Localización en subdivisiones

Transcripción

1 en subdivisiones

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3 Elija su pais de destino:

4 del problema Dado un PSLG y un punto adicional, en qué región se encuentra el punto?

5 del problema Y como la multitud de leyes sirve muy a menudo de disculpa a los vicios, siendo un Estado mucho mejor regido cuando hay pocas, pero muy estrictamente observadas, así también, en lugar del gran número de preceptos que encierra la lógica, creí que me bastarían los cuatro siguientes, supuesto que tomase una firme y constante resolución de no dejar de observarlos una vez siquiera: Fue el primero, no admitir como verdadera cosa alguna, como no supiese con evidencia que lo es; es decir, evitar cuidadosamente la precipitación y la prevención, y no comprender en mis juicios nada más que lo que se presentase tan clara y distintamente a mí espíritu, que no hubiese ninguna ocasión de ponerlo en duda. El segundo, dividir cada una de las dificultades, que examinare, en cuantas partes fuere posible y en cuantas requiriese su mejor solución. El tercero, conducir ordenadamente mis pensamientos, empezando por los objetos más simples y más fáciles de conocer, para ir ascendiendo poco a poco, gradualmente, hasta el conocimiento de los más compuestos, e incluso suponiendo un orden entre los que no se preceden naturalmente. Y el último, hacer en todo unos recuentos tan integrales y unas revisiones tan generales, que llegase a estar seguro de no omitir nada. René Descartes ( ) Discurso del método

6 del problema Y como la multitud de leyes sirve muy a menudo de disculpa a los vicios, siendo un Estado mucho mejor regido cuando hay pocas, pero muy estrictamente observadas, así también, en lugar del gran número de preceptos que encierra la lógica, creí que me bastarían los cuatro siguientes, supuesto que tomase una firme y constante resolución de no dejar de observarlos una vez siquiera: Fue el primero, no admitir como verdadera cosa alguna, como no supiese con evidencia que lo es; es decir, evitar cuidadosamente la precipitación y la prevención, y no comprender en mis juicios nada más que lo que se presentase tan clara y distintamente a mí espíritu, que no hubiese ninguna ocasión de ponerlo en duda. El segundo, dividir cada una de las dificultades, que examinare, en cuantas partes fuere posible y en cuantas requiriese su mejor solución. El tercero, conducir ordenadamente mis pensamientos, empezando por los objetos más simples y más fáciles de conocer, para ir ascendiendo poco a poco, gradualmente, hasta el conocimiento de los más compuestos, e incluso suponiendo un orden entre los que no se preceden naturalmente. Y el último, hacer en todo unos recuentos tan integrales y unas revisiones tan generales, que llegase a estar seguro de no omitir nada. René Descartes ( ) Discurso del método

7 del problema Dada una subdivisión del plano y un punto adicional, en qué región se encuentra el punto?

8 : Polígono simple Dada un polígono simple cerrado P y un punto p adicional, está p dentro del polígono P?

9 : Polígono simple Dada un polígono simple cerrado P y un punto p adicional, está p dentro del polígono P?

10 : Polígono simple Dada un polígono simple cerrado P y un punto p adicional, está p dentro del polígono P?

11 : Polígono simple Dada un polígono simple cerrado P y un punto p adicional, está p dentro del polígono P? p está dentro del polígono P

12 : Polígono simple Dada un polígono simple cerrado P y un punto p adicional, está p dentro del polígono P? Teorema: Toda línea poligonal cerrada C divide el plano en dos regiones, una acotada y la otra no. Además, se puede determinar si un punto p está en la región acotada contando el número de veces que cualquier semirrecta que comienza en p atraviesa a C; p estará en dicha región si y sólo si dicho número es impar.

