Matemáticas III. Grupos: 3 B. Escuela Secundaria Diurna No. 264 Miguel Servet. Alumno (a): Actividades escolares. Profra. Gisel M.

Transcripción

1 Escuela Secundaria Diurna No. 264 Miguel Servet Jornada Ampliada Matemáticas III Actividades escolares Profra. Gisel M. Leal Martínez Grupos: 3 B. Alumno (a): octubre, 2017

2 IGUALDAD O CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos son iguales o congruentes cuando se les puede hacer coincidir en todas sus partes por superposición. Existen tres casos principales de igualdad o congruencia de triángulos. 1)Dos triángulos son iguales o congruentes cuando tienen un lado y los ángulos adyacentes respectivamente iguales ( A.L.A) 2)Dos triángulos son iguales o congruentes cuando tienen dos lados y el ángulo que forman respectivamente iguales (L.A.L.) 3)Dos triángulos son iguales o congruentes cuando Tienen los tres lados respectivamente iguales (L.L.L.) A.L.A. = A.L.A. L.A.L. = L.A.L. AC = A C, < A = < A, AB = A B ABC A B C C C

3 L.L.L. = L.L.L. A B A B CA = C A, AB = A B, BC = B C ABC A B C Resuelve 1) Dados los siguientes triángulos, determinar cuáles son congruentes. I. II. III. a) Sólo I y II b) Sólo I y III c) Sólo II y III d) I, II y III e) Ninguno 2) Un alumno para demostrar en el cuadrado de la figura que ABC BCD, determinó que AB BD, que AC DC y que el CAB BDC, por ser rectos. Qué criterio de congruencia utilizó? a) LLL b) LAL c) ALA d) AAL e) LLA

4 3) En la figura, el CDE es isósceles. C es punto medio de AD y D es punto medio de CB. Qué criterio de congruencia permite demostrar que el ACE BDE? a) LAL b) ALA c) LLA d) LLL e) AAL 4) En los triángulos siguientes se verifica que AB DE, que BC EF y que el CAB FDE. Qué criterio permite demostrar que estos triángulos son congruentes? D E F a) LLL b) LAL c) ALA d) LLA e) Falta Información 5) En la figura, el ABC DEF, entonces se verifica que: F E D a) AC DF b) BC DE c) AB FE d) AC FE e) AB FD

5 6) Para demostrar que los triángulos AOB y COD de la figura, son congruentes, es necesario saber que: a) AB DC b) BAO DCO c) AB //CD d) AO DO y AB CD e) BO CO y AO DO 7) Marca la alternativa de la proposición verdadera a) Dos triángulos rectángulos son congruentes si sus ángulos agudos respectivos son congruentes. b) Dos triángulos son congruentes si sus lados homólogos miden lo mismo. c) Dos triángulos son congruentes si sus ángulos respectivos son iguales. d) Para demostrar que dos triángulos son congruentes se puede utilizar el criterio AAL e) Todos los triángulos equiláteros son congruentes. 8) Los triángulos ABC y DEF de la figura son congruentes, entonces la medida de EF es: D F E a) 9 b) 15 c) 17 d) 40 e) Falta información

6 9) En la figura, ABCD es rectángulo y el DEA CFB. Qué criterio permite demostrar que el EAD FBC? a) LLL b) LLA c) ALA d) LLA e) Falta Información 10) En la figura, ABC equilátero y AF BD CE. El criterio que permite demostrar que los triángulos AFE, ECD y BDF son congruentes es: C E D a) LAL b) LLL c) ALA d) LLA e) LAA A F B Observa con atención las figuras propuestas. Utiliza uno de los criterios de igualdad de triángulos para demostrar lo que se pide. 1. Demostrar que las diagonales de un rectángulo son iguales. ABCD es un rectángulo AC y BD son diagonales de un rectángulo AC = BD si demuestro que ABD BCD

7 Afirmaciones Razones AD = BC Ángulo A = Ángulo C AB = DC ABD BCd AC = BD 2. Probar que los triángulos ABC y ADC son iguales. ABCD es un paralelogramo Afirmaciones Razones AD = BC AB = CD AC = AC ABC ADC

