IMADIL /10/2014

Transcripción

1 TEMA 3: Características estadísticas fundamentales (Segunda parte: Dispersión y forma) Ignacio Martín y José Luis Padilla IMADIL POSICIÓN DISPERSIÓN ESTADÍSTICOS SIMETRÍA APUNTAMIENTO 3. ESTADÍSTICOS DE DISPERSIÓN Conjunto 1: 4, 5, 6, 7, 8, 9 10; Media = 7 Conjunto 2: 2, 3, 4, 7, 10, 11, 12; Media = 7 Es necesario complementar la Media con un indicador de la dispersión de los datos a su alrededor. Existen varias medidas que expresan la variación de los datos en torno a la media. 1

2 3. ESTADÍSTICOS DE DISPERSIÓN Las medidas de posición tratan de representar en una sola cifra un conjunto de datos. No obstante, dos conjuntos de datos pueden tener la misma media, mediana, etc., y ser muy distintos. La variabilidad o dispersión nos indica si las puntuaciones se encuentran muy próximas entre sí o muy dispersas. Desviación Varianza Típica Desviación Media Amplitud semiintercuartil Amplitud total Estadísticos de variabilidad Coeficiente de variación 3. ESTADÍSTICOS DE DISPERSIÓN: Amplitud o rango DEFINICIÓN Y CALCULO Se define como la diferencia entre la puntuación máxima y la mínima y está en la misma métrica que la variable: X max -X min. Para el conjunto 1: 10-4 = 6; para el conjunto 2: 12-2 = = 10 Amplitud total Distancia Distancia 10-4= 6 Amplitud total 3. ESTADÍSTICOS DE DISPERSIÓN: Amplitud o rango Características 1. Es muy fácil de calcular. 2. Presenta el inconveniente de tener en cuenta sólo las puntuaciones extremas, con lo cual es muy sensible a éstas. Si estas se mantienen constantes se mantendrá constante aunque el resto de puntuaciones varíen. 2

3 3. ESTADÍSTICOS DE DISPERSIÓN: Desviación media DEFINICIÓN Una forma intuitiva de definir la dispersión respecto de la media sería obteniendo las desviaciones de todas las puntuaciones y sumarlas, pero por la propiedad de que la suma de desviaciones es 0, esta opción no sirve. Definimos la desviación media, como la media en valor absoluto de n puntuaciones respecto de su media aritmética 3. ESTADÍSTICOS DE DISPERSIÓN: Desviación media Ejemplo: Media = 7 2-7= =+5 3-7= =+3 4-7= =+4 3. ESTADÍSTICOS DE DISPERSIÓN: Desviación media CÁLCULO a) Datos no agrupados b) Datos agrupados en tablas de frecuencias Características 1. Es fácilmente calculable e inteligible 2. Se usa raramente debido a que los valores absolutos son muy poco manejables matemáticamente 3

4 3. ESTADÍSTICOS DE DISPERSIÓN: Varianza y desviación típica DEFINICIÓN Varianza: La media de las diferencias al cuadrado de n puntuaciones respecto de su media aritmética. Está en una métrica diferente (la variable elevada al cuadrado). Desviación típica (DT): La raíz cuadrada de la varianza 3. ESTADÍSTICOS DE DISPERSIÓN: Varianza y desviación típica Ejemplo: 2-7=-5 Media = =+5 3-7=-4 4-7= = =+4 3. ESTADÍSTICOS DE DISPERSIÓN: Varianza y desviación típica Cálculo de la varianza a) Datos no agrupados: Aplicación directa de la formula anterior a los datos. Desarrollando esta fórmula podemos llegar a otra fórmula de cálculo más cómodo: b) Datos agrupados en tablas de frecuencias: 4

5 3. ESTADÍSTICOS DE DISPERSIÓN: Varianza y desviación típica Características Son sensibles a la variación de cada una de las puntuaciones. Baste con que varíe una de estás para que varíen. La desviación típica viene expresada en las mismas unidades que los datos, no ocurre lo mismo con la varianza que estaría al cuadrado. No serán calculables ni recomendables cuando no sea calculable o recomendable la media como medida de posición. Ambas como medida de variación serán siempre valores positivos (S 2 0 y S 0) 3. ESTADÍSTICOS DE DISPERSIÓN: Coeficiente de variación Concepto Consideremos dos variables distintas, por ejemplo el peso, medido en unidades de gramos y la altura, medida en centímetros. Ambas varianzas y desviaciones típicas no son comparables. Para hacer comparables ambas variabilidades con variables de distintas naturaleza es necesario que vengan expresadas en números abstractos. Cálculo: El Coeficiente de Variación es el resultado de dividir la desviación típica entre la media. Habitualmente este cociente viene multiplicado por ESTADÍSTICOS DE DISPERSIÓN: Coeficiente de variación Características Constituye una medida adimensional y abstracta, como cociente de dos números concretos. Por lo tanto permite comparar la variabilidad de conjuntos de datos medidos en diferentes unidades. Para su cálculo es preciso que la media sea diferente de 0. No se ve afectada por los cambios de escala (multiplicación por una constante), pero sí de origen (suma de una constante). Esto es, si a unas puntuaciones dadas les sumamos una cantidad el CV cambiará y si multiplicamos las puntaciones por una cantidad el CV se mantendrá constante 5

