PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA: MODELOS DE OPTIMIZACIÓN

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1 PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA: MODELOS DE OPTIMIZACIÓN Begoña Vtorao Facultad CC. Matemátcas, Uversdad Complutese, Pza. Cecas 3, Madrd

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3 ÍNDICE I. OPTIMIZACIÓN... I.. INVESTIGACIÓN OPERATIVA Y OPTIMIZACIÓN... I.2. REFERENCIAS... 8 II. MODELOS DE PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA... 9 II.. MODELO Y MODELADO... 9 II.2. ETAPAS EN EL DESARROLLO DE UN MODELO... 0 II.3. REFERENCIAS... 4 III. FORMULACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN... 5 III.. MODELOS CARACTERÍSTICOS DE PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA... 5 III... Problema de la deta... 5 III..2. Problema de trasporte... 8 III..3. Problema de trasbordo III..4. Problema de asgacó III..5. Problema de la mochla (kapsack) III..6. Problema de recubrmeto (set coverg) III..7. Problema de empaquetado (set packg) III..8. Problema de partcó (set parttog) III..9. Problema del vaate de comerco (Travelg Salesma Problem TSP).27 III..0. Problema de coste fo III... Modelado de restrccoes co varables baras III... Modelado de dsyucoes III...2. Modelado de mplcacoes lógcas... 3 III...3. Modelado de proposcoes codcoales y/o compuestas III...4. Modelado de productos co varables baras III..2. Ua aplcacó: Modelo de asgacó de grupos térmcos III..3. Problemas de produccó co elastcdad e los precos y/o costes III..4. Problema de trasporte co descuetos por volume III..5. Seleccó de ua cartera de versoes III..6. Problemas de sstemas de eergía eléctrca /02/200

4 III.2. REFERENCIAS...50 III.3. BIBLIOTECA DE PROBLEMAS...5 III.4. RESULTADOS DE LA BIBLIOTECA DE PROBLEMAS...69 IV. CODIFICACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN...89 IV.. LENGUAJES DE MODELADO...89 IV... Leguaes de modelado...89 IV..2. Leguaes algebracos de modelado...92 IV..3. Referecas...94 IV.2. CASOS DE ESTUDIO CON EXCEL...95 IV.2.. Caso Eemplo...95 IV.2.2. Caso : Dstrbucó de gasóleo...0 IV.2.3. Caso 2: Coductores de metro...02 IV.2.4. Caso 3: Produccó...03 IV.3. MODELADO EN GAMS...05 IV.3.. Eemplo de trasporte...05 IV.3.2. Eemplo de plafcacó de la produccó...0 IV.3.3. Eemplo de secuecacó de órdees de trabao...2 IV.3.4. Eemplo del vaate de comerco...3 IV.3.5. Eemplo de asgacó de grupos térmcos...6 IV.3.6. Eemplo de fluo de cargas óptmo...20 IV.4. ELEMENTOS DE ESTILO DE PROGRAMACIÓN...29 IV.4.. Geerales...29 IV.4.2. Específcos de GAMS...40 IV.4.3. Referecas /02/200

5 MODELOS DE OPTIMIZACIÓN I. Optmzacó I.. Ivestgacó operatva y optmzacó I the last decade, ew advaces algorthms have bee as mportat as the mpressve advaces computer techology George L. Nemhauser (994). The techology mprovemets algorthms, modelg laguages, software, ad hardware have made the methodology accessble, easy to use, ad fast. So the Age of Optmzato has arrved George L. Nemhauser (994). Defr el térmo vestgacó operatva (operatos research e glés de USA u operatoal research e glés de UK) o es ua tarea fácl ya que su evolucó permaete hace que sea dfícl dar co precsó ua defcó. La vestgacó operatva se puede defr como la aplcacó de métodos cetífcos e la meora de la efectvdad e las operacoes, decsoes y gestó, ver [Robso, 999] o como la ceca de aplcar los recursos dspobles para cosegur la satsfaccó óptma de u obetvo específco deseado. Otra defcó más etesa es la sguete: la vestgacó operatva es la aplcacó, por grupos terdscplaros, del método cetífco a los problemas compleos producdos e la dreccó y gestó de grades sstemas de hombres, máquas, etc. La prcpal característca cosste e costrur u modelo cetífco del sstema del cual se puede predecr y comparar los resultados de dversas estrategas, decsoes, corporado meddas del azar y del resgo. El obetvo es ayudar a los resposables a determar su polítca y actuacoes e forma cetífca. E este setdo també se puede utlzar como sómos maagemet scece o aálss de las decsoes. Los profesoales de la vestgacó operatva colabora co los decsores e el dseño y meora de las operacoes y decsoes, resuelve problemas y ayuda e las 8/02/200

6 I OPTIMIZACIÓN fucoes de gestó, plafcacó o predccó, aporta coocmeto y ayuda e la toma de decsoes. Aplca las téccas cetífcas más adecuadas seleccoadas de la matemátca, geería o cualquer ceca socal o de admstracó de empresas. Su trabao ormalmete cosste e recoger y aalzar datos, desarrollar y probar modelos matemátcos, propoer solucoes o recomedacoes, terpretar la formacó y, e deftva, ayudar a mplatar accoes de meora. Como resultado desarrolla e mplata aplcacoes formátcas, sstemas, servcos téccos o productos. La vestgacó operatva tee sus orígees e la Seguda Guerra Mudal, debdo a la ecesdad urgete de asgacó de recursos escasos e las operacoes mltares, e problemas táctcos y estratégcos. Estas msmas téccas se ha eteddo co posterordad a las empresas. Dscplas típcas de la vestgacó operatva so la optmzacó co sus múltples sabores (leal, o leal, etera, estocástca, multobetvo), teoría de la decsó y de uegos, teoría de colas y smulacó, teoría de grafos o fluos de redes. Otras dscplas como algortmos metaheurístcos y lógca borrosa, redes euroales artfcales, recoocmeto de patroes y otras téccas de telgeca artfcal, auque coceptualmete se ecuadra detro de la vestgacó operatva, habtualmete se estuda detro de otras dscplas lgadas a la geería formátca como la telgeca artfcal. Los cotedos de alguas de estas últmas dscplas també está muy lgados a la estadístca. La optmzacó es ua parte relevate detro de la vestgacó operatva. Tuvo u progreso algorítmco cal muy rápdo. Muchas téccas programacó leal (lear programmg) LP, programacó dámca (dyamc programmg) DP so aterores a 960. Por eemplo, el método Smple de programacó leal debdo a Datzg 2 es de 947, el prcpo de optmaldad de Bellma base de la programacó dámca se E castellao la traduccó de esta palabra es símplce pero o es habtual su uso para deomar este método de optmzacó leal. 2 E se puede ecotrar u resume de sus logros así como ua etrevsta sobre dversos temas, cluyedo mágees e vídeo. 2 8/02/200

