Tutorial MT-a2. Matemática Tutorial Nivel Avanzado. Función exponencial y logarítmica II

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1 M ate m ática Tutorial MT-a Matemática 006 Tutorial Nivel Avanzado Función eponencial y logarítmica II

2 Matemática 006 Tutorial Función eponencial y logarítmica Marco Teórico. Función eponencial.. Definición: la función eponencial f con base a, se define como f() = a, si a > 0, IR. Crecimiento y decrecimiento eponencial: a) Si a >, f() es creciente en todo IR. f() b) Si 0 < a <, f() es decreciente en IR. f(). Función logarítmica. La inversa de una función eponencial de base a se llama función logarítmica de base a y se representa por log a.. Definición: y = log a = a y. Crecimiento y decrecimiento logarítmico: a) Si a >, f() = log a es creciente para >0 CEPECH Preuniversitario, Edición 006

3 f() b) Si 0 < a <, f() = log a es decreciente para > 0 f() Matemática 006. Logaritmos... Definición: c = log a b a c = b c es el logaritmo de b en base a, b > 0, a > 0, a.. Propiedades: a) Logaritmo de la base: log a a = b) Logaritmo de la unidad: log a = 0 c) Logaritmo del producto: log a (b c) = log a b + log a c d) Logaritmo del cuociente: = log a ( b c) = log a b log a c e) Logaritmo de una potencia: log a (b c ) = c log a b n f) Logaritmo de una raíz: log a b = n log a b g) Cambio de base: log a b = log c b log c a CEPECH Preuniversitario, Edición 006

4 Matemática 006 Tutorial.. Notación: Log 0 a = log a, log e a = Ln a, con e =, Ecuaciones logarítmicas y eponenciales:. Ecuación eponencial: es aquella en que la incógnita se encuentra en el eponente. a) Bases iguales: Si a = a y = y b) Bases distintas: a = b y (Se aplica logaritmos a ambos lados de la ecuación) log a = log b y (Aplicando propiedad de logaritmos) log a = y log b (Despejando la incógnita, que en este caso será ) = y log b log a. Ecuación logarítmica: log a = log a y a > 0, > 0, y > 0, a = y Ejercicios. log p log y log y p = A) 0 B) C) D) p E) y 4 CEPECH Preuniversitario, Edición 006

5 . Si + y = 0, log + log y =, ( y) = A) 0 B) C) 4 D) 9 E) 6. log ( ) + log ( ) = Matemática 006 A) - B) - C) - D) E) 4. log (log ) = A) - B) C) D) 4 8 E) Otro valor CEPECH Preuniversitario, Edición 006

6 Matemática 006 Tutorial. Sea el gráfico de la función eponencial f() = 0 -. Si disminuye en unidades, el nuevo gráfico g() es: f() A) g() B) g() C) g() - 0,00 D) g() E) g() Determine el valor de a en la siguiente ecuación: m a = p a A) log m log p B) C) log m log p log p - log m log m D) log m p m E) log m log m - log p 6 CEPECH Preuniversitario, Edición 006

7 7. Si log 4 = 0,6 y log = 0,69, entonces, aproimadamente log 000 es: A),96 B),7 C),8 D),67 E) 0,87 Matemática El gráfico de la función y = log es: A) y B) y C) y D) y E) y 9. Al graficar y =, no se cumple, la proposición: A) Si el valor de, está entre 0 y, el correspondiente valor de y es menor que. B) Si el valor de, está entre y 0, el correspondiente valor de y es negativo. C) El punto (-, 4 ) pertenece a la gráfica de la función. D) En la medida que aumenta el valor de, la gráfica de la función se aleja del eje de las abscisas. E) La gráfica de la función, intersecta al eje de las ordenadas. CEPECH Preuniversitario, Edición 006 7

8 Matemática 006 Tutorial En la ecuación, + + = , un valor posible de que satisfaga la igualdad: A) B) - 4 C) 4 D) 9 8 E) -9 8 k. Si k = 79, entonces = A) - B) C) 79 6 D) 79 E) Otro valor. Determine el valor de g(), si g() = e k y g() = A) B) 6 C) D) E) 8 CEPECH Preuniversitario, Edición 006

