Semana 7. Multiplicación y división de polinomios. Semana 7. Multiplicación de polinomios. Multiplicación y división de polinomios

Transcripción

1 Multiplicación y división de polinomios Seguimos trabajando! A partir de esta semana falta por recorrer la mitad del curso, así que mucho ánimo! En este encuentro continuamos abordando las operaciones de polinomios; ahora es el turno de la multiplicación y división. 7x 7cm illustracion Para facilitarte el aprendizaje de esta unidad, debes revisar la semana Nº 5 del material de 7mo semestre y tener muy claros los conceptos que trabajamos la semana anterior. En principio, queremos que recuerdes muy bien cómo se resuelve la división de números. Te colocamos un ejemplo resuelto. Este procedimiento te será de gran utilidad para dividir polinomios. Dividendo Divisor Cociente (0) Residuo o resto Multiplicación de polinomios De manera similar que en los números, se busca obtener un nuevo polinomio, cuyos términos dependan del producto de los términos de los polinomios dados. La regla básica es que los coeficientes se multiplican entre ellos, considerando los signos, y las variables siguen la regla del producto de potencias de igual base. Veamos un ejemplo: 186 Vamos a considerar el producto de los polinomios R(x) = 7x y S(x) = x 4 + 5x - 2x - (nótese que los polinomios están ordenados). En la Tabla 4, tomaremos al polinomio R(x) como operador, esto es, el que multiplicará a S(x) (polinomio multiplicado). Colocamos en cada fila del operador los términos de R(x) y a su lado colocamos a S(x). De esta manera, garantizamos que se multipliquen todos los términos, como se indica en la primera fila, mediante colores y líneas para ilustrar el procedimiento. En la columna del producto vemos la operación que se realiza término a término; estos resultados se colocan en la cuarta columna como un polinomio ordenado. Finalmente, se realiza la suma de los resultados de cada fila para obtener el producto R(x) S(x).

2 Tabla 4 Operador Polinomio multiplicado Producto Suma de términos 7x x 4 + 5x -2x - +4 x 4 + 5x -2x - -9 x 4 + 5x -2x - 7x (x 4 ) + 7x (5x ) + 7x (-2x) + 7x (-) 4 (x 4 ) + 4 (5x ) + 4 (-2x) + 4 (-) -9(x 4 ) - 9(5x ) - 9 (-2x) - 9(-) 21x 7 +5x 6-14x 4-21x 12x 6 +20x 5-8x x 4-45x +18x x 7 +47x 6 +20x 5-41x 4-74x x +27 Si analizamos mejor la tabla, podremos intuir que se presenten varios casos: 1. Tanto el operador como el polinomio multiplicado son monomios: multiplicamos los coeficientes con sus signos y las variables. Sería el caso de los números en rojo en el cuadro. Si P(x) = 7x y Q(x) = x 4, P(x) Q(x) = 7x (x 4 ) = 21x 7 2. El operador es un monomio y el polinomio multiplicado es un polinomio: se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio (propiedad distributiva). Este es el caso de cada una de las filas de la Tabla 4 consideradas separadamente. Si N(x) = 4 y S(x) = x 4 + 5x - 2x-, N(x) S(x) = 4 (x 4 ) +4 (5x ) +4 (-2x) +4 (-) = 12x 6 +20x 5-8x -12. Tanto el operador como el polinomio multiplicado son polinomios: se sigue todo el procedimiento presentado en la Tabla 4. División de polinomios Es importante recordar la relación entre los términos de la división: Dividendo = divisor x cociente + residuo En los polinomios esta relación se mantiene, por lo que el propósito de esta operación es, dado un polinomio dividendo y un polinomio divisor, conocer el cociente y residuo que verifica la igualdad anterior. Para ello, se sigue un procedimiento similar al aplicado para dividir números, teniendo en cuenta, además, el trabajo con los signos y las potencias. Ten en cuenta los signos: (+) (+) = + ( ) ( ) = + (+) ( ) = ( ) (+) = 187

3 En la división de polinomios podemos considerar los siguientes casos: Caso 1. Dividendo y divisor son monomios Veamos algunos ejemplos: Hallar P(x) Q(x) si P(x) = 12x 7 y Q(x) 4x 5 entonces Se dividen los coeficientes con sus signos 12 = 4 Se divide la variable teniendo en cuenta la división de potencias de igual base. (x m x n = x m-n ) 12x 7 4x 5 = x 7-5 = P(x) 12x 7 Así = = x 7-5 = donde es el cociente. Q(x) 4x 5 Sigamos ejercitando, para que desarrolles habilidades en las operaciones de polinomios. Halla el cociente de los siguientes monomios: -16x 8 180x 6-21x 8 15x 5 a) 2x b) -0 c) 5x 7 d) 5x 7-16x x x a) = x 8- = -8x 5 b) = x 6-2 = -6x 4 c) = x 8-7 = - x d) Hazlo! 2x x Comenta con tus compañeros el resultado del problema d) y consulta con tu facilitador sobre cualquier duda. Caso 2. División de un polinomio entre un monomio Se sigue un procedimiento similar al caso anterior, con la diferencia de que se divide cada término del polinomio entre el monomio. En el ejemplo, queremos dividir T(x) = 4x 6 -x 4 +2x entre H(x) = 2x. Tenemos: 4x 6 - x 4 + 2x 2x 4x 6 x 4 2x 2 = - + = 2x x x 1-1 = 2x 5 - x + 1 2x

