TEMA 2.- LA CAPITALIZACIÓN COMPUESTA.

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1 TEMA.- LA APITALIZAIÓN OMPUESTA. Objevo: Foralzar la ley de capalzacó copuesa y esudar sus agudes dervadas.. EXPRESIÓN ANALÍTIA Y REPRESENTAIÓN GRÁFIA. La ley facera de capalzacó copuesa ee la sguee expresó aalíca: L(; k( ( + e, co > 0, y k > 0, de fora que: k log e (+ l(+ [.] Las expresoes aerores puede escrbrse coo fucó de ( R, sedo ; así: L( (+ e k [.] Represeacó gráfca de la ley. Se raa de ua fucó expoecal de base ayor que la udad y expoee posvo. Por ao, resulará crecee y covexa, defda e el prer cuadrae y co ordeada e el orge L(0. L(z 5 4,5 4 3,5 3,5,5 0,5 0 z L(z. FATOR FINANIERO. El facor facero es el operador que pere obeer el capal equvalee a uo dado e cualquer puo. Sea dos capales faceros (, y (, y la ley de capalzacó copuesa dchos capales sea faceraee equvalees, deberá cuplr: L(; ( + ; para que L(; ( + ( + ( + L( ; ( + [3.] A parr de la ecuacó [3.] se puede obeer dos facores: a Facor facero de capalzacó asocado al ervalo (, : que, ulplcado por la cuaía de u capal suado e el exreo feror del so, pere obeer la cuaía equvalee e el exreo superor, eso es, pere calcular lo que se deoa valor fuuro o valor fal del capal. L(; ( + + ( L( ; ( + u(, > [4.]

2 de fora que: u(, ( + [5.] S se cosdera ua cuaía uara, el facor de capalzacó puede erprearse coo la cuaía equvalee e a ua udad de cuaía suada e. E el caso de la capalzacó copuesa la expresó del facor de capalzacó cocde co la de la ley. S ebargo, eso o sucede cuado se rabaja co oras leyes. b Facor facero de acualzacó, o coracapalzacó, asocado al ervalo (, : que, ulplcado por la cuaía de u capal suado e el exreo superor del so, pere obeer la cuaía equvalee e el exreo feror, o lo que se deoa valor acual o valor cal. L( ; ( + + ( + ( ( u * (, ; co L(; ( + 0 < u * (, < [6.] de fora que: verfcádose: - -( - u * (, ( + ( [7.] + u(, [8.] u * (, S se cosdera ua cuaía uara, el facor de acualzacó puede erprearse coo el capal equvalee, e, a ua udad de capal suada e. Represeacó gráfca. Problea : Obégase el valor equvalee dero de dos años, a 000 euros dspobles hoy, s se valora e capalzacó copuesa al 5% efecvo aual. Problea : Obégase el valor acual de 000 euros dspobles dero de dos años y edo, s se valora e capalzacó copuesa al 3% seesral. Los facores faceros verfca la propedad ulplcava para ervalos cosecuvos. Supueso < < 3, se verfca: ya que: L( u (, u (, 3 u (, 3 [9.] L( ; ; L(. L( ; 3; L(; u(, 3 [0.] L( ; 3 Obvaee, abé se cuple: u*(, u * (, 3 u * (, 3 [.]

3 aso de que los pos de erés aplcables a los dsos períodos o sea guales. S se represea por {,,..., } los pos de erés vgees e cada uo de los subperodos {( 0, (,...(, } e los que se ha dvddo u horzoe eporal ( 0,, eoces: u( 0, ( + h, co lo que: 0 u( 0, 0 h ( + h [.] h u * ( 0, ( + h, co lo que: u * ( 0, h 0 ( + h [3.] h Problea 3: Obégase el valor equvalee, dero de res años, a 000 euros dspobles hoy, s se valora e capalzacó copuesa co los sguees pos de erés auales : 4,50%; 5,00%; 3 5,5%. Problea 4: Obégase el valor acual de 000 euros dspobles dero de dos años, s los pos de erés auales so: 4,50%; 5,00%. 3. RÉDITO El rédo es el creeo de cuaía geerado e el ervalo [, ] por cada udad de capal suada e : L(; L( ; ( r (, u(, ( + [4.] L( ; Obsérvese que, a parr de la ecuacó [4.], se puede obeer el erés asocado al ervalo (, : ( [ + ] ( I r(, [5.] La foracó proporcoada por el rédo resula sufcee, ya que se refere al creeo sufrdo por cada udad de cuaía e el ervalo y resula dfícl la coparacó de los resulados cuado los rédos se refere a ervalos de dferee aplud. Para resolver ese problea se roduce el cocepo de ao o po de erés. 4. TANTO O TIPO DE INTERÉS. Se deoa ao, o po de erés, del ervalo (, al creeo de cuaía producdo e dcho ervalo por cada udad de cuaía suada e y por udad de epo. Es decr, el po de erés será el rédo dvddo por la aplud del ervalo. Así, (, u(, ( L(; L( ; ( + L( ;.( ( [6.] Para el caso de ervalos uaros (, +, es decr,, el po de erés oará la expresó: ( + (, + [7.] Por ao, puede decrse que el paráero de la ley de capalzacó copuesa represea el po de erés para ervalos uaros (e la prácca, geeralee el año. 3

