Práctica 1: Señales y análisis de Fourier

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1 Física de las Comunicaciones 2006/2007 Práctica 1 1 Práctica 1: Señales y análisis de Fourier 1. Objetivo y contenido En esta práctica pretendemos revisar parte de la materia del tema 2 de la asignatura desde la perspectiva de un entorno de cálculo numérico y simulación por ordenador: matlab. El objetivo fundamental es familiarizarse con la definición, manipulación y representación de señales en matlab. Este documento proporciona un guión que incluye todas las órdenes necesarias para ir siguiendo los apartados de la práctica. Con objeto de centrarnos en la materia de la asignatura y de que la clase sea más amena, hemos optado por no dedicar apartados específicos a explicar el entorno ni el lenguaje de programación matlab, sino por explicar los conceptos y funciones necesarios sobre la marcha. En primer lugar, tras una toma de contacto básica con el entorno, mostraremos un ejemplo que resume los aspectos de la asignatura que se van a tratar en esta práctica. Este primer ejemplo es una aproximación intuitiva al uso de matlab, con la que pretendemos dar una idea general de las posibilidades del entorno. A lo largo de la práctica se irán detallando los puntos que se presentan brevemente en el ejemplo inicial: definición de y operación con señales, representación gráfica, análisis de Fourier y manipulación de señales en los dominios del tiempo y la frecuencia. 2. Ejemplo de manipulación de señales en matlab Empezamos con un ejemplo que presenta de manera resumida el contenido de esta práctica. En el ejemplo 1, definimos una señal, calculamos su transformada de Fourier, y la representamos en los dominios del tiempo y de la frecuencia. 3. Señales en matlab Siendo rigurosos, el procedimiento seguido en el apartado anterior no es adecuado para el análisis de señales analógicas; es más, en general matlab no permite analizar señales analógicas 1. Esto se debe a que la forma natural de representar una señal en matlab es 1 Salvo que se usen bloques funcionales o toolboxes específicos.

2 2 Física de las Comunicaciones 2006/2007 Práctica 1 Ejemplo 1 ficom pr ejemplo brusco.m % Ejemplo brusco % A) Definición de la se~nal t = -0.25:0.001:0.25; w1 = 2*pi*50; w2 = 2*pi*200; g = 3*sin(w1*t) - 2*cos(w2*t); % B) Representación en tiempo subplot(311) plot(t,g) % C) Transformada y representación en frecuencia G = fftshift(fft(g)); % base de frecuencias f = base_tiempo_frec(t); % amplitud de la transformada subplot(312); plot(f,abs(g)); % fase de la transformada subplot(313); plot(f,angle(g)); % fase, mejor plot(f,unwrap(angle(g))); definir una secuencia finita de valores mediante un vector fila. Así, por ejemplo, podemos definir la secuencia de instantes de tiempo equidistantes (intervalo 1 ms) entre 0 y 0.25, que en el ejemplo visto es la base de tiempos de la señal. Y, del mismo modo, en el ejemplo 2, definimos una señal sinusoide como una secuencia de valores. Ejemplo 2 ficom pr senal sinusoide.m % Ejemplo de definición de se~nal sinusoide % base de tiempos t = -2*pi:0.001:2*pi w = 2*pi*1 g = sin(w*t) % Diferentes estilos de representación plot(t,g) plot(t,g, * ) stem(t,g) % Otra forma de representación gráfica Se puede acceder a los elementos de los vectores usando la notación del ejemplo 3. Nótese que t(1) representa un instante de tiempo, mientras que g(1) representa el valor que toma la señal g en ese instante. Por tanto, siendo estrictos, en matlab toda señal es discreta en tiempo, mientras que en amplitud puede ser discreta (cuantizada) o continua (aunque limitada por la precisión de los tipos numéricos). No obstante, si los intervalos temporales entre valores son suficientemente pequeños y el rango temporal en que se define la señal es suficientemente amplio, la

