VECTORS EN L ESPAI. Pàgina 130. Pàgina 131. Problema 1. Troba l àrea d aquest paral lelogram en funció de l angle α: Área = 8 5 sen α = 40 sen α cm 2

Transcripción

1 VECTORS EN L ESPAI Pàgina 130 Problema 1 Troba l àrea d aquest paral lelogram en funció de l angle α: Área = 8 sen α = 40 sen α cm cm α 8 cm Troba l àrea d aquest triangle en funció de l angle β: β a b a b sen β Área triángulo = cm Pàgina 131 Problema Troba el volum d aquest paral lelepípede en funció de α i de β. 10 cm Área base = 40 sen α Altura = 10 cos β Volumen = 400 sen α cos β cm 3 β cm α 8 cm Unitat. Vectors en l espai 1

2 Quin serà el volum d un paral lelepípede d arestes a, b, c, tal que les dues arestes de la base formen entre si un angle α, i les arestes laterals formen un angle β amb la perpendicular? c Volumen = a b c sen α cos β β b α a Problema 3 Troba la diagonal d un ortòedre les dimensions del qual són: c = 3 cm, b = 4 cm i a = 1 cm. c c Diagonal = = = 169 = 13 cm b b a Escriu l expressió general de la diagonal d un ortòedre d arestes a, b i c. En general: Diagonal = a + b + c Pàgina La propietat a (b v) = (a b) v relaciona el producte de nombres per vectors amb el producte entre nombres. a) Dels quatre productes que hi apareixen, quins són del primer tipus i quins del segon? b) Interpreta aquesta propietat per a a = 3, b = i v un vector qualsevol representat sobre el paper. a) Producto de números por vectores: b v; (a b) v; a (b v) Producto entre números: a b Unitat. Vectors en l espai

3 b) a (b v ) = 3 ( v) (a b) v = 6 v 3 ( v ) = 6 v 3 ( v ) v v 6v. La propietat distributiva (a + b) v = a v + b v relaciona la suma de nombres amb la suma de vectors. a) De les dues sumes que hi apareixen, quina és de cada tipus? b) Interpreta aquesta propietat per a a = 3, b = i v un vector qualsevol representat sobre el paper. a) Suma de números: a + b Suma de vectores: a v+b v 8v v b) (a + b) v = 8 v a v+ b v = 3 v + v 8 v = 3 v+ v v 3v Pàgina Si u ( 3,, 1), v (7, 4, ), troba les coordenades: a) u b) 0 v c) u d) u + v e) u v f) u 3 v a) u = ( 3,, 1) = ( 6, 10, ) b) 0 v = (0, 0, 0) c) u = ( 3,, 1) = (3,, 1) d) u+ v = ( 3,, 1) + (7, 4, ) = (1, 14, 0) e) u v = ( 3,, 1) (7, 4, ) = ( 10, 1, 3) f) u 3 v = ( 3,, 1) 3(7, 4, ) = ( 36, 13, 11). Siguen els vectors x (1,, ), y (3, 4, 1), z (6, 3, ), w (4, 6, 6). Troba a, b, c perquè es complisca: a x + b y + c z = w a(1,, ) + b(3, 4, 1) + c(6, 3, ) = (4, 6, 6) (a + 3b + 6c, a + 4b + 3c, a b c) = (4, 6, 6) Unitat. Vectors en l espai 3

4 = a = = = 6; b = = = c = = = Solución: a = 6, b =, c = 4, es decir, 6 x y + 4 z = w. Pàgina 139 a + 3b + 6c = 4 a + 4b + 3c = 6 a b c = 6 1. Donats els vectors u (, 1, ), v ( 1,, ), calcula: a) u v b) u y v c) ( u, v) d) Proj. de u sobre v y proy. de v sobre u. e) Quant ha de valer x perquè el vector (7,, x) siga perpendicular a u? a) u v = 4 = 11 b) u = = 30,48 v = = 9 = 3 c) cos ( u, u v 11 v ) = = u v ,669 ( u, v ) = 13 1' 6'' d) Proy. de u sobre u v 11 v = = v 3 = 3,67 Significa que el vector proyección de u en la dirección de v tiene módulo 3,67 y sentido contrario al de v. Proy. de v sobre u v 11 u = =,008 u 30 e) (, 1, ) (7,, x) = 3 + x = 33 + x = 0 x = 33. Obtín tres vectors perpendiculars a v que no siguen paral lels entre si: v (3,, 7) Un vector, u(x, y, z), es perpendicular a v(3,, 7) si: u v = 3x + y + 7z = 0 Por ejemplo: (0, 7, ); ( 7, 0, 3); (, 3, 0) Unitat. Vectors en l espai 4

