Tarea 1 Ecuaciones Diferenciales I Semestre

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1 Profesor: Juan Carlos Fernández Morelos Ayudante: Luisa Márquez Rentería Tarea 1 Ecuaciones Diferenciales I Semestre Indicar el orden de las siguientes ecuaciones e indicar si son lineales o no lineales, autónomas o no autónomas. a t 2 d2 x + t dx 2 + 2x = sin t b x + (tan xx = (log xx c d4 x 4 d d6 x 6 + d3 x + d2 x 3 + d2 x ( 2 d + sin 2 x 2 + x = t = sin x e ẋ = sin x 2 + e cos x f (1 + y 2 d3 y dx + x dy 3 dx + y = ex g dy dx + xy2 = 0 2. a Para qué valores de r, la función x(t = e rt es solución de la ecuación x 3x + 2x = 0? b Para qué valores de r, la función x(t = t r, t > 0 es solución de la ecuación t 2 x 4tx + 4x = 0? 3. Verificar que la función, o funciones, dadas son soluciones de la ecuación diferencial, y determinar para qué intervalo son solución. a x x = 0; x 1 (t = e t, x 2 (t = cosh t b y + 4y + 3y = x; y 1 (x = x/3, y 2 = e x + x/3 4. Modelar los siguientes problemas, i.e., dar una ecuación diferencial ordinaria que se adecúe al problema dado. a Desintegración radioactiva. Por experimentación se sabe que la desintegración radioactiva se comporta de acuerdo a la siguiente ley: La tasa a la que una cantidad de isótopo radioactivo se desintegra es proporcional a la cantidad de isótopo presente. La constante de proporcionalidad depende sólo de la partícula considerada. Utilizar la siguiente notación para el modelo t = tiempo r(t = cantidad del isótopo radioactivo particular en el tiempo t λ = tasa de desintegración Si la cantidad de isótopo en t = 0 es r 0, establezca el problema con condiciones iniciales. b Considerar las siguientes hipótesis respecto a la fracción de una pieza de pan cubierta por moho: - Las esporas de moho caen sobre el pan a razón constante. - Cuando la proporción cubierta es pequeña, la fracción del pan cubierto por moho se incrementa a una razón proporcional a la cantidad de pan cubierto. - Cuando la fracción de pan cubierto por el moho es grande, la razón de crecimiento disminuye - Para sobrevivir, el moho debe estar en contacto con el pan. Justificar cuidadosamente la construcción del modelo. NOTA: Puede haber más de un modelo razonable que se ajuste a las hipótesis. 5. La vida media de un isótopo radioactivo es la cantidad de tiempo que toma a una cantidad de material radioactivo desintegrarse a la mitad de su tamaño original. Usando el modelo obtenido en el ejercicio anterior determinar lo siguiente: a La vida media del carbono 14 (C-14 es de años. Determine el parámetro de la tasa de desintegración de este isótopo. 1

2 2 b Cuáles son las unidades del parámetro de tasa de desintegración obtenido en la parte a. El fechado por C-14 es un método para determinar el tiempo transcurrido desde la muerte del material orgánico. Las hipótesis implícitas en el fechado por carbono son las siguientes: - El C-14 constituye una proporción constante del carbono que la materia viva ingiere según una base regular, y - una vez que la materia muere, el C-14 presente se desintegra, pero ningún átomo nuevo es agregado a la materia. Entonces, al medir la cantidad de C-14 que aún permanece en la materia orgánica y al compararla con la cantidad de C-14 encontrada en la materia viva, puede calcularse el tiempo desde la muerte. c Usando el parámetro de la tasa de desintegración que se encontró en a, determinar el tiempo desde la muerte si 98 % del C-14 original está presente en la materia. Hacer lo mismo si sólo queda el 2 %. 6. Graficar los campos de pendientes asociados a las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden. Se pueden encontrar soluciones que se adapten bien al campo vectorial? En caso de que se pueda, esquematizar tales soluciones. a ẋ = 1 b ẋ = (1 x N x, N > 0 c ẋ = x t 7. Sea φ una solución de la ecuación autónoma ẋ = g(x, donde g : R R es diferenciable tantas veces como se quiera. Probar que la función ϕ(t = φ(t + C también satisface la ecuación. Interpretar geométricamente. 8. Qué tanto se puede decir cualitativamente de las soluciones de la ecuación ẋ = f(t, donde f : R R es diferenciable tantas veces como se quiera? (SUGERENCIA: vea el análisis cualitativo de la ecuación P = kp vista en clase. 9. Suponga que una solución de la ecuación ẋ = f(t se ve como sigue: Qué tanto del campo de pendientes se puede esbozar con esta información? Puede esbozar la solución con x(0 = 2? 10. Dar un ejemplo de problema con condiciones iniciales que NO tenga solución y otro que no tenga solución única. 11. Encontrar las soluciones de las siguientes ecuaciones lineales: a y + 2xy = x b ẋ (tan tx = e sin t, 0 < t < π/2 c x + 2x = b(t, < t <, donde b(t = 1 t si t 1 y b(t = 0 en otro caso. 12. Considerar la ecuación t 2 ẋ + 2tx = 1, 0 < t <. a Mostrar que todas las soluciones tienden a cero cuando t. b Encontrar una solución φ tal que φ(2 = 2φ(1.

