Guía de asignatura. Información general. Cálculo II. Asignatura. Código. Tipo de asignatura Obligatoria X Electiva. Obligatoria profesional

Transcripción

1 Guía de asignatura Formato institucional Rev. Abril 2013 Información general Asignatura Código Cálculo II Tipo de asignatura Obligatoria X Electiva Tipo de saber Básico X Obligatoria profesional Obligatoria complementaria Número de créditos 4 Tipo de crédito Horas de trabajo con acompañamiento directo del profesor A 64 Horas de trabajo independiente del estudiante 128 Total de horas 192 Prerrequisitos Cálculo I Correquisitos Horario Salón Profesor Profesor auxiliar o monitor Nombre Correo electrónico Lugar y horario de atención Página web Nombre Correo electrónico Lugar y horario de atención Página web Norma Constanza Sarmiento Benavides Normac.sarmiento@urosario.edu.co

2 Resumen y propósitos de formación del curso RESUMEN Este curso generalizará al caso de varias variables las nociones de derivada e integral introducidas en el curso de Calculo I PROPÓSITOS DE FORMACIÓN DEL CURSO Los conceptos básicos del Cálculo, así como sus aplicaciones son herramientas fundamentales en diversas áreas de la economía, dentro de las cuales sobresalen la microeconomía y macroeconomía. Por esta razón es fundamental dotar a los estudiantes con bases muy sólidas en esta área de la matemática, lo cual permitirá solucionar problemas aplicados a la economía. ASISTENCIA AL CURSO Con el propósito de afianzar el modelo pedagógico contemplado en el Proyecto Educativo Institucional y promover un rendimiento académico óptimo, es necesario asegurar un espacio de interacción entre estudiantes y profesores que facilite la reflexión y el debate académico en tormo al conocimiento. En este sentido, se valora la participación en las actividades académicas y esta se considera como un deber y un derecho del estudiante. (Artículo 48 Reglamento Académico). PROCESOS DISCIPLINARIOS-FRAUDE EN EVALUACIONES Teniendo en cuenta el reglamento formativo-preventivo y disciplinario de la Universidad del Rosario, y la certeza de que las acciones fraudulentas van en contra de los procesos de enseñanza y aprendizaje, cualquier acto corrupto vinculado a esta asignatura será notificado a la secretaría académica correspondiente de manera que se inicie el debido proceso disciplinario. Se recomienda a los estudiantes leer dicho reglamento para conocer las razones, procedimientos y consecuencias que este tipo de acciones pueden ocasionar, así como sus derechos y deberes asociados a este tipo de procedimientos.

3 Temas Tema 1: Integrales Áreas entre curvas, Sustitución trigonométrica, Fracciones parciales, Integrales impropias. Tema 2: Preliminares La notación sigma, Distancia euclidiana, Vectores, Norma de un vector, Vectores ortogonales, Producto interior y producto vectorial. Nociones topológicas básicas: representación de las vecindades, las bolas abiertas. Puntos aislados interiores, exteriores y frontera. Los conjuntos abiertos, cerrados, acotados y compactos. Tema 3: Sucesiones y series infinitas Sucesiones, sus límites. Las series numérica, convergencia y convergencia absoluta, los criterios de convergencia. Las series de potencia, su uso en la representación de funciones. Los polinomios de Taylor. Las series de Taylor y McLaurin. Tema 4: Funciones escalares Los campos escalares, su representación gráfica, las trazas y las curvas de nivel, Límites y continuidad, Derivadas parciales, Plano tangente y aproximación lineal, El diferencial, Regla de la cadena, Derivadas direccionales y el vector gradiente, Plano tangente a una superficie de nivel, Significado del gradiente, Funciones homogéneas y homotéticas. Tema 5: Optimización de un campo escalar Optimización en dos variables, máximos y mínimos absolutos y relativos. Los puntos críticos. La determinación de extremos absolutos: El teorema de Weierstrass. Condiciones necesarias de primer orden para la existencia de extremos. La identificación de máximos y mínimos en un conjunto compacto. Condiciones de segundo orden para la determinación de extremos relativos. Conjuntos convexos, Funciones cóncavas y convexas, Epígrafo e hipógrafo. Condiciones necesarias y suficientes de extremos absolutos utilizando la noción de concavidad. Test de la derivada segunda para concavidad y convexidad. Condiciones suficientes de extremos globales. La matriz hessiana. Funciones cuasi cóncavas y cuasi convexas, criterio de cuasi concavidad. Optimización con restricciones de igualdad, el método de los multiplicadores de Lagrange. El teorema de Lagrange. Condiciones suficientes para la existencia de extremos condicionados.

