*x+k Numerador y denominador En una expresión simbólica racional suele interesar conocer el numerador y el denominador de la misma. Para esto tenemos la orden numden. Si, por ejemplo, nos dan la expresión h = x x 1 + x x 1, podemos hallar el denominador y el denominador de la misma con >> x=sym( x ) >> h = (x^2+1)/(2x-1) + x/(x-1); >> [n,d] = numden(h) n = x^3+x^2-1 d = (2*x-1)*(x-1) Conversión de polinomios Las órdenes poly2sym y sym2poly sirven, respectivamente, para convertir un polinomio expresado en forma numérica (vector de coeficientes) en su expresión simbólica, y viceversa. El siguiente ejemplo ilustrará su utilización. >> syms x >> p = [ ] >> px = poly2sym(p,x) px = x^4+2*x^3+3*x^2+4*x+5 >> sym2poly(px) ans = Gráficos Matlab tiene una buena colección de comandos para obtener representaciones gráficas a partir de datos numéricos y también algunos para expresiones simbólicas.

13 1.7. GRÁFICOS Gráficos en 2D En las aplicaciones interesa a veces conocer el valor numérico de una función y = f(x) para uno o varios valores de la variable. En Matlab, dada una función y = f(x), definida en un intervalo [a, b], es posible representarla por un par (x,y) de vectores de números, tales que el vector x contiene un conjunto finito de valores de x y el vector y contiene el conjunto de valores imágenes de x por la función y, calculados por el propio Matlab. Una vez representada de este modo la función, se puede representar gráficamente. Por ejemplo, dada la función y = 10(1 e x/3 sin(10x)), definida en el intervalo [0, 10], una posible representación en Matlab, seguida de su representación gráfica, sería >> x=[0:0.1:10]; >> y=10*(1-exp(-x/3).*sin(10*x)); >> plot(x,y),title( Gráfica de una función ) 20 Gráfica de una función La gráfica corresponde a una función sinusoidal amortiguada más una constante Gráficos en 3D Las funciones de dos variables, de la forma f(x, y) se pueden representar gráficamente con Matlab en 3D. Para ello es preciso crear un dominio de puntos en forma de malla rectangular en el plano (x, y), dentro del cual se desea representar la función. Esto se hace con la orden meshgrid (antes meshdom) de Matlab. Veámoslo con un ejemplo. Sea la función z : R 2 R, z = 1 x 2 y 2, cuyo dominio es el círculo x 2 + y 2 < 1, y supongamos que queremos calcular los valores de z en una región rectangular del plano (x, y) definida por los puntos (-1.25,-1.25) y (1.25,1.25), y representarla gráficamente. Para ello escribiremos:

14 14 CAPÍTULO 1. LOS PRIMEROS PASOS EN MATLAB >> [x,y] = meshgrid(-1.25:0.2:1.25,-1.25:0.2:1.25); >> z = sqrt(1 - x.^2 - y.^2); >> mesh(z) y en la pantalla aparecerá el gráfico Ficheros-m Matlab está dotado de un mecanismo que le permite interpretar ficheros de texto, con la condición de que su nombre termine por.m. Se utilizan principalmente para crear funciones (en el sentido matemático), programas y funciones (órdenes) de Matlab Funciones-función Mediante ficheros-m podemos crear funciones en el sentido matemático: f : x f(x) La denominación que da Matlab a estas funciones es funciones-función (function functions). Estas funciones permiten realizar integración numérica, resolver ecuaciones no lineales, problemas de optimización y resolver ecuaciones diferenciales. Veamos un par de ejemplos. Dentro del editor definimos la función f 1(x) function y=f1(x) y=1./ ((x-0.3).^2+0.01) + 1./((x-0.9).^2+0.04)-6; Una vez salvado el fichero podemos calcular la función en un intervalo y dibujarla.

15 1.8. FICHEROS-M 15 >> x=[-1:0.1:2]; >> y=f1(x); >> plot(x,y); 100 Función y=f1(x) Es posible hallar los valores máximo y mínimo de la función en un intervalo: >> xmin = fmin( f1,0.5,1); xmin = >> ymin=f1(xmin); ymin = Otro ejemplo puede ser representar la función f = 1 1 x + 1 y utilizada en Optica. Para ello creamos el fichero lente.m con la definición de la función. Escribimos function z=lente(x,y) z = 1./ (1./ x + 1./ y); grabamos el fichero, con el nombre lente.m, y ya podemos utilizar la función y representarla gráficamente.

