La Diferencial de Fréchet

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1 Capítulo 6 La Diferencial de Fréchet Es bien conocido que una función de una variable f es derivable en un punto a si y sólo si su gráfica admite una recta tangente (no vertical) en el punto (a, f(a)). Queremos que una función de varias variables que sea derivable en un punto tenga una propiedad geométrica análoga. Previamente debemos formalizar la noción de tangencia. Tangencia Definición 6.1 Un vector w de un espacio normado G se dirá tangente al conjunto M G en el punto c M, si existe algún arco γ : [t 1, t 2 ] G satisfaciendo: i)γ(t) M para cada t, ii) existe t 0 (t 1, t 2 ) tal que γ(t 0 ) = c, iii) γ es derivable en t 0 y γ (t 0 ) = w. En particular si el arco de curva γ : [t 1, t 2 ] G es derivable en t 0 (t 1, t 2 ), entonces γ (t 0 ) es un vector tangente a la curva en c = γ(t 0 ). Geométricamente, un vector tangente a M en c es pues un vector tangente a alguna curva trazada sobre M pasando por c (ver ejercicio 6A para una definición más general de vector tangente tomada del libro de Schwartz [26].) Al conjunto de vectores tangentes a M en el punto c M se le denotará por T c (M). 6.2 La definición anterior nos va a permitir dar una interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto siguiendo un vector: Sea E, F espacios normados, f : A E F, y M = {(x, f(x)): x A} su gráfica. Para a o A y h 0 un vector de E, consideremos la curva 57

2 58 La Diferencial de Fréchet 6.2 γ(t) = (a + th, f(a + th)). γ es una curva contenida en M que pasa por c = (a, f(a)), además, puesto que γ (0) = ( f(a + th) f(a) ) h,, t 0 t es obvio, que f es derivable en a siguiendo el vector h si y sólo si γ es derivable en 0. Se deduce que si f es derivable en a siguiendo el vector h entonces γ (0) = (h, D h f(a)) es un vector tangente a M en el punto c. Diferenciabilidad en un punto Definición 6.3 Sea f : A E F, a o A. Se dice que f es diferenciable en a (en el sentido de Fréchet), si existe una aplicación lineal y continua L L (E, F ) tal que f(x) [f(a) + L(x a)] (6.1) x a x a Para funciones de una variable, la definición anterior coincide con la de función derivable en un punto. En efecto, supongamos que f es una función de una variable (con valores en un espacio normado F ) derivable en a, entonces f(x) f(a) = f f(x) f(a) f (a)(x a) (a) = 0 x a x a x a x a f(x) f(a) f (a)(x a)] x a x a Puesto que L(h) = f (a)h es una aplicación lineal de R en F, de esto se deduce que f es diferenciable, en el sentido de la definición anterior. Recíprocamente, puesto que las aplicaciones lineales de R en F son de la forma h m h, la condición de diferenciabilidad dice en este caso que f(x) [f(a) + m(x a)] = 0, x a x a lo cual equivale, sin más que invertir las implicaciones anteriores, a que f sea derivable en a y m = f (a).

3 6.4 La Diferencial de Fréchet 59 Vamos a ver ahora y en los capítulos sucesivos que la definición que hemos adoptado para función diferenciable satisface todas las expectativas que cabía esperarse de una buena generalización del concepto de derivada. Además, en la proposición siguiente, demostraremos que la ambigüedad que parece indicar la expresión existe alguna aplicación L L (E, F ), es sólo aparente. Esto ya sabíamos que era así para funciones de una variable: Si f es de una variable y diferenciable en a, la única aplicación lineal que satisface la condición 6.1 es L: h f (a)h. Ahora veremos que esto es cierto en todo caso. Proposición 6.4 Si f : A E F es una aplicación diferenciable en el punto a A, o entonces: (a) f es derivable en a en todas las direcciones. (b) La aplicación h D h f(a) es lineal y continua. (c) La aplicación del apartado anterior es la única aplicación L de L (E, F ) para la que f(a + h) f(a) L(h) h 0 h (d) Si M es la gráfica de f y c = (a, f(a)), el conjunto T c (M) es un subespacio vectorial de E F isomorfo a E (que no contiene vectores de la forma (0, v) con v 0). Precisamente, T c (M) = {(h, D h f(a)): h 0} {(0, 0)}. Demostración. (a) Sea h un vector no nulo de E. Entonces, de la diferenciabilidad de f en a se sigue que existe L L (E, F ) tal que lo que equivale a que Como f(a + th) f(a) tl(h) = 0, t 0 t h f(a + th) f(a) tl(h) t 0 t f(a + th) f(a) tl(h) f(a + th) f(a) tl(h) = 0 = 0 t 0 t t 0 t f(a + th) f(a) = L(h), t 0 t