4 4.. Tpo de erés efecvo y po de erés oal El po de erés de la ecuacó [7.] -que habualee se deoa po de erés efecvo- depede de la udad de epo co la que se esé rabajado. Meras o se dque expresaee lo coraro, por (,+ se eederá el po de erés efecvo aual. Es basae usual que los períodos e los que se geera el erés sea de aplud dsa al año. Aparece así dos uevos cocepos, el de po de erés efecvo subperodal y el po de erés oal. Dreos que ( es el po de erés efecvo subperodal equvalee al po de erés efecvo aual s se verfca que: ( ( ( + + [8.] Así pues, el po de erés efecvo subperodal equvalee al po de erés efecvo, es aquel po de erés cosae al que deberíaos reverr ua udad oeara durae subperodos cosecuvos de aplud (/ para que e + se geere ua cuaía por udad de capal verdo e. Problea 5 alcúlese el capal que se obedría al fal del año s se vrera 000 euros al 5% aual o al 0,7% resral. Por oro lado, s (,+ es el po de erés correspodee al período uaro (, + y subdvdos dcho perodo uaro e subperodos de aplud (/, el po de erés oal correspodee a u ervalo cualquera de aplud (/, y que deoareos por, será: ( + ( / ( ( + (, + / Es decr, el po de erés oal o es ás que la proyeccó aréca aual del po de erés correspodee a (/ de año y s cosderar, por ao, el efeco de la posble reversó de los ereses. Nóese que el po oal debe ver acopañado de ua ecó a la frecueca de geeracó de los ereses. Así, se hablará de ao o po oal aual de frecueca o pagadero veces al año. De las expresoes aerores se puede obeer la relacó ere, ( y : [9.] de fora que: ( ( + ( + ( + [0.] ( / ( + [.] ( ( + ( + [.] A parr de esas relacoes, resula obvo que co u so ao oal, el ao efecvo será ayor cuao ayor sea el fraccoaeo Problea 6: Supogaos u íulo co u valor de 000 euros que paga ereses al % oal aual, obégase el po de erés efecvo aual, e los sguees supuesos:, los ereses se paga de ua vez al fal de año:, los ereses se paga co perodcdad seesral, pago de ereses esuales. 4

5 5. Reas. alor facero de ua rea. Se deoa rea a odo cojuo de capales asocados cada uo de ellos a u ervalo de epo. ada uo de los capales que cosuye la rea recbe la deoacó de éro y cada uo de los ervalos a los que se asoca recbe la deoacó de período. Las reas puede clasfcarse de acuerdo co dferees creros: Segú el oeo e que vece los éros e cada período: Reas pospagables. Reas prepagables. E las reas prepagables los éros vece al prcpo de cada período, eras que e las reas pospagables los éros vece al fal de cada período. Segú que la duracó de la rea sea fa o fa: Reas eporales. Reas perpeuas. 3 Segú la cuaía de los éros que la copoe Reas cosaes. Reas varables. Dero de las reas cosaes, se ecuera las reas uaras, que so aquéllas e las que odos los éros ee ua cuaía gual a la udad. Las reas varables recbe dversas deoacoes depededo de la ley de varabldad de los éros: varables e progresó geoérca, aréca, ec. 4 Segú la aplud de los perodos: Reas dscreas: co perodos de aplud fa (esual, resral, aual, ec. Reas couas: perodos fesales. E la realdad ecoóca exse úlples ejeplos de rea: salaros, pagos de présaos, alquleres, ec. Para obeer el valor facero de ua rea basará co suar faceraee los éros que la copoe. Problea 7 Obégase el valor fal e cal de la sguee rea aual, pospagable de éros (.000;, (0.000;, (6.500; 3, (.00; 4, s se valora e capalzacó copuesa co u po de erés efecvo aual del,75%, para los dos preros años y del 3% para el reso. No obsae, dado que e uchas ocasoes los éros de la rea so cosaes, o sujeos a ua ley de varabldad coocda (por ejeplo progresó geoérca, y que el po de erés de la ley de capalzacó copuesa co que se valora es abé cosae, se puede obeer uas expresoes específcas de la sua facera que facla el cálculo. Obedreos a couacó las ulzadas co ayor frecueca. 6. aloracó de reas e capalzacó copuesa y a po de erés cosae. 6. Rea cosae, pospagable y eporal La rea uara, pospagable y eporal (co éros defda por el cojuo de capales 5