4 Tema 6: La integral de Riemann para funciones escalares Integrales dobles sobre rectángulos, Las integrales iteradas, Integrales dobles sobre regiones más generales. Integrales dobles en coordenadas polares. Los cambios de variables en las integrales dobles. Tema 7: Ecuaciones Diferenciales Nociones, Ecuaciones Diferenciales Separables, Ecuaciones Diferenciales Lineales de primer y Segundo orden, Ecuaciones Diferenciales No Homogéneas. Resultados de aprendizaje esperados (RAE) 1. Aplicar las diferentes técnicas de integración en el cálculo de integrales en las situaciones estudiadas. 2. Calcular integrales impropias. 3. Analizar la convergencia de las series numéricas. 4. Identificar la importancia de las series de potencias en los problemas de aproximación de los valores de las funciones, analizar su convergencia. 5. Optimizar un campo escalar con y sin restricciones. 6. Calcular Integrales Dobles. Actividades de aprendizaje Exposiciones, talleres, quices y lecturas adicionales. Tutorías y ejercicios para resolver fuera de clase. El estudiante debe leer con anterioridad a la clase el tema que se va a tratar. Es obligación del estudiante: Utilizar los medios a su alcance (Sala Nash, monitorias, etc.) y hacer lo posible para lograr el objetivo principal: APRENDER!

5 Estudiar los temas asignados y preparar los ejercicios PARA LA CLASE CORRESPONDIENTE. Actividades de evaluación Tema Actividad de evaluación Porcentaje Sugerencia de Estructura para la evaluación (contenidos y/o tipos de preguntas) Parcial 1: Examen escrito Septiembre 5 de Área entre Curvas Sustitución Trigonométrica. Fracciones Parciales Integrales Impropias Nociones topológicas Introducción Series Parcial 2: Examen escrito Octubre 3 de Criterio de Convergencia. Series de Potencias Serie de Taylor y Maclaurin Derivadas Parciales y Regla de la Cadena Parcial 3: Examen escrito Noviembre 7 de Funciones Homogéneas Optimización Proyecto Ecuaciones Diferenciales Examen final: todos los temas Quices y trabajos Entrega Trabajo y Sustentación. Examen escrito Noviembre 28 de Evaluación sistemática Problema del área de Economía con aplicación de las ecuaciones diferenciales. Nota: El Departamento de Matemáticas no exime del examen final a ningún estudiante por lo que todas las personas matriculadas en sus asignaturas deben presentarlo obligatoriamente.

6 Programación de actividades por sesión Fecha Semana Actividad 1 Tema Contenidos Ejercicios tipo según contenidos Trabajo independiente del estudiante Recursos que apoyan la actividad 6.1 Áreas entre curvas B1: 6.1: 1-4, 6, 9, 19, 21, 26, 28, 30, 31, 48, 49, Sustitución trigonométrica B1:7.3: 5, 6, 18, 20, 25, 39, Fracciones parciales B1:7.4: 3, 4, 11, 14, 20-23, 28, Fracciones parciales Integrales impropias B1: 7.8: 1, 2, 15, 22, 31, 55, 57, 58 La notación sigma. Distancia euclidiana. Vectores. Norma de un 6 vector. Vectores Planteados por el Docente ortogonales. Producto interior y producto 1 vectorial. Nociones topológicas básicas: representación de las vecindades, las bolas abiertas. Puntos 7 aislados interiores, Planteados por el Docente exteriores y frontera. Los conjuntos abiertos, cerrados, acotados y compactos. 8 Sucesiones B1: (11.1) 3,49,10,17,18, 19,2022,24,27,28 9 Series B1: (11.2) 3,8,9,11,15,20,21,22,23 Taller Nash Taller Pre Parcial 10 PRIMER PARCIAL Criterio de la integral. Pruebas de comparación y series alternantes Convergencia absoluta. Pruebas de la razón y de la raíz B1: (11.3)3,4,5,6,7,11,12, B1: (11.4)3,4,5,6,7,8,9,10,11,14,27,30, B1: (11.5) 2,3,45,6,7,9,13,20 B1: (11.6) 2,3,4,7,9 13 Taller Criterios de 2 Convergencia Series de potencias. B1: (11.8) 3,4,5,6,7,10 / (11.9) 3,4,5,6 Representación de 14 funciones como series de potencias. Derivación e integración de series

