Análisis Matemático IV

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1 Análisis Matemático IV Relación. Ejercicios resueltos Ejercicio. Probar la siguiente versión multidimensional del Teorema de Rolle: Sea f : B (, ) R una función continua que es diferenciable en B(, ). Supongamos que f(x) = para todo x con x =. Entonces, existe c B(, ) tal que Df(c) =... Ejercicio. Determinar los extremos absolutos si existen de la función f(x, y, z) = x + y + z xy sobre el conjunto M = {(x, y, z) R 3 : x + y 4 + z } Para determinar los extremos absolutos de esta función sobre este conjunto, vamos a separar M = Int(M) F r(m) Primero, buscamos los puntos interiores candidatos a ser extremos absolutos. Para ello, tenemos que buscar los puntos críticos de f que estén incluidos en el conjunto M: f x = 4x y f y = y x f z = z En conclusión tenemos el sistema de ecuaciones lineal resultante: 4x y = y = 4x y = x + y = x + (4x) = x = Luego, su única solución es la trivial z = z = z = Por tanto, se tiene que el único punto crítico de la función es (,, ) M puesto que cumple sus ecuaciones. Ahora, estudiemos la situación en la F r(m) = {(x, y, z) R 3 x : compacto: () F r(m) es acotado, puesto que x, y, z ya que x igual a siendo todos números positivos. + y 4 + z + y 4 + z = }. Es claro que es un = y los tres números suman un número () F r(m) es un cerrado. Si tomamos F : R 3 R, dada por F (x, y, z) = x + y 4 + z, tenemos que F r(m) = F ({}) y es claro que {} es un cerrado del codominio y F una función continua por ser polinómica, luego F r(m) también es cerrado. Como hemos demostrado que F r(m) es un compacto y que F es una función continua, se puede aplicar el Teorema de Weierstrass y, por tanto, sabemos que existen los extremos absolutos de la función. Ahora, debemos vericar que se cumplen las condiciones del Teorema de multiplicadores de Lagrange: () f es diferenciable por ser una función polinómica () F (x, y, z) = x + y 4 + z es de clase denida en R3 y con valores en R (con m = < 3 = n)

2 (3) F r(m) = {(x, y, z) R 3 : x + y 4 + z = } es una variedad difrerenciable generada por F Veamos si el rango de la matriz Jacobiana de F es máximo (en este caso ) Calculamos la matriz Jacobiana de F: JF (x, y, z) = (x, y, z 4 ) cuyo rango es si, y sólo si es idénticamente nula, que sólo se produce en el punto (,, ) / F r(m), luego se verica la condición para todo punto de F r(m) Una vez que hemos vericado las condiciones, ya podemos aplicar el Teorema de Multiplicadores de Lagrange que nos dice que los extremos absolutos de f son soluciones del siguiente sistema de ecuaciones: 4x y = λx f(x, y, z) = λ F (x, y, z) y x = λ y x + y 4 + z = z = λ z 4 x + y 4 + z = Por tanto, las soluciones al sistema son los siguientes puntos: (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ) Calculamos ahora las imágenes de los puntos señalados como candidatos para saber cuáles son los extremos absolutos: f(,, ) = 4 + f(,, ) = 4 + f(,, ) = 4 f(,, ) = 4 f(,, ) = f(,, ) = f(,, ) = Por tanto, los máximos absolutos se localizan en los puntos (,, ), (,, ) y el mínimo absoluto en (,, ) Ejercicio 3: Determinar los extremos absolutos, si existen, de la función f(x, y, z) = x + y + z sobre el conjunto M = {(x, y, z) R 3 : 4y + z = ; x y = } Para intentar justicar que existen los extremos absolutos de esta función, vamos a intentar aplicar el Teorema de Weierstrass para lo que es necesario ver que la función f es continua y está denida en el compacto M: () La función f es continua: Esto se evidencia rápidamente puesto que es una función polinómica, que no es sólo continua, sino que es de clase () Para justicar que el conjunto M es un compacto de R 3, veremos que es un conjunto cerrado y acotado del mismo: (.a) M es un conjunto acotado: De la primera ecuación que determina el conjunto podemos sacar que y al igual que z ya que para que una suma de números positivos al cuadrado dé, hace falta que ambos números sean menores que. Como de la segunda ecuación se obtiene que x = y, podemos concluir que x = y, luego hemos demostrado que es un conjunto acotado, ya que las componentes de los vectores que pertenecen a M son acotadas.

