SISTEMAS DE REFERENCIA NO INERCIALES

Transcripción

1 aletos Física para iencias e Ingeniería TEM 10 SISTEMS DE REFERENI NO INERILES Sistema inercial de referencia El concepto de sistema inercial de referencia quedó establecido al estudiar las leyes de Newton. omo ya se adelantó entonces, la utilización de un sistema no inercial de referencia puede dar lugar a la aparición de fuerzas ficticias, denominadas fuerzas de inercia. En muchas ocasiones es necesario utilizar sistemas no inerciales de referencia, porque así lo exige un determinado problema. Por ejemplo, en el caso de que un observador situado sobre la superficie terrestre desee estudiar el movimiento de un satélite. Ya se vio que un sistema de referencia ligado a la Tierra no es, en rigor, un sistema inercial de referencia debido a la rotación diaria de la Tierra y a su interacción con el Sol y los restantes planetas. Otras veces es conveniente escoger un determinado sistema no inercial de referencia para resolver un problema porque así tiene una solución más sencilla. Vamos a estudiar cómo debe modificar las leyes de la Dinámica un observador no inercial. Para ello comenzaremos por analizar un caso sencillo que servirá para poner de manifiesto los aspectos fundamentales del problema. Supongamos un observador O en el origen de coordenadas de un sistema inercial de referencia, S, cuyos ejes de coordenadas son X, Y, Z, como indica la figura [10.1]. O X Z r m R a r X FIG Z O Y y derivando dos veces respecto al tiempo Y a o Imaginemos otro observador O situado en el origen de otro sistema de referencia, S, de ejes de coordenadas X, Y, Z, que se mueve respecto de O con una aceleración a o, manteniendo sus ejes de coordenadas, X, Y, Z, paralelos a los ejes X, Y, Z. Naturalmente, el observador O, es un observador no inercial. Una partícula de masa m, bajo la acción de una fuerza resultante, no nula, se mueve respecto del observador inercial con una aceleración a. En un instante dado, la partícula pasa por un punto cuyos vectores de posición respecto de O y de O, son, respectivamente, r y r. su vez, la posición de O queda fijada respecto de O, en ese mismo instante, por el vector de posición R. De la figura se deduce: r = R +r ' [10.1] a = a o ' Veamos cómo debe plantear el observador no inercial O el estudio del movimiento de la partícula. Para dicho observador la partícula se mueve con una aceleración a. Por tanto, piensa que la causa de tal aceleración debe ser una fuerza resultante, tal que: ΣF ' = ma ' [10.3] hora bien, si se sustituye la expresión [10.2] de a en la ecuación de la Dinámica, ΣF = ma = m(a o ' y si pasamos el término ma o al primer miembro, queda, ΣF ma o ' +a ' +a ') = ma o ' = ma ' + ma ' que, comparada con la [10.3] debe llevar al observador no inercial a la conclusión de que sobre la partícula actúa una fuerza total, ΣF ' = ΣF ma o ' [10.4] Es decir: O debe interpretar que la aceleración que él observa es debida a la fuerza resultante de todas las fuerzas exteriores que actúan sobre la partícula y, además, a una fuerza ficticia, ma o, tal que, ΣF ' = ΣF ma o ' = ΣF + f i [10.2] = ma ' [10.5]