9 . Determine f(8), si f() = 0 + C e -k, f(0) = 40 y f() = 0 A) 8 64 B) 8 6 C) 40 6 D) 48 4 E) 80 Matemática Se ha proyectado que dentro de años, un cierto capital será aproimadamente Q() = 0, millones. Cuál será la variación del capital al cabo de años? A) millones B) millones C) 4 millones D) millones E) 6 millones. Un cultivo de bacterias, bajo ciertas condiciones ideales, crece eponencialmente según: Q(t) = Q 0 kt millones, con Q 0 : cantidad inicial de bacterias, t: tiempo. Suponga que inicialmente están presentes bacterias y que minutos después, hay bacterias. Cuántas estarán presentes al final de hora? A) 4 0 millones B) 6 0 millones C) 0 0 millones D) 0 millones E) Otro valor CEPECH Preuniversitario, Edición 006 9

10 Matemática 006 Tutorial Respuestas Preg. Alternativa B A C 4 A E 6 D 7 B 8 D 9 B 0 C B E D 4 C C 0 CEPECH Preuniversitario, Edición 006

11 Solucionario. La alternativa correcta es la letra B) log p log y log y p= log log (Aplicando cambio de base) log log p y p log log y = (Simplificando) Solucionario Matemática 006 log p log y log y p =. La alternativa correcta es la letra A) + y = 0, log + log y =, ( y) = a) log + log y = (Aplicando propiedad de logaritmos) log ( y) = (Epresando como logaritmo) log ( y) = log 00 (Aplicando ecuación logarítmica) y = 00 b) + y = 0 / ( ) + y + y = 400 (Reemplazando y) y = 400 (Despejando + y ) + y = y = 00 c) ( y) = y + y (Reemplazando y, + y ) = = = 0 ( y) = 0 CEPECH Preuniversitario, Edición 006

12 Matemática 006 Solucionario. La alternativa correcta es la letra C) log ( ) + log ( ) = a) Sea log ( ) = = = = - = - (Transformando de raíz a potencia) (Aplicando igualdad de potencias) (Despejando ) y b) Sea log ( ) = y = (Transformando de raíz a potencia) y = y = y = (Aplicando igualdad de potencias) (Despejando y) Entonces, log ( ) + log ( ) = + y (Reemplazando e y) = - + (Sumando) log ( ) + log ( ) = - = - 4. La alternativa correcta es la letra A) log (log ) = a) (log = (Desarrollando la raíz) (log = log 8 Sea log 8 = = 8 (Aplicando igualdad de potencias) = 8 CEPECH Preuniversitario, Edición 006

13 (log = 8 b) log (log ) = (Reemplazando) log (log ) = log 8 Sea log 8 = y y = 8 (Epresando 8 en base ) Matemática 006 = log (log ) = - y = - (Aplicando igualdad de potencias) y = -. La alternativa correcta es la letra E) f() = 0 -, al disminuir en unidades, se obtiene g() = 0 -(-) (Eliminando paréntesis) Entonces, nuestra nueva función es: g() = 0 -+ Para determinar el punto de intersección del gráfico con el eje y, = 0 Evaluando la función en 0: g(0) = 0 0+ g(0) = 0 = 000 g() intersecta al eje y en el punto (0, 000) El único gráfico que intersecta al eje y, es el correspondiente a la alternativa E) 6. La alternativa correcta es la letra D) m a- = p a (Aplicando propiedad de potencias) m a m - = p a (Como tienen distinta base, aplicamos logaritmo) log (m a m - ) = log p a (Aplicando propiedad de logaritmos) log m a + log m - = log p a (Aplicando propiedad de logaritmos) a log m log m = a log p (Dejando la incógnita a, a un solo lado) a log m a log p = log m (Factorizando) a( log m log p) = log m (Despejando a) log m a = log m log p (Aplicando propiedad de logaritmos) CEPECH Preuniversitario, Edición 006

14 Matemática 006 Solucionario log m a = log m log p (Aplicando propiedad de logaritmos) m a = log (Aplicando proceso inverso del cambio de base) m log p a = log m p a = log m m p m 7. La alternativa correcta es la letra B) log 4 = 0,6 y log = 0,69 log 000 = Descompondremos 000, hasta llegar a base 4 y base. 000 = 4 00 = 4 00 = 4 4 = 4 4 = 4 Entonces: log 000 = log ( 4 ) (Aplicando propiedad de logaritmos) = log 4 + log (Reemplazando ) = 0,6 + 0,69 =, +,07 =,7 log 000 =,7 8. La alternativa correcta es la letra D) y = log a) Si =, log = 0 Punto de intersección del gráfico con el eje es (,0) b) Si =, log = El punto (, ) pertenece al gráfico. En este caso, el análisis a), era suficiente, ya que, el único gráfico que tenía el punto (,0) era la alternativa D) 4 CEPECH Preuniversitario, Edición 006

