Plano tangente a una superficie y a una superficie de nivel, derivada direccional y regla de la cadena
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- Diego Henríquez Vargas
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1 1 Universidad Simón Bolívar. Preparaduría nº 3. Plano tangente a una superficie y a una superficie de nivel, derivada direccional y regla de la cadena Derivada direccional: Si tiene derivadas parciales continuas en y si es un vector unitario, la derivada de f en en dirección de es el escalar: La derivada direccional también viene dada por el siguiente límite (siempre que exista): Derivada direccional máxima: supongamos que punto cualquiera y en la dirección del vector (unitario) viene dado, por:, entonces, la derivada direccional en un Esta derivada direccional es máxima si. Esto significa que cuando está en la misma dirección que la derivada direccional es máxima. 1. Sean los puntos A(1,2) y B(1,-1) y dada la función definida, por: Calcule, cuando sea posible, el valor de la derivada de f en la dirección en A y B. Graficamos la región:
2 2 Debemos calcular la derivada direccional según la dirección del vector C. Recordemos que la dirección de un vector viene dada por el vector unitario de éste, el cual se obtiene normalizando dicho vector. Ahora que tenemos la dirección podemos calcular la derivada direccional en A: Calculemos ahora la derivada direccional en B. Para ello, debemos observar que el punto B está sobre la función, lo que causa un cambio de definición. Es decir, si nos acercamos por la derecha obtenemos que pero si nos acercamos por la izquierda obtenemos. Debemos tomar límites laterales. Los límites laterales son iguales, lo que nos permite concluir que: 2. En el punto A(3,4,5) calcular el valor de la derivada de en la dirección tangente en A a la curva intersección de y. Hallemos la curva intersección: La cual, es una circunferencia centrada en el origen de radio cinco. Necesitamos hallar la pendiente de la recta tangente a ésta, para ello, derivamos implícitamente: Evaluando en el punto A obtenemos la pendiente de dicha recta:
3 3 Construimos la ecuación de la recta tangente a la circunferencia: Necesitamos el vector director de esta recta. Para ello, debemos recordar que la ecuación cartesiana de una recta viene dada por la expresión y que el vector director de ésta está expresado como. Entonces, el vector director de la curva intersección, es: Cuya dirección viene dada por la expresión: La derivada direccional, es: Regla de la cadena para funciones de varias variables Caso 1: Sean, campos vectoriales, donde f es diferenciable en y g es diferenciable en. Entonces: Caso 2: Sea, campos vectoriales, donde f es diferenciable en y g es diferenciable en. Definimos las funciones g y h como: Por regla de la cadena:
4 4 Obtenemos que: 3. Halle la matriz de derivadas parciales de h en el origen, sabiendo que tal que se definen las funciones: Definamos primero la situación. La función, es decir, depende inicialmente de tres variables ( y ) y finalmente de dos (número de filas de la matriz). Ahora, la función, es decir, depende inicialmente de dos variables ( e y finalmente de tres (número de filas de la matriz). Planteamos el diagrama: Sabemos que tanto f como g son funciones diferenciables en todo su dominio debido a que son composición de polinomios. A partir de esto, sabemos que h es una función diferenciable porque es composición de dos funciones que también lo son. Por regla de la cadena tenemos que: Calculamos la matriz de derivadas parciales de g:
5 5 Evaluando en el origen obtenemos: Adicionalmente, calculamos la matriz de derivadas parciales de f: Ahora bien, sustituimos lo anterior en la matriz de derivadas parciales de h: Plano tangente y vector normal a la gráfica en un punto de diferenciabilidad de la función: Una superficie en el espacio, puede ser representada a través de una cierta función, mediante una ecuación de la forma, en este caso se dice que la superficie está expresada implícitamente. Plano tangente en un punto de diferenciabilidad de la función: Dada una superficie en, expresada implícitamente mediante la ecuación, el plano tangente a la superficie en un punto tiene por ecuación: Vector normal: el vector normal al plano tangente es el gradiente de la función, evaluado en el punto. La recta normal a la superficie en el punto dicho punto: es la recta perpendicular al plano tangente en Si la superficie no está dada implícitamente, es decir, está dada por una ecuación de la forma, podemos escribir: Obtenemos las ecuaciones de la recta normal y el plano tangente de la forma descrita anteriormente:
6 6 Es decir, el vector normal está dado, por: La ecuación del plano tangente viene dada, por: Donde. 4. Halle la ecuación del plano tangente y la recta normal a la superficie en el punto A(1,2,4). Vemos que la función está dada implícitamente por, entonces: Hallamos el gradiente: Evaluando el punto se obtiene un vector normal a la gráfica de f: La ecuación del plano tangente será: La ecuación de la recta normal, será:
7 7 5. Halle los puntos de la superficie, en los que el plano tangente es paralelo al plano xy. El vector gradiente de la superficie, en un punto genérico viene dado, por: Si el plano tangente es paralelo al plano xy, su normal tendrá componentes nulas en x e y, y dado que la normal del plano tangente es el vector gradiente tendremos que: De donde se obtiene que y. Además sabemos que el punto debe satisfacer la ecuación de la superficie, por lo tanto si sustituimos las relaciones anteriores en la ecuación de la superficie, tendremos que: Con lo que se obtiene y. Los puntos serán: 6. Sea diferenciable y. La ecuación del plano tangente en el punto (-1,1,2) a la gráfica de F es. Hallar la ecuación del plano tangente en el punto (4,-1,-2) a la superficie de ecuación, sabiendo que este plano contiene al punto de componentes (2,1/2,-4). Definimos una nueva función para trabajar mejor: Un vector normal al plano tangente de F, es evaluado en el punto (-1,1,2). Es decir: que, por definición, es también el gradiente de F Hallemos ahora el gradiente de evaluado en el punto (4,-1,2). Por regla de la cadena tenemos que:
8 8 Pero: Sustituyendo: Teniendo así dos ecuaciones: Ahora bien, nos dicen que el punto C(2,1/2,-4) pertenece a dicho plano buscado. Escribimos la ecuación general de nuestro plano: Escribimos: Como el punto C pertenece al plano evaluamos en la ecuación: Tenemos pues tres ecuaciones con tres incógnitas. Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos que: El plano tangente será:
9 9 Ejercicios propuestos 7. Dada la función. Calcule la ecuación del plano tangente a la gráfica de f que es paralelo al plano. Sabemos que un vector normal al plano dado, es: Y como el plano tangente a f debe ser paralelo al plano dado, se cumple que un vector normal de dicho plano tangente (gradiente de f evaluado en un punto cualquiera) será paralelo a. Ya que la función dada es una superficie de nivel dada por debemos definir una nueva función: El gradiente de f viene dado, por: Entonces, evaluando en el punto genérico obtenemos la relación: De donde obtenemos y: Y como el punto P debe pertenecer a f: La ecuación del plano tangente será:
10 10 8. Dada, hallar el valor del ángulo para la cual, la derivada direccional, en el punto (2,-1) se hace máxima. Calculamos el gradiente de f en el punto: Definimos ahora un vector (cualquiera) que sea unitario: Planteamos la derivada direccional: Para hallar el valor de la derivada máxima, derivamos la función anterior con respecto a De donde,. A continuación, calculamos el valor de la derivada direccional máxima (recordemos que ésta es máxima cuando el coseno es uno): 9. Halle los valores de a, b y c para que la derivada direccional de en tenga un máximo de magnitud 64 en la dirección del eje 0z. Calculamos el gradiente de u en el punto: Como la derivada direccional es máxima se cumple que. Donde el vector viene dado, por (vector paralelo al plano 0z, es decir, está en la dirección 0z). Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene que y
11 Hallar la derivada de, respecto a, a lo largo de la trayectoria: Tenemos dos funciones que dependen de, es decir, e, entonces la función f nos queda como y por regla de la cadena tenemos que:. Donde: Finalmente: 11. Halle la derivada de, con respecto a, sabiendo que,,. Tenemos que tanto x, y y z son funciones de t es decir: Por regla de la cadena: 12. Sea con, demuestre que: Observemos que: Por regla de la cadena tenemos que:
12 12 Pero: Entonces: 13. Considere la función, donde es diferenciable y. Determine el gradiente de f en el (-1,2) sabiendo que y, adicionalmente: Por regla de la cadena tenemos que tenemos que:. Usando la regla para funciones compuestas Evaluando en : Derivamos por segunda vez: Evaluando en : Resolviendo el sistema obtenemos que:
13 Sean f y g diferenciables y donde y. Hallar la ecuación del plano tangente en el punto (1,0,0) a la superficie de ecuación, sabiendo que,, y. Básicamente el problema se reduce a hallar el gradiente de h en el punto (1,0,0). Definimos una función (para trabajar mejor): Por regla de la cadena tenemos que: Evaluando en el punto: Sabemos que: Tenemos entonces: La ecuación del plano tangente será: 15. Sean, y funciones diferenciables tales que: Halle la ecuación del plano tangente a la gráfica de f en el punto (2,1) sabiendo que el punto (-1,0,0) está en dicho plano. Hallemos el gradiente de f en el punto (2,1). Por regla de la cadena tenemos que:
14 14 De donde se obtiene que: La ecuación del plano tangente vendrá dada, por: Pero ya que se define y como el punto pertenece al plano se tiene que: Finalmente, la ecuación del plano tangente, es: 16. Sean, diferenciable y. Halle la ecuación del plano tangente en el punto P(2,1,5) a la gráfica de h, sabiendo que este plano es perpendicular a la recta: Calcule Por cuestiones de comodidad definimos una nueva función: Para hallar la ecuación del plano tangente a la gráfica de h en el punto P necesitamos hallar el gradiente de ésta evaluado en dicho punto. Sin embargo, sabemos que el plano buscado es perpendicular a la recta dada, esto quiere decir que un vector normal a h (gradiente de ésta evaluada en el punto P) es paralelo al vector director de la recta, el cual, viene dado por: Es decir:
15 15 Como, definimos una nueva función g tal que y el gradiente de h viene dado, por: Entonces: Obteniendo entonces: La ecuación del plano tangente será: Hallemos ahora el gradiente de f en el punto (2,6): Pero Sustituyendo: 17. Sean: Dar la ecuación del plano tangente a la superficie de ecuación en el punto (-2,1,2). Definimos una nueva función:
16 16 Tenemos que: Por regla de la cadena tenemos: Pero: Sustituimos: Ahora bien: Entonces: Sin embargo: Finalmente: La ecuación del plano tangente será:
17 Sea: Y diferenciable y también diferenciable. Sabiendo que,, y, calcule. Sea la función: Entonces: Por regla de la cadena tenemos que: Evaluando en el punto: Pero: Entonces: Sin embargo:
18 18 Obtenemos: El gradiente de u en el (1,-1), es: 19. Dadas las funciones derivables y: Verifique que la función compuesta cumple con la siguiente igualdad: Por la regla de la cadena tenemos que: Ahora bien:
19 19 Se agradece la notificación de errores Christian Laya
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