Funciones racionales, irracionales y exponenciales

Transcripción

1 0 Funciones racionales, irracionales y eponenciales. Funciones racionales Despeja y de la epresión y = 6. Qué tipo de función es? P I E N S A C A L C U L A 6 y = Es una función racional que corresponde a una función de proporcionalidad inversa. Representa la gráfica de la función y = /, calcula el valor de la constante de proporcionalidad e indica si ésta es creciente o decreciente. Tabla de valores: y = / y = las ecuaciones de las asíntotas. c) las discontinuidades. Haciendo la división se obtiene: f() = + y = A P L I C A L A T E O R Í A = Dom(f) = {} = ) á (, Constante de proporcionalidad k = > 0 ò decreciente Dibuja la gráfica de la función f() = Halla: su dominio. 5 Asíntotas Asíntota vertical: = Asíntota horizontal: y = c) Es discontinua en = Halla la ecuación de las siguientes funciones: 6 SOLUCIONARIO

2 Se dibujan las asíntotas y un rectángulo. y = = 5 Se dibuja un rectángulo. Como es creciente, k es negativo. 5 y = y = Como es decreciente, k es positivo. y =. Operaciones con funciones. Funciones irracionales Desarrolla los siguientes polinomios y calcula su suma: ( ) + ( + )( ) 6 P I E N S A C A L C U L A Dadas las siguientes funciones: f() = ( + 5) g() = ( 5) f + g f g (f + g)() = + 50 (f g)() = 0 5 Dadas las siguientes funciones: f() = ( + ) g() = ( +)( ) 6 f g f/g c) Dom(f/g) (f g)() = + + (f/g)() = c) Dom(f/g) = {} = ) á (, Dadas las siguientes funciones: f() = + 5 g() = A P L I C A L A T E O R Í A TEMA 0. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES EPONENCIALES 69

3 g f f g Clasifica la función f() =, halla su dominio y represéntala. (g f)() = g(f()) = g( + 5) = ( + 5) = = (f g)() = f(g()) = f( ) = + 5 La función es irracional. Dom(f) = [, 7 Dada f() = +, calcula f, representa ambas funciones y la recta y =. Qué observas? y = = y + y = + y = ò y = f () = f() = + y = f () = 9 Halla la fórmula de las siguientes funciones: Se observa que f() y f () son simétricas respecto de la recta y = y = + 5 y =. Funciones eponenciales Calcula mentalmente las 0 primeras potencias enteras positivas de,,, 6,, 6,, 56, 5, 0 P I E N S A C A L C U L A 70 SOLUCIONARIO

4 0 Representa la siguiente función: f() = Tabla de valores y = /9 / 0 9 Es la función y = (/) trasladada unidades hacia abajo y una hacia la izquierda. (, ) A P L I C A L A T E O R Í A y = + (/) + y = (, ) (, ) (0, ) Halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica: Representa la siguiente función: f() = (/) y = (/) 9 0 / /9 y = (/) (, ) (0, ) y = y = + (/) 5 Una célula se reproduce por bipartición cada minuto. Halla la función que epresa el número de células en función del tiempo, y represéntala gráficamente. Representa la siguiente función: f() = + Es la función y = trasladada unidades hacia arriba y una hacia la derecha. (, 5) y = t,t Ó 0 Como no puede haber fracciones de células, será una función discreta. y = + (, ) t 0 y = t 6 5 Representa la siguiente función: f() = + (/) + Número de células y = t Tiempo (min) T TEMA 0. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES EPONENCIALES 7

5 Ejercicios y problemas. Funciones racionales 6 Representa la gráfica de la función y = /. Calcula el valor de la constante de proporcionalidad e indica si es creciente o decreciente. Tabla de valores: Halla la ecuación de las siguientes funciones: y = / Constante de proporcionalidad k = > 0 ò creciente Se dibuja un rectángulo. y = Como es creciente, k es negativo. y = Se dibujan las asíntotas y un rectángulo. 7 Dibuja la gráfica de la función f() = Halla: su dominio. + + = y = las ecuaciones de las asíntotas. c) las discontinuidades. Haciendo la división se obtiene: f() = + Como es decreciente, k es positivo. y = y = + y = = Dom(f) = { } = ) á (, Asíntotas Asíntota vertical: = Asíntota horizontal: y = c) Es discontinua en =. Operaciones con funciones. Funciones irracionales 9 Dadas las siguientes funciones: f() = ( ) g() = 9 f + g f g (f + g)() = 6 (f g)() = SOLUCIONARIO