5 3. Troba un vector que siga perpendicular als dos vectors donats: u (, 1, ) v ( 1,, ) Queremos hallar las coordenadas de un vector w(x, y, z) que sea perpendicular a u y a v: w u (, 1, ) (x, y, z) = x y + z = 0 w v ( 1,, ) (x, y, z) = x + y z = 0 Este sistema tiene infinitas soluciones proporcionales. Una de ellas es x =, y = 8, z = 9. Es decir, el vector buscado puede ser (, 8, 9) o cualquier otro paralelo a él. Pàgina Troba el producte vectorial de u (3, 7, 6) i v (4, 1, ). u v = (3, 7, 6) (4, 1, ) = ( 8, 18, ). Troba un vector perpendicular a u (3, 7, 6) i a v (4, 1, ). u v = (3, 7, 6) (4, 1, ) = ( 8, 18, ) o cualquier vector proporcional a él. 3. Troba l àrea del triangle determinat pels vectors: u (3, 7, 6) i v (4, 1, ) Área del paralelogramo determinado por u y v: u v = (3, 7, 6) (4, 1, ) = ( 8, 18, ) = = = Área del triángulo = 1,91 u Pàgina Troba el volum del paral lelepípede definit per u (3,, 1), v (7, 4, ) i w (0, 6, 1) 3 1 [ u, v, w] = = 3 Volumen = 3 u3. Troba el valor de x perquè els vectors u (3,, 1), v (7, 4, ) i z(1, 14, x) siguen coplanaris (és a dir, que el volum del paral lelepípede determinat per aquests siga zero) = 47x = 0 x = x Unitat. Vectors en l espai

6 Pàgina 147 EXERCICIS I PROBLEMES PROPOSATS PER A PRACTICAR Dependència lineal 1 Donats els vectors u(3, 3, ), v(,, 1), w(1, 1, 0): a) Troba els vectors u v + 3 w, u + v 4 w. b) Calcula a i b tals que u=a v+b w. a) u v + 3 w = (3, 3, ) (,, 1) + 3(1, 1, 0) = ( 4, 4, 0) u+ v 4 w = (3, 3, ) + (,, 1) 4(1, 1, 0) = (, 4, 3) b) (3, 3, ) = a (,, 1) + b (1, 1, 0) = (a + b, a b, a) 3 = a + b 3 = a b = a b = 7 b = 7 a = Solución: a =, b = 7, es decir: u = v 7 w. Comprova que no és possible expressar el vector x (3, 1, 0) com a combinació lineal de u (1,, 1) i v (, 3, ). Són linealment independents x, u y v? x = a u+bv (3, 1, 0) = a (1,, 1) + b (, 3, ) 3 = a + b ( 1 3 ) 1 = a 3b A' = 3 1 Como A' = 8 0, el sistema es incompatible. 0 = a + b 1 0 Luego no es posible expresar x como combinación lineal de u y v. Como ran (A' ) = 3, los tres vectores son linealmente independientes. 3 Quins dels vectors següents tenen la mateixa direcció? a (1, 3, ) b (, 0, 1) c (, 6, 4) d (, 1, 10) e (10, 30, ) a, c y d, pues sus coordenadas son proporcionales. 4 Comprova que qualsevol dels vectors a (1,, 3), b (, 1, 3), c (1, 0, 1) pot expressar-se com a C.L. dels altres dos. a = x b + y c (1,, 3) = x(, 1, 3) + y(1, 0, 1) 1 = x + y = x 3 = 3x + y y = 3 x = y = 3 Por tanto: a = b 3 c De aquí, también obtenemos que: b = a+ c; c = a+ b 3 3 Unitat. Vectors en l espai 6

