UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA INSTITUTO DE INVESTIGACION DE LA FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA INFORME FINAL DEL TEXTO TEXTO: DISEÑO DE SISTEMAS REALIMENTADOS CON VARIABLES DE ESTADO AUTOR: JULIO CESAR BORJAS CASTAÑEDA PERIODO DE EJECUCION: 01 de julio del 2015 al 31 de junio del 2016 RESOLUCION DE APROBACION: RR N R CALLAO, 2016

2 INDICE I. INDICE 1 II INTRODUCCION 4 III. CONTENIDO 5 Capítulo 1. Análisis de sistemas de control con variables de estado Introducción Representación en el espacio de estados de sistemas definidos por 6 su función de transferencia 1.3 Transformación de modelos de sistemas con Matlab Solución de la ecuación de estado invariante con el tiempo Resultados útiles en el análisis matricial Controlabilidad Observabilidad 33 Capítulo 2. Diseño con realimentación del vector de estado completo Introducción Asignación de polos Solución de problemas de asignación de polos con Matlab Diseño de servosistemas 50 Capítulo 3. Diseño del observador de estados Observadores de estado Diseño de sistemas reguladores con observadores Diseño de sistemas de control con observadores 83 Capítulo 4. Sistemas de control optimo Índices de comportamiento Diseño de sistemas de control optimo 92 Capítulo 5. Diseño del observador de estados Diseño del controlador con modelo interno Sistema de verificación automático 108 IV. REFERENCIALES 112 V. APENDICES 113 VI. ANEXOS 115 1

3 LISTA DE FIGURAS Figura N 2.1 Sistema de control 36 Figura N 2.2 Sistema de control en lazo cerrado con u = Kx 37 Figura N 2.3 Sistema regulador 42 Figura N 2.4 Respuesta en el tiempo del sistema ante un escalón unitario 43 Figura N 2.5 Respuesta en el tiempo a un escalón sistema compensado 46 Figura N 2.6 Respuesta en el tiempo del sistema realimentado factor 1/5 46 Figura N 2.7 Respuesta a condición inicial 49 Figura N 2.8 Servosistema tipo 1 cuando la planta tiene integrador 50 Figura N 2.9 Respuesta en el tiempo 54 Figura N 2.10 Respuesta en el tiempo 55 Figura N 2.11 Servosistema de tipo 1 56 Figura N 2.12 Servosistema de tipo 1 con observador de estado 58 Figura N 2.13 Sistema de control del péndulo invertido 59 Figura N 2.14 Sistema de control del péndulo invertido Servosistema tipo 1 60 cuando la planta no tiene un integrador Figura N 2.15 Curvas x1-t, x2-t, x3 (=salida y)-t, x4-t y x5(=ξ)-t 63 Figura N 3.1 Diagrama de bloque del sistema y del observador de estado de 65 orden completo, cuando la entrada u y la salida y son escalares Figura N 3.2 Sistema de control realimentado con estado observado 69 Figura N 3.3 Representación en diagramas de bloques del sistema con un 70 controlador observador Figura N 3.4 Respuesta en el tiempo a una entrada escalón 73 Figura N 3.5 Sistema controlador-observador y planta 74 Figura N 3.6 Respuesta en el tiempo del sistema realimentado ante un 75 escalón unitario. Figura N 3.7 Curvas de respuesta a condición inicial 77 Figura N 3.8 Sistema regulador 78 Figura N 3.9 Respuesta a la condición inicial dada;x1(0) = 1, x2(0) = 0, 83 x3(0) = 0, e1(0) = 1, e2(0) = 0 Figura N 3.10 Sistema de control con controlador observador en el camino 84 directo Figura N 3.11 Respuesta a un escalón unitario del Sistema de control 86 2

4 Figura N 3.12 Sistema de control con controlador observador en el camino de 86 realimentación Figura N 3.13 Respuesta en el tiempo de la segunda configuración 87 Figura N 4.1 Cálculo del índice ISE 89 Figura N 4.2 Modelo de diagrama de bloques 90 Figura N 4.3 Tres criterios de comportamiento para un sistema de segundo 91 orden Figura N 4.4 Sistema de control de posición de un telescopio espacial 91 Figura N 4.5 Un sistema de control en términos de x y u. 93 Figura N 4.6 Sistema de control en lazo abierto 95 Figura N 4.7 Respuesta en el tiempo del sistema 96 Figura N 4.8 Sistema de control compensado 98 Figura N 4.9 Respuesta en el tiempo para k2=1, 2, 3, 4, 5 99 Figura N 4.10 Índice de comportamiento J frente al parámetro k2 99 Figura N 5.1 Diseño del modelo interno para una entrada escalón 105 Figura N 5.2 Diseño del modelo interno para una entrada escalón 106 Figura N 5.3 Diseño del modelo interno para una entrada rampa 107 Obsérvese que G p (s). G c (s) contiene 1/s 2, la entrada de referencia Figura N 5.4 Diagrama de bloques en lazo abierto del motor dc con una 108 rueda de codificación montada Figura N 5.5 Diagrama de bloques en lazo cerrado del motor dc 109 Figura N 5.6 Lugar de las raíces para el sistema de verificación automática 110 Figura N 5.7 Respuesta en el tiempo a un escalón del sistema de verificación automático 111 3

5 II. INTRODUCCION Un sistema moderno complejo posee muchas entadas y muchas salidas que se relacionan entre si de una forma complicada. Para analizar un sistema de este tipo, es esencial reducir la complejidad de las expresiones matemáticas, además de recurrir a computadoras que realicen una gran parte de los tediosos cálculos que son necesarios. El enfoque en el espacio de estados para el análisis de sistemas es el más conveniente desde este punto de vista. Mientras la teoría de control convencional se basa en la relación entrada-salida, o función de transferencia, la teoría de control moderna se basa en la descripción de las ecuaciones de un sistema en términos de n ecuaciones diferenciales de primer orden, que se combinan en una ecuación vectorial de primer orden. El uso de la notación matricial simplifica enormemente la representación matemática de los sistemas de ecuaciones. El incremento en el número de variables de estado, de entradas o de salidas no aumenta la complejidad de las ecuaciones. De hecho, el análisis se sistemas complicados con múltiples entradas y salidas se realiza mediante procedimientos solo ligeramente más complicados que los requeridos para el análisis de sistemas de ecuaciones diferenciales escalares de primer orden. El texto presenta las técnicas matemáticas matriciales para el diseño de sistemas de control en el espacio de estados. Este texto está escrito para estudiantes de ingeniería de Pregrado (eléctrica, electrónica y otra especialidades) y también para estudiantes de Postgrado, con la finalidad de que se pueda utilizar como texto para los sistemas lineales. El texto está organizado en 5 capítulos. El capítulo 1 aborda el análisis de sistemas de control en el espacio de estados. El capítulo 2 presenta el diseño con realimentación del vector de estado completo. El capítulo 3 trata del diseño del observador de estados. El capítulo 4 trata de los sistemas de control óptimo y por último el capítulo 5 aborda el tema de diseño de controladores con modelo interno. Se ha incluido figuras que detallan las respuestas en el tiempo elaboradas con el software Matlab mediante corridas de programas en lenguaje script. 4