7 MODELOS DE OPTIMIZACIÓN formuló e 957. E la últma década se ha producdo avaces sgfcatvos geerados por el desarrollo e 984 por parte de Karmarkar de u método de puto teror para programacó leal. Por eemplo, e ua ota técca de ILOG se preseta que desde su optmzador CPLEX 3.0 e 994 a CPLEX 7.0 e 2000 la reduccó de tempo de resolucó ha sdo de 28 veces e el método smple dual para u problema leal cocreto. Para otro caso se observa ua meora global, de software y algorítmca, de 0000 veces etre la versó de CPLEX.0 de 988 y la 7.0 del Como refereca, se estma que la meora e el redmeto del hardware ha sdo del msmo orde de magtud. S tomamos coutamete ambas meoras hoy se puede resolver problemas e segudos que habría tardado años e ser resueltos hace ua docea de años. Estos avaces ha sdo ta mportates como los realzados e el campo de la formátca, segú la opó de George L. Nemhauser uo de los epertos actuales e programacó etera, y se ha producdo acompasadamete co ellos. Hoy es posble resolver u problema LP de ecuacoes co varables y de elemetos o ulos e la matrz de restrccoes e u PC co sufcete memora prcpal. Apromadamete, para u problema LP se puede decr que se requere MB de memora prcpal por cada 000 ecuacoes. El estlo de este documeto es emetemete aplcado, práctco, geerl, a caballo etre ua vsó matemátca de los problemas y de los algortmos y la vsó ecoómca o de gestó empresaral de alguas de sus aplcacoes. Este documeto trata de eplcar sufcetemete los fudametos matemátcos como para permtr desarrollar aplcacoes de optmzacó de maera rgurosa y precsa. Al msmo tempo, se preseta alguas aplcacoes a problemas cocretos de geería. Al fal del capítulo se cta alguos lbros geerales o de refereca de vestgacó operatva que puede servr de cosulta o como teto para u vel de pregrado y postgrado. Luego, e cada capítulo se dca además referecas específcas de los dferetes temas. Detro de los lbros geerales, [Hller y Leberma, 2002] es u lbro clásco de vestgacó operatva muy amplamete utlzado que compeda umerosos temas y tee ua oretacó geerl. [Taha, 998] preseta los temas co ua oretacó más matemátca metras que [Wsto, 994] los preseta co ua 8/02/200 3

8 I OPTIMIZACIÓN perspectva más de admstracó de empresas. [Saraba, 996] da ua base teórca sufcete para poder resolver ua coleccó de problemas relacoados co el temaro de vestgacó operatva. Etre las revstas prcpales que trata sobre optmzacó se puede clur: Iterfaces, Operatos Research, Maagemet Scece, Europea Joural of Operatoal Research, Mathematcs of Operatos Research, OR/MS Today, Mathematcal Programmg, INFORMS Joural o Computg, Joural of the Operatoal Research Socety, Omega, Joural of Optmzato Theory ad Applcatos, Trasportato Scece, Trasportato Research. Este ua ecclopeda de vestgacó operatva que puede servr como cosulta cal y refereca de u tema específco, ver [Gass, 200]. Además se puede ecotrar formacó sobre los temas de vestgacó operatva e las dreccoes de la Socedad Española de Estadístca e Ivestgacó Operatva (SEIO) ( de la Assocato of Europea Operatoal Research Socetes (EURO) ( de la Iteratoal Federato of Operatoal Research Socetes (IFORS) ( y del Isttute for Operatos Research ad the Maagemet Sceces (INFORMS) ( La optmzacó cosste e la seleccó de ua alteratva meor, e algú setdo, que las demás alteratvas posbles. Es u cocepto herete a toda la vestgacó operatva. S embargo, determadas téccas propas de la vestgacó operatva se recoge bao el ombre de optmzacó o programacó matemátca, e los que se platea modelos que se compoe geeralmete de estos tres gredetes: fucó obetvo Es la medda cuattatva del fucoameto del sstema que se desea optmzar (mamzar o mmzar). Como eemplo de fucoes obetvo se puede mecoar: la mmzacó de los costes varables de operacó de u sstema eléctrco, la mamzacó de los beefcos etos de veta de certos productos, la mmzacó del cuadrado de las desvacoes co respecto a uos valores observados, la mmzacó del materal utlzado para fabrcar de u producto, etc. 4 8/02/200

9 MODELOS DE OPTIMIZACIÓN varables Represeta las decsoes que se puede tomar para afectar el valor de la fucó obetvo. Desde u puto de vsta fucoal se puede clasfcar e varables depedetes o prcpales o de cotrol y varables depedetes o aulares o de estado, auque matemátcamete todas so guales. E el caso de u sstema eléctrco será los valores de produccó de los grupos de geeracó o los fluos por las líeas. E el caso de la veta, la catdad de cada producto fabrcado y veddo. E el caso de la fabrcacó de u producto, sus dmesoes físcas. restrccoes Represeta el couto de relacoes (epresadas medate ecuacoes e ecuacoes) que certas varables está oblgadas a satsfacer. Por eemplo, las potecas máma y míma de operacó de u grupo de geeracó, la capacdad de produccó de la fábrca para los dferetes productos, las dmesoes del materal bruto del producto, etc. Resolver u problema de optmzacó cosste e ecotrar el valor que debe tomar las varables para hacer óptma la fucó obetvo satsfacedo el couto de restrccoes. Los métodos de optmzacó los podemos clasfcar e: métodos cláscos (que so los algortmos que habtualmete se eplca e los lbros de optmzacó) y métodos metaheurístcos (que aparecero lgados a lo que se deomó telgeca artfcal e mta feómeos secllos observados e la aturaleza). Detro de los prmeros se ecuetra la optmzacó leal, leal etera mta, o leal, estocástca, dámca, etc. que se eplca e el documeto. E el segudo grupo se cluye los algortmos evolutvos (geétcos etre otros), el método del recocdo smulado (smulated aealg), las búsquedas heurístcas (método tabú, búsqueda aleatora, avarcosa, etc.) o los sstemas multagete. De forma muy geeral y apromada se puede decr que los métodos cláscos busca y garatza u óptmo local metras que los métodos metaheurístcos tee mecasmos específcos para alcazar u óptmo global auque o garatza su alcace. 8/02/200 5

10 I OPTIMIZACIÓN E la sguete tabla se muestra las epresoes matemátcas geerales de alguos tpos de problemas de optmzacó detro de los métodos cláscos. Los problemas se dstgue por el carácter de las fucoes que tervee (leales o o leales) y de las varables (reales/cotuas o eteras/dscretas). Programacó leal (lear programmg) LP Programacó leal etera mta (med teger programmg) MIP Programacó cuadrátca (quadratc programmg) QP Programacó o leal (o lear programmg) NLP T m c A = b 0 m, c, A, b T T m c + d y A + By = b y, 0 l, y, c, d A, B, b m m l m T T m c + Q 2 A = b 0, c, A Q m m f( ) gh, :, b g ( ) = 0 h ( ) 0 l u f : Este decsoes que o puede ser represetadas de forma adecuada medate varables cotuas. Por eemplo, las decsoes de versó so varables dscretas (por eemplo, plafcacó de la epasó de la geeracó o de la red, adquscó de equpos sgulares, cotratacó de persoas) o baras (como localzacó de platas o almacees). Los problemas leales co varables eteras se puede clasfcar e: programacó etera pura PIP (pure teger programmg) s todas las varables so m m l m 6 8/02/200