7 Troba, en cada cas, tots els valors de m, n i p tals que m u + n v + pw = 0: a) u (3, 0, 1), v (1, 1, 0), w (1, 0, 1) b) u (1, 1, 0), v (1, 1, 1), w (, 0, 1) a) m(3, 0, 1) + n(1, 1, 0) + p(1, 0, 1) = (0, 0, 0) 3m + n + p = 0 n = 0 m + p = 0 ( ) A = Como A = 0, la única solución del sistema es: m = 0, n = 0, p = 0 (Luego u, v y w son linealmente independientes). b) m(1, 1, 0) + n(1, 1, 1) + p(, 0, 1) = (0, 0, 0) m + n + p = 0 m + n = 0 n + p = ( 1 1 ) A = A = 0 y 1 1 = 1 0; luego ran (A) =. 0 1 Resolvemos el sistema: m + n = 0 n + p = 0 m = n p = n Soluciones: m = λ, n = λ, p = λ 6 Estudia la dependència o independència lineal dels següents conjunts de S vectors: a) u (1,, 1), v ( 1, 0, 3), w (1,, 1) b) a (1,, 3), b (1, 4, 11), c (1, 1, 1), d (0, 1, 4) c) u (1, 1, 0), v (1, 0, 1), w (,, 3) a) = 4 0. Luego u, v, w son linealmente independientes. b) Al ser cuatro vectores en Á 3, son linealmente dependientes c) = 0. Por tanto, u, v, w son linealmente dependientes. 7 Determina k perquè els següents conjunts de vectors siguen linealment dependents: S a) u(k, 3, ), v(, 3, k), w(4, 6, 4) b) u(3,, ), v(, 4, 7), w(1, 1, k) Unitat. Vectors en l espai 7

8 k 3 3 k a) = 6k 4k 4 = 6(k + 4k + 4) = 6(k + ) = 0 k = Si k =, los vectores son linealmente dependientes k b) = 8k + = 0 k = Si k = 8, los vectores son linealmente dependientes. 8 Quins dels següents conjunts de vectors són una base? S A = {(1,, 1), (1, 0, 1), (,, )} B = {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 0,1)} C = {( 3,, 1), (1,, 1), (1, 0, 1)} A = {(1,, 1), (1, 0, 1), (,, )} Como (,, ) = (1,, 1) + (1, 0, 1), los vectores son linealmente dependientes. Por tanto, no son una base. B = {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1)} Al ser cuatro vectores en Á 3, son dependientes, luego no son una base. C = {( 3,, 1), (1,, 1), (1, 0, 1)} = 1 0 Los vectores son linealmente independientes. Un conjunto de tres vectores de Á 3, linealmente independientes, son una base de Á 3. 9 Per a quins valors de a el conjunt de vectors S = {(1, 1, 1), (a, 1, 1), (1, a, 0)} S és una base? Como son tres vectores de Á 3, formarán base cuando sean linealmente independientes: a 1 1 = a a = a (a 1) = 0 1 a 0 a = 0 a = 1 Por tanto, S es una base cuando a 0 y a 1. 8 Producte escalar 10 En una base ortonormal tenim a (1,, ) i b ( 4,, 3). Calcula: a) a b b) a i b c) ( a, b) d) La projecció de b sobre a. Unitat. Vectors en l espai 8

9 a) a b = (1,, ) ( 4,, 3) = = 0 b) a = = 9 = 3 b = ( 4) + +( 3) = 0 = 7,07 c) Como a b = 0 ( a, b) = 90 d) Proyeccción de b sobre a b a = = 0 a 11 Donats els vectors: a = i + m j + k i b = i + 4 j + m k, troba m perquè els vectors a i b siguen: a) Paral lels. b) Ortogonals. a(1, m, 1) b(, 4, m) 4 m a) = = m = 1 m 1 b) a b = (1, m, 1) (, 4, m) = + 4m + m = m = 0 m = 1 Troba la projecció del vector u (3, 1, ) sobre el vector v (1, 1, ). Proyección de u sobre u v v = = = = 6,4 v 1 + ( 1) Són a (1,, 3) i b (,, 1) ortogonals? Si no ho són, troba l angle que formen. a b = (1,, 3) (,, 1) = = 1 0 no son ortogonales. Si llamamos α al ángulo que forman, entonces: a b 1 cos α = = 0,089 α = 84 3' 0'' a b Calcula m perquè el vector a (1, 3, m) siga ortogonal al vector b (1,, 3). a b a b = (1, 3, m) (1,, 3) = m = 3m = 0 m = 1 Comprova que el vector u (1/, 1/, 0) no és unitari i dóna les coordenades d un vector unitari de la mateixa direcció que u. 1 u = ( ) 1 + ( ) = = 1 u no es unitario. 1 3 Unitat. Vectors en l espai 9