3 (.b) M es un cerrado: Esto se puede ver de la siguiente manera. Si denimos la función F : R 3 R dada por F (x, y, z) = (4y + z, x y), nos encontramos con que F ({(, )}) = M donde F es una función continua por ser polinómica y el conjunto {(, )} es un cerrado del codominio, luego a M no le queda más remedio que ser un cerrado de R 3 Por tanto, se verican las condiciones del Teorema de Weierstrass y podemos aplicarlo, con lo que podemos asegurar que existen los extremos absolutos de la función f en el conjunto M Ahora, para buscarlos, vamos a intentar aplicar el Teorema de los Multiplicadores de Lagrange. Veamos que se verican las hipótesis de dicho teorema: () f es diferenciable, de hecho es C por ser polinómica () F : R 3 R dada por F (x, y, z) = (4y + z, x y), es de C denida en R 3 y con valores en un espacio de dimensión inferior (R ) (3) M es una variedad generada por F. Para ello veamos si en todo punto de M, la matriz jacobiana tiene rango máximo, en este caso : JF (x, y, z) = y z Para ver si se cumple esta propiedad, veamos los casos en los que no se cumple e identiquemos si los puntos que no lo cumplen están en M: y = y = y z = z = Por tanto, los puntos en los que la matriz jacobiana no tiene rango máximo es en los puntos de la forma (λ,, ) R 3 con λ R. Sin embargo ninguno de estos puntos pertenece a M ya que para que cunplan la segunda ecuación, debe ser x = y =, pero el punto (,, ) no cumple la primera ecuación de M. Por tanto, podemos asegurar que M es la variedad diferenciable generada por F. Consecuentemente, se puede aplicar el teorema de los multiplicadores de Lagrange, que nos dice que los extremos absolutos condicionados de la función f son soluciones del siguiente sistema de ecuaciones: f = λ F + λ F 4y + z = x y = Este sistema de ecuaciones vectoriales genera, denitivamente el sistema de ecuaciones dado por: De la última ecuación, tenemos que x = y De la primera ecuación, tenemos que x = λ x = λ y = λ y + λ z = λ z 4y + z = x y = De la tercera ecuación, se tiene que z( λ ) =, es decir: z = ó λ = 3

4 Primer caso, con z = : De la cuarta ecuación, se tiene que y = ( x = ), y = ( x = ) Segundo caso, con λ = : De la segunda ecuación, se tiene que: y = λ 6 Combinando esta situación con que x = y se obtiene: λ = λ 6 λ = Luego, x = y = y z = ó z = Como resultado, hemos obtenido que los extremos absoultos se encuentran entre las soluciones del sistema, que son los puntos: (,, ), (,, ), (,, ), (,, ) Para saber cuál es el máximo y el mínimo calculamos sus imágenes: f(,, ) = f(,, ) = f(,, ) = f(,, ) = Podemos concluir, entonces, que existen dos máximos absolutos que son los puntos (,, ) y (,, ) y los mínimos absolutos que se encuentran en los puntos (,, ), (,, ) Determinar los extremos absolutos, si existen, de la función f(x, y) = x + y sobre el Ejercicio 4. conjunto M = {(x, y) R : x + y, y x} En este caso, para determinan los extremos absolutos de la función f sobre el conjunto M, vamos a escribir este último como M = Int(M) F r(m). En el primero de los casos, vamos a determinar los posibles extremos absolutos averiguando quiénes son los extremos relativos de la función f que es diferenciable por ser polinómica denida en el abierto Int(M). Para ello, hallamos los puntos críticos de f y vemos si alguno cae en Int(M). Jf(x, y) = f(x, y) = (, y) (, ) para todo (x, y) R, luego no existen puntos críticos. Ahora, ya podemos trabajar libremente en F r(m) = {(x, y) R : x + y =, y = x}. Primero, vamos a demostrar que este conjunto es un compacto de f y que la función f es continua: () f es continua por ser una función polinómica, es más, esta es de clase () F r(m) es un conjunto acotado. Es claro si consideramos la primera ecuación ya que los vectores de R que pertenecen a M tienen norma ( (x, y) = x + y = ). (3) F r(m) es un cerrado de R. Esto se evidencia cuando denimos F : R R dada por F (x, y) = (x + y, y x) donde si tomamos F ({(, )}) = M y como F es una función continua porque sus componentes lo son por ser polinómicas y el conjunto {(, )} es un cerrado de R, luego a M no le queda más remedio que ser un cerrado del dominio. Por tanto, hemos vericado las hipótesis del teorema de Weierstrass y podemos aplicarlo, obteniendo que existen los extremos absolutos de f en el conjunto M. Veamos ahora, cuáles son, y para ello intentemos ver que se cumplen las hipotesis del teorema de los multiplicadores de Lagrange, que son: () f es una función diferenciable porque sus componentes lo son por ser polinómicas 4