3 Física de las Comunicaciones 2006/2007 Práctica 1 3 Ejemplo 3 ficom pr elementos vectores.m % Acceso a elementos de los vectores g(1) g(2) t(length(t)) secuencia de valores empleada para representar la señal y las operaciones realizadas para su análisis proporcionan una buena aproximación a los resultados teóricos. En el caso más simple y frecuente, los valores se toman en instantes equiespaciados, intervalo que no debe confundirse con el periodo de muestreo. De momento, ignoraremos el efecto de la discretización de señales (utilizaremos intervalos de tiempo suficientemente pequeños, de modo que los efectos sean despreciables). Asimismo, la amplitud de las señales está sometida a una discretización que, dada la precisión de los tipos numéricos empleados en matlab, podemos ignorar. Representar la señal sinusoide anterior para diferentes intervalos de la base de tiempos t. Pensar si es posible y cómo se puede definir en matlab una señal perteneciente a las siguientes categorías: Discreta en el tiempo y amplitud Discreta en el tiempo y continua en amplitud Discreta en la amplitud y continua en el tiempo Continua en tiempo y en amplitud En matlab se pueden definir señales a partir de otras mediante operaciones sobre vectores. Así, el ejemplo 4 define la potencia instantánea de la señal sinusoide anterior. Ejemplo 4 ficom pr potencia instantanea.m % Potencia instantánea p1 = g.^2; % Definición alternativa p2 = sin(w*t).^2; % Comparación isequal(p1,p2) 3.1. Señales especiales Veamos una posible forma de representar en matlab algunas señales típicas:

4 4 Física de las Comunicaciones 2006/2007 Práctica 1 Señal escalón, u(t), en el ejemplo 5. Señal pulso, rect(t), amplitud 1, véase el ejemplo 6. Señal sampling (S a (t) = sin(t) t y Sinc(t) = sin(πt) πt ), en el ejemplo 7. Ejemplo 5 ficom pr senal escalon.m % Ejemplo de se~nal escalón t=-10:0.01:10; g_escalon=[zeros(1,1000), ones(1,1001)]; plot(t,g_escalon); Ejemplo 6 ficom pr senal pulso.m % Ejemplo de se~nal pulso t=-10:0.01:10; g_pulso=[zeros(1,950), ones(1,101), zeros(1,950)]; plot(t,g_pulso); Ejemplo 7 ficom pr senal sampling.m % Ejemplo de se~nal sampling t=-10:0.01:10; % Se~nal sampling (nula en t=n*pi; n=1,2,... g_sampling = sin(t)./t; plot(t,g_sampling) % Se~nal sampling (nula en t=n; n=1,2,... sinc(t); % equivalente a sin(pi*t)/(pi*t) plot(t,sinc(t)) Pensar cómo se definirían otros tipos de señales, por ejemplo impulso, rectángulo, triangular, exponencial, cuadrada, etc. Es posible definir en matlab señales de los siguientes tipos? Periódicas / no periódicas Deterministas / aleatorias Continuas / discretas Analógicas / digitales Energía / potencia Paso de baja, paso de banda, etc.

5 Física de las Comunicaciones 2006/2007 Práctica Análisis de Fourier Utilizando operaciones sobre vectores, se pueden calcular fácilmente los coeficientes de Fourier correspondientes a una señal. En el ejemplo 8, se definen el vector n, que contiene los índices de los coeficientes, y el vector cn, que contiene los coeficientes. Ejemplo 8 ficom pr coeficientes fourier.m % Coeficientes de Fourier para una se~nal cuadrada de periodo 1s. n = -10:10; cn = (cos(n*pi)-1)./(-2*j*n*pi); % coeficientes cn(11) = 0.5; subplot(2,1,1) stem(n,abs(cn)) ylabel( Magnitud de cn ) subplot(2,1,2) stem(n,angle(cn)) ylabel( Fase de cn ) xlabel( n ); En matlab, la transformada de Fourier unidimensional se puede calcular mediante la función predefinida fft, que calcula la transformada de Fourier discreta mediante el algoritmo FFT (Fast finite Fourier transform [6]). En el ejemplo 9, retomamos el ejemplo inicial levemente modificado. En este caso, las representaciones gráficas de la señal y su transformada no parecen correctas. Qué diferencia respecto al ejemplo inicial puede ser la causa? La función base_tiempo_frec proporciona un vector base de frecuencias a partir de un vector base de tiempos, de modo que la representación de la señal en el dominio de la frecuencia se corresponda con la representación de la señal en el dominio del tiempo. Su definición, que constituye un ejemplo de definición de una función con un parámetro y un resultado, es la siguiente: function f = base_tiempo_frec (t) % Produce un vector base de frecuencias a partir de un vector base de tiemposxb delta_t = t(2)-t(1); f = ((1:length(t)) - ceil(length(t)/2)) / length(t) / delta_t; Mediante abs y angle obtenemos la magnitud y la fase del espectro de la señal. Nótese que la amplitud de la transformada obtenida mediante fft queda multiplicada por n respecto a la definición vista en las clases de teoría, siendo n el número de elementos del vector utilizado para representar la señal original 2. 2 Ojo: si el número de elementos del vector dado como transformada se restringe a un número menor que la longitud del vector original, la amplitud queda dividida por el mismo valor