10 Un vector unitario de la misma dirección que u sería: u u = (,, 0). También podría ser (,, 0 ). Producte vectorial 16 Donats u = i j + k i v = i + 3 j + k, comprova que els vectors u v i v u són oposats, i troba n el mòdul. u (, 1, 1) v( 1, 3, ) u v = (,, ); v u = (,, ) = u v u v = ( ) + ( ) + = 3 = 3 8,66 17 Troba l àrea del paral lelogram que formen els vectors a (7, 1, ) i b (1, 4, ). Área = a b = ( 6, 16, 9) = ( 6) = ,66 u 18 Troba un vector perpendicular a u (, 3, 1) i a v ( 1, 3, 0) i que siga unitari. u v = ( 3, 1, 9) u v = ( 3) + ( 1) + 9 = Luego el vector que buscamos es: (,, ) Troba un vector ortogonal a u (1, 1, 0) i v (, 0, 1) i el mòdul del qual siga 4. u v = ( 1, 1, ) u v = = = El vector que buscamos será: ( 1, 1, ) = (,, 4) Producte mixt 0 Troba [ u, v, w] en els casos següents: a) u (1, 3, ), v (1, 0, 1), w (, 3, 0) b) u (3,, 1), v (1,, 0), w ( 4, 1, 1) c) u (1,, 1), v (3, 0, ), w ( 1, 4, 4) 1 3 a) [ u, v, w] = = Unitat. Vectors en l espai 10

11 b) [ u, v, w] = = 1 c) [ u, v, w] = = 0 Pàgina Calcula el volum del paral lelepípede determinat per u (1,, 3), v (, 1, 0) i S w = u v. w = u v = (1,, 3) (, 1, 0) = ( 3, 6, ) 1 3 [ u, v, w] = = 70 Volumen = 70 u3 Calcula el volum del paral lelepípede determinat per a (3, 1, 1), b (1, 7, ) i c (, 1, 4). [ a, b, c ] = = 111 Volumen = 111 u3 3 Calcula el valor de m perquè u (, 3, 1), v (1, m, 3) i w ( 4,, 1) siguen S coplanaris. 3 1 [ u, v, w] = 1 m = m + 8 = 0 m = PER A RESOLDRE 4 Prova que els vectors (1, a, b), (0, 1, c), (0, 0, 1), són linealment independents qualssevol que siguen a, b i S c. 1 a b 0 1 c = 1 0 para cualquier valor de a, b, c. Por tanto, son linealmente independientes. Donats els vector a (1,, 1) i b (1, 3, 0), comprova que el vector a b és perpendicular a a + b i a a b. a b = (3, 1, 1) a + b = (,, 1) a b = (0, 1, 1) ( a b) ( a + b) = (3, 1, 1) (,, 1) = 6 1 = 0 ( a b) ( a b) = (3, 1, 1) (0, 1, 1) = 1 1 = 0 Por tanto, a b es perpendicular a a + b y a a b. Unitat. Vectors en l espai 11

12 6 a) Comprova que el paral lelogram determinat pels vectors u (3,, 1) i v (4, 3, 6) és un rectangle. b) Troba n l àrea multiplicant la base per l altura i comprova que obtens el mateix resultat si trobes u v. a) u v = (3,, 1) (4, 3, 6) = = 0. Luego u y v son perpendiculares, y el paralelogramo es un rectángulo. b) Base = u = 14 Altura = v = 61 Área = 84 9, u Por otra parte: u v = (9,, 17) = 84 9, u 7 Donat el vector v (,, 4), troba les coordenades dels vectors següents: a) Unitaris i de la mateixa direcció que v. b) Paral lels a v i de mòdul 6. v = ( ) + + ( 4) = 4 = 6 4 a) (,, ) ( = 1 1,, ) ( ) = 6, 6, y (,, ) b) (,, ) y (,, ) Troba un vector ortogonal a u (, 3, 1) i a v (1, 4, ) la tercera component del qual siga 1. u v = (10,, ) // (, 1, 1) El vector que buscamos es (, 1, 1) Donats els vectors u 1 (, 0, 0), u (0, 1, 3), u 3 = a u 1 + b u, quina relació S han de complir a i b perquè u 3 siga ortogonal al vector v (1, 1, 1)? u3 = a(, 0, 0) + b(0, 1, 3) = (a, b, 3b) Para que u 3 sea perpendicular a v ha de ser: u3 v = (a, b, 3b) (1, 1, 1) = a + b 3b = a b = 0, es decir, a = b. 30 Calcula les coordenades d un vector S w (1, 1, 1) i tal que [ u, v, w] = 19. u que siga ortogonal a v (1,, 3) i v w = (,, 3) Un vector ortogonal a v y a w es de la forma (k, k, 3k). Unitat. Vectors en l espai 1