6 {, (,...(, } ( y valorada co ua ley de capalzacó copuesa co u po de erés efecvo perodal edrá la sguee represeacó gráfca: Su valor facero e 0, valor cal o acual, represeado por co N será: ( s + + ( ( + ( + [3.] s y dado que se raa de la sua de los éros de ua progresó geoérca de prer éro úlo a ( +, y razó q ( +, se puede escrbr coo: a ( +, ( + ( + ( + ( + ( + [4.] De gual fora, su valor facero e, valor fal, represeado por S es: s S + ( + + ( ( + ( + [5.] s 0 y coo uevaee se raa de ua sua de éros varables e progresó geoérca, esa vez crecee, se puede escrbr coo: Obsérvese que se verfca: S ( + [6.] S ( +. dode (+ es el facor de capalzacó del ervalo [ 0, ]. uado e lugar de ua rea de cuaía uara se rae de ua rea co éros de cuaía cosae, al y coo la represeada e el esquea: Sus valores cal y fal será respecvaee: 0 [7.] [8.] S verfcádose gualee la relacó: ( 0 + o la recíproca: 0 ( + [9.] 6

7 Hay que recordar que el valor facero de ua rea es u capal facero. Por ao, ua vez coocdo ése e u puo cualquera para obeer su valor e u oeo dso basará co ulplcar dcho valor por el correspodee facor de capalzacó o de acualzacó. Problea 8 Dada ua rea pospagable de 5 años de duracó y éro aual cosae de.000 euros, co orge el 5/0/03 y fal el 5/0/08, obégase su valor e los sguees puos: a 0 5/0/03 b 5/0/08 c τ 5/0/06 d τ 5/05/0 e τ 5/0/00 s se valora e capalzacó copuesa a u po de erés efecvo aual del 3,75%. Problea 9 Dada ua rea pospagable de éros esuales de.000 euros, obégase: a Su valor cal y fal s el po de erés de valoracó es sucesvaee: 3%, 4%, 8% aual y la rea ee 3 años de duracó. b Su valor cal y fal s el po de erés de valoracó es el 3% aual y la rea ee sucesvaee,, 5, y 0 años de duracó. 6.. Rea cosae, pospagable y perpeua. El valor cal de ua rea uara pospagable y perpeua se obedrá coo el líe del valor acual de la correspodee rea uara eporal cuado. Así: Y e el caso de la rea perpeua co éros de cuaía cosae será: ( + l [30.] 0 [3.] Resula obvo que el cálculo de los valores fales e las reas perpeuas carece de sedo. Ejeplo 0: Obégase el valor acual de ua rea perpeua de éros auales de euros y valorada al,75% aual. 6.3 Rea de éros varables e progresó geoérca, pospagable y eporal. Sea la rea de éros ( ; ( q; ( q ;3 L( q ; co q > 0 y represeada por el sguee esquea..q.q....q -.q