8 SUCESIONES NUMÉRICAS El conjunto de varios números ordenados con base en una determinada regla constituye una serie numérica. Por ejemplo: múltiplos de 3 menores de 30 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 Llamamos n a la posición que ocupa n = 1 n = 5 n = 7 n = 9 Para descubrir la regla, patrón o generalización de una sucesión se tienen que calcular las diferencias que hay entre las cantidades, ésta se escribirá como el factor constante de la expresión, posteriormente se revisa si falta o sobra multiplicando en cualquiera de las posiciones de la secuencia, este número se escribe en la expresión como adición o sustracción. Por ejemplo: 3, 8, 13, 18, 23, 28,, a) Se observa el incremento de posición a posición b) El incremento como ves es 5 por tanto, el factor 5n es 5 que multiplica a la posición con n c) Se prueba en cualquiera de las posiciones Si n es 1 entonces 5(1) = 5 d) Como en la primera posición hay 3 sobran 2 entonces el patrón será 5n 2 e) Si se va a calcular otra posición que no esté si n es 25 entonces 5(25) 2 = = 123 en la secuencia se sustituye en el patrón dicho valor Por ejemplo: La generalización de la siguiente sucesión es: 5, 7, 9, 11, 13, Como observas el incremento es 2, por lo que el factor es 2 Si se multiplica el factor 2 por la primera posición, su producto es 2 Se observa que el primer número de la sucesión es 5 por tanto faltan 3 para llegar a 5 La generalización es 2n + 3 Comprobamos con la primera posición si 2(1) + 3 = = 5 Comprobamos con la tercera posición si 2(3) + 3 = = 9 Al coincidir los números de la sucesión es correcta la generalización obtenida. Ejercicio

9 Escribe la generalización de las siguientes sucesiones y el término que ocupa la posición que se te pide: Núm. Prog. Sucesión Generalización Posición 1 3, 9, 15, 21, 27, 33, 10ª 2 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35ª 3 2, 7, 12, 17, 22, 27, 11ª 4 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 20ª 5 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 8ª 6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 32ª 7 8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 20ª 8 3, 5, 7, 9, 12, 15, 18, 100ª 9 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 57ª 10 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19ª 11 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 71ª Término Número SUCESIONES DE FIGURAS Tienes que hacer lo mismo que en las sucesiones numéricas De la siguiente sucesión determina cuántos cuadrados hay en la 5ª figura y escribe su generalización. 1 ª Figura 2 ª Figura 3 ª Figura 4 ª Figura Número de cuadros El factor es 4 Por tanto, la generalización es: 4n Ahora comprobemos varias posiciones : Posición 1ª 4(1) = 4 Posición 2ª 4(2) = 8 Posición 3ª 4 (3) = 12 Posición 4ª 4(4) = 16 Observa que es el número de cuadros que tienen cada figura según su posición.

10 Ejercicio 1.- De la siguiente sucesión determina cuántos cuadrados hay en la 5ª figura y escribe su generalización. 1ª Figura 2ª Figura 3ª Figura 4ª Figura 2.- De la siguiente sucesión determina cuántas bolitas hay en la 6ª figura y escribe su generalización. 1ª Figura 2ª Figura 3ª Figura 4ª Figura 5ª Figura 3.- De la siguiente sucesión determina cuántas bolitas hay en la 6ª figura y escribe su generalización. 1ª Figura 2ª Figura 3ª Figura 4ª Figura 5ª Figura

11 4.- Cuál es la generalización para encontrar el número de cubos que hay en una figura cualquiera de esta sucesión y cuántos cubos tiene la figura de la posición 30ª? 1ª Figura 2ª Figura 3ª Figura 5.- De la siguiente sucesión de figuras determina cuántas bolitas hay en la 5ª figura y escribe su generalización. 1 ª Figura 2 ª Figura 3 ª Figura 4 ª Figura 5 ª Figura 7.- De la siguiente sucesión de figuras determina cuántos cuadrados hay en la 6ª figura y escribe su generalización. 1 ª Figura 2 ª Figura 3 ª Figura 4 ª Figura 8.- De la siguiente sucesión de figuras determina cuántos cuadrados hay en la 5ª figura y escribe su generalización. 1 ª Figura 2 ª Figura 3 ª Figura 4 ª Figura

12 9.- De la siguiente sucesión de figuras determina cuántos puntos hay en la figura que ocupa el lugar 21 y escribe su generalización. 1 ª Figura 2 ª Figura 3 ª Figura 4 ª Figura CONSTRUCCIÓN DE SUCESIONES A PARTIR DE UNA GENERALIZACIÓN Cuando se tiene una generalización, sólo tienes que ir sustituyendo el valor de n por cada una de las posiciones. Ejemplo: Generalización Posición 1ª Posición 2ª Posición 3ª Posición 4ª Posición 5ª 5n 2 5n 2 5n 2 5n 2 5n 2 5n 2 5(1) 2 5(2) 2 5(3) 2 5(4) 2 5(5) Por tanto la sucesión es: 3, 8, 13, 18, 23, Ejercicio Encuentra los 8 primeros términos de la sucesión de cada una de las siguientes generalizaciones: Núm. Prog. Generalización Sucesión 1 2n n + 13

13 3 5n 2 4 7n n n 1 7 8n 6 8 4n n 3 10 n n n n n n n n 18 4n n n n n n n n n + 5