13 : Polígono simple Corolario: Es posible determinar si un punto está en el interior de una región acotada por una línea poligonal simple cerrada en tiempo O(n). Algoritmo INCLUSIÓN-POLÍGONO l 1,l 2, l n son las aristas de P; z es un nuevo punto; r es el rayo horizontal desde z a + ; begin L:=0; for i:=1 until n do { if (l i no es horizontal) then if (r intersecta a l i en un punto que no sea su extremo inferior) then L:=L+1; } if (L es impar) then z es interior a P else z es exterior a P end

14 : Polígono convexo p 3 p2 En algunos tipos de polígonos podemos bajar del tiempo O(n) con un cierto preprocesamiento. p 4 p 5 q z p 1 Problema: Ver si un punto está en el interior de un polígono convexo. p 6 p 7

15 : Polígono convexo p 4 p 3 p2 z Alg. INCL.POL.CONVEXO 1) Obtener un punto q interior a P (punto medio entre dos vértices no consecutivos) p 1 p 5 q p 6 p 7

16 : Polígono convexo p 4 p 5 p 3 q p2 z p 1 Alg. INCL.POL.CONVEXO 1) Obtener un punto q interior a P (punto medio entre dos vértices no consecutivos) 2) El plano queda dividido en cuñas (ordenadas angularmente, p.e., en sentido positivo p 1,p 2,,p n ) p 6 p 7

17 : Polígono convexo p 4 p 5 p 3 p2 z q p 7 p 6 p 1 Alg. INCL.POL.CONVEXO 1) Obtener un punto q interior a P (punto medio entre dos vértices no consecutivos) 2) El plano queda dividido en cuñas (ordenadas angularmente, p.e., en sentido positivo p 1,p 2,,p n ) 3) Determinar en qué cuña (p i p i+1 ) está z (si zqp i < 0 y zqp i+1 > 0)

18 : Polígono convexo p 4 p 5 p 3 p2 z q p 7 p 6 z es interior a P p 1 Alg. INCL.POL.CONVEXO 1) Obtener un punto q interior a P (punto medio entre dos vértices no consecutivos) 2) El plano queda dividido en cuñas (ordenadas angularmente, p.e., en sentido positivo p 1,p 2,,p n ) 3) Determinar en qué cuña (p i p i+1 ) está z (si zqp i < 0 y zqp i+1 > 0) 4) z es interior a P si, y sólo si, está a la izquierda de p i p i+1. (p i p i+1 z > 0)

19 : Polígono convexo p 4 p 5 p 3 p2 z q p 7 p 6 p 1 O(1) O(n) O(log n) Alg. INCL.POL.CONVEXO 1) Obtener un punto q interior a P (punto medio entre dos vértices no consecutivos) 2) El plano queda dividido en cuñas (ordenadas angularmente, p.e., en sentido positivo p 1,p 2,,p n ) 3) Determinar en qué cuña (p i p i+1 ) está z (si zqp i < 0 y zqp i+1 > 0) O(1) 4) z es interior a P si, y sólo si, está a la izquierda de p i p i+1. (p i p i+1 z > 0)

20 : Polígono convexo Teorema: Es posible determinar si un punto está en el interior de un poligono convexo en tiempo O(log n), con O(n) de preprocesamiento. Alg. INCL.POL.CONVEXO 1) Obtener un punto q interior a P (punto medio entre dos vértices no consecutivos) 2) El plano queda dividido en cuñas (ordenadas angularmente, p.e., en sentido positivo p 1,p 2,,p n ) 3) Determinar en qué cuña (p i p i+1 ) está z (si zqp i < 0 y zqp i+1 > 0) 4) z es interior a P si, y sólo si, está a la izquierda de p i p i+1. (p i p i+1 z > 0)

21 : Polígono estrellado Alg. INCL.POL.ESTRELLADO p 5 1) Obtener un punto q del núcleo de P p 7 p 6 p 8 q p 4 p 3 2) El plano queda dividido en cuñas (ordenadas angularmente, p.e., en sentido positivo p 1,p 2,,p n ) p 2 3) Determinar en qué cuña (p i p i+1 ) está z (si zqp i < 0 y zqp i+1 > 0) p 1 4) z es interior a P si, y sólo si, está a la izquierda de p i p i+1. (p i p i+1 z > 0)

