Trigonometría ACTIVIDADES. a) 360 x π. b) 360 x sen α = 109. sec α = tg α = cos α = cosec α = 60. cotg α = tg β = 60.

Transcripción

1 ACTIVIDADES a) b) c) π x 0π π = x = = rad π x 70π π = x = = rad π x 10π π = x = = rad a) 60 x 60 π = x = = 10º π π 6π b) 60 x 60 = x = = 171,88º π π c) 60 x 60 π = x = = 0º π π 6π a) 60 sen α = cos α = sen β = cos β = tg α = cosec α = tg β = cosec β = sec α = cotg α = sec β = cotg β = 91 b) 8 sen α = sen γ = 17 8 tg α = tg γ = sec α = sec γ = cos α = cos γ = 17 cosec α = cosec γ = 17 8 cotg α = cotg γ = sen β = sen δ = 17 tg β = tg δ = 15 8 sec β = sec δ = cos β = cos δ = cosec β = cosec δ = 15 8 cotg β = cotg δ =

2 a) 7 cos α + sen α = 1 sen α = 1 = 5 5 tg α = 7 5 cosec α = sec α = cotg α = 1 1 b) 1+ tg α = cos α = = 0,51 cos α 1+ 1,67 sen α = tg α cos α = 1,67 0,51= 0,85 cotg α = 0,60 cosec α = 1,18 sec α = 1,96 c) cos α = 1 = tg α = 1 cosec α = sec α = cotg α = 1 1 d) cos α = = 0, , sen α = tg α cos α = 0, 0,96 = 0,9 cosec α =,5 sec α = 1,0 cotg α =, 16

3 a) cos 79º = 0,19 b) sen,5º = 0,69 c) 10º 8' = 10,6 tg 10º 8' = 0,18 a) sen (0,5 rad) = 0, b) cos (1 rad) = 0,5 c) tg (1,7 rad) =, a) Es del 1. er cuadrante; todas las razones trigonométricas son positivas. b) Es del 1. er cuadrante; todas las razones trigonométricas son positivas. c) Es del. o cuadrante; el seno y la cosecante son positivos, y el resto de las razones trigonométricas son negativas. d) Es del. o cuadrante; el seno y la cosecante son positivos, y el resto de las razones trigonométricas son negativas. e) Es del. o cuadrante; el coseno y la secante son positivos, y el resto de las razones trigonométricas son negativas. f) Es del. o cuadrante; el seno y la cosecante son positivos, y el resto de las razones trigonométricas son negativas. 16

4 Se ordenan teniendo en cuenta que el coseno es positivo en ángulos del primer y cuarto cuadrante: cos 160 < cos 51 < cos 98 < cos 7 < cos < cos 5 Las tangentes del primer y tercer cuadrantes son positivas, las del segundo y cuarto cuadrantes son negativas. tg 110º < tg 15º < tg 170º < tg 10º < tg 65º a) 75º = 60º + 5º sen75º = 0,6 cos 75º = 0,906 tg 75º = 0,66 b) 565º = 60º + 180º + 5º sen 565º = 0,6 cos 565º = 0,906 tg 565º = 0,66 c) 1055º = 60º 5º sen 1055º = 0,6 cos 1055º = 0,906 tg 1055º = 0,66 d) 15º = 60º + 180º 5º sen 15º = 0,6 cos 15º = 0,906 tg 15º = 0,66 16

5 a) sen 5º = sen 155º sen 65º = sen 115º cos 65º = cos( 65 ) º cos 5º = cos( 5 ) º b) tg 115º = tg ( 65 ) º tg 155º = tg ( 5 ) º 1 sen( 60º + 5º ) = sen 60º cos 5º + cos 60º sen 5º = + = 0, cos ( 60º + 5º ) = cos 60º cos 5º sen 60º sen 5º = = 0,588 tg 60º + tg 5º + 1 tg ( 60º + 5º ) = = =,71 o 1 tg 60º tg sen( 60º 5º ) = sen 60º cos 5º cos 60º sen 5º = = 0,588 1 cos( 60º 5º ) = cos 60º cos 5º + sen 60º sen 5º = + = 0,9659 tg 60º tg 5º 1 tg ( 60º 5º ) = = = 0, tg 60º tg 5º