13 k k 3k 3 [ u, v, w] = 1 3 = k Por tanto: u( 3, 1, ) = k 38 = 19 k = 1 31 Donats els vectors a (1,, 3), b (3, 1, 1), c (, 0, 1), comprova que: a) a ( b + c ) = a b + a c b) ( a b) c a ( b c) a) a ( b + c ) = (1,, 3) (1, 1, ) = ( 7, 1, 3) a b + a c = (, 8, 7) + (, 7, 4) = ( 7, 1, 3) b) ( a b) c = (, 8, 7) (, 0, 1) = (8, 9, 16) a ( b c ) = (1,, 3) (1,, ) = (11, 1, 3) 3 a) Obtín λ perquè els vectors següents siguen linealment dependents: S u1 = (3,, ), u = (, 4, 7), u 3 = (1, 3, λ) b) Per a λ = 3, expressa el vector v = (7, 3, 1) com a combinació lineal de u1, u i u 3. 3 a) λ = 8λ + 7 = 0 λ = 7 8 b) Para λ = 3, tenemos que: u 1 (3,, ) u (, 4, 7) u 3 (1, 3, 3) Expresamos v como combinación lineal de u 1, u, u 3 : (7, 3, 1) = a(3,, ) + b(, 4, 7) + c(1, 3, 3) 3a + b + c = 7 a + 4b 3c = 3 a + 7b + 3c = = a = = = ; b = = = c = = = 1 1 Por tanto: v= 8 17 u u u Unitat. Vectors en l espai 13

14 33 a) Comprova que els vectors b 1 = 1/ ( i + 3 j ), b = 1/ ( 3 i j) i b3 = k S són els d una base ortonormal de Á 3, sent i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) i k = (0, 0, 1). b) Troba les coordenades de i + j + k respecte a la base B = { b 1, b, b 3 }. a) 1 b 1 = 1 + ( 3) 1 = 4 = = 1 1 b = ( 3) + ( 1) 1 = 4 = 1 b 3 = 1 b1 b 1 = ( 3 3) = 0 4 b1 b 3 = 0 b b 3 = 0 Por tanto { b 1, b, b 3 } es una base ortonormal de Á b) (1, 1, 1) = x(,, 0) ( + y 3 1,, 0) + z(0, 0, 1) x + y = 1 x + 3 y = x + 3y = 1 x y = 1 3x y = 3x 3y = 3 z = 1 4x = x = = y = 3x = = 4 Por tanto: i+ j+ k= 3 b1 3 + b + b 3, es decir: 1 + i+ j+ k= 1 + ( 3 3,, 1) a) Determina els valors de a per als quals resulten linealment dependents S els vectors (, a, a), (a,, a) i (a, a, ). b) Obtín en aquests casos una relació de dependència entre els vectors. a a a a a a a) = a3 + 6a 8 = (a 1) (a + ) = 0 a = 1 a = Para a = 1 y para a =, los tres vectores dados son linealmente dependientes. Unitat. Vectors en l espai 14

15 b) Para a = 1, queda: (, 1, 1), (1,, 1), (1, 1, ), y tenemos que: 1 (, 1, 1) 1 (1,, 1) = (1, 1, ) Para a =, queda: (,, ), (,, ), (,, ), y tenemos que: 1 (,, ) + 0 (,, ) = (,, ) 3 Donats els vectors u (1, 1, ) i v (3, 1, 1), troba el conjunt de vectors que, S sent perpendiculars a u, siguen coplanaris amb u i v. Sea w(x, y, z) un vector tal que: 1-º) Es perpendicular a u, es decir: (x, y, z) (1, 1, ) = x y + z = 0 -º) Es coplanario con u y v, es decir: 1 1 [ u, v, w] = x y z = x + 7y + 4z = 0 Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones: x y + z = 0 x + 7y + 4z = 0 x + z = y x + 4z = 7y Sumando: 6z = 6y z = y x = y z = y + y = 3y Soluciones: (3λ, λ, λ) λ 0 36 Donats els vectors a, b i c tals que a = 3, b = 1, c = 4 i a + b + c = 0, S calcula la suma dels productes escalars a b + b c + + a c. Como a + b + c = 0 a + b + c = 0 ( a + b + c) ( a + b + c ) = 0 ( a + b + c) ( a + b + c) = a a+ b b + c c + a b + b c+ a c= = a + b + c + ( a b + b c + a c ) = 6 + ( a b + b c + a c ) = 0 Por tanto: a b + b c + a c = Donats els vectors u(a, 1 + a, a), v(a, 1, a) i w (1, a, 1), es demana: S a) Troba els valors de a per als quals els vectors u, v i w són linealment dependents. b) Estudia si el vector c (3, 3, 0) depén linealment de u, v i w per al cas a =. c) Justifica raonadament si per a a = 0 es compleix la igualtat u ( v w) = 0. Unitat. Vectors en l espai 1