22 : Polígono estrellado p 7 p 6 p 8 p 1 p 5 p 4 p 2 p 3 Alg. INCL.POL.ESTRELLADO 1) Obtener un punto q del núcleo de P (Intersección de semiplanos) 2) El plano queda dividido en cuñas (ordenadas angularmente, p.e., en sentido positivo p 1,p 2,,p n ) 3) Determinar en qué cuña (p i p i+1 ) está z (si zqp i < 0 y zqp i+1 > 0) 4) z es interior a P si, y sólo si, está a la izquierda de p i p i+1. (p i p i+1 z > 0)

23 : Polígono estrellado La intersección de n semiplanos puede calcularse en tiempo óptimo O(n log n) El núcleo de un polígono de n vértices puede calcularse en tiempo óptimo O(n) (Lee-Preparata 1978) O(n) O(n) O(log n) Teorema: Es posible determinar si un punto está en el interior de un poligono estrellado en tiempo O(log n), con O(n) de O(1) preprocesamiento. Alg. INCL.POL.ESTRELLADO 1) Obtener un punto q del núcleo de P (Intersección de semiplanos) 2) El plano queda dividido en cuñas (ordenadas angularmente, p.e., en sentido positivo p 1,p 2,,p n ) 3) Determinar en qué cuña (p i p i+1 ) está z (si zqp i < 0 y zqp i+1 > 0) 4) z es interior a P si, y sólo si, está a la izquierda de p i p i+1. (p i p i+1 z > 0)

24 : s s Dada una subdivisión del plano (pslg) y un punto adicional, en qué región se encuentra el punto? p 1 s s 1) Ordenar los puntos por su ordenada. p 4 p 3 p 5 p 6 p 2 2) Trazar n rectas horizontales (dando lugar a n+1 s) 3) Determinar en qué horizontal está z. p 8 º p 9 p 7 4) Ordenar, de izquierda a derecha, los segmentos que determinan cada región dentro de la p 10 5) Determinar en cuál de estas regiones está z.

25 : s s s s Preprocesamiento O(n 2 log n) O(n 2 ) O(n log n) O(n) O(n 2 log n) 1) Ordenar los puntos por su ordenada. 2) Trazar n rectas horizontales (dando lugar a n+1 s) 3) Ordenar los segmentos en todas las s. O(log n) O(log n) O(log n) 4) Localizar, por búsqueda binaria, la en la que está z 5) Localizar, por búsqueda binaria, en qué región se encuentra z, dentro de la.

26 : s s O(n 2 ) B i = { l 1, l 2, l 3, l 4, l 5, l 6, l 7, l 8 } p i s s 1) Ordenar los puntos por su ordenada. 2) Trazar n rectas horizontales (dando lugar a n+1 s) l 1 l 2 l 3 l 4 l 5 l 6 l 7 P i+1 l 9 l 10 l 11 l 8 3) Ordenar los segmentos en todas las s. B i+1 = { l 1, l 2, l 3, l 4, l 9, l 10, l 11, l 7, l 8 } 4) Localizar, por búsqueda binaria, la en la que está z 5) Localizar, por búsqueda binaria, en qué región se encuentra z, dentro de la.

27 : s s Teorema: Encontrar un punto en una subdivisión del plano puede hacerse en tiempo O(log n), con O(n 2 ) de preprocesamiento y O(n 2 ) de carga de datos. s s 1) Ordenar los puntos por su ordenada. 2) Trazar n rectas horizontales (dando lugar a n+1 s) 3) Ordenar los segmentos en todas las s. 4) Localizar, por búsqueda binaria, la en la que está z 5) Localizar, por búsqueda binaria, en qué región se encuentra z, dentro de la.

28 : Otros métodos cadena: Carga de datos: O(n) Preprocesamiento: O(n log n) : O(log 2 n) Mapas trapezoidales: Carga de datos: O(n) Preprocesamiento: O(n log n) : O(log n)

29 Ejercicios 1.- Dar un ejemplo de un pslg en el que el método de las s requiera un preprocesamiento O(n 2 ). 2.-Dar un ejemplo en el que el método de las s requiera un preprocesamiento O(n). 3.-Diseñar un algoritmo que resuelva el siguiente problema: Dada una colección P de n puntos en el plano, encontrar el mayor valor l>0 tal que si transformamos cada punto (x,y) de P en el punto (x+ly,y), el orden de los puntos de P no cambia en la dirección del eje X.