8 Teedo e cuea que uevaee se raa de la sua de éros de ua progresó geoérca, su valor acual, asuedo u po de erés cosae, será: 0 A ( + + q( + + L (;q q ( + + q + q ( + [3.] E el caso parcular de que q ( + esa expresó os coduce a ua deeracó, por lo que deberá obeerse drecaee el valor acual de la rea: A (;( + ( + + ( + ( + + L + ( + ( + ( + [33.] El valor fal de ua rea de ese po e el caso geeral sería: S (;q q + q ( + q ( + + L + ( + [34.] + q verfcádose obvaee la relacó: (;q (;q S A ( + [35.] E el caso parcular de q ( +, el valor fal edrá la sguee expresó: S (;q ( + [36.] Problea 5 Obégase el valor acual y fal de ua rea aual, pospagable, de 5 años de duracó, y éros crecees e progresó geoérca u % aual, s se valora e capalzacó copuesa co u po de erés del 5% efecvo aual y el prer éro ee ua cuaía de 000 euros. 6.4 Rea de éros varables e progresó geoérca, pospagable y perpeua. E el caso de la rea perpeua, su valor cal se obee a ravés del líe de la rea eporal cuado el úero de éros ede a fo. Así: 0 A (;q l A (;q l l q q (+ -, s + - q, s, s q + q <+ q >+ [37.] Por ao, sólo ee sedo la rea perpeua varable e progresó geoérca cuado q < +. 8

9 Problea 6 Obégase los valores acuales de ua rea pospagable, perpeua, varable e progresó geoérca de razó q,05, cuyo prer éro ee ua cuaía de 500 euros s se valora e capalzacó copuesa al 3,75% y al,5% efecvo aual. 6.5 Rea pospagable co fraccoaeo aréco ufore. El fraccoaeo aréco de ua rea cosse e dvdr cada ua de las cuaías de sus éros e subcuaías, ales que su sua aréca sea la cuaía cal, y descopoer cada período e subperíodos, asocado cada subcuaía a uo de los subperíodos. El fraccoaeo aréco de frecueca e ua rea defda por éros la rasfora e ora rea de x éros, sedo la sua aréca de las cuaías gual e abas reas, pero o así su valor facero. uado el fraccoaeo, ao de cuaías coo de períodos, se hace e pares guales se deoa ufore. E ese caso, las subcuaías será guales ere sí e guales a S. Dada ua rea cualquera co el sguee esquea:... s- s s- s... - La rea fraccoada de frecueca co fraccoaeo ufore es la que surge al descopoer cada cuaía y cada período e pares guales, de al fora que para u subperíodo cualquera (s-, s] se verfca lo sguee: S s- s s / s /... s / s / s- s + s +... ( s + s resulado subperíodos de aplud. U ejeplo de rea fraccoada ufore es el sueldo de u epleado que percbe esualee ua rerbucó aual de euros, correspodédole cada es ua cuaía esual de / sedo cada es / de año. El valor facero e s de odos los éros del período de esa rea fraccoada e base a ua ley de capalzacó copuesa co u po de erés efecvo será: ( S ( ( ( ( S + S L + + S S [38.] ( ( + 9

10 La rea fraccoada es, por ao, faceraee equvalee a ora rea s fraccoar de éros: S, S [39.] El fraccoaeo ufore e reas pospagables de perodo uaro equvale a ulplcar las cuaías de sus éros cales (s fraccoar por el facor. Así, sus valores cal y fal adopará la sguee fora: s 0 S ( + S [40.] S s S ( + S S [4.] S E cosecueca, el coefcee juega el papel de operador de rasforacó de la rea s fraccoar e la correspodee rea fraccoada. Las reas fraccoadas se deoa habualee por u expoee (. Así, se puede plaear las sguees relacoes para el caso de reas uaras: ( [4.] s [43.] s ( Obsérvese que > sepre que y cuado >. Es asso porae eer e cuea que e las reas fraccoadas odas las varables debe r expresadas e éros auales: po de erés efecvo aual, ao oal aual, úero de períodos auales y cuaía aual Para el caso de reas de cuaía cosae se aee la sa relacó: ( 0 [44.] ( S S [45.] Y lo so ocurre para cualquer oro po de reas (perpeuas, varables e progresó geoérca,... E geeral, edríaos lo sguee: alor cal: alor fal: ( ( a ( a [46.] ( ( f ( f [47.] Problea 7 Obégase el valor acual de las sguees reas sabedo que se valora e capalzacó copuesa co u po de erés efecvo aual del 4%. a Ua rea de éros esuales, pospagables, cosaes durae el año y crecees cada año u,5% acuulavo y 0 años de duracó. La cuaía del prer éro es de 500 euros. b Ua rea de éros esuales cosaes de 900 euros de cuaía y 5 años de duracó. 0

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