CALCULO DE PROBABILIDADES

Transcripción

1 CALCULO DE PROBABILIDADES Los experimentos o fenómenos aleatorios son aquellos que al ser repetidos en condiciones uniformes presentan resultados variables de manera que no puede predecirse con exactitud el resultado de una repetición individual. Se llama espacio muestral al conjunto formado por todos los resultados imaginables (o puntos muestra) de un experimento aleatorio. Se denomina suceso o evento a todo subconjunto del espacio muestral. Suceso contrario a A es el suceso formado por todos los puntos muestras del espacio muestral que no pertenecen a A, simbolizado Ā. 1

2 Ejemplo 1: Elegir un comprimido de una producción y verificar si la cantidad de la droga es la especificada (E) o no (N) Ejemplo 2: Elegir dos comprimidos de una producción y verificar si la cantidad de la droga es la especificada (E) o no (N) en cada uno. Ejemplo 3: Elegir un comprimido de una producción y determinar la cantidad de la droga. Ejemplo 4: Elegir 2 comprimidos de una producción y determinar la cantidad de la droga en cada uno. Si A es un suceso tal que al realizar el experimento siempre debe presentarse, se dice que A es un suceso seguro. Si A es un suceso tal que al realizar el experimento nunca puede presentarse, se dice que A es un suceso imposible. La unión de los k sucesos será un suceso formado por todos los puntos muestra que pertenecen al menos a uno. La intersección de los k sucesos será un suceso formado por todos los puntos muestra que pertenecen a todos simultáneamente. Dos sucesos son mutuamente excluyentes cuando no pueden ocurrir simultáneamente Ejemplo 3: Elegir un comprimido de una producción y determinar la cantidad de la droga. S = { X / 0 X a } C U F = C = { X / 50 X a } C F = F = { X /10 X 80 } C U C = G = { X /10 X 40 } C G = 2

3 DEFINICIONES DE PROBABILIDAD CLÁSICA FRECUENCIAL DEFINICION CLÁSICA DE PROBABILIDAD P(A) = Nº de elementos del espacio muestral favorables al suceso A Nº total de elementos Siempre y cuando el espacio muestral sea finito y todos los elementos sean equiprobables 3

4 DEFINICIÓN FRECUENCIAL DE PROBABILIDAD Sea E un experimento aleatorio, A un suceso asociado con él y n el número de repeticiones de E: La frecuencia absoluta de A, f(a), es igual al número de repeticiones en los que A se presentó. La frecuencia relativa de A, h(a), es igual al cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de repeticiones. Por ejemplo: Elegir un individuo y determinar su grupo sanguíneo S = { (A) ; (B); (AB) ; (O) } Si A = que el individuo sea de grupo A. Nº de orden de la serie Extensión de la serie Frecuencia absoluta Frecuencia relativa 1 n 1 =1 f 1 (A) h 1 (A) = f 1 (A)/n 1 2 n 2 (n 2 >n 1 ) f 2 (A) h 2 (A) = f 2 (A)/n 2 i n i (n i > n i-1 ) f i (A) h i (A) = f i (A)/n i 4

5 h(a) 18/8/2017 Nº de orden de la serie Extensión de la serie Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Nº de repeticiones 5

6 h(a) h(a) 18/8/ Nº de repeticiones Nº de repeticiones 6

7 h(a) 18/8/ Nº de repeticiones DEFINICIÓN FRECUENCIAL DE PROBABILIDAD Según el concepto frecuencial o a posteriori, la probabilidad de A, p(a), es el número al que tienden las frecuencias relativas cuando el número de repeticiones tiende a infinito. La probabilidad de un suceso es entonces una idealización de la frecuencia relativa y la frecuencia relativa es una medida o estimación de la probabilidad. 7

8 Propiedades de la frecuencia absoluta, relativa y la probabilidad 0 f(a) n 0 h(a) 1 0 p(a) 1 La probabilidad de un suceso seguro es igual a 1 (pero no necesariamente es cierto que si la probabilidad de un suceso vale 1 el suceso sea seguro). La probabilidad de un suceso imposible es 0 (pero no necesariamente es cierto que si la probabilidad de un suceso vale 0 el suceso sea imposible). Por ejemplo (Ej. 1 Propuesto, pág 51): Enfermo (E) No enfermo ( E) Total Fuma (F) No fuma ( F) P(E) 8

9 REGLA DE LA SUMA E; S; A; B P(A U B) = P(A) + P(B) P(A B) Para tres sucesos A, B, C P(A U B U C) = P(A) + P(B) +P(C) P(A B) P(B C) P(A C) + P(A B C) Caso particular: si A y B son mutuamente excluyentes: P(A U B) = P(A) + P(B) Como consecuencia, P(A) = 1 P(Ā) Por ejemplo (Ej. 1 Propuesto, pág 51): Enfermo (E) No enfermo ( E) Total Fuma (F) No fuma ( F) P(E U F) = 9

10 REGLA DEL PRODUCTO P(A/B) = P (A B) / P(B) P(B) 0 P(B/A) = P (A B) / P(A) P(A) 0 P (A B) = P(A/B) * P(B) = P(B/A) * P(A) Para tres sucesos A, B, C P(A B C) = P(A) * P(B/A) * P(C/AB) Si la P(A/B) = P(A/B) = P(A), los sucesos A y B son independientes Caso particular: si A y B son independientes P (A B) = P(A) * P(B) Por ejemplo (Ej. 1 Propuesto, pág 51): Enfermo (E) No enfermo ( E) Total Fuma (F) No fuma ( F) P(E F) = 10