6 cos 76º = cos( 8º ) = cos 8º sen 8º = 0,19 sen 76º = sen( 8º ) = sen 8º cos 8º = 0,970 0,6157 tg 8º = = 0,781 0,788 tg 8º tg 76º = tg ( 8º ) = =,011 1 tg 8º 8º 1+ cos 8º cos 19º = cos = = 0,955 8º 1 cos 8º sen 19º = sen = = 0,56 8º 1 cos 8º tg 19º = tg = = 0, 1+ cos 8º a) cos x = 1 x = kπ con k Z b) cos x + senx = 1 cos x sen x + senx = 1 sen x + senx = 0 π 5π x1 = kπ con k Z x = + kπ con k Z x = + kπ con k Z 6 6 c) sen x cos x = 0 senxcos x cos x = cos x ( senx 1) = 0 ( k 1) π π x1 = con k Z 5π x = + kπ con k Z x = + kπ con k Z 6 6 d) 1 6,56º + 180º k tg x = 1 tg x = x = 6,56º + 180º k x = con k Z 166

7 Calculamos la hipotenusa utilizando el Teorema de Pitágoras: h = + 7 = 5 m 7 α = arc sen = 16,6 5 o β = arc sen = 7,7º 5 a) Es posible si sena = 1, es decir, si A = 90º. c b) No es posible, ya que entonces o c a = A = 90 y b B 90º senc = senc ɵ =, pero no existe un triángulo con dos ángulos rectos. c) Es posible si A = ɵ B = C =

8 a) a = cos 8º = 7,81 cm b) a = cos 8º = 11,91 cm 1 = cosa A = 11,9º ɵ ɵ 10 = cos B B = 5,18º 180º 11,9º 5,18º = 1,º a = + = cos 71º 1,77 cm Aplicando el teorema del seno: 1,77 9 B 5,18º sen 71º = sen B ɵ ɵ = ɵ B = 180º 71º 5,18º = 7,8º 168

9 SABER HACER a) 1 sen α = 1 cos α = 1 = 0,968 0,968 tg α = =,878 0,5 1 b) cos α = = 0,7 1+ tg α sen α = α = 1 cos 0,89 169

10 cos 50º = 0,68 sen 50º = 0,7660 tg 50º = 1,1918 o a) cos 0 = cos( 90º 50º ) = cos 90º cos 50º + sen 90º sen 50º = 0,7660 b) cos 10º = cos( 180º 50º ) = cos 180º cos 50º + sen 180º sen 50º = 0,68 c) cos 10º = cos( 60º 50º ) = cos 60º cos 50º + sen 60º sen 50º = 0,68 d) cos 80º = cos( 0º + 50º ) = cos 0º cos 50º sen 0º sen 50º = 0,176 e) cos 5º = cos( 50º 5º ) = cos 50º cos 5º + sen 50º sen 5º = 0,996 f) cos100º = cos( 50º ) = cos 50º sen 50º = 0,176 g) 50º 1+ cos 50º cos 5º = cos = = 0,906 85º a) sen( 90º + k 60º ) = 1 x + 5º = 90º + k 60º x = + k 180º con k Z 5º b) cos( k 60º ) = 1 x + 5º = k 60º x = k 180º con k Z a) sen x senx = 0 senxcos x senx = 0 senx ( cos x 1) = 0 x1 = kπ con k Z x = kπ con k Z b) sen x + senx = 0 senxcos x + senx = 0 senx ( cos x + 1) = 0 π π x1 = kπ con k Z x = + kπ con k Z x = + kπ con k Z cos x sen x cos x cos x cos x + = 0 + 1= 0 1 ± 9 8 cos x = = 1 π π x1 = + kπ x = + kπ x = kπ 170

11 ( cos x cos x sen x sen x + cos x = 0 cos x sen x ) cos x sen x cos x sen x + cos x = 0 ( ) cos x cos x + cos x = 0 cos x cos x 1 = 0 ( k 1) π π π x1 = con k Z x = + k con k Z a tg α = = a = 15 m 5 5 h sen 60º = = h = b h Área = = =,60 cm h tg 5º = = x x = x x = = 6,6 cm h + 1 tg 60º = = x h = 6, cm o l / sen 6 = l = 17,6 cm 15 ( ) 15 l / = ap ap = 1,1 cm p ap 88,167 1,1 Área = = = 5,86 cm 171