11 MODELOS DE OPTIMIZACIÓN eteras, programacó etera bara BIP (bary teger programmg) s todas so baras o programacó leal etera mta MIP (med teger programmg) s alguas so eteras o baras y el resto cotuas. U caso partcular, pero muy frecuete, de varables eteras so las varables baras (0/), ya que permte modelar codcoes de asgacó o codcoes lógcas. Por otra parte, toda varable etera se puede epresar como suma de varables baras y, dode N 2 = 0 N N+ estado u compredda e el tervalo 2 u 2. = y sedo u ua cota superor de, 0 u, y Este alguos tpos de problemas de optmzacó que altera lgeramete este esquema: sstemas de ecuacoes leales o leales No este ua fucó obetvo como tal. Úcamete teresa ecotrar ua solucó factble a u problema co u couto de restrccoes. optmzacó s restrccoes Se trata de ecotrar el couto de valores de las varables que determa el mímo/mámo de ua fucó. Alguas de las téccas que se verá e programacó o leal so para optmzacó s restrccoes. optmzacó multobetvo Este más de ua fucó obetvo. El problema que se platea es cómo tratar varas fucoes obetvo a la vez, teedo e cueta que el óptmo para u obetvo o lo es para otro, so obetvos e coflcto etre sí. Ésta se emarca detro de lo que se cooce de forma más geeral como decsó multcrtero (multcrtera decso makg MCDM). La formulacó matemátca de alguos problemas de optmzacó especales por o clur alguo de los compoetes se preseta e la sguete tabla. 8/02/200 7

12 I OPTIMIZACIÓN Problema mto complemetaro (med complemetarty problem) MCP F( ) = 0 F : Optmzacó o leal s restrccoes m f ( ) f : Auste o leal mímo cuadrátco Programacó multobetvo (multobectve programmg) I.2. Referecas m( f ( ),..., f ( )) A = b 0 m, c, A, b f ( ): k m Gass, S.L. ad Harrs, C.M. (eds.) (200) Ecyclopeda of Operatos Research ad Maagemet Scece. Ceteal Edto. Kluwer Academc Publshers. Hller, F.S., Leberma, G.J. (2002) Ivestgacó de Operacoes. 7ª edcó. McGraw Hll. Robso R. (999) Welcome to OR Terrtory OR/MS Today pp August. Saraba, A. (996) La Ivestgacó Operatva. Uversdad Potfca Comllas. Taha, H.A. (998) Ivestgacó de operacoes. Ua troduccó. Pretce Hall. Wsto, W.L. (994) Ivestgacó de Operacoes. Aplcacoes y Algortmos. Grupo Edtoral Iberoamercaa. 8 8/02/200

13 MODELOS DE OPTIMIZACIÓN II. Modelos de Programacó Matemátca II.. Modelo y modelado Modelo. Esquema teórco, geeralmete e forma matemátca, de u sstema o de ua realdad complea (por eemplo, la evolucó ecoómca de u país), que se elabora para facltar su compresó y el estudo de su comportameto. DICCIONARIO DE LA LENGUA ESPAÑOLA. REAL ACADEMIA ESPAÑOLA. U modelo es ua represetacó matemátca smplfcada de ua realdad complea. Modelar es la accó de costrur u modelo, de ecorsetar la realdad. Implca la relacó etre dos fguras (o ecesaramete ecaradas por persoas úcas so por equpos): el modelador (ecargado de la especfcacó y desarrollo del modelo) y el eperto sobre la realdad (coocedor del problema real). La mayoría de las veces, el desarrollo de u modelo puede volucrar a u equpo multdscplar compuesto por matemátcos, estadístcos, geeros, ecoomstas, pscólogos, etc. que aporta dferetes perspectvas y coocmeto e la represetacó de la realdad. U modelo debe equlbrar la ecesdad de cotemplar todos los detalles co la factbldad de ecotrar téccas de solucó adecuadas. U modelo es, e deftva, ua herrameta de ayuda a la toma de decsoes. Por esta razó, sus resultados debe ser telgbles y útles. Modelar se puede eteder smultáeamete como ceca y como arte. Es ua ceca pues se basa e u couto de procesos estructurados: aálss y deteccó de las relacoes etre los datos, establecmeto de suposcoes y apromacoes e la represetacó de los problemas, desarrollo o uso de algortmos específcos de solucó. Es u arte porque materalza ua vsó o terpretacó de la realdad o sempre de maera uívoca. Cada persoa mprme su estlo e el modelo msmo y e la especfcacó, e el desarrollo y e la documetacó. Característcas tales como elegaca o smplcdad 8/02/200 9

14 II MODELOS DE PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA puede atrburse a u modelo. El desarrollo de u modelo es ua creacó hecha co ayuda de cecas báscas o herrametas de apoyo. Etre los beefcos eplíctos o mplíctos, tato para el modelador como para el eperto, dervados del proceso de modelado además del modelo e sí msmo, se puede mecoar: Ayuda a establecer u dálogo co tercambo de formacó etre el modelador y el eperto Orgaza los datos, la formacó dspoble sobre el sstema Orgaza, estructura y meora la compresó del sstema Iteralza la estructura orgazatva de la empresa Permte compartr supuestos y resultados etre el modelador y el eperto Proporcoa u etoro ágl para el aálss y la sesbldad Idca la dreccó de meora e las decsoes E este capítulo se tratará eclusvamete de modelos de optmzacó, es decr, aquellos dode este u couto de varables de decsó que debe mamzar/mmzar ua fucó obetvo sometdas a u couto de restrccoes. Los modelos de programacó leal so más utlzados que todos los otros tpos de optmzacó utos y abarca cualquer tpo de actvdad humaa como mcro y macroecoomía, fazas, marketg, ecoomía de la eergía, orgazacó de la produccó, plafcacó de la operacó, seleccó de procesos, asgacó de tareas, geería químca, forestal, agróoma, comerco teracoal, desarrollo ecoómco, etc. Como referecas geerales de modelado de problemas de optmzacó que se puede utlzar e la eseñaza de pregrado o postgrado cabe ctar a [Schrage, 997] y [Wllams, 999]. II.2. Etapas e el desarrollo de u modelo Las etapas que compoe el cclo de vda de u modelo so las sguetes: 0 8/02/200