16 a 1 + a a a 1 a 1 a 1 a) [ u, v, w] = = a3 a = a(a 1) = 0 a = 0 a = 1 a = 1 b) Para a =, los vectores u, v y w son linealmente independientes. Como son tres vectores de Á 3 linealmente independientes, forman una base de Á 3. Así, cualquier otro vector, y, en particular c(3, 3, 0), depende linealmente de ellos. Obtenemos la combinación lineal: Para a =, tenemos que: u(, 3, 4), v(, 1, ), w(1,, 1) (3, 3, 0) = x(, 3, 4) + y(, 1, ) + z(1,, 1) x + y + z = 3 3x + y + z = 3 4x + y + z = = x = = = ; y = = = z = = = Por tanto: 3 3 c = u + v+3w c) u ( v w) = [ u, v, w] = 0 para a = 0. Está probado en el apartado a) a) Troba el nombre de vectors linealment independents que hi ha en el conjunt S = {(1, 1, 1), (0,, 1), (, 0, 3), ( 1, 1, )}. S b) Un vector no nul té els tres components iguals. Pot escriure s com a combinació lineal dels dos primers vectors de S? c) Determina un vector que, tenint les dues primeres components iguals a 1, es puga posar com a combinació lineal dels vectors segon i tercer de S. a) Tenemos que hallar el rango de la matriz: ( ) M = Como 0 1 = 8 0, ran (M) = Por tanto, hay tres vectores linealmente independientes en S. Unitat. Vectors en l espai 16

17 b) Sí. Si tiene sus tres componentes iguales y es no nulo, es de la forma: u = (k, k, k) con k 0. Entonces, podemos obtenerlo a partir de los dos primeros vectores de S como sigue: u = k (1, 1, 1) + 0 (0,, 1) c) Sea v(1, 1, x) el vector que buscamos. Para que se pueda poner como combinación lineal de los vectores segundo y tercero de S, tenemos que: (1, 1, x) = a (0,, 1) + b (, 0, 3) b = 1 a = 1 a 3b = x Debe tener solución: 1 1 b =, a = 1 3 = x x = = 1 x = 1 Por tanto, el vector es v (1, 1, 1). Pàgina Troba un vector u de la mateixa direcció que v (1,, 3) i tal que forme S amb w (, 4, 1) un paral lelogram d àrea u. Si u es de la misma dirección que v (1,, 3), será de la forma u(x, x, 3x), con x 0. Para que forme con w(, 4, 1) un paralelogramo de área u, ha de ser: u w = ( 10x, x, 0) = 100x + x = x 1 = ; es decir: 1x = 6 x = x = ± Por tanto, hay dos soluciones: (,, 3 ) y (,, 3 ) 40 Troba un vector v coplanari amb a (, 1, 1) i b (1, 0, 3) i ortogonal a S c (, 3, 0). Sea v(x, y, z) tal que: 1-º) es coplanario con a y b, es decir: x y z = 3x y + z = 0 -º) es ortogonal a c, es decir: (x, y, z) (, 3, 0) = x + 3y = 0 Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones: 3x y + z = 0 x + 3y = 0 3x + z = y x = 3y 9 1 z = y + 3x = y y = y 3 x = y Unitat. Vectors en l espai 17