4 60 La Diferencial de Fréchet 6.4 se deduce, pues, que f es derivable en a, siguiendo cada vector h y que la aplicación L no puede ser otra más que la que lleva h en D h f(a), lo cual demuestra (b) y también (c). Veamos finalmente que también se satisface (d): puesto que f es derivable en a en todas las direcciones, ya hemos visto que para cada h 0 el vector (h, D h f(a)) T c (M). Recíprocamente, sea w = (h, v) E F un vector tangente a M en c. Nosotros queremos probar que w = (h, D h f(a)). Puesto que w T c (M), debe existir una curva γ : [ δ, δ] E F contenida en M, que pasa por c y tiene a w como vector tangente. Puede suponerse pues que γ(t) = (x(t), f(x(t)); γ(0) = (x(0), f(x(0)) = (a, f(a)); γ (0) = (x f(x(t)) f(x(0)) (0), t 0 t ) = (h, v). Así que hemos de ver que f(x(t)) f(x(0)) = D t 0 t x (0)f(a) = 1/tD x(t) x(0) f(a) t equivalentemente que f(x(t)) f(x(0)) D x(t) x(0) f(a) (6.2) t 0 t En efecto, observemos que si x(t) = x(0) = a entonces la expresión f(x(t)) f(x(0)) D x(t) x(0) f(a) t toma el valor 0, y en otro caso se puede escribir así: f(x(t)) f(x(0)) D x(t) x(0) f(a) x(t) x(0) x(t) x(0). t De la diferenciabilidad de f en a y la acotación de x(t) x(0) t en un entorno de 0, se deduce entonces (6.2). Después de lo visto, es claro ya que la aplicación h D h f(a) establece un isomorfismo de espacios vectoriales entre E y T c (M). En particular, esto significa que si f es una función escalar n variables reales diferenciable en un punto a, entonces el conjunto de vectores tangentes a su gráfica en el punto (a, f(a)) es un hiperplano vectorial de R n+1. La proposición anterior admite claramente la siguiente lectura: Proposición 6.5 Una aplicación f : A E F es diferenciable en el punto a A, o si y sólo si satisface las tres condiciones siguientes:

5 6.7 La Diferencial de Fréchet 61 (i) f es derivable en a en todas las direcciones. (ii) La aplicación h D h f(a) es lineal y continua. (iii) f(a + h) f(a) D h f(a) h 0 h Nota. Una aplicación que satisface las condiciones (i) y (ii) se dice diferenciable en a en el sentido de Gateaux. (Un amplio estudio de la diferencial de Gateaux puede verse en el libro de Flett [12]). Definición 6.6 Si f : A E F es diferenciable en el punto a A, o a la única aplicación lineal de E en F, que satisface la definición 6.3, la llamaremos diferencial de la función f en a, y la denotaremos como Df(a). Por la proposición anterior, Df(a) es la aplicación definida por Df(a)h = D h f(a). En dimensión finita, es decir si E = R n, la fórmula anterior puede completarse con la expresión correspondiente en términos de derivadas parciales, pudiéndose obtener también un resultado análogo al de la proposición 6.5: Proposición 6.7 Sea f : A R n F y a o A, entonces (a) Si f es diferenciable en a entonces f admite derivadas parciales en a respecto a cualquier índice y (6.3) Df(a)h = n j=1 f x j (a)h j. (b) Si f admite derivadas parciales en a respecto a cualquier índice y f(a + h) f(a) n f j=1 x (6.4) j (a)h j h 0 h entonces f es diferenciable en a. = 0, Demostración. (a) Si f es diferenciable en a entonces admite, según hemos visto, derivadas en todas las direcciones, en particular f tiene derivadas siguiendo los vectores e j = (0,..., 0, 1, 0,..., 0), que son, por definición, las

