Definición Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es un conjunto de ecuaciones como:
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- Diego Henríquez Soto
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1 Definición Un sistem de m ecuciones con n incógnits es un conjunto de ecuciones como: m ecuciones b b n n n n b m m m mn n m n incógnits términos independientes incógnits Coeficientes del sistem
2 Epresión mtricil de un sistem de ecuciones lineles El sistem b b n n n n puede ser escrito de l siguiente mner: b m m m mn n m.. m.. m.. m n n n.. mn n = b b b b m Epresión mtricil del sistem AX=B A: mtri de los coeficientes X: mtri de ls incognits B: mtri de los términos independientes A * =.. m.. m.. m Mtri mplid n n n.. mn b b b b.. m
3 Epresión mtricil: ejemplo El sistem + 5 = + = Tiene l siguiente mtri de los coeficientes: A = 5 Tiene l siguiente mtri mplid: A * = 5 Tiene l siguiente epresión mtricil: 5 =
4 Solución de un sistem de ecuciones Un solución del sistem: b b n n n n b m m m mn n m es un conjunto ordendo de números reles (s, s, s,..., s n ) tles que se verificn tods ls ecuciones: s s s nsn b s s s nsn b ms ms ms mnsn b m
5 Solución de un sistem de ecuciones: ejemplo Los vlores Los vlores son un solución del sistem por que: Considermos el sistem: son un solución del sistem por que: ) ( ) ( ) ( ) ( () ) ( ) ( ) (
6 Clsificción de un sistem según el número de soluciones Incomptible Sin solución Sistems de ecuciones lineles Comptible Con solución Determindo Solución únic Indetermindo Infinits soluciones Discutir un sistem es decidir cuál de ests tres ctegorís pertenece.
7 Sistems de ecuciones esclondos Un sistem de ecuciones es esclondo cundo verific que, reordends sus ecuciones de form conveniente, l mtri de los coeficientes es esclond Ejemplos:
8 Resolución de sistems de ecuciones Resolver un sistem es encontrr tods sus soluciones o decidir que no tiene ningun. Métodos de resolución:. Método de Guss.. Método de Crmer.. Método de l mtri invers.
9 Resolución de un sistem esclondo: ejemplo Los sistems esclondos son fácilmente resolubles:
10 Resolución de sistems: método de Guss El método de Guss pr resolver un sistem de ecuciones lineles consiste en obtener de un sistem: b ; b; b, un sistem equivlente esclondo, medinte trnsformciones decuds. Se pueden dr los siguientes psos: I. Si es necesrio reordenr ecuciones pr que se distinto de cero. II. Dividir l primer ecución por restr cd ecución un múltiplo de l primer pr eliminr todos los elementos que quedn por debjo de. III. Repetir los psos nteriores bsdos hor en ( si es necesrio en cd ii ). IV. El proceso termin cundo no quedn más ecuciones.
11 Método de Guss: posibiliddes En el método de Guss, un ve obtenid l mtri se pueden dr ls siguientes posibiliddes: Si lgun de ls fils está formd por todos ceros menos el término independiente Incomptible Si no es incomptible, se consider el número de fils e incógnits que quedn: nº de ecuciones = nº de incógnits comptible determindo nº de ecuciones < nº de incógnits comptible indetermindo
12 Método de Guss: sistem comptible determindo (ª ec) ( ) + ª ec (ª ec) ( ) + ª ec (ª ec) ( ) + ª ec Se despejn incógnits hci rrib
13 Método de Guss: sistem incomptible (ª ec) ( ) + ª ec (ª ec) ( ) + ª ec (ª ec) ( ) + ª ec L últim ecución no tiene solución por lo tnto el sistem es incomptible.
14 Método de Guss: sistem comptible indetermindo 8 9 t t t t (ª ec) ( ) + ª ec (ª ec) ( ) + ª ec t t t 8 Se despejn incógnits hci rrib, después de hcer = t
15 Regl de Crmer: sistem de dos ecuciones con dos incógnits b b El sistem l ser resuelto por reducción se lleg : b Est solución puede ser epresd de l siguiente form: L bi tom el lugr de l vrible buscr b b b b b ; b b Se observ que: El denomindor de ls soluciones es el determinnte de l mtri de los coeficientes. Cd numerdor es el determinnte de l mtri obtenid l sustituir l correspondiente column de coeficientes por l los de términos independientes.
16 Regl de Crmer: sistem de tres ecuciones con tres incógnits Si A 0, el sistem de ecuciones con incógnits A = B tiene solución únic dd por: = b b b ; = b b b ; = b b b L bi tom el lugr de l vrible buscr Est regl es válid pr culquier sistem de igul número de ecuciones que de incógnits se llm regl de Crmer.
17 Resolución de sistems: método de l mtri invers El sistem + + = b + + = b + + = b tiene l siguiente epresión mtricil: A. X = B Si A 0 l mtri A es inversible. Multiplicmos por l iquierd mbos miembros por A -. Y est últim iguldd nos resuelve el sistem. = b b b A -. A. X = A -. B I. X = A -. B X = A -. B
18 Mtemátics.º Bchillerto Sistems Mtrices de Mtrices ecuciones determinntes. lineles
19 Mtemátics.º Bchillerto Sistems Mtrices de Mtrices ecuciones determinntes. lineles
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23 Mtemátics.º Bchillerto Sistems Mtrices de Mtrices ecuciones determinntes. lineles
24 Comptibles es siempre solución del sistem 0 n Sistems homogéneos Un sistem de ecuciones lineles es homogéneo si todos los términos independientes son 0. Los sistems homogéneos pueden tener, pues, un o infinits soluciones: Si el determinnte de l mtri de los coeficientes es no nulo,el sistem es comptible determindo tiene como únic solución l solución trivil. Si el determinnte de l mtri de los coeficientes es nulo, el sistem es comptible indetermindo. Entre sus infinits soluciones se encuentr l solución trivil n mn m m n n n n K K K K K
25 Interpretción geométric de un ecución linel con dos incógnits Los puntos (, ) que verificn l ecución linel + = b formn un rect; se dice que + = b es l ecución de un rect en el plno.
26 Interpretción geométric de un sistem con dos incógnits Ls dos rects sólo tienen un punto en común: el sistem es comptible determindo. Ls dos rects no tienen puntos en común: el sistem es incomptible. Ls dos rects tienen infinitos puntos en común: el sistem es comptible indetermindo.
27 Pr resolver un problem medinte un sistem de ecuciones. Se identificn ls incógnits.. Se epres el enuncido del problem medinte sistems de ecuciones.. Se resuelve el sistem.. Se comprueb que ls soluciones del sistem tienen sentido con respecto l enuncido del problem.
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