5 () F : R R dada por F (x, y) = (x + y, y x) es una función de clase porque sus componentes son polnómicas, pero, sin embargo, el espacio de llegada tiene la misma dimensión que el de partida, luego no se verica la hipótesis del teorema. Intentemos atacar el problema por otro camino. Para ello, veamos que puntos son los que pertenecen a la F r(m). Como se tienen que vericar sus dos ecuaciones, deben ser soluciones del sistema: { x + y = y = x Entonces, si sustituimos la segnuda ecuación en la primera se obtiene que: x + x = cuyas soluciones son x = ± + = ±3, es decir, x = ó x = Por tanto, y =, ó y = ó y = lo cual no es posible. Por tanto, sólo existen dos puntos en la frontera que deben ser el máximo y mínimo absoluto en M y son (, ) y (, ). f(, ) = 3 f(, ) = 3 Ejercicio 5. Hallar la distancia desde el punto (,, ) a la recta intersección de los planos x + y + z = y x + y 3z = Para hallar esta distancia, lo que tenemos que encontrar es el ínifmo entre las distancias del punto (,, ) a la recta. Para empezar, vamos a construir la función distancia al origen (,, ) denida como g(x, y, z) = (x, y, z). Como se tiene que los extremos absolutos de esta función y la función al cuadrado son los mismos, y sin embargo, es más cómodo trabajar con los cuadrados, vamos a reducir el problema a hallar los extremos absolutos de la función f : R 3 R dada por f(x, y, z) = (x, y, z) = x + y + z en el conjunto M = {(x, y, z) R 3 /x + y + z =, x + y 3z = } Primero, vamos a determinar que existen los extremos absolutos de la función demostrando que M es un compacto y f una función continua por lo que podremos aplicar el teorema de Weierstrass y asegurar que existen tales extremos en el conjunto M de la función f. () f es continua porque es una función polinómica () M no es un conjunto compacto, puesto que es una recta que no es acotada. Para solucionar dicho problema, vamos a trabajar con M = M B (, ) Ø porque (,, ) M. Es claro que M es un compacto por ser intersección de una recta con una bola cerrada: es acotada porque los puntos que pertenecen a M, pertenecen B (, ) que no son más que los puntos cuya norma es menor o igual que ; y para determinar que es un cerrado sólo falta comprobar que M es un cerrado y eso es fácil de ver si denimos la función F : R 3 R dada por F (x, y, z) = (x + y + z, x + y 3z ). Si hallamos F ({}) = M, y como F es una función continua porque sus componentes lo son por ser polinómicas y {} es un cerrado del espacio de llegada, se tiene que M es un cerrado del espacio del dominio, luego como intersección de cerrados, es cerrado, se tiene lo que se quería demostrar. M es un compacto. Por tanto, podemos asegurar que existen los extremos absolutos de la función f en el conjunto M. Para hallar dichos extremos nos vamos a basar en el teorema de los multiplicadores de Lagrange. Vemos que se cumplen las hipótesis de dicho teorema: () f es una función diferenciable por ser polinómica () F : R 3 R, dada por F (x, y, z) = (x + y + z, x + y 3z ) es una función de clase porque sus componentes lo son por ser polinómicas y está denida en un espacio con mayor dimensión que el espacio de llegada 5