15 MODELOS DE OPTIMIZACIÓN Idetfcacó del problema Cosste e la recoleccó y aálss de la formacó relevate para el problema, e el tercambo de formacó etre el modelador y el eperto, e establecer ua relacó smbótca y ua estrecha coordacó etre ambos. Los problemas reales suele estar defdos e térmos vagos e mprecsos. Se debe hacer la tarea de traduccó o terpretacó e frases precsas, covertbles e ecuacoes matemátcas. E esta etapa se establece y documeta los supuestos realzados que e etapas posterores deberá ser valdados. Esta etapa es fudametal para que las solucoes proporcoadas, las coclusoes obtedas sea útles, las decsoes adoptadas sea correctas. Los datos suele ser vtales para cosegur u realsmo o aplcabldad e las solucoes. A meudo represeta el cuello de botella del proceso de modelado. Especfcacó matemátca y formulacó Escrtura matemátca del problema de optmzacó, defedo sus varables, sus ecuacoes, su fucó obetvo, sus parámetros. E esta etapa se aalza el tamaño del problema, la estructura de la matrz de restrccoes, su tpo (LP, MIP, NLP). Es ua etapa de creacó dode se debe prestar especal atecó a la precsó e la formulacó y a la escrtura de las ecuacoes que descrbe el problema. E LP la eleccó de ua formulacó de u problema, auque mportate, o afecta de maera sgfcatva la resolucó del msmo. S embargo, e NLP o MIP la eleccó de la formulacó es crucal. Puede estr dversas alteratvas de modelado que afecta de maera fudametal e la resolucó del msmo, estedo u desarrollo cada vez mayor e la reformulacó de problemas. E problemas MIP la caldad de ua formulacó se mde por la cercaía etre la evoltura covea del poledro de solucoes eteras factbles y la del poledro del problema MIP relaado lealmete. E el apartado I se eplca e más detalle alguas téccas de reformulacó de problemas MIP. 8/02/200

16 II MODELOS DE PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA La caracterzacó de u problema LP segú su tamaño resulta dfícl y ha sufrdo u gra cambo desde los recetes desarrollos de algortmos smple meorados y, sobre todo, desde la aparcó de los métodos de puto teror. E la tabla. se propoe ua clasfcacó de tpos de problemas LP segú su tamaño. Esta clasfcacó debe ser tomada como guía o refereca relatva actual pero tégase e cueta que los tamaños relatvos de los problemas cambará coforme evolucoe los códgos de optmzacó. Actualmete se puede afrmar que los códgos de optmzacó leal mplata algortmos muy efcetes, so fables y umércamete robustos y está amplamete dspobles. Restrccoes Varables Caso eemplo Tamaño medo Gra tamaño Muy gra tamaño > > Tabla. Tpos de problemas LP segú su tamaño. E lo referete a MIP o NLP squera se puede dar crteros geerales de tamaño ya que la dfcultad de resolucó o tee por qué estar lgada al tamaño del problema, puede ser cluso preferble reformular u problema auque aumete las dmesoes, para lograr ua resolucó más efcete. Resolucó Se trata de mplatar u algortmo de obtecó de la solucó umérca (muy próma a la matemátca) óptma o cuasóptma. El algortmo puede ser de propósto geeral (método smple) o específco. Puede haber dferetes métodos de solucó de u problema o dferetes mplatacoes de u msmo método. El tempo de resolucó de u problema també puede depeder drástcamete de cómo esté formulado. La solucó óptma debe ser sufcetemete satsfactora, debe ser ua guía de actuacó para el eperto. 2 8/02/200

17 MODELOS DE OPTIMIZACIÓN Verfcacó, valdacó y refameto Esta etapa colleva la elmacó de los errores e la codfcacó, es decr, cosegur que el modelo haga lo que se ha especfcado matemátcamete e la etapa ateror medate su escrtura e u leguae formátco (depurar y verfcar). Es ecesaro comprobar la valdez de las smplfcacoes realzadas a través de los resultados obtedos, cluso cotrastado éstos co stuacoes reales ya trascurrdas (valdar) o comprobado que los resultados so coheretes co respecto a lo que sucedería e la realdad. Esta etapa de verfcacó, valdacó y comprobacó da lugar a uevas ecesdades de refameto e el modelado para meorar la capacdad de represetacó del sstema. Por eemplo, elmar la lealdad y hacer el modelo o leal o hacer el modelo estocástco s la realdad lo fuera. Además, també se puede abordar el refameto matemátco e la formulacó del problema para hacerla más efcaz. Iterpretacó y aálss de los resultados Esta etapa cosste e propoer solucoes. Permte coocer e detalle el comportameto del modelo al hacer u aálss de sesbldad e los parámetros de etrada, estudar dferetes escearos plausbles de los parámetros, detectar solucoes alteratvas cuasóptmas pero sufcetemete atractvas, comprobar la robustez de la solucó óptma. Implatacó, documetacó y matemeto Ésta es ua etapa fudametal del desarrollo de u modelo para garatzar su ampla dfusó. La documetacó ha de ser clara, precsa y completa. El maual de usuaro debe clur la especfcacó técca fucoal, matemátca e formátca. El propo códgo debe clur ua buea documetacó para facltar la tarea del matemeto. Pésese que la mayor parte del cclo de vda de u modelo o está e el desarrollo so e la fase de uso y matemeto. E esta etapa se cluye també la tarea de formacó para los usuaros del modelo. 8/02/200 3

18 II MODELOS DE PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA II.3. Referecas Schrage, L. (997) Optmzato Modelg wth LINDO. Dubury Press. Wllams, H.P. (999) Model Buldg Mathematcal Programmg. 4th Edto. Joh Wley ad Sos. 4 8/02/200

19 MODELOS DE OPTIMIZACIÓN III. Formulacó de problemas de optmzacó III.. Modelos característcos de programacó matemátca A cotuacó se preseta alguos problemas característcos de programacó leal, etera y o leal. Éstos se utlza como refereca y clasfcacó para otros problemas. E partcular, para los problemas eteros este umerosas referecas de vestgacó dedcadas a la solucó de los msmos. A pesar de la eorme atecó que se ha dedcado a su solucó su mportaca práctca es lmtada. III... Problema de la deta El problema por eceleca de programacó leal es el de asgacó óptma de recursos. U caso partcular de éste es el deomado problema de la deta. Cosste e determar la composcó de la deta de mímo coste que satsface las ecesdades específcas de utretes. Pogamos u caso partcular muy secllo de almetacó de gaado bovo. Aprovechamos este eemplo para segur paso a paso las etapas e el desarrollo de u modelo. E prmer lugar hay que detfcar el problema. Se ha determado que las ecesdades mímas daras e la almetacó de ua terera so de 700 g de proteías, 28 g de calco y 50 mg de vtamas. Los almetos dspobles so peso y forrae co u coste utaro de 0.30 y 0.35 /kg respectvamete. La composcó utrtva por kg de almeto se muestra e la sguete tabla. 8/02/200 5