7 de potencia Series de Taylor y de MacLaurin Los campos escalares, su representación gráfica, las trazas y las curvas de nivel. Derivadas parciales. Teorema de Clairaut. Plano tangente y aproximación lineal. El diferencial (mencionar Límites y continuidad de funciones) Regla de la cadena para campos escalares. Derivada direccional y vector gradiente. Plano tangente a una superficie de nivel. Significado del gradiente B1: (11.10) 2a,5,6,79,10,13,14,15,18,29,31 B1: (14.1) 6,7,11,12,13,21,22,23,27,30 (a,b,e),32,35,38,39,43,40,45,74, B1:(14.3) 5,6,13,15,21,31,18,39,45,46,61,65,67 (14.4) 1,,2,3,11,12,17,19,25,26,31 Relacionado con Limites y continuidad (B1 (14.2) 5,7,29,31,33) B2: (14.5) 1,2,7,8,9,10,21,22 (14.6) 4,5,7,11,12,21,22,28 Taller Nash Taller Pre Parcial SEGUNDO PARCIAL Funciones homogéneas (mencionar funciones homotéticas). Definiciones formales y ejemplo gráfico: Conjuntos convexos, Funciones cóncavas y convexas. Epígrafo e hipógrafo. Funciones cuasicóncavas y cuasi convexas, criterio de cuasi concavidad Optimización en dos variables, máximos y mínimos absolutos y relativos. Los puntos críticos. El teorema de Weierstrass. Condiciones necesarias de primer orden para la existencia de extremos. La identificación de máximos y mínimos en un conjunto compacto. Condiciones de segundo orden para la determinación de extremos relativos Condiciones necesarias y suficientes de extremos absolutos utilizando la B2: (16.5):1,2,3,4,5 B2: (17.6) 1 B2: (17.10) 1 B2: (17.1) 1,2,3 (17.3) 1,2,3 B2 (17.8) 1,3, 4, 8, 9

8 noción de concavidad. Test de la derivada segunda para concavidad y convexidad. Condiciones suficientes de extremos globales. La matriz hessiana Optimización con restricciones de igualdad, el método de los multiplicadores de Lagrange. El teorema de Lagrange Condiciones suficientes para la existencia de extremos condicionados B2: (18.2) 1,3 B2: (17.4) 1,2,3, Integrales dobles sobre un rectángulo, volúmenes, integrales iteradas, Integrales dobles sobre regiones generales Ejercicios Integrales Dobles B1: (15.1) 5,6 (15.2)1,2,3,4,59,10,12 (15.3) 1,2,7,8,9,11,13,14,18 Taller Nash Taller Pre Parcial TERCER PARCIAL Cambio de variables en integrales dobles. El jacobiano Ejemplo de un caso particular: coordenadas polares Modelado con ecuaciones diferenciales. Ecuaciones diferenciales generales. B1: (15.9) 1,2,7,8,11,12,13 B1: (9.1) 1,2,3,4,5 (9.2) 1,2,11,13,14a,21 29 Ecuaciones Separables B1: (9.3) 1,2,3,4,9, 11,12,14,16 30 Ecuaciones lineales B1: (9,5) 1,2,3,4,5,5,7,815,16, Ecuaciones lineales de segundo orden Ecuaciones lineales no homogéneas: Coeficientes Indeterminados B1: (17.1)1,2,5,12,18,19 B1: (17.2)1,2,3,6,7,8 Taller Nash Entrega Proyecto Taller Pre Parcial

9 Bibliografía B1. James Stewart. CALCULUS Early Transendentals 6ª. Ed.. Brooks/Cole Pub Co Bibliografía complementaria B2. Sydsaeter, K y Hammond, P. Matematicas para el análisis económico. Prentice Hall Segunda Edición. Escobar, D. Economía Matemática. Ediciones Uniandes 2001 Acuerdos de funcionamiento (Reglas de juego) Debe consultar: Institucionales/ur/Reglamentos/Reglamento-Academico-de-Pregrado/