4 Sigamos ejercitando, con las siguientes divisiones: a) (5x 1-10x 15 - x 10-50x 12 ) 5x 5 Luego de ordenar el polinomio, tenemos: -10x x 1-50x 12 - x 10-10x 15 5x 1-50x 12 -x 10 = =-2x 10 + x 8-10x 7 - x 5 5x 5 5x 5 5x 5 5x 5 5x 5 5 b) (x 6 + x 5 - x 4 + 5x ) x x 6 + x 5 - x 4 +5x x 6 x 5 x 4 5x = = x + - x + x 0 x x x x x Caso. División de polinomios Ilustremos este caso con un ejercicio: Dados P(x) = x 5 - x x y Q(x) = - 2x + 1. Hallar P(x) Q(x) 1. Ordenamos P(x) en forma decreciente: P(x) = 2x 5 + 2x - x - 8 (Q(x) ya lo está). A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no está completo, lo completamos con 0x n en los lugares que corresponda. x 5 + 0x 4 + 2x x - 8-2x + 1 Divisor 2. Dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor; esto nos va a dar el primer término del cociente = x, que debe ser multiplicado por todo el divisor y el resultado se coloca debajo del dividendo, con signo contrario; luego se realiza una suma algebraica: x 5 + 0x 4 + 2x x - 8-2x + 1 -x 5 + 2x 4 - x x 2x 4 + x - x - 8. Colocamos el resultado y bajamos los términos que quedan en el dividendo. Volvemos a dividir el primer término del resto parcial entre el primer término del 2x 4 divisor, obteniéndose así el segundo término del cociente = 2 y repetimos el proceso del paso 2. x 5 + 0x 4 + 2x x - 8-2x + 1 -x 5 + 2x 4 - x x + 2 2x 4 + x - x - 8-2x 4 + 4x - 2 x 5 5x x

5 5x 4. Procedemos igual que en los pasos anteriores, ahora con = 5x x 5 + 0x 4 + 2x x - 8-2x + 1 -x 5 + 2x 4 - x x x 2x 4 + x - x - 8-2x 4 + 4x - 2 5x x - 8-5x x 8-6x Volvemos a hacer las mismas operaciones. Tomando como nuevo término del 8 cociente a = 8 x 5 + 0x 4 + 2x x - 8-2x + 1 -x 5 + 2x 4 - x x x + 8 2x 4 + x -2x 4 + 4x - 2 5x x -5x x 8-6x x x x 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo, y x +2 +5x+8 es el cociente. a) (m 2-11m + 0) (m - 6 ) m 2-11m + 0 m - 6 -m 2 + 6m m - 5-5m + 0 5m b) (x x) ( - 1 ) x x - 1 -x + x x - 5 C(x) x 5-5 2x - 5 R(x) 190 Observa como es el resto en cada ejercicio. En el primer caso, se dice que la división de polinomio es exacta, si el resto de la división es igual al polinomio nulo; mientras que en el otro caso, la división es inexacta, pues el resto de la división no es el polinomio nulo (es distinto de cero).

6 Saber más Sobre división de polinomios, te recomendamos ver el video que puedes encontrar en el CD multimedia del IRFA de este semestre y en la siguiente dirección web: Y para ver otros ejercicios, te recomendamos consultar la siguiente dirección web: 1. Calcula el producto de monomios: a) P(x)= 4x 5 y Q(x) = 6x b) R(x)= -5 y S(x)= 2x c) W(x)= -4 x y N(x)= x d) T(x)= -5 x y U(x) = 4x Halla el producto del monomio por el polinomio: a) M(x)= 4-1 y Q(x)= -6x y b) T(x)= 5x - 7x x y U(x)= 1 x 5. Halla el producto de polinomios: a) p(x)= 4x 5 - x 7-8 y q(x)= - 6x b) t(x)= 9x + 7x 6 - x x y u(x)= x - 2x + 4. Halla el cociente de monomios: 8x 120x x 7 a) b) c) 4x 15x 11 x d) 2x 9 18x 9 5. Halla el cociente de un polinomio entre un monomio: a) 5x x b) 2a 10-4a 8 + 5a 6 c) 2x a 5 x 7-5x 4 + x 8-7x 15x 6. Halla el cociente y resto de cada división; señala además si es exacta o inexacta: a) (5x + x 4 - x 6 +1) (x + 1) b) ( - 10x x + 4x 5 ) (x ) c) (x 5 + 2) (x - 2) d) (x 4 + 2x + + x + 1) (x + 2x +1) 191

7 Una aplicación importante de las funciones polinómicas radica en su utilidad para el cálculo aproximado, usando sólo sumas, productos y potencias enteras de números. De hecho, las calculadoras usan las funciones polinómicas para hacer aproximaciones. Por ejemplo, para calcular valores aproximados del número e = 2, , usado en los logaritmos neperianos, se considera la función polinómica: x x n p n (x)= 1 + x n!= n 2 2 n! La aproximación que se obtiene es mejor a medida que n aumenta: n p n (1) 2 2,5 2, , , , Continúa esta lectura en la siguiente dirección web: net/guest78f2/funciones-polinomiales Encuentra una expresión para el área de la región sombreada en la Figura 9. Recuerda que el área de un rectángulo es igual a base x altura 21t + 8 t - 4 4t 2t Figura 9 192