12 El primero habrá recorrido 5 millas, y el segundo, 75. a = + = cos 8º 86,1 millas Como 86,1 < 180 podrán ponerse en contacto. Trazamos una recta paralela que pase por C y obtenemos un triángulo con ángulos de 0 o, 70 o y 70 o y base cm. y x = = y = cm, x =,05 cm sen 70º sen 70º sen 0º ACTIVIDADES FINALES a) 7 π rad 6 b) 7π rad 6,1π c) 8,º = rad=1,7 rad d) 90 1,1 π 6,º = rad=1,09 rad 90 a) 85,9 o b) 00,5 o c) 70 o d) 16 o b a) a = = 0 cm senb = = 0,6 tg B = b = 0,75 a c b) b = 0 = 16 cm c) c = = 5 cm c 11 cosb = = a 15 b cosc = = a c cotg B = = b a cosec C = = c d) a = = 800 cm c 0 cosb = = = tg B = b = 1 a 800 c 17

13 Respuesta abierta. Por ejemplo: Bɵ A a) = c) 0 1 = b) = + = = d) 1 1 = a) Falsa. c) 1 Falsa. b) Falsa. d) 0 Falsa. a) cosec 0º = sec 0º = cotg 0º = b) cosec 5º = sec 5º = cotg 5º = 1 c) cosec 60º = sec 60º = cotg 60º = d) cosec 90º = 1 La secante no existe. cotg 90º = 0 17

14 0,91 0,91 17

15 175

16 Distancia = 8sen 8º =,9 m 8 cos 0º = l = 9, cm l Área = l = 85, cm El hexágono regular se puede dividir en doce triángulos rectángulos. Calculamos el ángulo central: o = o ap cos 0º = ap =,6 cm 176

17 Los cosenos son negativos en el segundo y tercer cuadrantes. cos 165º < cos 0º < cos 110º < cos 75º < cos 55º < cos 0º Los senos son negativos en el tercer y cuarto cuadrantes. sen 10º < sen 5º < sen 00º < sen 5º = sen 15º < sen 10º 0,8911 1,961 0,5979 0,

18 0,8911 1,961 0,8911 0,8016 0,5979 a) sen( π ) = 0 cos( π ) = 1 tg ( π ) = 0 b) sen π = 1 c) d) 1 sen π = 6 sen π = e) sen π = f) sen π = 1 cos π = 0 cos π = 6 cos π = 1 cos π = cos π = 0 La tangente no existe. tg π = 6 tg π = 1 tg π = La tangente no existe. g) sen π = 1 cos π = 0 La tangente no existe. h) sen π = 0 cos π = 1 tg π = 0 i) sen π = 1 cos π = 0 La tangente no existe. j) sen π = 0 cos π = 1 tg π = 0 k) l) 7 sen π = 1 9 sen π = 1 7 cos π = 0 9 cos π = 0 La tangente no existe. La tangente no existe. 178

19 a) ( 60º ) 1 sen = cos( 60º ) = tg ( 60º ) = b) sen( 5º ) = cos( 5º ) = tg ( 5º ) = 1 1 c) sen( 0º ) = cos( 0º ) = tg ( 0º ) = d) sen 0º = 0 cos 0º = 1 tg 0º = 0 e) sen 10º = 1 cos 10º = tg 10º = f) sen 15º = cos 15º = tg 15º = 1 g) 1 sen 150º = cos 150º = tg 150º = h) sen 180º = 0 cos 180º = 1 tg 180º = 0 i) 1 sen 10º = cos 10º = tg 10º = j) sen 5º = cos 5º = tg 5º = 1 k) sen 0º = 1 cos 0º = tg 0º = l) sen 70º = 1 cos 70º = 0 La tangente no existe. 179

20 a) 01º 1' 15'' = 60º ( 58º 8' 5'' ) sen( 01º 1' 15'' ) = sen( 58º 8' 5'' ) = 0,850 cos( 01º 1' 15'' ) = cos ( 58º 8' 5'' ) = 0,50 tg ( 01º 1' 15'' ) = tg ( 58º 8' 5'' ) = 1,61 b) 90º 0' = 60º + 180º + º 0' sen( 90º 0' ) = sen( º 0' ) = 0,065 cos( 90º 0' ) = cos( º 0' ) = 0,9989 tg ( 90º 0' ) = tg ( º 0' ) = 0,066 c) 190º '' = 180º + 10º '' sen( 190º '' ) = sen( 10º '' ) = 0,179 cos( 190º '' ) = cos( 10º '' ) = 0,988 tg ( 190º '' ) = tg ( 10º '' ) = 0,1765 d) 95º 1' 5'' = 60 º ( 6º 7' 15 '') sen( 95º 1' 5'' ) = sen( 6º 7' 15'' ) = 0,907 cos( 95º 1' 5'' ) = cos( 6º 7' 15'' ) = 0,60 tg ( 95º 1' 5'' ) = tg ( 6º 7' 15'' ) =,19 e) 86º 56' = 60º + 6º 56' sen( 86º 56' ) = sen( 6º 56' ) = 0,50 cos( 86º 56' ) = cos( 6º 56' ) = 0,8915 tg ( 86º 56' ) = tg ( 6º 56' ) = 0,5081 f) 61º ' '' = 60º + 180º + 7º ' '' sen( 61º ' '' ) = sen( 7º ' '' ) = 0,959 cos( 61º ' '' ) = cos( 7º ' '' ) = 0,971 tg ( 61º ' '' ) = tg ( 7º ' '' ) =,10 180