6 62 La Diferencial de Fréchet 6.7 derivadas parciales en a. Sea h = h j e j un vector de R n, escrito en la base canónica, entonces Df(a)h = n h j Df(a)e j = j=1 n h j D ej f(a) = j=1 n j=1 f x j (a)h j. (b) Si f satisface 6.4, entonces f es diferenciable en a, ya que la aplicación lineal y continua L: h f x j (a)h j verifica la condición de diferenciabilidad 6.1. Si F es también de dimensión finita, i.e., F = R k, y denotamos por f 1,.., f k a sus funciones coordenadas, la fórmula 6.3 puede escribirse matricialmente como sigue: f 1 f 1 f 1 (a) (a)... (a) x 1 x 2 x n h 1 Df(a)h = D h f(a) = f 2 f 2 f 2 (a) (a)... (a) x 1 x 2 x n f k f k f k (a) (a)... (a) x 1 x 2 x n h 2 h 3 h n. La matriz anterior es conocida como matriz jacobiana, en honor al matemático Jacobi. Df(a) es, pues, la aplicación lineal cuya matriz asociada es la matriz jacobiana. Nota. Ya sabemos que en el caso de que f sea una función de una variable, su diferencial en a es la aplicación Df(a)h = f (a)h. Y aunque en todo lo que sigue los términos, diferencial de f en a y derivada de f en a, los consideraremos sinónimos, y emplearemos la notación Df(a) para referirnos a ellos, conservaremos, no obstante, la notación f (a) para referirnos, en el caso de que f sea de una variable, a f f(a + h) f(a) (a) =, h 0 h por lo que se tiene que f (a) = Df(a) 1. La siguiente proposición establece que la diferenciabilidad es invariante frente a isomorfismos de espacios normados. Dos espacios normados E 1 y E 2

7 6.9 La Diferencial de Fréchet 63 se dirán isomorfos si se puede establecer entre ellos un isomorfismo Φ de espacios vectoriales que también es homeomorfismo. Del carácter lineal y continuo de Φ y Φ 1 se deduce fácilmente la existencia de dos constantes a, b > 0 tales que a x Φ(x) b x para todo x Proposición 6.8 Consideremos el diagrama conmutativo siguiente f 1 A 1 E 1 F1 Φ Ψ f 2 A 2 E 1 F2 donde Φ y Ψ denotan isomorfismos entre los espacios E i y F i respectivamente. Entonces f 1 es continua (diferenciable) en el punto a 1 A 1 si y sólo si f 2 es continua (diferenciable) en a 2 = Φ(a 1 ) A 2 = Φ(A 1 ). Demostración. Puesto que f 2 = Ψ f 1 Φ 1 es claro que si f 1 es continua en a 1 entonces f 2 es continua en a 2 = Φ(a 1 ). Supongamos que f 1 diferenciable en a 1. Para probar que f 2 diferenciable en a 2, bastará comprobar que f 2 (a 2 + h 2 ) f 2 (a 2 ) (Ψ Df 1 (a 1 ) Φ 1 )(h 2 ) h 2 0 h 2 Si sustituimos aquí f 2 por Ψ f 1 Φ 1, h 2 por Φ(h 1 ) y tenemos en cuenta que h 1 0 si y sólo si Φ(h 1 ) 0, es fácil ver que la condición a demostrar es que Ψ(f 1 (a 1 + h 1 ) f 1 (a 1 ) Df 1 (a 1 )h 1 ) = 0 h 1 0 Φ(h 1 ) y, por la continuidad de Ψ, que f 1 (a 1 + h 1 ) f 1 (a 1 ) Df 1 (a 1 )h 1 h 1 0 Φ(h 1 ) o o Pero esto es consecuencia directa de que f 1 es diferenciable en a 1 y de que por ser Φ isomorfismo existe una constante k > 0 tal que Φ(h 1 ) k h 1. Proposición 6.9 Una función diferenciable en un punto a es continua en ese punto. De hecho, existe algún entorno V de a y alguna constante M 0 tal que si x V, entonces f(x) f(a) M x a. o