6 0 Dadas las siguientes funciones: f() = 6 g() = ( + ) f g f/g c) Dom(f/g) (f g)() = + 56 (f/g)() = + c) Dom(f/g) = { } = ) á (, Clasifica la función f() = +, halla su dominio y represéntala. La función es irracional. Dom(f) = [, y = + Dadas las siguientes funciones: f() = 5 g() = + g f f g (g f)() = g(f()) = g(5 ) = = (5 ) + (5 ) = (f g)() = f(g()) = f( + ) = = 5( + ) = Halla la fórmula de las siguientes funciones: Dada la siguiente función: f() = + 5 calcula f Representa ambas funciones y la recta y =. Qué observas? y = y = + +. Funciones eponenciales = y + 5 = y + 5 y = + 5 y = 5 f () = 5, Ó 0 5 Representa la función f() = Tabla de valores y = /6 / 0 6 f() = + 5 y = Se observa que f() y f () son simétricas respecto de la recta y = y = 5 6 y = (, ) (0, ) Representa la función f() = (/) TEMA 0. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES EPONENCIALES 7

7 Ejercicios y problemas y = (/) 6 0 / /6 9 Halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica. y = (/) (, ) (0, ) 7 Representa la función f() = + Es la función y = trasladada unidades hacia abajo y dos hacia la derecha. Representa la función f() = + (/) + Es la función y = (/) trasladada unidad hacia arriba y tres hacia la izquierda. (, ) y = + (, ) (, 5) (, ) y = + (/) + y = (/) y = + 0 Un estanque contiene hectolitros de agua y cada mes se gasta la mitad de su contenido. Halla la función que define la capacidad que queda en el estanque en función del tiempo y represéntala gráficamente. y = (/) t,t Ó 0 t 0 y = (/) t Como el agua disminuye continuamente, será una función continua. Volumen (hl) y = (/) t / Tiempo (meses) T 5 / 6 / 7 SOLUCIONARIO

8 Para ampliar Halla el dominio de las funciones: 7 y = Función irracional. y = Dom(f) = {} = ) á (, Dom(f) = [, Halla el dominio de las funciones: y = + 5 y = + Dom(f) = = Dom(f) = [, Halla las discontinuidades de las funciones: + 5 y = y = + = = 5 Creciente ( ) : [, Decreciente ( ) : Ö y = + + y = + + Función eponencial. Clasifica las siguientes funciones. Represéntalas y halla su crecimiento: + y = y = Función racional. Creciente ( ) : = Decreciente ( ) : Ö Función racional. + y = ò y = = y = y = = + y = ò y = + Creciente ( ) : Ö Decreciente ( ) : ) á (, Creciente ( ) : Ö Decreciente ( ) : ) (, 6 Dadas las siguientes funciones: f() = 7 g() = f + g f g TEMA 0. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES EPONENCIALES 75

9 Ejercicios y problemas 0 (f + g)() = + (f g)() = Dadas las siguientes funciones: f() = 7 g() = + 7 f g f/g c) el dominio de f/g Función racional. (f g)() = 9 7 (f/g)() = + 7 c) Dom(f/g) = { 7} = 7) á ( 7, Representa la función f() =, multiplica dicha función por y represéntala en los mismos ejes coordenados. Qué observas en las gráficas de ambas funciones? y = Función eponencial. y = e La gráfica de la función f() = es la simétrica de la función f() = respecto del eje f() = f() = Función racional. 9 Dadas las siguientes funciones: f() = g() = 5 + g f f g y = (g f)() = g(f()) = g( ) = 5( ) + = Función racional. = (f g)() = f(g()) = f(5 + ) = 5 + = = 5 Clasifica y halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica. y = 76 SOLUCIONARIO

10 Función racional. Función racional. y = Función irracional. y = y = Función eponencial. y = (/e) 5 Función eponencial. Función irracional. y = 5 y = + Función racional. Función racional. y = 5 y = 5 TEMA 0. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES EPONENCIALES 77

11 Ejercicios y problemas 6 7 Función racional. Función racional. 6 6 y = Función eponencial. y = (/5) y = Función irracional. y = + Problemas Un árbol crece durante los tres primeros años, según la función y =. Representa dicha función en los tres primeros años de vida del árbol. y = (g f)() = g(f()) = g( + ) = + = = = (f g)() = f(g()) = f ( ) = = ( ) + = + = c) Que las funciones f y g son una inversa de la otra. 50 Dada la siguiente función: f() = f f Qué puedes afirmar del resultado obtenido? 9 Dadas las funciones: f() = + g() =, Ó g f f g c) Qué puedes afirmar del resultado obtenido? (f f)() = f(f()) = f( ) = Que la función f es inversa de sí misma. 5 Calcula la función inversa de f() = 5, Ó 0. Representa ambas funciones en unos mismos ejes coordenados, y la recta y =. Qué observas? 7 SOLUCIONARIO

12 y = 5, Ó 0 Se cambian las letras. = y 5 Se despeja la y y = 5 y = + 5 f () = + 5 Los puntos de corte son: O(0, 0) y A(, ) O(0, 0) y = y = A(, ) f () = + 5 y = Se observa que ambas gráficas son simétricas respecto de la recta y = 5 Calcula la función inversa de f() = +. Representa ambas funciones en unos mismos ejes coordenados, y la recta y =. Qué observas? y = + Se cambian las letras. = y + Se despeja la y = y + y = + y = f () = f () = f() = 5 f() = + 5 y = y = El único punto de corte es P(, ) Clasifica y halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica: 55 Función racional. y = P(, ) y = / Se observa que ambas gráficas son simétricas respecto de la recta y = Representa en unos mismos ejes coordenados las siguientes funciones y luego halla los puntos de corte: 5 y = y = y = Función irracional. y = + TEMA 0. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES EPONENCIALES 79