16 16 CAPÍTULO 1. LOS PRIMEROS PASOS EN MATLAB >> x=[-1:0.05:1]; >> y=x; >> [xx,yy]=meshdom(x,y); z=lente(xx,yy); atgz=atan(z); mesh(atgz,[60 60]) title( Función lente. f= 1/(1/x + 1/y) ) Función de dos variables Podemos asimismo hallar el valor mínimo en un intervalo: >> xmin=fmin( f1,0.5,1) >> ymin=f1(ymin) Programación Para evitar teclear repetidamente las mismas funciones, Matlab permite crear un fichero con una lista de comandos que luego, al ser llamado, interpreta secuencialmente. Dispone, como otros lenguajes de programación, de las estructuras if-then-else, while y for. El archivo en el que se escriben las órdenes de Matlab (programa) ha de tener la extensión.m y se puede escribir con cualquier editor de texto. Para ejecutar el programa, simplemente ponemos su nombre >> nombre-fichero el mismo nombre que hayamos puesto antes (pero sin.m). En un fichero-m podemos colocar simplemente una lista de instrucciones de Matlab con lo que al llamarlo se ejecutarán secuencialmente. Matlab tiene un lenguaje de programación propio, de tipo intérprete. Es decir, es capaz de interpretar una lista de instrucciones contenidas en un fichero-m. Igual que

17 1.8. FICHEROS-M 17 otros lenguajes de programación, dispone de las estructuras de programación clásicas: if-then-else, for, y while. Estructura if-then-else La sintaxis de la estructura if-then-else es if condición1 orden1a orden2a elseif condición2 orden1b orden2b else orden n end en donde orden1*, orden2*,..., son órdenes y condición1, condición2,..., estamentos condicionales o booleanos de Matlab. Puede observarse que no se pone la palabra then. Veamos un ejemplo. if i==j A(i,j) = 2; elseif abs(i-j) == 1 A(i,j) = -1; else A(i,j) = 0; end Estructura for La sintaxis de la estructura for es for variable=expression orden1a orden2a end en donde orden1*, orden2*,..., son órdenes de Matlab. Por ejemplo, A = zeros(3,4) for i=[1:4] for j=[1:4] A(i,j) = i+j;

18 18 CAPÍTULO 1. LOS PRIMEROS PASOS EN MATLAB end end Puede haber, como en este ejemplo, varios bucles for anidados. Estructura while La sintaxis de la estructura while es while condición orden1a orden2a end en donde orden1a, orden2a,..., son órdenes y condición es un estamento condicional o booleano de Matlab. Como ejemplo, podríamos poner n = 0; eps=1; while 1+eps > 1 eps = eps/2; n = n+1; end

19 Capítulo 2 Simulink 2.1 Inicio Un diagrama de bloques es un modelo gráfico que representa el modelo matemático de un determinado sistema dinámico. Simulink es una librería (toolbox) de Matlab que permite representar el diagrama de bloques de un sistema y a continuación proceder a su simulación. El programa se inicia escribiendo simulink en la pantalla de comandos de Matlab o también pulsando con el ratón en el icono coloreado de Simulink que aparece en la ventana de comandos de Matlab. Con ello se abre una ventana titulada Simulink Library Browser que contiene la librería Simulink y otras que son, digamos, complementarias. Al pulsar sobre el signo + que precede a su nombre, aparece una nueva lista y entonces en la pantalla veremos: Simulink Countinous Discrete Math Operations Signal Routing Sinks Sources. + Dials & Gauges Blockset + Stateflow. Los elementos de la lista de Simulink son los esenciales para construir diagramas de bloques. El resto son librerías adicionales especializadas áreas específicas de control, en formas avanzadas de simulación, etc. 19