15 9. La alternativa correcta es la letra B) y = a) Tomando los valores etremos de : Si = 0, y = 0 = y = Si =, y = = y = Los valores etremos de y son y, o sea, los valores que toma y son menores que. Matemática 006 Entonces, alternativa A) correcta b) Tomando los valores etremos de : Si = -, y = - y = Si = 0, y = 0 = y = Los valores etremos que toma y, son positivos. Entonces, alternativa B) falsa, ya que, los valores de y no son negativos. La proposición que no se cumple es alternativa B) 0. La alternativa correcta es la letra C) = (Epresando los términos de la ecuación, en base ) = + ( ) + ( ) (Aplicando propiedad de potencias) = + + (Reduciendo términos semejantes) = 4 (Aplicando propiedad de potencias y simplificando) = 4 (Aplicando igualdad de potencias) = 4 (Igualando a 0) 4 - = 0 (Factorizando) (4 - ) = 0 = 0 ó = 4 De estas soluciones, sólo está 4 = 4 CEPECH Preuniversitario, Edición 006

16 Matemática 006 Solucionario. La alternativa correcta es la letra B) k Si k = 79, entonces = k = 79 (Epresando 79 como potencia) k k = 6 (Como piden, elevamos a 6 ) k ( ) 6 = ( 6 ) 6 (Aplicando propiedad de potencias) k = k =. La alternativa correcta es la letra E) g() = a) Si g() = e k g() = e 0k b) g() = e 6k = (Como piden e 0k, elevamos a ) ( e 6k ) = (Aplicando propiedad de potencias) e 0k = e 0k = e 0k = g() = (Epresando la potencia como raíz) (Desarrollando la potencia). La alternativa correcta es la letra D) f(8) = Si f() = 0 + Ce -k f(8) = 0 + Ce -4k a) Debemos determinar C f(0) = Ce 0 = 40 (Aplicando propiedad de potencias) 0 + C = 40 (Despejando C) C = 0 6 CEPECH Preuniversitario, Edición 006

17 b) f() = Ce -6k = 0 (Reemplazando C) 0 + 0e -6k = 0 (Despejando e -6k ) e -6k = 0 0 e -6k = ( e k ) = e -4k = 8 6 (Simplificando) (Como falta determinar e -4k, elevamos a 4) (Aplicando propiedad de potencias) f(8) = 0 + Ce -4k (Reemplazando C y e -4k ) Matemática 006 = = = = f(8) = 48 4 (Simplificando y multiplicando fracciones) (Sumando fracciones) 4. La alternativa correcta es la letra C) Q() = 0, Para determinar el capital inicial, ya que nos piden la variación, = 0 años Q(0) = 0 = El capital inicial es millones. Para determinar el capital al cabo de años, = Q() = 0, (Multiplicando los eponentes) = = 6 CEPECH Preuniversitario, Edición 006 7

18 Matemática 006 Solucionario El capital al cabo de años será 6 millones. La variación del capital, al cabo de años, será 6 millones millones = 4 millones.. La alternativa correcta es la letra C) Q(60) =? Q(t) = Q 0 kt y Q 0 = Q(60) = k a) Determinaremos el valor de k Se sabe que a los minutos, hay bacterias Q() = Q() = k (Reemplazando Q()) = k (Despejando k ) = k (Simplificando) 9 = k (Epresando 9 en base ) = k (Aplicando igualdad de potencias) = k (Despejando k) k = b) Q(60) = k (Reemplazando k) = (Simplificando y multiplicando los eponentes) = (Epresando como potencia) = 0 8 (Aplicando propiedad de potencias) = 0 0 Al final de hora, estarán presentes 0 0 millones de bacterias. 8 CEPECH Preuniversitario, Edición 006

19 Mis notas Matemática 006 CEPECH Preuniversitario, Edición 006 9

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