Introducción al Cálculo (16-O)

Transcripción

1 Introducción al Cálculo (16-O) Planeación del Curso 26 de septiembre de Información General Grupo: CAT-02. Horario de clase: lunes, martes, jueves y viernes, de 10:00 a 11:30 horas. Salón de clase: E-302. Nombre del profesor: Silvia C. Gavito Ticozzi. Correos electrónicos: silvia gavito@yahoo.com y sgt@correo.azc.uam.mx 2. Objetivos generales Que el alumno aplique los conceptos de límite y continuidad para obtener y analizar la gráfica de una función real de una variable real, así como la definición de derivada para hallar la ecuación de la recta tangente a una curva y la velocidad instantánea de un objeto en movimiento. 3. Contenido sintético y libro de texto Véase el reverso de esta hoja. Los programas de estudio y analítico, así como la bibliografía, se pueden descargar en la página: TG/ 4. Evaluación El curso se evaluará mediante tres exámenes parciales o, en su caso, una evaluación terminal. El alumno acreditará el curso si aprueba los tres exámenes parciales o la evaluación terminal (examen global departamental). Si el estudiante no aprueba uno de los exámenes parciales, tendrá que recuperar la parte correspondiente en la evaluación terminal. En caso de que no acredite dos exámenes parciales, deberá presentar la evaluación terminal (que abarcará la totalidad del curso). Nota: Para la preparación de cada uno de los exámenes parciales, se asignarán tareas. Si el alumno entrega dichas tareas, de manera puntual, ordenada, completa y obtiene un resultado aprobatorio en cada una de ellas, se hará acreedor a 1 2 punto extra aplicable al examen parcial correspondiente. ESCALA DE CALIFICACIONES: De 6 a 7.4 : S. Más de 7.4 y menos de 8.8 : B. De 8.8 en adelante : MB. 1

2 BREVE REPASO DE TEORÍA DE CONJUNTOS I. DEFINICIONES BÁSICAS Un conjunto es una colección de objetos, llamados elementos. Generalmente denotamos a los conjuntos mediante letras mayúsculas, a sus elementos con letras minúsculas y al símbolo de pertenencia de un elemento a un conjunto por. Así, x A se lee x pertenece a (está en, es elemento de) A. II. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO Los conjuntos se pueden determinar de dos formas: Por extensión o enumeración: listando todos sus elementos. Por comprensión o descripción: enunciando la(s) propiedad(es) que distingue(n) a sus elementos, utilizando una variable. III. DOS CONJUNTOS ESPECIALES El conjunto que carece de elementos se llama conjunto vacío o nulo, y se simboliza. El conjunto que contiene a todos los elementos de los conjuntos en discusión se llama conjunto universal o universo, y se simboliza U. IV. SUBCONJUNTOS Decimos que un conjunto A es subconjunto de un conjunto B si todo elemento de A es elemento de B. Se denota mediante el símbolo. Así, A B se lee A es subconjunto de (está contenido, incluido en) B. Observaciones: 1) Para cualquier conjunto A se cumple que A. 2) Para cualquier conjunto A se cumple que A A. V. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS La unión de dos conjuntos A y B (en símbolos, A B) es el conjunto de los elementos que pertenecen a al menos uno de los conjuntos A, B. La intersección de dos conjuntos A y B (en símbolos, A B) es el conjunto formado por los elementos que pertenecen tanto a A como a B. La diferencia entre dos conjuntos A y B (en símbolos, A \ B o A B) es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y NO pertenecen a B. El complemento de un conjunto A (en símbolos, A C ) es el conjunto de todos los elementos del conjunto universal U que NO pertenecen a A. Observar que: A C = U \ A. 2

3 AXIOMAS DE CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES Los números reales (R) forman un conjunto con al menos dos objetos distintos (los números 0 y 1). En este conjunto se definen dos operaciones llamadas suma ( + ) y producto ( ) que satisfacen las siguientes leyes (axiomas): 1) Leyes de cerradura: Para cada x, y R, se cumple que: x + y R x y R 2) Leyes conmutativas: Para cada x, y R, se cumple que: x + y = y + x x y = y x 3) Leyes asociativas: Para cada x, y, z R, se cumple que: x + (y + z) = (x + y) + z x (y z) = (x y) z 4) Ley distributiva: Para cada x, y, z R, se cumple que: x (y + z) = x y + x z 5) Neutros: Para cada x R se cumple que: x + 0 = x x 1 = x 6) Inversos: Para cada x R existe y R tal que x + y = 0. Se denota: y = x. Para cada x R \ {0} existe y R tal que x y = 1. Se denota: y = x 1 = 1 x. NOTA: Cualquier conjunto con al menos dos elementos distintos en el que, como en el caso de R, sea posible definir dos operaciones que cumplan las propiedades anteriores se denomina campo. Así, R es un ejemplo de campo. 3