21 a) α = 5,1º β = 16,87º α β b) α = 11,58º β = 6,º α β c) α = 6,57º β = 06,57º α β d) α = 0,58 β = 6, α β a) arc cos 0,59 = 6 0,95'' d) arc tg,1618 = 65 10',9'' b) arc sen 0,98 = 68 11' 1,'' e) arc cos( 0,96) = 107 9,'' c) arc tg( 0,559) = 1 ' 1'' f) arc sen( 0,08) = 0 0' 58'' 181

22 a) sen α = sen 9 1' = 0,968 α = 69 1' b) cos α = cos 9 1' = 0,99 α = 69 1' c) tg α = tg 9 1' =,6770 α = 69 1' sen 0' 7,68'' = 0,0611 d) tg α = tg 18 0' = 0,061 α = 0' 7,68'' cos 0' 7,68'' = 0,9981 sen α = 0,7 α =,º o bien α = 15,57º Los dos ángulos pueden pertenecer a un triángulo, por lo que no podemos determinar de qué ángulo se trata. cos α = 0, α = 78,6º o bien α = 81,5º Solo puede pertenecer a un triángulo el ángulo α = 78,6º. Como sen α > 0 y tg α < 0 el ángulo está en el segundo cuadrante. sen α = 0, α = 16,5º tg 16,5º = 0,15 sen α > 0 El ángulo está en el segundo cuadrante. cos α < 0 sen α 1 sen tg α = sen α = sen α cos α = α = 10 α = cos α tg α = sen α = 0,5 α = 150º cos 150º = tg 150º = 18

23 Se tiene que: sen α < 0 sen α cos α > 0 El ángulo está en el cuarto cuadrante. tg α = < 0 cos α Por otra parte: sen α 1 tg α = = sen α cos α = α = 89,7º. cos α Entonces, las demás razones trigonométricas son: sen 89,7º = 0,98 tg 89,7º =,88. 18

24 18

25 a) C = = 80 Aplicando el teorema del seno: a b 10 sen 70 a c 10 sen 80 = b = = 18,79 cm = c = = 19,70 cm sena senb ɵ sen 0 sena senc sen 0 b) ɵ B = = 0 Aplicando el teorema del seno: a b 5sen 0 a c 5sen 80 = b = = 18,56 cm = c = = 8, cm sena senb ɵ sen 60 sen A senc sen x = tg x = 0, x =,719 m

26 A = 180º 7º 61º = 6º Aplicando el teorema del seno: 50 x 50 x x 60,79 m sena = send sen 6º = sen 61º = h = 60,79 tg 8º =, m Aplicando el teorema del seno: A = ɵb = = = = sena senb ɵ sen( 180º A ) sen A sena cosa cos A = A = ɵ B = 1,1º C = 97,18º ɵ B = 180º 7º 95º = 1º Aplicando el teorema del seno: 50 c = c = 11,9 m sen 1º sen 7º 186

27 Aplicando el teorema del seno: 9 1 = C = 6,15º sen º sen C 180º º 6,15º 7,85º A = = a 9 = a = 1,98 km sen 7,85º sen º Aplicando el teorema del coseno obtenemos la distancia a la que están enganchados los cables al suelo: a = + = cos 5º 5, m Sea x la distancia que hay desde la base de la antena hasta el enganche de uno de los cables. De esta forma tenemos que la distancia de la base de la antena al otro enganche es 5, x. Así: Altura = 10 x 10 6 ( 5, ) 8,7 m x = x x = Altura = 6 ( 5, x) Sustituimos x por su valor y obtenemos la altura: Altura = 10 8,7 =,86 m 187