6 Índice 1. Descripción y Exploración de los datos. 2. Estadísticos de Posición. 3. Estadísticos de Dispersión. 4. Tipos de puntuaciones 5. Índices de forma: simetría y apuntamiento. 4. TIPOS DE PUNTUACIONES Frecuentemente interesa comparar puntuaciones obtenidas en diferentes variables, pero dada la diferente métrica, esta comparación puede llevar a conclusiones engañosas. Hay varios tipos de puntuaciones: Directas: X i (son las obtenidas directamente) Diferenciales: Típicas o estandarizadas: 4. TIPOS DE PUNTUACIONES: Características 1. Las puntuaciones diferenciales son mas informativa que las directas, pues nos indican si la puntuación es superioroinferioralamediaosicoincideconella. 2. Las puntuaciones típicas miden las distancias a la media en relación a la variabilidad del grupo de referencia, indicando la cuantía de la diferencia en términos de las distancias generales observadas en las puntuaciones. 3. Estas distancias están representadas en la desviación típica y se usa ésta como unidad de medida. La puntuación típica de una observación indica el número de desviaciones típicas que esa observación se separa del grupo de observaciones. 6

7 4. TIPOS DE PUNTUACIONES: Características 4. Las puntuaciones típicas son adimensionales, por lo que permiten comparar observaciones de diferentes grupos, variables medidas de distintas formas o variables diferentes, ya que siempre tienen el mismo significado. 5. El proceso de convertir puntuaciones a típicas se denomina tipificación. 6. Pueden ser positivas (indicando que la observación es superior a la media de su grupo) o negativas (indicando que es inferior). 7. La media de las puntuaciones típicas es cero, mientras que su varianza y su desviación típica son iguales a uno. 4. TIPOS DE PUNTUACIONES: Ejemplo Ejemplo: Supongamos un grupo de datos donde la media sea 38 y su desviación típica 10. Para un sujeto que tenga una puntuación 48 Puntuación directa (x i )=48 Puntuación diferencial (x i )= 48-38=10 Puntuación típica (z i )=(48-38)/10=1 (quiere decir que el sujeto se separa de su media de grupo una desviación típica) 21 POSICIÓN DISPERSIÓN ESTADÍSTICOS SIMETRÍA APUNTAMIENTO 7

8 5. Asimetría Una distribución es simétrica si la mitad izquierda de su distribución es la imagen especular de su mitad derecha. En las distribuciones simétricas media y mediana coinciden. Si sólo hay una moda también coincide La asimetría es positiva o negativa en función de a qué lado se encuentra la cola de la distribución Asimetría La media tiende a desplazarse hacia las valores extremos (colas). Las discrepancias entre las medidas de centralización son indicación de asimetría Asimetría: Ejemplos Asimetría positiva Examen difícil Salarios Moda Mediana Media Examen fácil Asimetría negativa Media Mediana Moda 8

9 5. Asimetría: Índice intercuartílico El Índice de asimetría intercuartílico,se basa en los cuartiles Interpretación: valores mayores que cero, asimetría positiva, los menores asimetría negativa, y si la distribución es simétrica, el índice vale cero (lo que no quiere decir que índices de valor cero indiquen simetría en la distribución) Ventaja: tiene un valor máximo y mínimo (-1 y +1) Facilita su interpretación en términos relativos 26 POSICIÓN DISPERSIÓN ESTADÍSTICOS SIMETRÍA APUNTAMIENTO 5. Apuntamiento: Curtosis La curtosisnos indica el grado de apuntamiento (aplastamiento) de una distribución con respecto a la distribución normal. Curtosis < 0 = Distribución Platicúrtica (aplanada) Curtosis = 0 Distribución Mesocúrtica (como la normal) Curtosis > 0 Distribución (apuntada): curtosis > 0 Bioestadística. U. Málaga. Tema 2: Estadísticos 27 9

10 ANEXO PROPIEDADES ESTADÍSTICOS DE POSICIÓN: Media aritmética 1. La suma aritmética de las desviaciones respecto de la media siempre es 0: 2. En esta propiedad se apoya la interpretación de la media como centro de los datos. Se debe a que cuando se calculan las desviaciones con respecto de la media, las negativas se compensan con las positivas. 3. Si sumamos una constante a un conjunto de puntuaciones, la media quedará aumentada en esa misma constante. ESTADÍSTICOS DE POSICIÓN: Media aritmética 4. Si multiplicamos por una constante a un conjunto de puntuaciones, la media aritmética quedará multiplicada por esa misma constante. 5. Una variable definida como la combinación lineal de otras variables (Y=aX+b)tiene como media la misma combinación lineal de las medias que intervienen en su definición. 6. Si sumamos diferentes variables, la media de la suma es la suma de las respectivas medias: W= X + Y + Z 10

11 ESTADÍSTICOS DE POSICIÓN: Mediana 1. Es menos sensible que la media a la variación de cada una de las puntuaciones. 2. La mediana es un punto tal, que la vertical levantada sobre el mismo divide el área total del histograma en dos áreas con idéntica superficie. 3. Es más recomendable que la media cuando la distribución de frecuencias es muy asimétrica. ESTADÍSTICOS DE POSICIÓN: Moda 1. Es muy fácil de calcular 2. Tiene el inconveniente de no ser necesariamente única. Dentro de una misma distribución pueden aparecer dos o más valores a los que corresponda la frecuencia máxima o distribuciones donde todos los intervalos tuvieran igual frecuencia (distribuciones amodales) ESTADÍSTICOS DE DISPERSION: Varianza y Desviación Típica 1. Si sumamos una constante a un conjunto de puntuaciones, su varianza no se altera. 2. Pero si multiplicamos una constante a un conjunto de puntuaciones, la varianza quedará multiplicada por el cuadrado de la constante, y la desviación típica por el valor absoluto de esa constante. 11