18 Soluciones: ( 3λ, λ, λ ) (λ 0) Todos los vectores de esta forma cumplen las condiciones. Por ejemplo, para λ = 1, tenemos el vector ( 3,, 1). 41 Siguen a i b tals que a = 4 i b =, amb ( a, b) = 60. Calcula a + b S i a b. a + b = ( a + b) ( a + b) = a a + b b + a b = = a + b + a b cos ( a, b) = = cos 60 = = 8 a + b= 8 = 7 Por otra parte: a b = ( a b) ( a b) = a a + b b a b = = a + b a b cos ( a, b) = = = 1 a b= 1 = 3 4 De dos vectors u i v abem que són ortogonals i que u = 6 i v = 10. S Troba u + v i u v. Si u y v son ortogonales, entonces u v = 0. Así: u + v = ( u + v) ( u + v ) = u u + v v + u v = = u + v + 0 = = 136 u + v= ,66 u v = ( u v) ( u v) = u u + v v u v = 136 u v= ,66 Observación: Si u v, entonces forman los lados de un rectángulo con base y altura u y v. En este caso, u + v y u v son sus diagonales, que tienen el mismo módulo (por tratarse de un rectángulo). Además, para hallar la longitud de la diagonal, podemos aplicar en este caso el teorema de Pitágoras: x 6 x = x = 136 x = , Calcula l angle que formen a i b sabiendo que a = 3, b = i S a + b = 7. a + b = ( a + b) ( a + b) = a a + b b + a b = = a + b + a b cos ( a, b) = cos ( a, b) = = cos ( a, b) = 7 = 49 Unitat. Vectors en l espai 18

19 Por tanto: cos ( a, b) = = = ( a, b) = Dels vectors u i v, sabem que compleixen u+ v= a, u 3v = b, sent a (, 1, 0) i b (1, 3, 1). Troba l angle format per por u i v. u + v = a u 3 v = b u= (3a+ b ) = (7, 0, 1) = (, 0, ) v= (a b ) = (3,, 1) = (, 1, ) Por tanto: 7 u v = (, 0, ) (, 1, ) = = 7 u = ( ) 1 + ( ) = 3 v = ( ) + ( 1) 1 + ( ) = = 1 3 u + 3 v = 3 a u 3 v = b u = 3 a + b cos ( u, u v 4/ 4 v ) = = = 0,478 ( u, v ) = 61 6' 1'' u v 3/ 70 4 u + v = a u+ 3 v = b 3 v = a b QÜESTIONS TEÒRIQUES 4 Si u v = u w, podem assegurar que v= w? No. Por ejemplo, si u(3,, 0), v(, 1, 0) y w(7, 4, 0), tenemos que: u v = 1 = 13 u w = 1 8 = 13 Sin embargo, v w. u v = u w 46 Prova, utilitzant-hi el producte escalar, que si a (mb + nc). a b i a c aleshores a b a b = 0 a c a c = 0 Para demostrar que a (m b + n c ), tenemos que probar que su producto escalar es cero: Unitat. Vectors en l espai 19

20 a (m b + n c ) = m a b + n a c = m 0 + n 0 = 0 Por tanto, a (m b + n c). 47 Demostra que si a i b són dos vectors no nuls que tenen el mateix mòdul, aleshores a+ b i a b són ortogonals. Supongamos que a = b 0, entonces: ( a + b) ( a b) = a a + a b a b b b = a b = 0 (pues a = b ) Observación: Si recordamos que a + b y a b son las diagonales del paralelogramo determinado por a y b, hemos probado que las diagonales de un rombo son perpendiculares. 48 Demostra que si u, v i w són linealment independents, també ho són els vectors u+ v, u w i u v + w. Si u, v y w son linealmente independientes, entonces, si hacemos una combinación lineal de ellos y la igualamos a cero, a 1u + av+ a3w = 0, necesariamente han de ser a 1 = a = a 3 = 0. Veamos que sucede lo mismo con los vectores u + v, u w y u v + w. Consideramos una combinación lineal de ellos igualada a cero: x( u + v) + y( u w) + z( u v + w) = 0, entonces: (x + y + z) u + (x z) v + ( y + z) w = 0 Como u, v y w son linealmente independientes, entonces: x + y + z = 0 x z = 0 y + z = Pero = 3 0, luego la única solución del sistema es la solución trivial x = y = z = 0. Por tanto, los vectores u + v, u w y u v + w son linealmente independientes. 49 Justifica que qualsevol conjunt de vectors que continga el vector nul és L.D. Sea { u 1, u,, u n, 0} un conjunto de n + 1 vectores que contiene el vector nulo. Si hacemos una combinación lineal de estos vectores e igualamos a cero: (*) x 1u1 + x u + + x nun + x n + 10 = 0 tenemos infinitas soluciones para x 1, x,, x n, x n + 1 ; pues todas las soluciones de la forma (x 1, x,, x n, x n + 1 ) = (0, 0,, 0, λ) satisfacen la igualdad (*). Por tanto, son linealmente dependientes. Unitat. Vectors en l espai 0