2 10.2 TEM 10 SISTEMS DE REFERENI NO INERILES aletos Física para iencias e Ingeniería donde hemos llamado f i = ma o ' Esta fuerza, denominada fuerza de inercia, aparece como consecuencia de la aceleración a o del observador O. La ecuación fundamental de la Dinámica para dicho observador O queda, pues, en la forma: ΣF + f i = ma ' [10.6] De modo que: Si un observador no inercial Oʼ estudia el movimiento de un sistema material cualquiera, debe añadir, a la resultante de todas las fuerzas exteriores que actúan sobre dicho sistema, una fuerza de inercia cuyas características son: Dirección: La misma que la de la aceleración del observador no inercial. Sentido: ontrario al de la aceleración del observador no inercial. Módulo: Es igual al producto de la masa del sistema material, por el módulo de la aceleración del observador no inercial. Naturalmente, esta forma de emplear la ecuación de la Dinámica solamente será válida en el caso de que el observador no inercial conozca la aceleración a o con la que él se mueve respecto de un sistema inercial de referencia. De todo lo anterior se deduce que: La utilización de la fuerza de inercia por parte de un observador no inercial, le permite, pues, aplicar correctamente la segunda ley de Newton, de la misma forma en que lo haría un observador inercial, en el sentido de que una fuerza resultante, incluida la fuerza de inercia, es la causa de que el sistema material en estudio adquiera la aceleración aʼ que mide dicho observador. hora bien, esta fuerza de inercia solamente tiene significado para un observador no inercial y debe considerarla como cualquier otra fuerza a la hora de estudiar cualquier sistema material que observe. Sin embargo, desde el punto de vista de un observador inercial, tales fuerzas de inercia no tienen significado físico. Su naturaleza es completamente distinta de la de las fuerzas de origen material, entendiendo por tales, las que se ejercen mutuamente los distintos sistemas materiales. Es decir, no hay forma de justificar cuál es el cuerpo material que ejerce la fuerza de inercia sobre el sistema material en estudio. Las fuerzas de inercia son ficticias. En el caso estudiado anteriormente se ha supuesto que los ejes de coordenadas X,Y, Z, del sistema no inercial de referencia S, se mantenían paralelos a los ejes X, Y, Z, del sistema inercial S. En el caso más general, la trayectoria del observador O será curvilínea y el movimiento del triedro de referencia X, Y, Z, con origen en O, arbitrario. Por tanto, sus ejes de coordenadas no permanecerán paralelos a los ejes X, Y, Z, sino que efectuarán un movimiento de rotación con una cierta velocidad angular variable, ω(t), tal como se estudió en en el apítulo Movimiento relativo. Se vio en dicho capítulo que la aceleración de una partícula en el caso más general es de la forma a = a O ' + ω ( ω r ')+ ω i r '+ 2 ω v '+ a ' [10.7] siendo a a O ' ω ( ω r ') ω i r ' la aceleración de la partícula respecto al sistema fijo OXYZ. la aceleración del origen del sistema móvil O X Y Z. a aceleración normal o centrípeta debida al movimiento de rotación del sistema móvil O X Y Z. la aceleración tangencial debida al movimiento de rotación del sistema móvil O X Y Z. 2ω v ' la aceleración complementaria o aceleración de oriolis debida al movimiento de traslación de la partícula respecto al sistema móvil O X Y Z en rotación. a ' la aceleración de la partícula respecto al sistema fijo OXYZ.

3 aletos Física para iencias e Ingeniería TEM 10 SISTEMS DE REFERENI NO INERILES 10.3 Siguiendo un razonamiento similar al de la discusión anterior, si el observador inercial O aplica la ecuación de la dinámica al movimiento de la partícula debe escribir ΣF = ma [10.8] y teniendo en cuenta la expresión de la aceleración [10.7] ΣF = ma Veamos cómo debe plantear ahora el observador no inercial O el estudio del movimiento de la partícula. Para dicho observador la partícula se mueve con una aceleración a. Por tanto, piensa que la causa de tal aceleración debe ser una fuerza resultante, tal que: ΣF ' = ma ' [10.10] hora bien, si en la expresión [10.9] pasamos todos los términos del segundo miembro al primero, excepto a ΣF m a O ' + ω ( ω r ')+ ω i r '+ 2ω v = m a ' [10.11] que, comparada con la [10.10] debe llevar al observador no inercial a la conclusión de que sobre la partícula actúa una fuerza total, ΣF ' = ΣF m a O ' + ω ( ω r ')+ ω i r '+ 2ω v [10.12] Es decir: O debe interpretar que la aceleración a que él observa es debida a la fuerza resultante de todas las fuerzas exteriores que actúan sobre la partícula y, además, a una fuerza ficticia, f i = m a O ' + ω ( ω r ')+ ω i r '+ 2ω v tal que ΣF ' = ΣF + f i = ΣF = m a O ' + ω ( ω r ')+ ω i r '+ 2ω v '+ a m a O ' + ω ( ω r ')+ ω i r '+ 2ω v De modo que en el caso más general la fuerza de inercia consta de los siguientes términos: [10.9] [10.13] ma O ' m ω ( ω r ') m ω i r ' m 2ω v ' debida a la aceleración del origen del sistema móvil O X Y Z. debida a aceleración normal o centrípeta del movimiento de rotación del sistema móvil O X Y Z. debida la aceleración tangencial del movimiento de rotación del sistema móvil O X Y Z. debida al movimiento de traslación de la partícula respecto al sistema móvil O X Y Z en rotación. Esta última fuerza de inercia, denominada fuerza de oriolis, se debe introducir siempre que el sistema de referencia móvil tenga un movimiento de giro, y el punto P, o partícula material, se mueva respecto de dicho sistema con una velocidad relativa que no sea paralela a la la velocidad de giro. Ejemplo Nos ocuparemos solamente de un caso sencillo en el que la velocidad relativa v del sistema material respecto del observador no inercial es nula. Imaginemos un observador en reposo que sostiene el extremo de una cuerda, inextensible y sin masa, en cuyo otro extremo se halla sujeto un pequeño bloque de masa m, que gira describiendo una circunferencia vertical. En estas condiciones, dicho observador es un observador inercial. Supondremos que dicho observador ha impulsado la cuerda convenientemente hasta que el bloque ha adquirido la velocidad angular suficiente para describir la circunferencia completa, y ahora se limita a sujetar la cuerda por el extremo O. Supondremos asimismo, que no hay rozamiento entre la cuerda y la mano del observador que la sujeta, ni entre la cuerda, o el bloque, y el aire. En estas condiciones ideales el movimiento del bloque se mantendrá indefinidamente.

