PRODUCTOS NOTABLES. Diferencia de Cuadrados: El Cuadrado del Primer Término menos El Cuadrado del Segundo Término.

Transcripción

1 PRODUCTOS NOTABLES Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las más importantes son : Binomio de Suma al Cuadrado: El Cuadrado del primer Término, más el Doble Producto del Primer por el segundo Término, más el Cuadrado del Segundo Término. ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Binomio Diferencia al Cuadrado: El Cuadrado del primer Término, menos el Doble Producto del Primer por el segundo Término, más el Cuadrado del Segundo Término. ( a - b ) 2 = a 2-2ab + b 2 Ejemplo: Simplificando: Diferencia de Cuadrados: El Cuadrado del Primer Término menos El Cuadrado del Segundo Término. ( a + b ) ( a - b ) = a 2 - b 2 Ejemplo: Agrupando términos: Producto de dos binomios que tienen un término común: El cuadrado del termino común, más el producto de termino común por la suma de los términos no comunes, más el producto de los términos no comunes. ( x + a)(x + b) = x 2 + ( a + b) x + ab Ejemplo:

2 Agrupando términos: Luego: Binomio Suma al Cubo: El Cubo del Primer Término, más el triple producto del cuadrado del primer por el segundo Término, más el triple producto del primer por el cuadrado del segundo Término, más el cubo del segundo Término. ( a + b ) 3 = a a 2 b + 3 ab 2 + b 3 = a 3 + b ab (a + b) E J E M P L O : Desarrollar SOLUCIÓN: CUBO del primer número: Triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo: Triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo: Cubo del segundo número: Así pues Binomio Diferencia al Cubo El Cubo del Primer Término, menos el triple producto del cuadrado del primer por el segundo Término, más el triple producto del primer por el cuadrado del segundo Término, menos el cubo del segundo Término. ( a - b ) 3 = a 3-3 a 2 b + 3 ab 2 - b 3 E J E M P L O : Desarrollar SOLUCIÓN: Cubo del primer número: Triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo: Triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo: Cubo del segundo número: Así pues

3 Suma de dos Cubos: Se saca raíz cubica a cada uno de los dos términos cúbicos, para obtener un binomio (la suma de dos números), y en base a ese binomio, se utiliza la siguiente regla para obtener un trinomio: el cuadrado del primero, menos el producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 ab + b 2 ) Ejemplo Descomposición en factores x Solución: x = x = (x + 3) (x 2-3x + 9) Diferencia de Cubos Se saca raíz cubica a cada uno de los dos términos cúbicos, para obtener un binomio (la diferencia de dos números), y en base a ese binomio, se utiliza la siguiente regla para obtener un trinomio: el cuadrado del primero, más el producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + ab + b 2 ) Descomponer en factores x Solución: x 3-27 = x = (x - 3) (x 2 + 3x + 9) Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio: El cuadrado del primer término, más el cuadrado del segundo término, más el cuadrado del tercer término, más el doble producto del primero por el segundo, más el doble producto del segundo por el tercero, más el doble producto del tercero por el primero. ( a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac = a 2 + b 2 + c ( ab + bc + ac) Ejemplo: Multiplicando los monomios: Agrupando términos:

4 Luego: Trinomio Suma al Cubo (a+b+c)³ = a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3a²c + 3b²a + 3b²c + 3c²a + 3c²b + 6abc Desarrolla los siguientes binomios: (x + 5) 2 = (2x 5) 2 = (3x 2) 2 = Desarrolla los siguientes binomios al cubo: (2x 3) 3 = (x + 2) 3 = (3x 2) 3 = (2x + 5) 3 = Desarrolla: (3x 2) (3x + 2) = (x + 5) (x 5) = (3x 2 2) (3x 2 + 2) = (3x² + 5) (3x² 5) = Desarrolla las expresiones: (x 2 x + 1) 2 = 8x = 8x 3 27 = (x + 2) (x + 3)=