20 20 CAPÍTULO 2. SIMULINK 2.2 Creación y simulación de un modelo Para aprender a manejar Simulink comenzaremos realizando el modelo de un sistema de control simple. Dado el diagrama de bloques de un sistema de control, U(s) + - K G(s) Y (s) H(s) en donde K = 5, G(s) = s + 1 2s + 1, H(s) = s s + 1 y suponiendo que la entrada es una función de tipo escalón unitario, queremos realizar la simulación del mismo con Simulink. La construcción del modelo es muy sencilla. En primer lugar hemos de abrir una ventana para hacer el dibujo. Esto se hace picando con el ratón en primer el icono de la izquierda (hoja en blanco) de la ventana de Simulink o también seleccionando con el ratón File New Model, en la misma. A continuación iremos colocando en esta ventana los bloques del diagrama, para lo cual hemos de buscarlos en las librerías de Simulink. Veamos dónde se encuentran en este caso. Para los bloques G(s) y H(s), funciones de transferencia, utilizaremos el elemento Transfer Fcn que se encuentra en la librería Continuous de Simulink. Una vez encontrado el bloque, lo arrastramos con el ratón a la ventana de dibujo. Como necesitamos dos elementos, repetiremos la misma acción de nuevo. También es posible efectuar una copia del elemento, sin salir de la pantalla de dibujo, sin más que arrastrar dicho elemento manteniendo pulsado el botón derecho del ratón. Una vez que hemos colocado los dos bloques, procederemos a ponerles sus datos. Para introducir los datos de G(s) repicaremos con el ratón en uno de los iconos Transfer Fcn. Veremos entonces que se abre una ventana, y en ella pondremos, en formato numérico, los datos correspondientes a los polinomios numerador y denominador de G(s), es decir los vectores [1, 1] y [1, 0, 4] correspondientes, respectivamente, a dichos polinomios. Del mismo modo, lo que haremos para poner los datos de H(s) es repicar en su icono e introducir los vectores [2, 1] y [1, 1] en la ventana que se abra. Para el bloque con función de transferencia K constante se podría usar también el bloque Transfer Fcn si bien parece más apropiado el bloque Gain que se encuentra en la librería Math Operations de Simulink. Elegido éste, lo arrastraremos con el ratón a la pantalla del dibujo y, tras un repique en el mismo, pondremos un 5 como valor de la ganancia. El bloque adecuado para poner el punto de suma es Sum y se encuentra en la librería Math Operations. La ventana que se abre al repicar en él permite poner dos o más signos + o y cambiar la orientación de las flechas de entrada y salida según que la barra vertical esté en la posición izquierda, derecha, o entre los signos + y. Para realizar la simulación hemos de poner como entrada una función de tipo escalón. Esto lo hacemos escogiendo el bloque Step de la librería Sources de Simulink. Lo

21 2.2. CREACIÓN Y SIMULACIÓN DE UN MODELO 21 arrastraremos también a la ventana de dibujo y, repicando en su icono, pondremos como parámetros los siguientes. Step time = 0, Initial value = 0, Final value = 1. Y por último, para ver el resultado de la simulación, necesitamos un elemento en el que se genere el gráfico de la respuesta temporal. Lo más sencillo es colocar el bloque Scope que se encuentra en la librería Sinks. Una vez colocados todos los bloques, utilizando el botón izquierdo del ratón, los uniremos entre sí mediante flechas y acomodaremos su posición hasta dejarla a nuestro gusto. El resultado puede ser, más o menos, el siguiente. Step Sum 5 Gain s+1 s 2+4 Transfer Fcn Scope 2s+1 s+1 Transfer Fcn A veces puede ser conveniente invertir la orientación de algún bloque para mejorar el aspecto de su conexión. Esto ocurre en este caso con el bloque H(s) en el que las flechas van hacia atrás. El cambio orientación de un bloque se realiza picando en el mismo con el botón derecho del ratón y a continuación, con el botón izquierdo, en Format Flip block. De modo similar son también posibles otras operaciones, como por ejemplo ocultar el nombre de un bloque. Los bloques pueden tener otras opciones que no describimos aquí pero que el usuario puede ver con facilidad con la ayuda de Matlab, accesible mediante el botón derecho del ratón para cada bloque. Una vez que el modelo ha sido completado, podemos proceder a la simulación. En la ventana del dibujo de Simulink, seleccionamos con el ratón en Simulation Simulation parameters. Esto nos permitirá escoger los instantes de tiempo inicial y final, el algoritmo y su paso, fijo o variable, así como algunos otros parámetros relacionados con la simulación. Aparte los tiempos, que pueden variar mucho según la simulación de que se trate, los otros valores que Matlab pone por defecto suelen resultar adecuados muchas veces. Como resultado de la simulación aparecerá en el bloque Scope la gráfica de la respuesta temporal. 0.7 Respuesta temporal y(t) t