4 10.4 TEM 10 SISTEMS DE REFERENI NO INERILES aletos Física para iencias e Ingeniería Veamos cómo debe aplicar este observador inercial la segunda ley de Newton para describir el movimiento del bloque cuando pasa por las posiciones, y de la figura [10.2]. Las únicas fuerzas exteriores que actúan sobre el bloque, en cualquier posición, son, su peso y la tensión de la cuerda. Si se descomponen ambas fuerzas en la dirección de la tangente y de la normal a la trayectoria, en cada punto, y se aplica la segunda ley de Newton, se obtienen las siguientes ecuaciones: es decir, Punto ΣF n = ma n senθ T O T θ T cosθ La fuerza centrípeta en el punto es: T + es decir, Punto Punto T + = ma n ΣF n = ma T = ma n La fuerza centrípeta en el punto es: T Supondremos fijada la posición del punto por el ángulo θ, que forma la cuerda que sujeta al bloque, con un eje horizontal de referencia, medido, como en trigonometría, en sentido contrario al de las agujas del reloj. En la dirección de la tangente, ΣF t = ma t es decir, n FIG de donde, cosθ = ma t a t = g cosθ Se deduce de la relación anterior que la aceleración tangencial no es constante puesto que depende del ángulo θ, y éste varía al moverse el bloque. En la dirección de la normal, de donde, ΣF n = ma n La fuerza centrípeta en el punto es: T + sen θ Imaginemos ahora un observador O que, hipotéticamente, se mueve con el bloque. Dicho observador no es inercial ya que en cada instante tiene la misma aceleración que el bloque, y cuando menos, éste tiene una aceleración normal o centrípeta, puesto que su trayectoria es curvilínea, y en consecuencia, varía continuamente la dirección de su vector velocidad. Veamos cómo se modifica la segunda ley de Newton al ser aplicada por este observador no inercial cuando el bloque pasa por las posiciones, y. T + senθ = ma n

5 aletos Física para iencias e Ingeniería TEM 10 SISTEMS DE REFERENI NO INERILES 10.5 f i Punto ΣF + f i = ma ' T O senθ T f i θ f it T FIG f in cosθ porque como el observador no inercial se mueve con el bloque, éste se encuentra continuamente en reposo respecto de él y, por tanto, la aceleración relativa a O del bloque respecto de O es nula. hora bien, f i = ma ' O ' y por lo dicho anteriormente, la aceleración a O es la misma que la del bloque, es decir, a ' O ' en la dirección de la normal y dirigida hacia el centro O. Por tanto, la fuerza de inercia tendrá la misma dirección pero estará dirigida en sentido contrario y su módulo es: f i Y, puesto que la resultante de todas las fuerzas exteriores que actúan sobre el bloque, y de la fuerza de inercia, debe ser nula, sus módulos deben ser iguales ya que son de sentidos contrarios. Por tanto: Punto T + ΣF + f i = ma ' ya que, por un razonamiento análogo al que se ha hecho para el estudio de la posición : a. La fuerza de inercia en la posición tiene la dirección del radio, su sentido es tal que se aleja del centro O, y su módulo es: de modo que, Punto f i T = + f i T La aceleración del bloque cuando pasa por esta posición, a diferencia de lo que sucede cuando pasa por las posiciones y, tiene una componente normal, o centrípeta, y una componente tangencial, como hemos visto en el estudio hecho por un observador inercial. Por tanto, el observador no inercial deberá añadir esta vez dos fuerzas de inercia, o más bien deberá tener en cuenta que la fuerza de inercia tiene dos componentes: Una, en la dirección de la tangente, f it = ma t que no recibe ningún nombre especial, y otra en la dirección de la normal, f in = ma n denominada fuerza centrífuga. De modo que, en general, f i = f it + f in = ( ma t )+( ma n )

6 10.6 TEM 10 SISTEMS DE REFERENI NO INERILES aletos Física para iencias e Ingeniería sí pues, cuando el bloque pasa por la posición, se cumple a lo largo de la dirección de la tangente, ΣF t ya que a t. De modo que sustituyendo, queda, + f it = ma ' t y, finalmente, y en la dirección de la normal, cosθ = f it = ma t ΣF n a t = g cosθ + f in ya que a n. Y, finalmente, sustituyendo, queda, = ma ' n T + senθ = f in on lo cual queda justificado el punto de vista del observador no inercial O, y sus resultados concuerdan con los del observador inercial O.