6 (3) M es la variedad diferenciable generada por F, es decir, el rango de la matriz jacobiana es máximo para todo punto de M. Veamos que es así: ( ) JF (x, y, z) =, cuyo rango es, porque 3 para todo punto (x, y, z) R3 Por tanto, aplicando el teorema de los multiplicadores de Lagrange, podemos asegurar que los extremos absolutos son soluciones del siguiente sistema de ecuaciones: f = λ F + λ F x + y + z = x + y 3z = Transformando dicho sistema de ecuaciones vectorial, se obtiene el equivalente, que además es lineal: x = λ + λ y = λ + λ z = λ 3λ x + y + z =, x + y 3z = x = 7 4 y = z = λ = 4 3 λ = 4 Luego el punto, que es extremo absoluto de la función es: f(...) = Por tanto, la distancia del origen a la recta dada es la raíz cuadrada del valor encontrado, es decir,... Ejercicio 6. Hallar la distancia entre la circunferencia x + y = y la recta x + y = 4 Para resolver este problema vamos a enfocarlo de la siguiente manera. Hay que encontrar el extremo absoluto de la función distancia entre ambas. Ahora bien, sabemos que estas distancias entre puntos de la circunferencia y la recta se puede representar como la resta de las distancias al origen de ambas, y, como la distancia de la circunferencia al origen es, tenemos que, la función a calcularle los extremos es f(x, y, z) = x + y y el conjunto M = {(x, y) R : x + y = 4}. Para empezar, veamos que existen los extremos. Por la misma razón que en el ejercicio anterior, vamos a hallar los extremos absolutos en un conjutno que sí sea un compacto, por ejemeplo, nos sirve M = M B (, 3) porque el punto (, ) M y también (, ) B (, 3) porque su norma es menor que 3; luego M Ø. 6

7 Es claro que M es un conjunto compacto ya que se trata de una intersección de cerrados y también que es acotado porque al pertenecer a la bola cerrada de centro y de radio 3, podemos asegurar que la norma de los puntos que pertenecen al conjunto es menor o, a lo sumo, igual que 3. También, podemos asegurar que f es una función continua ya que es una composición de funciones continuas, luego, aplicando el teorema de Weierstrass podemos asegurar que los extremos absolutos de f existen en el conjunto M. Vamos a ver que se verican las hipótesis del teorema de los multiplicadores de Lagrange: () f es una función diferenciable por ser composición de funciones diferenciables y toma valores en R () Denimos F : R R, dada por F (x, y) = x + y = 4 que es una función de clase por ser lineal y cuya dimensión del dominio es mayor o igual que la dimensión de la imagen (3) M es la variedad diferenciable generada por F. Para comprobarlo, veamos que el rango de la matriz jacobiana de F es máximo para todo punto en M : JF (x, y) = (, ) (, ) para todo punto de M luego el rango es máximo Aplicando, entonces el teorema de multiplicadores de Lagrange, obtenemos que los extremos absolutos de esta función se encuentran entre las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones: { f(x, y) = λ F (x, y) x + y = 4 Que es equivalente al siguiente sistema de ecuaciones: x x + y = λ y x + y = λ x + y = 4 De la primera y la segunda ecuación se puede obtener fácilmente que x = y, y de la última ecuación se puede obtener también que x = e y =. Luego el mínimo absoluto de dicha función se encuentra en dicho punto. Por tanto la distancia entre ambos conjuntos será: f(, ) = Ejercicio 7. De entre todos los rectángulos de perímetro a >, hallar el de área máxima En este problema vamos a intentar hallar el rectángulo de área máxima que no será otro que el extremo absoluto de la función f : [, ) [, ) R dada por f(x, y) = xy en el conjunto M = {(x, y) [, ) [, )/x + y = a}. ()Primero, veamos que M es un compacto: (.a) M es acotado porque como x, y, a >, entonces, x, y a, luego la norma de cada punto está acotada en el conjunto M. (.b) M es un cerrado porque si denimos F : R R, dada por F (x, y) = x + y a que es una función continua y calculamos F ({}) = M y, como {} es un cerrado de la imagen, M también lo tendrá que ser en el dominio. () f es una función continua por ser producto de funciones continuas En consecuencia, se obtiene que aplicando el teorema de Weierstrass, podemos asegurar que existen los extremos absolutos de la función f restringida al conjunto M. Ahora bien, para intentar hallarlos, podemos usar el teorema de los multiplicadores de Lagrange, vemos que se cumplen las condiciones: 7