6 6 Física de las Comunicaciones 2006/2007 Práctica 1 Ejemplo 9 ficom pr ejemplo brusco2.m % Ejemplo brusco 2 % A) Definición de la se~nal t=-2*pi:0.01:2*pi; w1=2*pi*60; w2=2*pi*200; g = 3*sin(w1*t) - 2*cos(w2*t); % B) Representación en tiempo subplot(311) plot(t,g) % C) Transformada y representación en frecuencia G= fftshift(fft(g)); % base de frecuencias f = base_tiempo_frec(t); % amplitud de la transformada subplot(312); plot(f,abs(g)); % fase de la transformada subplot(313); plot(f,angle(g)); % fase, mejor plot(f,unwrap(angle(g))); De manera análoga, podemos obtener las partes real e imaginaria de cualquiera de las señales y transformadas (ver el ejemplo 10). Ejemplo 10 ficom pr partes real imaginaria.m % Partes real e imaginaria subplot(211) plot(f,real(g)); subplot(212) plot(f,imag(g)); % probar qué pasa... subplot(211) plot(f,g) Comprobar qué pasa si usamos G=fft(g) en lugar de G=fftshift((fft(g)); El ejemplo 11 ilustra una de las propiedades de la transformada de Fourier: multiplicar por una señal coseno equivale a un desplazamiento en el dominio de la frecuencia. Por otra parte, la función de matlab ifft calcula la transformada de Fourier inversa (ver el ejemplo 12). Comprobar isequal(g,g_trans) y calcular la señal g - g_trans.

7 Física de las Comunicaciones 2006/2007 Práctica 1 7 Ejemplo 11 ficom pr multiplicar coseno fourier.m % Multiplicar por coseno equivale a desplazamiento en frecuencia t = 0:0.001:1; x = cos(2*pi*50*t); g = x.* cos(2*pi*10*t); X=fftshift(fft(x)); G=fftshift(fft(g)); f = base_tiempo_frec(t); subplot(211) grid; plot(f,abs(x)); subplot(212) plot(f,abs(g)); Ejemplo 12 ficom pr transformada fourier inversa.m % Transformada de Fourier inversa % vale cualquier g de las anteriores t = -pi:0.001:pi; w = 2*pi; g = cos(w*t); g_trans = ifft(fft(g));

8 8 Física de las Comunicaciones 2006/2007 Práctica Producto de convolución En matlab contamos con las funciones predefinidas conv para calcular la convolución de dos señales. El ejemplo 13 calcula y representa la convolución de una señal coseno con una señal escalón. Ejemplo 13 ficom pr convolucion.m % Convolución de se~nales t = -pi:0.001:pi; g_escalon=[zeros(1,1000*pi+1), ones(1,1000*pi+1)]; w = 2*pi; g = cos(w*t); g_conv = conv(g,g_escalon); subplot(311) plot(t,g) subplot(312) plot(t,g_escalon) subplot(313) plot(t,g_conv(1:length(g))) Comprobar visualmente que se verifican las propiedades de la transformada de Fourier respecto al producto de convolución Espectros de densidad de energía y potencia Para el cálculo de estos espectros disponemos (además de las funciones para análisis de Fourier anteriores) de la función psd, que proporciona la representación de la densidad espectral de potencia de una señal (en db). El ejemplo 14 representa gráficamente el resultado de la función psd para una sinusoide. Ejemplo 14 ficom pr densidad espectral potencia.m % Densidad espectral de potencia t = -pi:0.001:pi; w = 2*pi*100; g = cos(w*t); PSD=psd(g,2^10,length(g)) % densidad espectral de potencia plot(psd) 5. Cálculo simbólico. Donde dije digo... Durante la práctica hemos representado señales mediante vectores y hemos manipulado las señales esencialmente mediante operaciones con vectores. Esta es la forma habitual de