20 III FORMULACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Proteías (g) Calco (g) Vtamas (mg) Peso Forrae 45 5 Se trata de determar la catdad dara óptma de cada almeto para mmzar el coste total de almetacó. A cotuacó se especfca matemátcamete y se formula el problema. Para ello aalzamos y orgazamos los datos del problema. Sea los almetos dspobles (peso y forrae) y sea los utretes (proteías, calco y vtamas). Sea b la catdad míma dara requerda de cada utrete. Sea a la catdad de utrete por kg de almeto correspodete a los valores de la tabla dada. Sea c el coste utaro de cada almeto. A cotuacó defmos las varables. Sea la catdad dara e kg de cada almeto. Además dcamos la fucó obetvo y las restrccoes del problema. La fucó obetvo es la mmzacó del coste daro de la deta m c (.) Las restrccoes correspode a satsfacer co la mezcla de almetos las ecesdades mímas daras de cada utrete y, por cosguete, habrá tatas restrccoes de este tpo como utretes. a b (.2) Además hay que añadr la restrccó atural de que la catdad de cada almeto ha de ser o egatva. 0 (.3) Partcularzado estas ecuacoes para los datos prevos se obtee. 6 8/02/200

21 MODELOS DE OPTIMIZACIÓN m , Después vee la resolucó. Vamos a resolver gráfcamete el problema. Para ello se dbua las ecuacoes e forma de gualdad e el espaco de las varables y se dca la regó factble del problema. Es decr, el couto de putos que cumple todas las restrccoes. Se traza la recta de la fucó obetvo para u valor cualquera y se desplaza paralela a sí msma e el setdo de mmzar dcho valor hasta el últmo puto de la regó factble. Dcho puto será el óptmo del problema. Las etapas de verfcacó (comprobacó de que el modelo es correcto) y valdacó (comprobacó de que la realdad se represeta adecuadamete) so medatas e u modelo ta secllo como éste. Segudamete se realza la terpretacó y aálss de los resultados. Los resultados dca que la decsó óptma es comprar kg de peso y kg de forrae cada día. Co estas decsoes el coste daro de los almetos es de Al gaadero le ha llegado ua oferta de otro fabrcate de pesos a u preco de 0.25 /kg pero co meor cotedo e calco,.5 g de calco por kg de peso, y tee terés e aalzar s le teresa comprar o o a dcho fabrcate. Para ello plateamos este uevo problema de optmzacó. La solucó óptma para este uevo problema es comprar kg de peso y 5.6 kg de forrae daramete co u coste de Luego, esta oferta es atractva ecoómcamete. La etapa de mplatacó, documetacó y matemeto se da por satsfecha e este modelo secllo co este apartado dode se eplca el modelo. 8/02/200 7

22 III FORMULACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN III..2. Problema de trasporte Se trata de mmzar el coste total de trasporte de u certo producto desde los dferetes orígees a los destos, satsfacedo la demada de cada desto s superar la oferta dspoble e cada orge. Se supoe que todos los m orígees está coectados co los todos los destos. Sea a la oferta de producto e el orge, b la demada de producto e el desto y c el coste utaro de trasporte desde el orge al desto. a b a b 2 a m m b El problema de optmzacó cosste e determar las udades de producto 0 trasportadas desde hasta,,, que mmza los costes de trasporte sueto a las restrccoes de oferta dspoble e cada orge demada e cada desto ( restrccoes de demada) (m restrccoes de oferta) y m = m = m = = = a =,, m = b =,, 0 c (.4) Implíctamete e esta formulacó, se supoe que la oferta del producto es gual a la demada del msmo m m a. S = b = = a > = b = se ha soldo decr que se añade u sumdero uversal co coste ulo, y s m a = < b = se añade ua fuete uversal coectada co todos los destos co coste muy elevado. Esta opcó se lleva a cabo para aplcar métodos específcos de solucó para el problema de trasporte. 8 8/02/200

23 MODELOS DE OPTIMIZACIÓN Idustralmete, este modelo se utlza muy a meudo, pero hay que teer e cueta alguos detalles de formulacó. E prmer lugar, respecto al estlo, es mportate que las varables reflee su sgfcado, así como los datos. Por eemplo, es habtual para catdades usar Q, para demadas d, etc. També es mportate, dstgur de algua forma datos de varables (por eemplo, uos e mayúsculas y otros e músculas). Respecto a las codcoes de los datos, el modelo se formula s hacer hpótess sobre los valores cales la red (puede o estr coeoes etre alguos orígees y destos, de modo que A es el couto de arcos de la red), sedo la sguete formulacó la que cotempla que pueda haber más oferta que demada (equvalete a poer u sumdero uversal): m /(, ) A /(, ) A Q (, ) A 0 Q o =,, m Q = d =,, cq (.5) Por otra parte, para evtar factbldades que haría que el modelo o dé solucó algua, se troduce uas varables que recoge la demada o sumstrada e cada odo y que so pealzadas e la fucó obetvo, por eemplo co u valor p: m /(, ) A /(, ) A (, ) A Q o =,, m Q, N 0 Q = d + N =,, cq + pn (.6) Éste sería u modelo formulado para poder ser mplemetado de forma dustral. E cualquer caso, la estructura que preseta la matrz de restrccoes del problema tee el sguete aspecto. 8/02/200 9

24 III FORMULACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN m m2 m 2 m 2 S tato las ofertas como las demadas de los productos so úmeros eteros, etoces el valor óptmo de las varables va a resultar etero por ser la matrz totalmete umodular 3, por lo que o se ecesta recurrr a métodos específcos de resolucó de problemas de programacó etera. III..3. Problema de trasbordo Cosste e determar e ua red co odos las catdades óptmas para llevar udades de u producto desde sus orígees a sus destos pasado por putos de trasbordo termedos. Cada orge geera b > 0 udades, cada desto cosume b < 0 udades y cada trasbordo geera cosume udades el orge hasta el desto e dcho setdo es c. b = 0. El coste utaro de trasporte desde 3 Ua matrz es totalmete umodular s toda submatrz cuadrada tee determate 0, ó. S la matrz de u problema leal es totalmete umodular y las cotas de las restrccoes so eteras, etoces todos los putos etremos del poledro tee coordeadas eteras (se deoma poltopo etero). 20 8/02/200

25 MODELOS DE OPTIMIZACIÓN, Hay que determar las udades de producto trasportadas desde a, 0,, que mmza los costes de trasporte teedo e cueta la restrccó de balace o coservacó del fluo e cada udo. m = = = b =,, (.7) k = k= 0 c Implíctamete e esta formulacó, se supoe que la oferta es gual a la demada del producto, es decr, b = 0. = Esta matrz també es totalmete umodular por lo que el problema també puede ser resuelto medate programacó leal. També e este caso, el modelo académco del dustral dfere sesblemete, ya que o es ormal hacer la hpótess de que la suma e la red sea 0 (o es ormal que la demada de u producto e ua red sea eactamete la oferta, eso suele darse e casos límte). Por otra parte, també ha de protegerse respecto a posbles factbldades. Y por últmo, hablar u leguae propo del sector, que e geeral o va a cosderar que produccó y demada sea lo msmo pero co sgos opuestos. E este caso la formulacó se podría platear como sgue. El problema es trasportar a través de ua red u determado producto. La red está formada por odos y A arcos. Cada odo puede ser de tres tpos: odo de oferta dode hay dspoble o se produce ua catdad del producto ( dode hay ua demada del producto ( se cosume ( s = 0, d = 0 ). Las varables del modelo so las sguetes: Q : catdad trasportada de odo a odo N : demada o sumstrada e odo P : catdad sumstrada e odo d ), odo de demada ), o odo de trasbordo dode se geera s 8/02/200 2