28 A B 1 km 0 o 0 o Observador 1 d = d = 0,78 km sen 0º sen 0º a) sen( α 10º ) + sen α + sen( α + 10º ) = = sen α cos 10º sen 10º cos α + sen α + sen α cos 10º + sen 10º cos α = 0 b) sen( α + 0º ) + cos( α + 5º ) = sen α cos 0º + sen 0º cos α + cos α cos 5º sen α sen 5º = + 1 = sen α + cos α c) cos π cos π π π π π α + + α + = cos α cos sen α sen + cos α cos sen α sen = + 1 = sen α cos α sen α = sen α cos α tg α + tg π tg α tg π d) tg ( α + π) tg( α π ) = = 0 1 tg α tg π 1+ tg α tg π e) cos π π π + α + cos( α ) = cos cos α sen sen α + cos α = sen α + cos α 188

29 α sen α α a) α α tg cos = cos = sen α cos b) cos cos cos sen cos sen + α α = + α α α = α sen α cos α sen α sen α sen α = = = = tg α 1 sen α sen α + cos α sen α cos α sen α cos α c) d) cos α ( 1+ cos α ) + sen α = cos α + cos α + sen α = cos α + 1 e) α 1 cos α 1 cos α sen α sen α tg 1 + cos α (1 + cos α ) (1 + cos α ) 1+ cos α = = = = = tg α (1 + cos α) cos α cos α cos α cos α cos α tg α + tg 5º,5 + 1 tg ( α + 5º ) = = =, 1 tg α tg 5º 1,5 El ángulo está en el segundo cuadrante. 5 tg α 0 tg α = = = 1 tg α ( ) senx cos x sen x ( cos x sen x) sen x + x = sen x cos x + sen x cos x = + = ( ) = sen x 1 sen x sen x = sen x sen x Si 1 sen x = entonces 1 1 sen x = = 7 189

30 190

31 191

32 Los ángulos que se forman son de,5 o, 85 o, 17,5 o y 170 o. x 1 cos x sen 85º = sen = = 0,99 x 1 cos x sen,5º = sen = = 0,67 x 1 cos x cos 85º = cos = + = 0,1 x 1+ cos x cos,5º = cos = = 0,7 0,99 tg 85º = = 9,9 0,1 0,67 tg,5º = = 0,91 0,7 sen 17,5º = sen(,5º + 85º ) = sen,5º cos 85º + sen 85º cos,5º = 0,79 cos 17,5º = cos(,5º + 85º ) = cos,5º cos 85º sen,5º sen 85º = 0,59 0,79 tg 17,5º = = 1, 0,59 1 cos 85º = cos( 0º 5º ) = cos 0º cos 5º + sen 0º sen 5º = + = 0,588 0,7 0,7 1,87 19

33 razones a) cos cos cos sen cos cos ( cos 1) ( 1 cos ) α α = α α α = α α α = = cos α( cosα 1) ( 1 cos α )( 1+ cos α ) = ( cos α 1) ( cos α + 1) b) cos α cos α = cos α cos( α +α ) = cos α + tg α cos α sen α cos α cos α = = cos α (1+ tg α sen α cos α ) c) sen 8α sen α = sen(α + 6 α) sen α = sen α cos 6α + sen 6α cos α sen α = = sen α cos 6 α + ( sen α cos α + sen α cos α cos α) cos α sen α = = sen αcos α + cos α cos α + cos α ( 6 1) d) sen α cos α = tg α cos α cos α = cos α( tg α 1) e) cos α + sen α = cos α + sen( α + α ) = cos α + sen α cos α + cos α sen α = = cos α + cos α tg α cos α + cos α sen α = cos α (1+ tg α cos α + sen α ) f) sen α sen α = sen α sen( α +α ) = sen α sen α cos α sen α cos α = = sen α sen α cos α sen α cos α = sen α cos α cos α (1 ) a) sen α sen α sen α( 1 sen α) sen α( 1 sen α) = = = sen α cos α + cos αsen α ( ) ( ) 1 sen α + 1 sen α sen α 1 sen α b) cos 5α sen 5α = cos 10α c) ( ) ( ( )) sec α sen α cos α + cos α sen α = cos α sen α + cos α sen α = cos α cos α 1 d) ( 1 ) ( 1 ) sen α cos α + cos α = sen α cos α cos α sen α + cos α = sen α 19

