Sumatoria, Progresiones y Teorema del Binomio

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1 Capítulo Sumatoria, Progresioes y Teorema del Biomio.. Símbolo Sumatorio Es u símbolo muy útil y coveiete que permite escribir sumas e forma abreviada. Este símbolo se represeta mediate la letra griega sigma P que represeta la letra S ( de suma ). Por ejemplo, la suma S : : : + se puede abreviar S que se lee "suma de desde hasta ". Los úmeros que aparece ecima y debajo de la letra sigma idica el recorrido de los valores de. La letra se cooce como ídice de sumació. Es claro que o es ecesario utilizar precisamete la letra, sio que se puede tomar e su lugar otra letra cualquiera. Por ejemplo, e vez de podemos escribir i ó j i j todas represetado la misma suma. Las letras i ; j; se llama ídices. Más geeral, cuado se desea formar la suma de ciertos úmeros reales a ; a ; : : : ; a digamos S a + a + : : : + a utilizado el símbolo sumatorio, se escribe S a 48

2 Por ejemplo, 3X a a + a + a 3 5X Alguas veces es coveiete empezar la sumació por el 0 o por algú valor del ídice diferete de : Por ejemplo 4X l l0 Existe otras formas de usar el símbolo sumatorio, como por ejemplo 4X i i0 4X 5 m m De lo aterior se deduce la siguiete de ició: De ició. Sea p u úmero etero o egativo, etoces se de e: px ( ) a a p p + X ( ) a a + a +, co úmero etero tal que p p p Observació.. De la de ició se desprede que: + X px a a + a p+ + a p+ + + a + a + p p a p + a p+ + a p+ + + a + a +. Dada a, co 0 p, p N [ f0g. El úmero de térmios siempre es igual a p +. p Para el caso particular de p, dicho úmero es. Teorema.. Propiedad Aditiva (a + b ) a + b 49

3 . Propiedad Homogéea P P 3. c c c, 8c R 4. Propiedad Telescópica (ca ) c a ; 8c R (a a ) a a p, 0 p p o tambié (a a ) a p a, 0 p p 5. a) b) a p a p q p +q X q p+q a +q, co p a q 0 y 0 p q, co p + q 0 y 0 p 6. Sea p, etoces a X p a a p Teorema. (Sumatorias Notables). ( + ) Demostració: Sea S ( ) + (A) Notar que esta suma tambié se puede escribir como: S + ( ) + ( ) (B) Luego, si sumamos térmio a térmio las ecuacioes (A) y (B) se tiee que: S ( + ) + ( + ( )) + (3 + ( )) + + (( ) + ) + ( + ) ( + ) + ( + ) + ( + ) + + ( + ) + ( + ) ( + ) ( Por qué?) 50

4 Por tato, S ( + ). ( + ) ( + ) 6 Demostració: Ejercicio (Usar: 3 ( ) ) 3. p r rp r p+, co r 6 y 0 p r Demostració: Sea S r r p + r p+ + + r + r (A) p Si múltiplicamos la ecuació (A) por r, se tiee que: rs r p+ + r p+ + + r + r + (B) Luego, si difereciamos las ecuacioes (B) y (A) obteemos: rs S r p + r + (r ) S r p r p+ Por tato, r S rp r p+ r p Ejercicio.3. Hallar los valores de las siguietes sumatorias : a) b) c) 5X 3X j0 4X j+ ( + ). Desarrollar las siguietes sumatorias e idicar el úmero de térmios 5

5 a) b) 8X ( ) 4 ( ) Escribir, usado el símbolo P, las siguietes sumas: a) (hasta + térmios) b) c) (hasta p térmios) Sea a 3; : : : ; a 6 3. Calcular: 5. Calcular las siguietes sumatorias a) b) c) 0X p + + X ( + ) + + 6X a a Usar las propiedades de sumatorias para deducir las siguietes fórmulas: a) b) ( ) 3 ( + ) (Idicació: 4 ( ) ).. Progresioes De ició. Ua fució a : N R a () a se llama ua sucesió e R. Observació.. El elemeto a R se llama ésimo térmio de la sucesió. 5

6 . Ua sucesió se deota por: fa g N fa ; a ; : : : ; a ; : : :g. Ejemplo.. So sucesioes reales: a) + N ; 3 5 ; 5 0 ; : : : b) fcos ()g N f ; ; ; : : :g. Dada la sucesió ; ; 3 ; 4 ; : : : Solució a) Determie su térmio ésimo b) Pruebe que a a + ( + ) c) Calcular a a + a) El ésimo térmio de la sucesió es: a b) a a + c) a a ( + ) ( + ) Progresió Aritmética De ició.3 Decimos que ua sucesió de úmeros reales fa g N es ua Progresió Aritmética (P.A.) si y solo si se puede expresar por a a + ( )d a y d so úmeros reales. Observació.3 De la de ició aterior se desprede que: a a a a + d a 3 a + d. a a + ( )d. Dode a se llama primer térmio de la progresió aritmética, a se llama térmio eésimo de la progresió aritmética y d se llama diferecia. 53