26 III FORMULACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Co estas varables se admte que la produccó o catdad sumstrada e u odo pueda ser feror a la oferta estete, así como o sumstrar la demada completa de u odo s es que o hay estecas o forma de evar sufcete catdad al odo, auque ha de ser altamete pealzada esta opcó (co u valor p alto). El modelo etoces resulta el sguete: m A (, ) Q Q = P d + N / / A A (, ) (, ) cq P s N d + pn Q 0 (, ) A P, N 0 (.8) III..4. Problema de asgacó Se trata de asgar la realzacó de tareas a persoas (máquas, etc.). Este problema es u caso partcular del problema de trasporte. Por cosguete las varables toma valores eteros s egr esta codcó e la formulacó del problema. Cosste e mmzar el coste total de realzar las tareas sabedo que cada tarea debe ser hecha por ua sola persoa y cada persoa debe realzar ua úca tarea, sedo c el coste de realzar la tarea por la persoa. Las varables del problema s se asga la tarea a la persoa so =,,. 0 e cualquer otro caso m = = = = = =,, = =,, 0 c (.9) 22 8/02/200

27 MODELOS DE OPTIMIZACIÓN III..5. Problema de la mochla (kapsack) Se trata de mamzar el valor total de la eleccó de u couto de sobrepasar el presupuesto b dspoble, sedo proyectos s v y c el valor y coste de cada proyecto respectvamete. El ombre procede de la decsó que toma u motañero que trata de mamzar el valor de lo que troduce e su mochla co ua restrccó de mámo peso admsble. Las varables del problema so s se ele el proyecto =. Ésta es ua utlzacó habtual de las varables 0 e cualquer otro caso baras como forma de seleccoar ua alteratva, u proyecto e este caso. La formulacó del problema es la sguete ma = { 0,} c b (.0) = III..6. Problema de recubrmeto (set coverg) v Este m característcas y combacoes (subcoutos) de dchas característcas. La eleccó de ua combacó mplca realzar todas las característcas de la msma. Se trata de mmzar el coste total de las combacoes elegdas de maera que se cubra o posea cada característca al meos ua vez. Los datos so c el coste de elegr la combacó y la matrz de perteeca de cada característca a s perteece a cada combacó, a =. Deomamos las varables 0 s o perteece s se elge la combacó =. 0 e cualquer otro caso El problema se formula de la sguete maera 8/02/200 23

28 III FORMULACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN m = = a =,, m c { 0,} (.) E la sguete fgura se represeta gráfcamete el problema de recubrmeto así como los de empaquetado y partcó que se eplca a cotuacó. Fgura. Represetacó gráfca de u recubrmeto, ua partcó y u empaquetado, respectvamete. Veamos a cotuacó u eemplo de recubrmeto: asgacó de trpulacoes, tomado de [Hller y Leberma, 2002]. Ua compañía aérea ecesta asgar sus trpulacoes para cubrr todos sus vuelos. E partcular, quere resolver el problema de asgar tres trpulacoes co base e Sa Fracsco a los vuelos lstados e la prmera columa de la tabla. Las otras columas muestra las 2 secuecas factbles de vuelos para ua trpulacó cualesquera. Los úmeros de cada columa dca el orde de los vuelos. Se ecesta elegr tres secuecas (ua por trpulacó) de maera que se cubra todos los vuelos. Se permte teer más de ua trpulacó e u vuelo, dode la/s trpulacó/es etra vaa como pasaeros, pero por coveo laboral la trpulacó etra cobra como s estuvera trabaado. El coste de asgacó de ua trpulacó a cada secueca de vuelos se da e mlloes de euros e la últma fla. El obetvo es mmzar el coste total de asgacó de las tres trpulacoes para cubrr todos los vuelos. Resolver el msmo problema para el caso e que o se permte el vuelo de ua trpulacó fuera de servco e u vuelo. 24 8/02/200

29 MODELOS DE OPTIMIZACIÓN Secuecas factbles SF LA SF Dever SF Seattle LA Chcago LA SF Chcago Dever Chcago Seattle Dever SF Dever Chcago Seattle SF Seattle LA Coste (M ) Se defe las varables del problema como s se asga la secueca 0 e cualquer otro caso =, { 0,} =,,2 La fucó obetvo será m Cobertura de cada vuelo al meos ua vez (SF-LA) (SF-Dever) (SF-Seatlle) Asgacó de las tres trpulacoes 2 = = 3 Las solucoes óptmas so = = = y el resto 0 ó = 5 = 2 = y el resto 0, ambas co coste 8 mlloes de /02/200 25

30 III FORMULACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN S o se permte que ua trpulacó fuera de servco vuele e u avó las restrccoes de cobertura de mayor o gual pasa a ser de gualdad. Luego, se trata de u problema de partcó, cuya formulacó se verá a cotuacó. III..7. Problema de empaquetado (set packg) Se tee que realzar m proyectos dvddos e paquetes. La eleccó de u paquete mplca realzar todos los proyectos del msmo. Se trata de mamzar el beefco total de maera que cada proyecto del couto de todos los paquetes que lo cluye o pueda ser elegdo más de ua vez. c es el beefco de elegr el paquete, la matrz de perteeca de cada proyecto a cada paquete es s perteece a a. Las varables del problema so 0 s o perteece s se elge el paquete. 0 e cualquer otro caso La formulacó del problema es la sguete ma = = a =,, m c { 0,} (.2) III..8. Problema de partcó (set parttog) La formulacó es smlar al problema ateror pero e este caso eactamete ua característca (proyecto) del couto de combacoes (paquetes) que la cotee debe ser elegda. ma = = a = =,, m c { 0,} (.3) 26 8/02/200

31 MODELOS DE OPTIMIZACIÓN III..9. Problema del vaate de comerco (Travelg Salesma Problem TSP) El problema cosste e hacer u recorrdo que pase por cudades s repetr gua y volvedo a la cudad de partda de maera que la dstaca (o tempo o coste) total sea míma. Es u problema de asgacó pero co la codcó de que la asgacó sea u cclo. Es uo de los problemas más mportates e la hstora de la programacó matemátca por todas las vestgacoes a las que ha dado lugar y por todas las aplcacoes que tee, tato drectamete o aparecedo como subproblema detro de otros más compleos. E ua otca de OR/MS Today (publcada por el Isttute of Operatos Research ad the Maagemet Sceces (INFORMS)) de uo de 2004, mecoaba que se había cosegudo resolver u problema del vaate co cudades. Los problemas de erutameto de vehículos (epedcó o recogda de mercacías) puede ser formulados basádose e este modelo. Ua de las característcas más teresates de este problema es que este muchas formulacoes coocdas para el msmo, ver [Wllams, 999] y [Nemhauser, 999]. Ua de ellas es la sguete. Sea c la dstaca etre las cudades y. Se defe las varables s se va de la cudad a la cudad = 0 e otro caso T La formulacó del problema es: m c : state de llegada a cudad, = = (.4) T T + c m( ), T c m( ) 0,, T 0 { } 8/02/200 27