8 64 La Diferencial de Fréchet 6.9 Demostración. Por la diferenciabilidad de f en a existe δ > 0 tal que si x a δ entonces f(x) f(a) Df(a)(x a) x a Sea V = B(a, δ) y x V, entonces 1 f(x) f(a) Df(a)(x a) x a. f(x) f(a) f(x) f(a) Df(a)(x a) + Df(a)(x a) (1 + Df(a) ) x a. Ejercicios 6A (Una definición más general de vector tangente) Sea M un subconjunto de un espacio normado G, c M y v G. Se dirá que v es tangente a M en c, si existe una sucesión {z n } de puntos de M y una sucesión de escalares {λ n > 0} tal que: z n c, λ n (z n c) v. Se denotará por T c (M) al conjunto de vectores tangentes a M en c. (a) Probar que un vector no nulo v es tangente a M en c si y sólo si existe una sucesión {z n } M, z n c tal que z n c, z n c z n c v. (b) Sea γ : (a, b) R G una curva contenida en M que pasa por el punto c M. Para concretar, sea c = γ(t 0 ). Probar que si γ es derivable en t 0 entonces el vector v = γ (t 0 ) es un vector tangente a M en c. (c) Sean E, F espacios normados y f : A E F una aplicación continua y derivable siguiendo un vector h en el punto a A. o Probar que el vector (h, D h f(a)) es un vector tangente en el punto c = (a, f(a)) a la gráfica de la función f. (e) Sea f : A E F una función diferenciable en un punto a y M su gráfica: 1. Demostrar que el conjunto de los vectores tangentes a M en el punto c = (a, f(a)) es el subespacio vectorial isomorfo a E, T c (M) = {(h, Df(a)h): h E}. 2. Demostrar que el vector v es tangente a M en c = (a, f(a)) si y sólo si v es tangente en c a alguna curva contenida en M que pasa por c.

9 6G La Diferencial de Fréchet 65 6B Considerar la función f(x, y) = x 2 2y. (a) Probar que f es una función diferenciable en el punto (0,1). (b) Obtener la ecuación del plano tangente a la gráfica de f en el punto (0,1,-2). (c) Calcular la derivada de f en (0,1) siguiendo el vector v = (2, 3). (d) Encontrar alguna curva sobre la gráfica de la función f, que pase por el punto (0,1,-2) y tenga como vector tangente en ese punto a (2, 3, D (2,3) f(0, 1)). (e) En qué dirección es máxima la derivada direccional de f en (0,1)? Calcularla. 6C Estudiar si entre todos los planos de R 3 que tienen como vector normal a (1/2,1,1) existe alguno que sea tangente a la función f(x, y) = xsen y. 6D Estudiar la existencia de derivadas direccionales en (0,0) para las funciones f 1 (x, y) = 3 x 3 + y 3 ; f 2 (x, y) = 3 x 3 + y 4 Son G-diferenciables en (0,0)? diferenciables? Indicación: Para estudiar la diferenciabilidad de f 2 en (0,0), puede resultar útil saber que, si r es un número real > 0 y denotamos por g a la función g(u) = 3 u + r 3 u, entonces g es no negativa y alcanza un máximo absoluto en el punto u = r/2. 6E Supongamos que f es una función escalar de dos variables, continua en el punto (0,0), y sea g(x, y) = xf(x, y). Probar que g es diferenciable en (0,0). 6F Sea f(x, y) = (x 2, xy). Calcular Df(0, 1) cuando se considera en R 2 la norma 1. 6G Sean E, F espacios normados, f : A E F y a o A. (a) Si f es diferenciable en a, probar que f(a + h) f(a) = h 0 h { 0 si Df(a) = 0 No existe si Df(a) 0 (b) Probar que si f admite derivadas en a siguiendo cualquier vector y ( ) f(a + h) f(a) = α 0 h 0 h entonces D h f(a) = α h, para todo h E. (c) Deducir de (b) que si dim E > dim F y f satisface ( ) entonces f no puede ser diferenciable en a. Indicación. De ser diferenciable en a, existiría algún vector no nulo en el núcleo de Df(a).