7 Teorema.4 Ua sucesió de úmeros reales fa g N es ua P.A. si y solo si a + a d, 8 N Demostració: fa g N es ua P.A. ssi a + a (a + d) (a + ( )d) d Ejemplo.. La sucesió f4 + 7g N es ua P.A. porque se puede expresar como a {z} + ( ) {z} 4 a. Dada la progresió aritmética a 0; a 3; a 3 6 : : : determiar su térmio eésimo. d Solució El térmio eésimo para esta sucesió viee dado por a 3( ) dode su primer térmio es 0 y su diferecia es 3: 3. E ua progresió aritmética su quito térmio es 3 y el octavo es : Ecotrar el eésimo térmio. Solució Para ello basta ecotrar a y d: E efecto, a 5 a + 4d 3 (.) a 8 a + 7d Luego, a 8 a 5 7d 4d 3d 9. De. se tiee que el primer térmio es igual a: a 3 4d 3 4(3) : Por tato, la sucesió aritmética pedida es: a + 3( ) 3 3. Ecotrar el décimo quito térmio de la progresió aritmética cuyos tres primeros térmios so ; ; 7 ; : : : 54

8 Solució Teemos que: a a a a + d a 3 a + d 7 : Etoces el térmio pedido es: a 5 + (4) Teorema.5 La suma de los primeros térmios de la P.A. fa g N, cuyo primer térmio es a y diferecia d, viee dada por S [a + ( )d] (a + a ) Demostració: Sea S a (a + ( ) d) a + a + d a + d ( ) d ( + ) [a + ( )d] (a + a ) Ejemplo.3. Los úmeros eteros pares está e progresió aritmética. Ecotrar la suma de los úmeros pares del al 00: Solució El problema se reduce a ecotrar la suma de los cicueta primeros térmios ; 4; : : : ; ; esto es 50: S [ + 00]

9 . Se dispoe de 80 palos y se quiere ordearlos e forma de pirámide de maera que e la primera la se coloque 5 palos, e la seguda la se coloque 4; e la tercera la se coloque 3 y así sucesivamete. Se desea saber el úmero de las y el úmero de palos de la última la. Solució La disposició de los palos está e progresió aritmética. La progresió aritmética del ejemplo es la siguiete: a 5; a 4; a 3 3 y d Luego, a 5 + ( )( ) y S [50 + ] 80 ) (5 ) ) 35 _ 6 Así, a ( ) 9 a ( ) 0 De acuerdo a los resultados ateriores a 35 o puede ser u térmio de esta progresió aritmética. Luego, el úmero de las es 6 y la última la tiee 0 palos. 3. Ecotrar la suma de todos los úmeros etre 00 y 000, que sea divisible por 4. Solució El primer úmero, después de 00, divisible por 4 es, luego a y d 4 ( Por qué?), etoces a + 4 ( ) Notar que Luego, 64 co lo que a < 000 ) + 4 ( ) < ) < + 64: 49 4 S (a + a 64 ) 3 ( + 994) E muchas ocasioes ecesitamos obteer el promedio etre dos catidades. Lo que realmete estamos haciedo es calcular u térmio de ua progresió aritmética. De ició.4 Sea a y b dos úmeros reales. Diremos que A es el medio aritmético etre a y b si a; A; b forma ua P.A.. 56

10 Teorema.6 A es el medio aritmético etre a y b si y sólo si A a + b Demostració: A es el medio aritmético etre a y b si y sólo si los úmeros a; A; b forma ua P.A.. Es decir A a b A A a + b A a + b Observació.4 La proposició aterior se puede geeralizar de la siguiete maera: si a ; a 3 ; : : : ; a + so úmeros reales tales que a ; a 3 ; : : : ; a + a; a ; a 3 ; : : : ; a + ; b forma ua progresió aritmética, etoces so llamados los medios aritméticos o promedios aritméticos etre los úmeros a y b. Este problema se cooce tambié como:"iterpolar medios aritméticos etre a y b". Para tal efecto, sea Luego, De dode se tiee que: a a y a + b a + a + ( + ) d b ) d b a + a a + ( ) b a +, co ; ; : : : ; + Ejemplo.4 Iterpolar tres promedios o medios aritméticos etre 3 y 5: Solució Sea a 3, b 5 y 3, etoces Por tato, los medios iterpolados so: 8 a 3 + ( ), co ; ; 3; 4; ( ) a ; a 3 y a Progresió Geométrica De ició.5 Decimos que ua sucesió de úmeros reales fa g N es ua Progresió Geométrica (P.G.) si y solo si se puede expresar por a a r dode a y r so úmeros reales dados. 57