32 III FORMULACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN La prmera restrccó dca que a ua cudad sólo se puede llegar ua vez desde cualquer cudad. La seguda dce que desde ua cudad sólo se puede salr ua vez a cualquer otra cudad. Sólo co estas varables o es sufcete para formular el problema, ya que se puede formar subcclos. La forma de evtarlos es añadedo las varables cotuas. III..0. Problema de coste fo Los problemas de coste fo aparece cuado el coste de ua varable tee u térmo fo co valor dferete de 0 s la varable toma u valor estrctamete postvo. Es ua fucó o leal y dscotua: f 0 = 0 f ( ) = k + c > 0 k c Este coste se puede modelar co ayuda de ua varable bara aular y { 0,} defda como y > 0 =, que dca la realzacó de la actvdad 0 = 0 Itroducedo la codcó My, =,,, sedo M ua costate, cota superor de, cuyo valor depederá del problema, se dstgue etre o realzar la actvdad y realzarla al meos ftesmalmete. El valor de la costate M debe ser el meor posble ya que esto es computacoalmete beefcoso. El problema leal etero se formula como sgue, y { 0,} ( ) m f ( ) = k y + c y 0 = = My. 28 8/02/200

33 MODELOS DE OPTIMIZACIÓN III... Modelado de restrccoes co varables baras Supogamos que ecestamos cosderar e u problema la codcó de que s se produce el producto A també se debe producr el producto B. La codcó de produccó de u producto la represetamos por la restrccó mplcacó es A B. Etoces, la Esta codcó o se puede troducr drectamete e u problema leal porque hace que la estructura del problema (el que se cosdere o o ua restrccó más ) depede de que se cumpla otra ( ) y esto sólo se cooce ua vez que se ha B A determado la solucó óptma. U problema de optmzacó o se puede redefr edógeamete, es decr, e fucó de los propos valores que toma las varables del problema. E este apartado se va a modelar e u problema de optmzacó alguas codcoes especales (las restrccoes lógcas etre ellas) que requere el uso de varables baras para detectar o forzar el cumplmeto de restrccoes. III... Modelado de dsyucoes Dsyucoes Las dsyucoes mplca ua parea de restrccoes dode ua (cualquera de las dos) debe satsfacerse, metras que la otra o es ecesaro que se cumpla. Debe cumplrse ua al meos pero o ecesaramete las dos. f ( ) 0 ó g ( ) 0 Supogamos el eemplo de esta dsyucó ó 2 Veamos cómo estas restrccoes se puede corporar e u problema de programacó matemátca. 8/02/200 29

34 III FORMULACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Añadr ua costate de valor elevado M a ua restrccó es equvalete a elmar (relaar) dcha restrccó M 2 ó M Se defe la varable bara aular y que seleccoa la ecuacó correspodete, se relaa la ecuacó y =. Luego las restrccoes dsyutvas se modela e u 0 se relaa la ecuacó 2 problema de optmzacó como My M( y) 2 S y = se relaa la restrccó y se oblga a cumplr la 2, y vceversa para y = 0. Alguas mplcacoes so u caso semeate a las restrccoes dsyutvas es equvalete a f( ) > 0 g ( ) 0 f ( ) 0 ó g ( ) 0 ya que P Q es equvalete a (No P ) ó Q. Cumplr k de N ecuacoes Se tee u couto de N ecuacoes de las cuales se ha de satsfacer al meos k, sedo k < N. Las dsyucoes so u caso partcular de éste para k = y N = 2. Sea el couto de N ecuacoes f(,, ) 0 f2(,, ) 0 f (,, ) 0 N añadedo ua costate M y ua varable bara y para cada ecuacó teemos 30 8/02/200

35 MODELOS DE OPTIMIZACIÓN f (,, ) My f (,, ) My 2 2 f (,, ) My dode además se mpoe la codcó de seleccoar solamete N N k ecuacoes. N y = N k { 0,} = y =,, N Seleccoar etre N valores Sea ua fucó co múltples posbles valores y se desea elegr uo de ellos. d d f(,, ) = d La maera de modelarlo es troducedo ua varable bara aular y por cada valor y la codcó de eleccó úca N f (,, ) = dy = N = y = { } y 0, =,, N III...2. Modelado de mplcacoes lógcas Las varables baras se utlza para dcar que el cumplmeto de ua restrccó mplca el cumplmeto de otra. Implcacoes secllas Retomemos el eemplo de la restrccó que aparecía e el problema de coste fo Mδ 2 N 8/02/200 3

36 III FORMULACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN sedo M ua cota superor postva de (por eemplo, 0 6 ), m M y δ la varable bara. Por clardad e la eplcacó e este apartado se utlza la letra grega δ para deomar a la varable bara aular. S δ = la restrccó o oblga a ada ya que M se cumple por defcó. S δ = 0 etoces 0. Luego esta restrccó permte modelar la mplcacó δ = 0 0 (s δ = 0 etoces se cumple que 0 ) Por otra parte, s > 0 etoces δ =. S 0 la restrccó o oblga a ada. > 0 δ = (s > 0 etoces se cumple que δ = ) Ambas so mplcacoes equvaletes puesto que es equvalete a No Q No P. Luego, la restrccó leal Mδ os permte represetar dchas mplcacoes e u problema leal. sedo De forma aáloga veamos la restrccó mδ P Q m ua cota feror egatva de (por eemplo, 0 6 ), m M y δ la varable bara. S δ = la restrccó o oblga a ada ya que m se cumple por defcó. S δ = 0 etoces 0. Luego esta restrccó permte modelar la mplcacó δ = 0 0 (s δ = 0 etoces se cumple que 0 ) Por otra parte, s < 0 etoces δ =. S 0 la restrccó o oblga a ada. < 0 δ = (s < 0 etoces se cumple que δ = ) Nuevamete ambas so mplcacoes equvaletes puesto que equvalete a No Q No P. P Q es E resume, hasta ahora hemos vsto la represetacó e u problema leal de las sguetes mplcacoes δ = 0 0 Mδ > 0 δ = 32 8/02/200

37 MODELOS DE OPTIMIZACIÓN δ = 0 0 mδ < 0 δ = A cotuacó, vamos a geeralzar la represetacó de mplcacoes para cualquer tpo de restrccó geérca. Implcacoes de ua restrccó La mplcacó es equvalete a δ = b a a b+ M( δ ) sedo M ua cota superor de la restrccó para cualquer valor de cualquer, a b M. Efectvamete de maera drecta se deduce que s δ = se mpoe la restrccó orgal y s δ = 0 o mplca ada (se relaa la restrccó orgal). Aálogamete al caso ateror esta restrccó també represeta la mplcacó La mplcacó a > b δ = 0 a b δ = se puede trasformar e δ = 0 a > b o be e δ = 0 a b+ ε que es equvalete a a b+ ε + ( m ε) δ sedo m ua cota feror de la restrccó para cualquer valor de cualquer a b m., 8/02/200 33