34 c) d) ( sen α) senα( cos α) tg( α + π) sen ( ) 1 sen 1 α + π = α = = senα cosα = senα cosα cosα α + π sen( α + π) sen α cos α 1 (1 + cos α)(1 cos α) 1 cos α α sen = = = = = = cos 1 (1 cos ) (1 cos ) cos cos + α α + π + α + α a) b) sen α cos α cos α sen α sen α cos α sen α ( cos α sen α) sen α + cos α 1 = = = = sec α sen α cos α sen α cos α cos α cos α sen α cos α sen α + cos α = = = sec α cosec α cos α sen α cos α sen α cos α sen α 1+ sen α + 1 sen α c) sec = = α 1 sen α cos α d) sen α cos α + sen α 1 cos α + = = = sec α cos α cos α cos α 19

35 Elegimos el ángulo de 0 o : sen 0º 1 = = tg 0º cos 0º sen 0º tg 0º = = 6 Demostramos para cualquier ángulo: sen α sen α sen α (1 tg α) sen α sen α tg α = = = = cos α sen α tg α tg α tg α tg α tg α tg α 1 tg α e) senx cotg x 1 1 x = 10, k k 1 = cos x = x = 55,

36 a) tg x + tg 5º tg x tg 5º tg( x + 5 ) + tg( x 5 ) = cotg x + = 1 tg xtg 5º 1+ tg xtg 5º tg x ( ) ( )( ) ( ) tg x + 1 tg x + tg x 1 tg x + 1 tg x = 1 tg x 6tg x = tg x = ± x = 0º + 180º k, 150º+180º k x + 60º = 1,8º x =,76º + 180º k b) sen( x + 60º ) = 0,5 x + 60º = 165,5º x = 5,76º + 180º k c) π tg tg x π 1 tg x tg x 1= 0 = 1 = 1 tg x = 0 x = k π 1+ tg tg x 1+ tg x 196

37 d) sen( x + 0 ) cos x = 0 senx cos 0º + sen 0º cos x cos x = 0 1 senx + cos x = cos x senx = cos x ( 1 cos x ) = ( cos x) 0 60, 0 60 cos x = + k + k cos x = cos x = cos x cos x = ± cos x = k, k Comprobando las posibles soluciones, se observa que solo son válidas: x = k x = k a) x = 60º y cos( 60º y) = sen y cos 60º cos y + sen y = sen y 1 1 cosy = seny = tg y y = 75º + 60º k, x = 15º + 60º k tg 0º + tg x tg 0º tg x b) y = 0º + x tg ( 0º + x) = tg( 0º x) = 1 tg 0º tg x 1+ tg 0º tg x tg 0º + tg 0º tg x + tg x + tg 0º tg x tg x = tg 0º tg 0º tg x tg x + tg 0º tg x tg x tg x tg x + tg x = 0 + tg x = 0 tg x ( tg x) = 0 1 tg x x = 180º k, y = 180º k + 0º x = 60º + 180º k, y = 90º + 180º k x = 10º + 180º k, y = 150º + 180º k 197

38 c) d) + sen x + cosy = sen x cos y = 1 5senx= 5 1 5sen x = 5 sen x = 1 cos y = x = 90º + 60º k, y = 60º + 60º k cos y senx + cos x = senx + cosy = cos y cosy = 0 1 cos y = 0 senx = y = 180º k, x = 0º + 60º k cosy = 0 cos y = Sin solución. 198

39 senx ( tg x = cos x = cos x senx = cos x senx = 1 sen x) cos x No puede ser. ± = = = sen x sen x 0 sen x 1 El ángulo agudo es x = 0º. sen x + 1 sen x = 1 1 sen x = ( 1+ senx) 1 x = 70º ( ) 9 1 sen x = 1+ sen x + sen x 5sen x + sen x = 0 senx = x = 16,87º x = 0º x = 15º senx cos x = sen x = x = 150º x = 75º 199

40 180 o 60 o = 10 o 180 o 10 o 0 o = 0 o Los ángulos del primer triángulo miden 0 o, 10 o, 0 o.por el teorema del seno: 500 sen a = a = 500 m sen o o 0 0 Se resuelve el triángulo rectángulo sabiendo que un ángulo mide 60 o y su hipotenusa mide 500 m. h = sen 60º h = 165,06 m