9 Física de las Comunicaciones 2006/2007 Práctica 1 9 trabajar con matlab. No obstante, aunque en principio matlab no se diseñó para realizar operaciones simbólicas, sí es posible definir y manipular señales (y funciones en general) de manera simbólica, si disponemos del Toolbox para cálculo simbólico. Así, como en el ejemplo 15, podemos definir una función seno o una δ de Dirac, y calcular la transformada de Fourier de manera simbólica. Ejemplo 15 ficom pr fourier simbolico.m % Análisis de Fourier con cálculo simbólico syms t % crear variable simbólica g = sin(2*pi*t) G = fourier(g) % Transformada de Fourier plot(g) % error! ezplot(g) ginv = ifourier(g) % Transformada inversa g2 = dirac(t) G2 = fourier(g2) % Se~nal Heaviside/escalon g3 = heaviside(t) % Suma de series syms k symsum(1/k^2,1,10) symsum(1/k^2,1,inf) 6. Notas Matlab suele incluir programas de demostración de los Toolboxes disponibles. Por ejemplo, se puede probar una demo sobre la transformada de Fourier discreta mediante la orden sigdemo1. Dentro de la ventana de órdenes, se puede obtener ayuda sobre cualquier elemento de matlab mediante la orden help. Entre otras, se dispone de la orden help help, que proporciona una explicación básica de cómo utilizar help. Del mismo modo, se puede usar la orden doc para consultar la documentación sobre cualquier tema. Para poner títulos y manipular las gráficas, además de la interfaz gráfica, se dispone de las siguientes órdenes, entre otras muchas: title( Título de la gráfica ) xlabel( Título eje horizontal ) ylabel( Título eje vertical ) set(gca, XTick,-pi:pi/2:pi) % colocar marcas en el eje x hold % acumular gráficas sobre la misma ventana grid % trazar rejilla interna help plot % ayuda específica sobre plot y funciones similares doc plot % documentación sobre plot Las opciones disponibles se detallan en la documentación sobre la orden plot.

10 10 Física de las Comunicaciones 2006/2007 Práctica 1 Se pueden obtener diferentes formas de representación gráfica de señales con las órdenes plot, stem y otras que veremos en próximas prácticas. Los apartados Basic Plotting Functions y Specialized Plotting de la documentación de matlab explican los detalles. 7. Referencias [1] Introduction to Matlab and Octave. jos/matlab/matlab.pdf. Descripción de la historia y las características generales del lenguaje matlab y en particular de los entornos Matlab y Octave. [2] MATLAB Tutorial. De los autores del libro Fundamentals of Signals and Systems Using Matlab. Muy buena introducción al uso de matlab para análisis de señales y sistemas en comunicaciones. [3] Documentation for MathWorks Products, Release 14. [4] GNU Octave Repository Categorical Index. [5] Prácticas de la asignatura Señales y Sistemas Discretos, impartida por el Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones de la Universidad de Vigo. [6] FFTW: A library for computing the discrete Fourier Transform. [7] Fundamentals of Signals and Systems Using the Web and MATLAB: Online Demos. bonnie/book/applets.html [8] Numerical Mathematics Consortium (www.nmconsortium.org). Iniciativa de estandarización de algoritmos y lenguajes numéricos. [9] V.K. Ingle y J.G. Proakis. Digital Signal Processing Using MATLAB V.4. PWS Publishing Company ISBN:

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