2. LAS INTEGRALES DEFINIDA E INDEFINIDA

Transcripción

1 2. LAS INTEGRALES DEFINIDA E INDEFINIDA

2 Ojetivo: El lumno identificrá los conceptos de ls integrles definid e indefinid y los plicrá en el cálculo y otención de integrles

3 Notción sum Se k un numero rel y k un entero. Se denot l sum como: n k1... k n Not: el suíndice k puede ser diferente

4 Notción sum Propieddes de l notción sum: Pr m>0 y n>0 1) c c ; c cte. k k1 k1 2) ( ) 3) n n n n n k k k k k 1 k 1 k 1 n m n k k k k 1 k 1 k m1 k

5 Notción sum Fórmuls de sum: Si n pertenece los enteros: I) c nc II ) n k 1 III ) IV ) n k 1 n k 1 n k 1 nn ( 1) k 2 k k 2 3 n( n 1)(2n 1) 6 n ( n1) 4 2 2

6 L integrl definid

7 Método de exhusión

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9 L integrl definid

10 Límite de l sum de Reimnn n A y ( x x ) y x T i i i1 i i i1 i1 n A y x f ( ) x T i i i i i1 i1 n A lim f ( ) x f ( x) dx T i i n i 1 n n

11 Límite de l sum de Reimnn f ( x) dx lim f ( ) x n n i 1 i i

12 Definición Si f es un función definid en el intervlo cerrdo [,], entonces l integrl definid de f desde hst que se denot f ( x) dx está dd por l iguldd: f ( x) dx lim f ( ) x n n i 1 i i

13 Función integrl Teorem: Si y=f(x) es continu en el intervlo [,], entonces y=f(x) es integrle en [,] Este teorem estlece un condición suficiente pero no necesrio pr que un función se integrle, es decir, si un función es continu es integrle, sin emrgo si es integrle puede ser discontinu

14 Propieddes de l integrl definid Se f(x) y g(x) integrles en [,] 1) kf ( x) dx k f ( x) dx; k cte. 2) [ f ( x) g( x)] dx f ( x) dx g( x) dx c 3) f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx; c c 4) f ( x) dx g( x) dx; si f ( x) g( x), x [, ]

15 5) kdx k[ ]; k cte 6) f ( x) dx f ( x) dx 7) f ( x) dx 0

16 Teorem del vlor medio

17 Teorem del vlor medio 1 f ( c) f ( x) dx

18 Antiderivd Definición: Existe un función F, y será ntiderivd de otr función f en [,] si: F (x)=f(x) x [, ] Checr formuls de ntiderivds

19 Teorem Fundmentl del cálculo integrl Prte 1 ó regl de Brrow L función de f(x) es continu en [,] L función F(x) es tl que F (x)=f(x) x [, ] f ( x) dx F( x) F( ) F( )

20 Teorem Fundmentl del cálculo integrl Prte 2, integrl con extremo superior vrile F( x) f ( t) dt x F '( x) f ( x)

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22 LA INTEGRAL INDEFINIDA f ( x) dx F( x) C

23 Recordndo

24 Recordndo

25 Regl de L Hôpitl En el cálculo del límite de un función de l f( x) 0 form el resultdo es únicmente se gx ( ) 0 ó puede plicr l siguiente regl: lim f ( x) f '( x) lim g( x) g '( x) x x

26 Regl de L Hôpitl Un plicción de l regl de L Hôpitl es el cálculo de límites de funciones que tienen l form f( x) en donde el resultdo es 0 vemos: 0,,1

27 Integrles Impropis Se denominn sí ls integrles de l form Si: f ( x) dx ) L función integrndo no está definid en lgún vlor de [,] ) Al menos uno de los extremos es

28 Integrles Impropis.1) Cundo l función f(x) no está definid en el extremo inferior de integrción f ( x) dx lim f ( x) dx 0 AVM

29 Integrles Impropis.2) Cundo l función f(x) no está definid en el extremo superior de integrción f ( x) dx lim f ( x) dx 0 AVM

30 Integrles Impropis.3) Cundo l función f(x) no está definid en lgun prte del intervlo [,] c f ( x) dx lim f ( x) dx lim f ( x) dx 0 0 c

31 Integrles Impropis Si el límite existe, se dice que l integrl converge y el vlor es el resultdo del límite, si no existe se dice que diverge y su vlor no existe.

32 Integrles Impropis.1) Cundo el extremo inferior es -.2) Cundo el extremo superior es f ( x) dx lim f ( x) dx f ( x) dx lim f ( x) dx

33 Integrles Impropis Cundo mos extremos son infinito c f ( x) dx lim f ( x) dx lim f ( x) dx c