3 3 13. La ecuación y + α(x = β(xy k donde k es una constante, se llama ecuación de Bernoulli. a Mostrar que la sustitución z = y 1 k transforma la ecuación en z + (1 kα(xz = (1 kβ(x. b Resolver la ecuación y 2xy = xy Considerar la ecuación x + a(tx = 0, donde a es una función continua en < t < y que además es periódica de periodo T, esto es, a(t + T = a(t para toda t R. a Si φ es solución no trivial, mostrar que también ϕ(t = φ(t + T lo es. b Mostrar que existe una constante C tal que φ(t + T = Cφ(t. De hecho, mostrar que ( C = exp T 0 a(t c Qué condición debe satisfacer a para que exista una solución no trivial periódica de periodo T? De periodo 2T? d Si a es constante, cuánto debe valer a para que exista una solución no trivial de periodo 2T? 15. Sean φ y ϕ soluciones de la ecuación y + a(xy = b(x en el intervalo I que contiene a x 0. Mostrar que para toda x I ( x ϕ(x φ(x = [ϕ(x 0 φ(x 0 ] exp a(sds x 0 y por consiguiente ϕ(x φ(x = ϕ(x 0 φ(x 0 exp ( x a(sds x Considere el siguiente modelo simple para los niveles de colesterol en la sangre. Éste se basa en el hecho que el colesterol es manufacturado por el cuerpo para uso en la construcción de paredes celulares, así mismo se toma en cuenta que es absorbido de los alimentos que contienen colesterol. Sea C8T la cantidad (miligramos por decilitro de colesterol en la sangre de una persona en partículas al tiempo t (días. Se sabe que C(t satisface la ecuación diferencial Ċ = k 1 (C 0 C + k 2 E donde E es constante. a Qué representan los parámetros k 1, k 2, C 0, E R +. b Suponga que C 0 = 200, k 1 = 0,1, k 2 = 0,1, E = 400, C(0 = 150. Cuál será el nivel de colesterol de la persona después de dos días de dieta? c Con la condición inicial del inciso anterior, cuál será el nivel de colesterol después de cinco días con la misma dieta? Y después de mucho tiempo? d Se sabe que altos niveles de colesterol en la sangre pueden ser un factor de riesgo para enfermedades del corazón. Supóngase que, después de un gran intervalo de tiempo con una dieta con altos niveles de colesterol (descrito en los incisos anteriores, la persona cambia a una dieta baja en colesterol, es decir, E = 100. Cuál será el nivel de colesterol de dicha persona después de un día, cinco días y mucho tiempo después, con la nueva dieta? e Supóngase ahora que la persona se mantiene con la dieta de altos niveles de colesterol, pero después de llevar una dieta de esta naturaleza toma medicamentos que bloquean de alguna forma la absorción de colesterol de los alimentos. Cámbiese el parámetro correspondiente a Cuáles son los niveles de colesterol después de un día, de 5 días y de mucho tiempo? f Concluya y grafique sus resultados

4 4 17. Un tanque de 100 galones contiene inicialmente 100 galones de agua azucarada con una concentración de 0.25 libras de azúcar por galón. Suponer que se agrega azúcar al tanque a razón de p libras por minuto, que el agua azucarada se retira a razón de 1 galón por minuto y que se mantiene bien mezclada. a Qué valor de p debemos escoger para que, cuando queden en el tanque 5 galones de agua azucarada, la concentración sea de 0.5 libras de azúcar por galón?. b Es posible escoger p de manera que la última gota de agua en la cubeta tenga una concentración de 0.75 libras de azúcar por galón? 18. En los siguientes problemas, esbozar las líneas fase para la ecuación diferencial dada, identificar las soluciones de equilibrio, determinar si son estables o inestables y esbozar las soluciones. a dy = tan y b dy = 1 y 2 c ẋ = cos x. En este caso, calcular la segunda derivada con respecto al tiempo para encontrar los puntos de inflexión de las soluciones. 19. Esboce la línea de fase para la ecuación diferencial autónoma dy siguiente gráfica: a = f(y, donde f tiene la b 20. Dar un ejemplo de ecuación diferencial que tenga la siguiente línea fase asociada: a b c

5 5 21. Dar un ejemplo de ecuación diferencial de la forma x = f(x con f C 1 (R que cumpla con tener una infinidad de puntos de equilibrio estables en el intervalo [0, 1] y sólo en ese intervalo. 22. a Demostrar que cualquier solución de equilibrio x(t = x de la ecuación diferencial x = kx con k = 0 es Lyapunov estable, pero no asintóticamente estable. b Considerar la ecuación diferencial separable x = kx n. Demostrar que la solución es 1 Inestable si n es par o bien si n es impar y k > 0. 2 Asintóticamente estable si k < 0 y n impar. c Considere una ecuación diferencial de la forma x = f(t, x, y sea Φ(t una solución. Cómo definiría que dicha solución es Lyapunov estable, asintóticamente estable e inestable? Realice un dibujo en cada caso. 23. Considere las siguientes ecuaciones diferenciales i ẋ = (x µ(x 2 µ, ii ẋ = µ + x x 3 donde µ es un parámetro que toma valores reales. a Determinar los puntos de equilibrio y dependiendo del valor del parámetro µ indicar cuáles son estables e inestables. Realizar para cada µ la linea fase correspondiente y bosquejar el comportamiento de las soluciones b Realice en cada caso un diagrama de bifurcación.

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