11 Observació.5 De la de ició aterior se desprede que: a a a a r a 3 a r. a a r. Dode a se llama primer térmio de la progresió geométrica y r se llama razó. Teorema.7 Ua sucesió de úmeros reales fa g N es ua P.G. si y solo si a + a r, 8 N Demostració: fa g N es ua P.A. ssi a + a r a r a r Ejemplo.5. La sucesió es ua P.G. porque se puede expresar como N 0 a B a {z} r. 4 ; ; ; ; : : : es ua progresió geométrica de razó r : p p p 3. ; 3; 3; 7; : : : es ua progresió geométrica de razó r 3: C A 4. 3 x ; 3 x+ ; 3 x+ ; : : : es ua progresió geométrica de razó r 3: 5. Ecotrar el quito térmio de ua sucesió geométrica cuyo primer térmio es 3 y la razó r : Solució Si a 3 y r ; etoces a 5 3( )

12 6. Dado el tercer térmio a 3 5; de ua progresió geométrica y el octavo térmio a 8 60, determiar el sexto térmio. Solució a 3 a r 5; a 8 a r 7 60 ) r 5 3 ) r Si a r 5 etoces a 5 4 : Luego a ( )5 40: Teorema.8 La suma de los primeros térmios de la P.G. fa g N, cuyo primer térmio es a y razó r, viee dada por Demostració: Sea S S a (r ), r 6 r a a r a r a r r r (r ) r a (r ), r 6 r, (sumatoria otable 3.) Ejemplo.6. Dada la progresió geométrica 5; 0;5; 0;05; 0;005; : : : ecotrar la suma de los 0 primeros térmios. Solució La progresió está dada por a 5; a 0;5; a 3 0;05; : : : dode r 0;; luego S 0 5 (( 0;)0 ) (( 0;) ) 4:54. Ua persoa desea ahorrar diero depositado $00 el primer dia, $00 el segudo dia, $400 el Solució tercer dia y así sucesivamete, doblado la catidad cada día. Si esto cotiúa, Cuáto debe aportar el décimo quito día? Qué catidad ahorra e 30 dias?. La progresió geométrica está dada por: a 00; a 00; a 3 400: Luego r : El décimoquito día el aporte asciede a a : La catidad ahorrada e 30 dias es la suma de los treita primeros térmios de la progresió geométrica: S (30 ) ( )

13 3. La suma de los 6 primeros térmios de ua P.G. es 9 veces la suma de los tres primeros térmios, determie su razó. Solució Se sabe que 4. Calcular la suma S S 6 9S 3 a (r 6 ) 9 a (r 3 ) r r r 6 9(r 3 ) (r 3 + )(r 3 ) 9(r 3 ) S + a + b ab r r 3 8 r + a + b a b + + a + b a b Solució Notamos que S + a + a + + a + + b + b + + b El primer parétesis cotiee sumados de los primeros térmios de la P.G. a dode a N a y r a el segudo cotiee sumados de los primeros térmios de la P.G. b dode b N b y r, b luego 3 3 a a 6 b b a 6 4 a + a + a + a a a b b a+ a ( a) + b+ b ( b) b b + b b b De ició.6 Sea a y b dos úmeros reales. Diremos que el úmero real G es el medio geométrico etre a y b si a; G; b forma ua P.G y 60

14 Teorema.9 El úmero real G es el medio geométrico etre a y b si y sólo si G p a b Demostració: G es el medio geométrico etre a y b si y sólo si a; G; b forma ua P.G.. Es decir, G a b G G a b G p a b Observació.6 La proposició aterior se puede geeralizar de la siguiete maera: si a ; a 3 ; : : : ; a + so úmeros reales tales que a; a ; a 3 ; : : : ; a + ; b forma ua progresió geométrica, etoces a ; a 3 ; : : : ; a + so llamados los medios geométricos etre los úmeros a y b. Este problema se cooce tambié como:"iterpolar medios geométricos etre a y b". Para tal efecto, sea a a y a + b Luego, r b a + a r + b ) r + a De dode se tiee que: a a r b, co ; ; : : : ; + a + Ejemplo.7 Iterpolar tres medios geométricos etre 9 4 y 4 9. Solució Sea a 9 4, b 4 9 y 3, etoces Por tato, los medios iterpolados so: a 9 r 4 6, co ; ; 3; 4; a 3 ; a 3 y a 4 3 6