38 III FORMULACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Implcacoes de ua restrccó De maera smétrca se puede represetar las mplcacoes co restrccoes de tpo mayor o gual. La mplcacó es equvalete a δ = b a a b+ m( δ ) sedo m ua cota feror de la restrccó para cualquer valor de cualquer, a b m. Efectvamete de maera drecta se deduce que s δ = se mpoe la restrccó orgal y s δ = 0 o mplca ada (se relaa la restrccó orgal). Aálogamete al caso ateror esta restrccó també represeta la mplcacó La mplcacó a < b δ = 0 a b δ = se puede trasformar e δ = 0 a < b o be e δ = 0 a b ε que es equvalete a a b ε + ( M+ ε) δ sedo M ua cota superor de la restrccó para cualquer valor de cualquer, a b M. 34 8/02/200

39 MODELOS DE OPTIMIZACIÓN Implcacoes de ua restrccó = Para deducr las mplcacoes de restrccoes gualdad se trasforma e ecuacoes de tpo mayor o gual y meor o gual smultáeamete. La mplcacó es equvalete a Luego se represeta por las ecuacoes δ = = b a δ = a b δ = a b a b+ M( δ ) a b+ m( δ ) Claramete s δ = se cumple ambas restrccoes y s δ = 0 ambas se relaa. La mplcacó a = b δ = es ua combacó de los casos aterores smultáeamete a a b δ = y además δ = y δ = δ = b δ = que se modela co las restrccoes a b+ ε + ( m ε) δ a b ε + ( M+ ε) δ y la restrccó adcoal que dca el cumplmeto de ambas: δ + δ δ 8/02/200 35

40 III FORMULACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Implcacoes dobles Las mplcacoes dobles se desdobla e mplcacoes udreccoales δ = bes equvalete a a δ = a b a b δ = La sguete tabla preseta todas las mplcacoes lógcas y su formulacó leal: δ = b a b+ M( δ ) a a b δ = a b+ ε + ( m ε) δ δ = b a b+ m( δ ) a a b δ = a b ε + ( M+ ε) δ δ = = b a b+ M( δ ) a a b+ m( δ ) a = b δ = a b+ ε + ( m ε) δ a b ε + ( M+ ε) δ δ + δ δ δ = a b a b+ M( δ ) a a b+ ε + ( m ε) δ δ = b a b+ m( δ ) a a b ε + ( M+ ε) δ δ = = b a b+ M( δ ) a b+ m( δ ) a b+ ε + ( m ε) δ a b ε + ( M+ ε) δ δ + δ δ 36 8/02/200

41 MODELOS DE OPTIMIZACIÓN dode M y m so la meor costate superor y la mayor costate feror de la restrccó que cumple a b M y a b m para cualquer valor de cualquer. ε es ua costate de valor muy pequeño, que e el caso de restrccoes co todas las varables baras será sempre. tpo s III...3. Modelado de proposcoes codcoales y/o compuestas Hasta ahora se ha modelado dsyucoes etre restrccoes o mplcacoes del δ = etoces se debe verfcar tal restrccó o vceversa, s se verfca esta restrccó etoces δ =, o la doble mplcacó. Se puede ecestar el modelado de proposcoes codcoales y/o compuestas más compleas que las smples mplcacoes o dsyucoes aterores. Por eemplo, s se fabrca el producto A o B (o ambos) etoces debe fabrcarse també al meos uo de los productos C, D o E. Este tpo de restrccoes també se modela co la ayuda de varables baras. Ates de etrar e el modelado de estas restrccoes covee recordar alguas operacoes lógcas que puede utlzarse para trasformar las proposcoes e otras cuyo modelado pueda resultar más secllo. Aquí se muestra ua tabla de equvalecas. P Q o P o Q P (Q y R) (P Q) y (P R) P (Q o R) (P Q) o (P R) (P y Q) R (P R) o (Q R) (P o Q) R (P R) y (Q R) o (P o Q) o (P y Q) o P y o Q o P o o Q Este alguas proposcoes codcoales y/o compuestas que se trasforma de maera seclla e restrccoes, medate el uso de varables baras. S deomamos X al cumplmeto de la restrccó y s se cumple la restrccó δ = 0 s o se cumple a la 8/02/200 37

42 III FORMULACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN varable bara aular dcadora de su cumplmeto, esta tabla se puede terpretar fáclmete. X o X 2 δ+ δ2 X y X 2 δ =, δ 2 = o X δ = 0 X X δ δ2 0 2 X X δ δ2 = 0 2 La prmera fla dce que se debe cumplr la restrccó o la 2 (o ambas), luego efectvamete al meos ua de las dos varables y δ debe tomar valor y la forma δ 2 de epresarlo co ua ecuacó leal es δ + δ2. Además tee que haber ua restrccó que dga que s se satsface la restrccó etoces δ =, > 0 δ =. Esa codcó ha surgdo ya para el problema de coste fo y su modelado como restrccó leal es Mδ. Ya se ha vsto e el apartado ateror la maera geeralzada de obteer las restrccoes leales asocadas a las mplcacoes de cumplmeto de ua restrccó de cualquer tpo y su varable bara asocada. Volvedo al eemplo ateror. S X represeta la fabrcacó del producto (por eemplo, cotrolado medate el cosumo de eergía e ua máqua por ecma de u certo umbral) y δ fabrcacó, la mplcacó lógca se puede represetar como la varable bara de cumplmeto de dcha codcó de ( X o X ) ( X o X o X ) A B C D E δ + δ δ + δ + δ A B C D E Para poder modelar estas mplcacoes lógcas, por compleas que sea, de maera automátca la mplcacó se separa e dos bloques δ + δ δ = A B 38 8/02/200

43 MODELOS DE OPTIMIZACIÓN dode δ restrccó. δ = δ + δ + δ C D E es la varable bara aular dcadora del cumplmeto de la prmera Aplcado este procedmeto al eemplo ateror, la mplcacó ya que ε = y M = y sedo m =. δ + δ δ = equvale a δ + δ 2δ A B δ = δc + δd + δe equvale a δc + δd + δe δ Luego las restrccoes leales a troducr e el problema de optmzacó so δa + δb 2δ δc + δd + δe δ Alteratvamete, la mplcacó orgal ( X o X ) ( X o X o X ) A B A B C D E se podía haber trasformado e [ X ( X o X o X )] y [ X ( X o X o X )] A C D E y el couto de restrccoes resultates habría sdo que també es equvalete a δa δ 0 δb δ 0 δc + δd + δe δ δc + δd + δe δa δc + δd + δe δb B C D E Para esta mplcacó se ha ecotrado tres formulacoes matemátcamete equvaletes. Veamos a cotuacó u eemplo dode aparece este tpo de mplcacoes. U etreador de balocesto tee 9 ugadores, a los que ha evaluado de a 3 de acuerdo co su maeo de pelota, tro, rebote y defesa, segú se dca e la tabla aduta. 8/02/200 39