22 22 CAPÍTULO 2. SIMULINK 2.3 Stateflow Stateflow es una librería (toolbox) de Matlab que permite modelar sistemas de eventos discretos dentro de Simulink, utilizando cartas de estado (statecharts). Las cartas de estado fueron introducidas por David Harel (Harel, 1987) y son una generalización de las máquinas de estados. La librería de Stateflow posee un único elemento o bloque, denominado Chart, que sirve para representar un sistema de eventos discretos. El bloque Chart se puede conectar con otros bloques de Simulink, de tiempo continuo o discreto, para formar modelos de sistemas híbridos que pueden ser muy útiles en la investigación del comportamiento de tales sistemas mediante simulación. Una carta de estados (statechart) es un gráfico formado por elementos gráficos sobre los que van escritos ciertos elementos de texto escritos en un lenguaje especial. Entre ellos, hay unos elementos de texto especiales que son los datos y los eventos. La carta es como la hoja de papel en la que se representan los elementos. Cada carta representa un sistema de eventos discretos y constituye un bloque de Simulink que puede conectarse con otras cartas o con otros bloques de Simulink Elementos gráficos Los elementos gráficos de son Estados Transiciones Uniones mientras que los elementos de texto son Datos Eventos Estados Los estados tienen forma de rectángulo con los bordes redondeados y representan estados (a veces llamados modos o fases) del sistema de eventos discretos. No debemos confundir estos estados con los estados del clásico modelo de estado de un sistema de control. Los estados aquí considerados representan los modos o formas de evolución del sistema al reaccionar frente a los eventos. Junto a la esquina superior izquierda, cada rectángulo lleva un texto con un nombre que identifica al estado. Tras el nombre del estado y el separador opcional /, pueden aparecer otros textos indicando las acciones que llevará a cabo el sistema cuando esté en ese estado. La sintaxis de Stateflow permite especificar el instante en que se iniciará la acción y la duración de esta: entry: la acción se inicia al entrar en este estado. exit: la acción se inicia al salir de este estado.

23 2.3. STATEFLOW 23 during: la acción se inicia al entrar en este estado y permanece activa durante el tiempo que dura el estado. on event e : La acción se inicia si, estando en este estado, se produce el evento e. Posibles acciones son cambiar el valore de una salida o efectuar una llamada a una función de Matlab. S1 e S2 Figura 2.1: Estados y transición Un estado puede contener otros estados, o subestados, dentro de sí. Entonces dicho estado se llama estado padre, o superestado, y los subestados se llaman estados hijos. Hay dos posibles formas de descomposición de un estado (padre) en subestados (hijos). Un estado (padre) tiene descomposición AND si los estados hijos se activan simultáneamente al activarse el estado padre y entonces los estados hijos se marcan con línea discontinua. Un estado (padre) tiene descomposición OR (exclusiva) si únicamente puede estar activo uno de los estados hijos al activarse el estado padre y entonces los estados hijos se marcan con línea continua. Transiciones Las transiciones tienen forma de flecha y representan las transiciones o saltos entre estados, asociados a eventos, que se producen en el sistema de eventos discretos. Cada transición representa un evento e del sistema y se dibuja como una flecha que va desde el borde de un estado S 1 hasta el borde de otro estado S 2. Si el sistema está en el estado S 1 y se produce el evento e, entonces el sistema pasa al estado S 2. El disparo de una transición puede implicar la ejecución de una o más acciones. Una transición especial es la llamada transición por defecto (default-transition), que sirve para señalar el estado inicial del sistema es decir, el primer estado en el que entrará el sistema al iniciar su evolución, y también el estado hijo inicial dentro de un estado padre. Se reconoce por su forma ya que en el extremo opuesto a la flecha lleva un pequeño círculo negro. Cada transición puede tener un texto escrito junto a ella que indica el evento que ha de producirse para que se dispare la transición así como las acciones que entonces el sistema emprenderá. Este texto se divide en tres partes, todas ellas opcionales: e (en donde e es el nombre de un evento): la transición se dispara al producirse el evento e en el sistema. Si no hay nombre de evento entonces la transición se disparará ante cualquier evento del sistema.