8 () f es una función diferenciable por ser producto de funciones diferenciables () La función F : R R, dada por F (x, y) = x + y a es una función de clase k y, además, la dimensión del dominio es mayor o igual que la dimensión de la imagen de dicha función. (3) M es una variedad diferenciable generada por F, lo que se comprueba al ver que la matriz jacobiana de F tiene rango máximo para cualquier punto de M. De hecho, JF (x, y) = (, ) (, ) para cualquier punto de M. Por tanto, podemos aplicar el teorema de los multiplicadores de Lagrange lo que nos dice que entre las soluciones del sistema de ecuaciones siguientes se encuentran los extremos absolutos: { f(x, y) = λ F (x, y) x + y = a De lo que se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones equivalente: y = λ x = λ x + y = a De la primera y la segunda ecuación se obtiene que x = y, y sustituendo en la última se obtiene que x = y = a 4. Luego los rectángulos (cuadrados) de lado a 4 tienen área máxima de entre todos los rectángulos que tienen perímetro a. Ejercicio. De entre todas las caja rectangulares de área lateral a >, hallar la de volumen máximo Para encarar este problema vamos a hallar los extremos absolutos de la función volumen f : [, ) [, ) [, ) R dada por f(x, y, z) = xyz en el conjunto M = {(x, y, z) [, ) [, ) [, )/xz+yz+xy = a}. ()Primero, veamos que M es un compacto: (.a) M es acotado porque como x, y, z, a >, entonces, x, y, z a, luego la norma de cada punto está acotada en el conjunto M. (.b) M es un cerrado porque si denimos F : R 3 R, dada por F (x, y) = xz + +yz + xy a que es una función continua y calculamos F ({}) = M y, como {} es un cerrado de la imagen, M también lo tendrá que ser en el dominio. () f es una función continua por ser producto de funciones continuas En consecuencia, se obtiene que aplicando el teorema de Weierstrass, podemos asegurar que existen los extremos absolutos de la función f restringida al conjunto M. Ahora bien, para intentar hallarlos, podemos usar el teorema de los multiplicadores de Lagrange, vemos que se cumplen las condiciones: () f es una función diferenciable por ser producto de funciones diferenciables () La función F : R 3 R, dada por F (x, y) = xz + yz + xy a es una función de clase k y, además, la dimensión del dominio es mayor o igual que la dimensión de la imagen de dicha función. (3) M es una variedad diferenciable generada por F, lo que se comprueba al ver que la matriz jacobiana de F tiene rango máximo para cualquier punto de M. De hecho, JF (x, y, z) = (z +y, z +x, x+y) = (,, ) si, y sólo si es el punto (,, ) que no está en M porque las tres coordenadas de los puntos de M han de ser estrictamente positivas. Por tanto, podemos aplicar el teorema de los multiplicadores de Lagrange lo que nos dice que entre las soluciones del sistema de ecuaciones siguientes se encuentran los extremos absolutos:

9 { f(x, y) = λ F (x, y) xz + yz + xy = a De lo que se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones equivalente: yz = λ(z + y) xz = λ(x + z) xy = λ(x + y) xz + yz + xy = a De la primera ecuación, la segunda y la tercera se obtiene: yz y+z = xz x+z xz x+z = xy x+z xz + yz + xy = a >Si desarrollamos la primera nos queda: yzx + yz yzx xz = z (x + y) = Tenemos dos opciones, z = que no es viable porque las coordenadas de los puntos de M son estrictamente positivas ó x = y que es la que tomaremos por válida. Por simetría, desarrollando la tercera obtenemos que x = y = z Sustituyendo en la última de las ecuaciones se obtiene que: 6x = a x = a 6 Luego el rectángulo con mayor volumen de entre los que tienen área lateral a es el que tiene de lado a 6 Ejercicio 9. Encontrar el máximo de la función f(x,..., x n ) = (x x... x n ) sobre la esfera unidad de R n (es decir, sobre S = {(x,..., x n ) R n /x + + x n = }). Aplicar el resultado para demostrar la desigualdad (a... a n ) n donde los a i son números positivos. a+ +an n Para realizar este ejercicio vamos a comprobar cuál es el máximo absoluto de la función dada. Claramente, los extremos absolutos existen por ser S un compacto (cerrado y acotado de R n ) y f una función continua (composición de funciones continuas). Luego aplicando el criterio de Weierstrass existen tales extremos absolutos de f. Para intentar localizarlos, vericamos que se cumplen las condiciones del teorema de los multiplicadores de Lagrange: () f es una función diferenciable por ser, de hecho, C, ya que no es más que un producto de variables que son funciones C. () Denida F : R n R como F (x,..., x n ) = x + + x n se ve claramente que es una función de clase k porser producto y suma de funciones de clase k y está denida de forma que la dimensión del dominio es mayor que la dimensión de la imagen (3) Además, S es la variedad diferenciable generada por F, como se comprueba asegurando que la matriz jacobiana de F tiene rango máximo para cada punto de S. De hecho, JF (x,..., x n ) = (x,..., x n ) (... ) para todo punto distinto de (... ) que no está en S Por tanto, aplicando el teorema de los multiplicadores de Lagrange, se obtiene que los extremos absolutos de la función se encuentran entre las soluciones del siguiente sistema: 9