21 0 a) Pot haver-hi dos vectors u i v tals que u v = 3, u = 1, v =? b) Si dos vectors verifiquen u v = u v, què pots dir de l angle que formen? a) u v = u v cos ( u, v ) = 1 cos ( u, v ) = cos ( u, v) = 3 cos ( u, 3 v ) = > 1 Imposible. Luego no existen dos vectores que cumplan estas condiciones. b) Si u v = u v u + u vcos ( u, v) v = u vcos ( u, v) u v= u vcos ( u, v) cos ( u, v ) = 1 ( u, v ) = 0 u v= u vcos ( u, v) cos ( u, v) = 1 ( u, v ) = 180 Por tanto, u y v tienen la misma dirección. 1 Justifica per què el producte mixt dels vectors a, b i a + b és igual a 0 qualssevol que siguen a i b. Los vectores a, b y a + b son coplanarios; luego el volumen del paralelepípedo determinado por ellos (que coincide con su producto mixto en valor absoluto) es cero. Si u v = 0 sent u 0 i v 0, com són entre si els vectors u i v? Sabemos que u v = u v sen ( u, v). Si u v = 0, u 0 y v 0, entonces ha de ser sen ( u, v) = 0. Es decir, ( u, v) será 0 ó 180. Por tanto, los vectores u y v tendrán la misma dirección. 3 Si a b = a c, és b = c necessàriament? Posa n exemples. No. Por ejemplo, si consideramos a(1,, 3), b(, 4, 6) y c(3, 6, 9), entonces: a b= 0 a c = 0 a b = a c, pero b c. 4 Siguen a, b, c tres vectors linealment independents. Indica raonadament S quin o quins dels següents productes mixtos valen 0: [ a + c, a c, a + b + c ], [ a + c, b, a + b ], [ a c, b c, c a] Unitat. Vectors en l espai 1

22 Si a, b, c son tres vectores linealmente independientes de Á 3, forman una base. Así, las coordenadas respecto a esta base de los vectores a+ c, a c y a + b + c son: (1, 0, 1), (1, 0, 1) y (1, 1, 1), respectivamente Como [ a+ c, a c, a + b + c] 0 Análogamente: = 0 Son linealmente independientes = 1 0 [ a+ c, b, a + b] = 0 [ a c, b c, c a] = PER A PENSAR UN POC MÉS Les tres altures, AH A BH B CH C d un triangle ABC es tallen en un punt. Hi ha una bonica forma de demostrar-ho per geometria elemental. El triangle A B C està format amb els costats paral lels als de ABC. Els vèrtexs d aquest són els punts mitjans d aquell. Per tant, AH A, BH B i CH C són les mediatrius dels costats de A'B'C'. Organitza i completa el raonament anterior per a concloure que AH A, BH B, CH C es tallen en un punt. Sea P el punto de corte de AH A y BH B. Entonces: 1) Como AH A es la mediatriz del lado B'C', P está a igual distancia de B' que de C'. ) Como BH B es la mediatriz del lado A'C', entonces P está a igual distancia de A' que de C'. Por tanto, uniendo 1) y ), tenemos que P está a igual distancia de A' que de B'; es decir, P también pertenece a la mediatriz del lado A'B', esto es, a CH C. Luego hemos probado que las tres se cortan en el mismo punto. 6 La propietat anterior pot demostrar-se, també, mitjançant vectors. Anomenem H el punt en què es tallen AH A i BH B. a) Justifica que HA ( HC HB) = 0 HB ( HC HA) = 0 b) De les igualtats anteriors s arriba a: HC ( HB HA) = 0 i d ací es conclou que HC AB i, per tant, que les tres altures es tallen en H. (Justifica les afirmacions anteriors). Unitat. Vectors en l espai

23 a) HC HB = BC; y, como AH A BC AH A BC Análogamente, como b) HC ( HB HA) = HC = es la altura correspondiente al lado BC, entonces: HA HA BC = 0 HC HA = AC, tenemos que: HB HA ( HC HB) = 0 HC HA = HB HC HA HC (1) = HB HC HA HB = HB ( HC HA) = HB ( HC HA) = 0 () 0 (1) HA HC HA HB = 0 () HB ( HC HA) = 0 HA HC = HA HB Por tanto, si HC ( HB HA) = 0, como HB HA = AB, entonces HC AB; luego H también pertenece a la altura correspondiente al vértice C. Así, las tres alturas se cortan en el mismo punto, H. Unitat. Vectors en l espai 3