15 ..3. Progresió Armóica es ua Progresió Ar- De ició.7 Decimos que ua sucesió de úmeros reales fa g N móica (P.H.) si y solo si la sucesió es ua P.A.. a N Ejemplo.8 La sucesió ; 4 ; ; : : : es ua progresió armóica ya que ; 4; 6; : : : es ua progresió 6 aritmética. E muchas situacioes, pricipalmete geométricas, se preseta la ecesidad de calcular el medio armóico que se de e e la misma forma que el medio aritmético y geométrico. De ició.8 Sea a y b úmeros reales o ulos. Diremos que H es el medio armóico etre a y b si a; H; b es ua progresió armóica. Teorema.0 H es el medio armóico etre a y b si y sólo si H Demostració: Ejercicio Ejemplo.9. Determiar el medio armóico etre 5 y ab a + b. Solució Sea a 5 y b,etoces el medio armóico es H. Iterpolar medios armóicos etre 5 y Solució 5; a ; a 3 ; es ua P.H. ssi 5 ; a ; De aquí, Luego, si a 5 (5) () a 3 ; a 5 a 3 a a 5 a 3 a y es ua P.A.. Luego, a 3 a 3 a ) 5a 3 a 3 a a a 3 5a 5a 3 ) a (a 3 + 5) 0a 3 ) a 0a 3 a a 3 6

16 y Así, Teorema. a 3 a a 3 a 3 0a 3 a 3 a a a 3 0a 3 a 3 0 a a 3 0 a 3 65 a a Sea A; G; H el medio aritmético, geométrico y ármoico, de a y b, respectivamete, etoces H G A:. Sea a; b R + : Sea A; G; H los medios artimético, geométrico y armóico de a y b; respectivamete. Demostrar que G AH: Demostració: Sabemos que A a + b ; G p ab y H ab a + b. Etoces Luego teemos que G AH A H a + b ab ab G a + b.3. Teorema del Biomio.3.. Número Factorial De ició.9 La sucesió de ida por recurrecia por 8 >< f : N 0 N f(0) >: f() f( ), 8 se deomia factorial y la image f() se llama factorial y se deota : f(). 63

17 Observació.7 De la de ició se desprede que: Ejemplo.0 Calcular ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Números Combiatorios De ició.0 Los úmeros deotados por de e por: dode N y N 0, co. ( Ejemplo (7 3) Calcular el valor de, si 0 se llama úmeros combiatorios y se ) Solució ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 64

18 Luego, ( ) 0 ( ) así, p + 80 ) 5 ( 5 4 N Teorema. Dados ; N 0, etoce se cumple: ( ) Demostració: Ejercicio del : al 6: 8 N, N (Stie el) 65

19 7: + ( ( ))( ) + ( ) + ( + ) ( ( )) + ( ( )) ( + ) ( ( )) ( + ) ( ( )) + Ejercicio.3 Veri car la siguiete igualdad: E efecto: {z} se usa Stie el dos veces {z} se usa Stie el ua vez Teorema del Biomio Teorema.4 Si N y a; b R, etoces (a + b) 0 a b 66

20 Corolario. Sea N y a; b R (a b) ( ) 0 a b Observació.8. E el desarrollo de u biomio los úmeros se llama coe cietes biomiales.. El térmio + del desarrollo de (a + b) es t + a b, co 0; : : : ; Ejemplo. E el desarrollo del Biomio ( 3p a. El séptimo térmio. a )4, ecuetre, si existe:. El térmio idepediete de a (que equivale a a 0 ). 3. El (ó los) térmio cetral (es). Solució. Para 4 y + 7 ) 6, se tiee: t ( 3p a) 4 6 ( a 8 3 ( ) a a a 8 3 a )6 6 a. Para determiar, si existe, térmio idepediete de a, primero debemos otar que: a

21 3p 4 a a a 4 3 a 4 7 a 3 luego, Por lo tato a a 0 () t () ( 3p a) 4 a 4 a4 a 4 4 (4 ) Como (a + b) a b, es la suma de + térmios, e el caso del ejemplo, 0 4 etoces el biomio dado tiee e su desarrollo 5 térmios, e cosecuecia existe u úico térmio cetral equidistate del o y el 5 o térmio, es decir, t 8, es el térmio cetral. 68

22 4 t 7+ t a a a 35 3 Ejemplo.3 Ecotrar el coe ciete de x, e 7 ( 3p a) 4 7 a 7 7 a 7 a a 7 3 a 4 a 35 3 a 35 3 x + x ( + x) + Solució Notar que x + x ( + x) + ( + x) + x ( + x) + + x ( + x) + + X + + X + x + X x x + x x Luego, debemos buscar los coe cietes de: x, x y x e ( + x) +. Así, el coe ciete de x e ( + x) + + es, x e ( + x) + + es x e ( + x) + + es y Por tato, el coe ciete de x es

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