10 { f(x,... x n ) = λ F (x,..., x n ) x + + x n = Que es equivalente al siguiente sistema de ecuaciones: (x... x n ) = λx. (x... x n ) = λx n x + + x n = Este sistema se puede resolver desarrollando todas las n primeras ecuaciones de forma que se obtiene que, ó todas son, ó bien, todas valen lo mismo x = = x n, con lo que de la última ecuación se obtiene que entonces el vector en el que se encuentra el máximo absoluto de dicha función es ( n,..., n ) Ejercicio. Para fabricar determinadas placas metálicas se usa aluminio, hierro y magnesio. La cantidad de placas que se producen usando x toneladas de aluminio, y toneladas de hierro, y z toneladas de magnesio es Q(x, y, z) = xyz. Si el aluminio cuesta 6 euros la tonelada, el hierro cuesta 4 euros la tonelada y el magensio euros la tonelada, ¾Cuántas toneladas de cada material deben usarse para producir placas al menor costo posible? Se debe hallar el etremo absoluto de la función f : [, ) [, ) [, ) R dada por f(x, y, z) = 6x + 4y + z en el conjunto M = {(x, y, z) [, ) [, ) [, )/xyz = } ()Primero, veamos que M es un compacto: (.a) M es acotado porque como x, y, z >, entonces, x, y, z, luego la norma de cada punto está acotada en el conjunto M. (.b) M es un cerrado porque si denimos F : R 3 R, dada por F (x, y, z) = xyz que es una función continua y calculamos F ({}) = M y, como {} es un cerrado de la imagen, M también lo tendrá que ser en el dominio. () f es una función continua por ser lineal En consecuencia, se obtiene que aplicando el teorema de Weierstrass, podemos asegurar que existen los extremos absolutos de la función f restringida al conjunto M. Ahora bien, para intentar hallarlos, podemos usar el teorema de los multiplicadores de Lagrange, vemos que se cumplen las condiciones: () f es una función diferenciable por ser lineal () La función F : R 3 R, dada por F (x, y, z) = xyz es una función de clase k y, además, la dimensión del dominio es mayor o igual que la dimensión de la imagen de dicha función. (3) M es una variedad diferenciable generada por F, lo que se comprueba al ver que la matriz jacobiana de F tiene rango máximo para cualquier punto de M. De hecho, JF (x, y, z) = (yz, xz, xy) = (,, ) si, y sólo si es el punto (,, ) que no está en M porque las tres coordenadas de los puntos de M han de ser estrictamente positivas. Por tanto, podemos aplicar el teorema de los multiplicadores de Lagrange lo que nos dice que entre las soluciones del sistema de ecuaciones siguientes se encuentran los extremos absolutos: { f(x, y, z) = λ F (x, y, z) xyz = De lo que se obtiene el sistema de ecuaciones equivalente dado por:

11 6 = λyz 4 = λxz = λxy xyz = De la primera, segunda y tercera ecuación se obtiene: 6 yz = 4 xz 4 xz = xy xyz = Desarrollando la primera se obtiene: 6xz = 4yz z(6x 4y) = como z >, entonces x = y 3 Desarrollando la segunda de igual manera se obtiene 4xy = xz x(y z) = como x >, entonces y = z Sutituyendo ahora en la última ecuación: 4z 3 z.z = z = 3 3 = = x 3 x 3 4 x = x = 3 9 = y.y. y = y = 3 3 = 3 3 Por consiguiente, una vez resuelto el sistema, podemos asegurar que se han de usar x = 3 z = , y = 3 3,