4 Lección 3: Orden en R La clase anterior presentamos los axiomas que hacen de R, junto con sus operaciones suma y producto, un campo. Éstos son: las leyes de cerradura, conmutatividad, asociatividad y distributividad, así como la existencia de los neutros aditivo y multiplicativo (0 y 1, respectivamente), del inverso aditivo de todo número real y del inverso multiplicativo de cualquier número real distinto de 0. También platicamos de varios de los diversos hechos importantes que se obtienen como consecuencia de ellos. Es importante enfatizar que a partir de unas cuantas leyes, que pueden parecer incluso demasiado sencillas para ser mencionadas, es posible sintetizar una buena parte de nuestro viejo saber relativo al manejo de números reales, solución de ecuaciones y otros procesos algebraicos. Incluso, usando la ley de los inversos aditivos y multiplicativos, es posible definir dos nuevas operaciones: Definición de resta y división: Dados a, b R, definimos a b = a + ( b). Dados a, b R, b 0, definimos a b = a b 1. Note que las definiciones anteriores se derivan de la suma y del producto, de hecho, la resta y la división son un tipo especial de suma y producto, respectivamente. En la tarea dejada ayer, se les pide que reflexionen un poco acerca de sus propiedades. Pero todavía nos faltan algunas leyes más, las cuales nos ayudarán a resolver desigualdades (indispensables para la comprensión del Cálculo). Además de las propiedades de campo de las que ya hablamos y con las que, al menos intuitivamente, ya estábamos familiarizados, también sabemos que existe un orden en R; en otras palabras, que cualesquiera dos números reales pueden ser comparados. Ahora toca el turno de las propiedades de orden de los números reales. 4

5 Introducción al Cálculo (CAT-02) Jueves 29 de septiembre de 2016 AXIOMAS DE ORDEN EN R 7) Para todo número real se cumple una y sólo una de las siguientes condiciones: a = 0, a > 0 ó a > 0. (Ley de tricotomía). 8) Si a > 0 y b > 0, entonces a + b > 0. 9) Si a > 0 y b > 0, entonces a b > 0. Como algunas consecuencias de la definición de orden en los números reales y de los axiomas anteriores se tienen las siguientes propiedades muy útiles en la solución de desigualdades. Algunas Propiedades de las Desigualdades I) Si a, b y c son números reales tales que a < b y b < c, entonces a < c. II) Si a, b y c son números reales tales que a < b, entonces a + c < b + c. III) Si a, b y c son números reales tales que a < b y c > 0, entonces ac < bc; c < 0, entonces ac > bc. IV) Si a, b son números reales, entonces: ab < 0 (a < 0 y b > 0) o (a > 0 y b < 0); ab > 0 (a > 0 y b > 0) o (a < 0 y b < 0). V) Si a, b son números reales y b 0, entonces: a b a b < 0 (a < 0 y b > 0) o (a > 0 y b < 0); > 0 (a > 0 y b > 0) o (a < 0 y b < 0). Las propiedades anteriores también se verifican en el caso de >, y. 5

6 Ejercicios varios Términos clave: Axiomas de orden de R, desigualdades, intervalos. 1. Expresar cada una de las desigualdades siguientes en notación de intervalos y representar gráficamente sobre la recta numérica. (a) x < 2 (b) x 1 (c) π x < 3 (d) 0.01 < x < Expresar cada uno de los siguientes intervalos como una desigualdad en la variable x. (a) ( 1, 7/3] (b) (, 0] (c) ( π/2, ) 3. Calcular: (a) ( 1, 1) ( 1 2, 2] (b) {(, 2 3 ] (0, )} ( 2 3, 1] (c) ( 4, 0) c (d) ( 4, 0) \ [ 1, 0) (e) {(, 5) ( 2, 5]} {(5, 6) (π + 2, )} [5, π + 2] 6