13 Ejercicios y problemas 56 5 Función eponencial. Función racional. y = + + Función racional. y = = y = y = + = = + 7 y = = + + Función irracional. y = Función eponencial. Función racional. y = 0 Función racional. y = = y = + y = 0 = + y = = + + Función eponencial. y = (/0) 0 SOLUCIONARIO

14 60 y = + = Función irracional. y = Función racional. 6 En una granja hay pienso para alimentar 000 pollos durante 0 días. Calcula la función que da el número de días en función del número de pollos. Clasifica la función obtenida. = y = ò y = y = Es una función racional. Es de proporcionalidad inversa. + y = = Función racional. 6 5 y = + = y = = Halla la función que calcula la longitud del lado de un cuadrado de área m. Clasifica la función obtenida. y = Es una función irracional. Los ingresos y gastos, en millones de euros, de una empresa en función del número de años que llevan funcionando vienen dados por: i() = g() = Calcula la función que da los beneficios de dicha empresa. Cuándo empieza a ser deficitaria la empresa? b() = i() g() b() = 5 Empieza a ser deficitaria a partir de que los beneficios sean cero. Función racional. y = = 65 5 = 0 (5 ) = 0 ò = 0, = 5 Para = 0 es cuando empieza a funcionar. A partir de los 5 años empezará a ser deficitaria. Las diferencias de presiones, que aparecen al ascender por una montaña, son la causa del mal de montaña y del dolor de oídos. Se ha probado eperimentalmente que la presión viene dada por la fórmula TEMA 0. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES EPONENCIALES

15 Ejercicios y problemas y = 0,9, donde y se mide en atmósferas, y, en miles de metros. Representa dicha función. Qué presión hay a 000 m de altura? c) A qué altura tendremos que ascender para que la presión sea de 0,59 atmósferas? Gráfica Presión (atmósferas) y = 0,9 = 0,79 atmósferas. c) 0,9 = 0,59 log 0,9 = log 0,59 log 0,59 = = 5 log 0,9 Altura = m 0,9 0, 0,7 0,6 0,5 0, 0, 0, 0, Longitud (miles de metros) 6 la función que epresa el valor en función del número de años. el valor que tendrá al cabo de 0 años. c) cuántos años tendrán que transcurrir para que valga la mitad del precio inicial. y = 0 6 0, y = 0 6 0, 0 = 7,0 c) 0 6 0, = 0, , = 0,5 log 0, = log 0,5 log 0,5 = =,9 años log 0, Aproimadamente años y medio. El alquiler de un piso es de 500 mensuales. Si en el contrato se hace constar que se subirá un % anual, la función que epresa el precio del alquiler en función del número de años. el precio del alquiler al cabo de 0 años. c) cuántos años tendrán que transcurrir para que se duplique el alquiler. 66 La bacteria Eberthella typhosa se reproduce por bipartición cada hora. Si partimos de un millón de bacterias, la función que epresa el número de bacterias en función del tiempo. cuántas bacterias habrá al cabo de horas. Da el resultado en notación científica. c) qué tiempo tiene que transcurrir para tener 0 millones de bacterias. y = 500,0 y = 500,0 0 = 67,96 c) 500,0 = 000,0 = log,0 = log log = =,5 años. log,0 y = 0 6 y = 0 6 =, c) 0 6 = = 0 = 0 = 0 horas. 67 Un barco de vela deportivo cuesta un millón de euros. Si se devalúa un % anualmente, 69 Un bosque tiene 5 m de madera. Si el ritmo de crecimiento es de un 0% al año, la función que epresa el volumen de madera en función del número de años. el volumen que tendrá al cabo de 5 años. c) cuántos años tendrán que transcurrir para que se triplique el volumen. y = 5, y = 5, 5 = 0,9 m SOLUCIONARIO

16 c) 5, = 5, = log, = log log = =,5 años. log, 6 + y = + = + + Función eponencial. y = + (/) Para profundizar 70 Calcula la función inversa de f() =. Qué puedes afirmar viendo el resultado que has obtenido? 7 y = Se cambian las letras. = y Se despeja la y y = Función logarítmica. y = + log ( ) Función irracional. y = + f () = Se puede afirmar que dicha función coincide con su inversa. 7 Clasifica y halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica: 7 Función racional. Función racional. = 0 = y = 6 y = + y = = Función logarítmica. y = + log / ( ) TEMA 0. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES EPONENCIALES

17 Ejercicios y problemas 7 75 Para recolectar las fresas de una huerta, 0 trabajadores tardan 5 días. Calcula la función que da el número de días en función del número de trabajadores. Clasifica la función obtenida. Función eponencial. y = + + Función irracional. y = + y = y = Es una función racional. Es de proporcionalidad inversa. SOLUCIONARIO