10 66 La Diferencial de Fréchet 6G (d) Si f es diferenciable en a, entonces son equivalentes: i) Existe h 0 f(a + h) f(a) h ii) Df(a)h = Df(a) h para todo h E. (e) Considerar las funciones f 1 (x, y) = x 2 + y 2 ; f 2 (x, y) = { x2 + y 2 si x 0 x 2 + y 2 si x < 0 Probar que ambas funciones satisfacen la condición ( ) en (0,0), cuando se considera la norma euclídea en R 2. Ninguna de las dos funciones son diferenciables en (0,0), pero mientras que la función f 1 no admite derivadas direccionales, la función f 2 sí. (f) Sea f la función f(x, y) = (sen x cos y, cos x + sen y) Calcular Df(π/3, π/3) respecto a la norma euclídea y comprobar que f es una función del tipo estudiado en (d). 6H Probar que la función f(x) = x 3/2 sen 1/x, no es lipschitziana en ningún entorno de 0. f(0) = 0 es derivable en 0, pero 6I Estudiar continuidad, existencia de derivadas parciales, existencia de derivadas direccionales y diferenciabilidad en el origen de coordenadas, para cada una de las funciones siguientes. (Supondremos que todas estas funciones toman el valor 0 en el origen) 6J 1. f(x, y) = x4 + x 2 y 2 + y 5 x 2 + y 4 2. f(x, y) = x3 y 3 x 2 + y 2 3. f(x, y) = x4 + y 4 x 2 + y 2 5. f(x, y) = ln(1 + xy) x2 + y 2 7. f(x, y) = (x2 + y 3 )(x 2 + y 2 ) x 2 + y 4 8. f(x, y) = 4. f(x, y) = sen (x3 + xyz) x 2 + y 2 + z 2 ln(1 + xy) 6. f(x, y) = 3 x2 + y 2 xy x 2 + x 2 + y 2 1. Estudiar la diferenciabilidad de la función f(x, y) = sen x 2 y 2, en los puntos (0,0) y (1,1). 2. Estudiar la diferenciabilidad en (0,0) de la función f(x, y) = xy α, según los valores de α 0.

11 6K La Diferencial de Fréchet Estudiar continuidad, existencia de derivadas parciales, existencia de derivadas direccionales y diferenciabilidad en los puntos (0,0) y (0,1), para la función { x4 + sen f(x, y) = 2 (xy) si x 0 x 4 + sen 2 (xy) si x < 0 4. Considerar la funciones f(x, y) = xy(x2 + y 2 ) 3/4 ; f(0, 0) = 0 y 2 (x 2 + y 2 ) 1/2 + x2 f(x, y) = y(x2 + y 2 ) 3/2 (x 2 + y 2 ) 2 ; f(0, 0) + y2 Probar, utilizando coordenadas polares, que son funciones continuas y G-diferenciables en (0,0), pero no diferenciables en dicho punto. 6K Demostrar que la función es diferenciable en (0,0). Indicación: Probar que f(x, y) = x5 y 3 ; f(0, 0) = 0 x6 + y4 0 x 6 + y 4 y 2 x 3, x, y.

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