41 x = 1,6y 01

42 500 a = = 15,9 m sen( 7º 18 ) Se calculan los ángulos del dibujo: 6º ' 7º 18' = 5º 6' 90º 6º ' = 7º 6' 180º 90º 7º 6' = 6º ' 180º 6º ' = 117º 6' 180º 117º 6' 5º 6' = 7º 18' Por el teorema del seno: 15,9 x = x = 197,5 m sen 117º 6' sen 5º 6' a),5 tg α = α = 5º b) 5,5 sen 5º = l = 6,10 m l 90º 8º = 5º r = 670 sen 5º = 5 019,6 km π r = 159,6 km 0

43 Sea V el punto que representa la ventana. Entonces: 90º 56º = º MP = tg º = m MV = + =,6 m Por el teorema del seno:,6 AM = AM = 5, m sen º sen º La distancia entre los dos edificios es: + 5, = 7, m Como el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión, se utiliza la semejanza de triángulos para hallar la altura. AN 8,1 m AN = 5, = 0

44 116,5 m = h tg ( 9º 0' ) = h = 111,17 m 116,5 m + 80 m 8 m 0

45 1+ cos x a) cos x = 1 cos x b) sen x = 05

46 180º 1º 1º = º Por el teorema del seno: a = a =,8 m sen º sen 1º sen º = h h =,8 sen º = 1,66 m a cos º = b b =,8 cos º = 1,8 m a tg 60º = c c = 1,66 tg 60º =,88 m h x =,88 + 1,8 =,7 m 1 = = 0,67 1,5 06

47 PARA PROFUNDIZAR π π 1 sen cos π π π cos cos cos π π sen cos π π = cos cos = π π sen cos π cos π π sen cos π = = = sen = Como el coseno y el seno solo pueden valer como mucho 1: A B A = 0 B = 60 A + B = 90 BC sen 0º = BC = ( a + b + c) ( a + b c) = a + b c + ab = ab c = a + b abcosc 1 cosc C 60º = = c = a + b ab 7 = 8 + x 8 xcos 60º x 8x + 15 = 0 x = 5, x = cos 1,79º 1 = + α α = El tercer ángulo no sería agudo cos 8,1º = + α α = Todos los ángulos son agudos. El tercer lado mide 5 m. 07

48 ω = 180º 90º 67º = º = 18,6 millas 11 sen α = α = 6,5º 18,6 ω + α = º + 6,5º = 59,5º El rumbo desde el segundo barco hacia el primero será N 59,5 o O. En el caso de que el segundo ángulo sea de 77 o : ω = 180º 90º 77º = 1º d cos d = º = 17 millas Por el teorema del seno: sen α sen 80º = α = 9,59º ω + α = 1º + 9,59º = 5,59º El rumbo desde el segundo barco hacia el primero será N 5,59 o O. En el triángulo CPA 6 1 sen α = = α = 0º 1 Como β = α β = 60, que es el ángulo comprendido entre las dos tangentes. C 6 6 A 1 α β P B 08

49 1 cos x 1+ cos x 1 + sen x = 0 sen x = 1+ cos x + + cos x cos x sen x + 1= 0 Seat = cos x. Entonces: ( ) t 1 t + 1= 0 t + 1 = 1 t 10t + 6t = 0 t1 = 0, t = 5 t = no es solución cos x cos x = ± cos x = ± Las soluciones son cos x =, cos x =. sen x 1 sen x + = sen x Seat = t + = t t + = 0 t = t sen x = sen x = senx = ± x = 5º, 15º, 5º, 15º 1 01 = = Aproximación por defecto: 1800º + 15º = 195º Aproximación por exceso: 1800º + 5º = 05º 09

50 MATEMÁTICAS EN TU VIDA La fibra óptica es un hilo muy fino de material transparente, vidrio o materiales plásticos, por el que se envían pulsos de luz que representan datos. Un haz luminoso cuyo ángulo de incidencia es menor que el ángulo de refracción, permanecerá en el núcleo hasta llegar al final de la fibra óptica. n Como sen 90º = 1 sen θ 1 = n 1 Pero como sen θ1 1 es necesario que n1 > n para que haya refracción y cambie de medio. Respuesta abierta. Por ejemplo: Ventajas: Es de menor coste que el cobre y permite la transmisión de una mayor cantidad de datos por unidad de tiempo. Inconvenientes: La fibra es más frágil que el cable de cobre, además su reparación es más difícil en caso de ruptura. 1,000 n = 1,5 sen 1,8º = 10