5 FACTORIZACIÓN Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta. La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues el propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que en la factorización, se buscan los factores de un producto dado. Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos que multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión. Factorización Multiplicación Al factorizar una expresión, escribimos la expresión como un producto de sus factores. Supongamos que tenemos dos números 3 y 5 y se pide que los multipliquemos, escribiremos. En el proceso inverso, tenemos el producto 15 y se nos pide que lo factoricemos; entonces tendremos Al factorizar el número 20, tendremos o. Advierte que y no están factorizados por completo. Contienen factores que no son números primos. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, etc. Puesto que ninguna de esas factorizaciones está completa, notamos que en la primera factorización, de modo que mientras que la segunda factorización, de modo que, en cualquier caso la factorización completa para 20 es. De ahora en adelante cuando digamos factorizar un número, queremos decir factorizarlo por completo. Además se supone que los factores numéricos son números primos. De esta manera no factorizamos 20 como. Con estos preliminares fuera del camino, ahora podemos factorizar algunas expresiones algebraicas. Factorizar completamente cada uno de los siguientes polinomios.

6 a) 3x 3 y 2 + 9x 2 y 2 18xy 2 Solución: Se observa que hay factores comunes entre los términos del polinomio dado, por lo que se eligen los factores comunes con su menor exponente (M.C.D.) tanto entre los coeficientes numéricos (3, 3 2, ) como entre las variables, obteniéndose: 3xy 2 El otro factor resulta de dividir cada término del polinomio entre el factor común:,, Por tanto, el polinomio factorizado será: 3x 3 y 2 + 9x 2 y 2 18xy 2 = 3xy 2 (x 2 + 3x 6) La factorización se puede comprobar efectuando el producto indicado en el lado derecho de igualdad, el cual debe dar el polinomio que se factorizó. b) a (m 1) + b (m 1) c (m 1) Solución: El factor común también puede ser un polinomio, en este caso, m 1 y la factorización se realiza en forma análoga a cuando el factor común es un monomio (véase el ejercicio anterior). Por lo tanto, a (m 1) + b (m 1) c (m 1) = (m 1) (a + b c) c) 2av 2 + 3u 3 + 2auv 3uv 2 2au 2 3u 2 v Solución: A simple vista se observa que no hay factor común, pero hay términos que se parecen como 2av 2 y 3uv 2. Además, hay un número par de términos, por lo que, se puede pensar en el caso de factor común por agrupación, que consiste en hacer grupos con igual cantidad de términos, se factoriza cada grupo con el propósito de conseguir un nuevo factor común, y luego, se completa la factorización. Si al factorizar los grupos no se consigue un nuevo factor común, entonces, se agrupan de otra forma hasta lograrlo. Efectuemos una agrupación conveniente de términos, por ejemplo, el 1º con el 4º, el 5º con el 2º y el 3º con el 6º. Entonces, 2av 2 + 3u 3 + 2auv 3uv 2 2au 2 3u 2 v = (2av 2 3uv 2 ) (2au 2 3u 3 ) + (2auv 3u 2 v) (se factoriza cada grupo) = v 2 (2a 3u) u 2 (2a 3u) + u v (2a 3u) (aparece un nuevo factor común) = (2a 3u) (v 2 u 2 + u v) (se completa la factorización). Entonces, 2av 2 + 3u 3 + 2auv 3uv 2 2au 2 3u 2 v = (2a 3u) (v 2 u 2 + u v)

7 También se pueden agrupar los términos de 3 en 3, por ejemplo, los 3 términos que tienen coeficiente numérico 2 y los 3 que tienen coeficiente numérico 3. Inténtalo! d) 9x 2 36xy + 36y 2 Solución: Como es un trinomio, la pregunta inmediata es: Será un trinomio cuadrado perfecto? Se reconoce porque dos de sus términos son positivos y cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada exacta): y ; y el tercer término (positivo o negativo) es igual al doble producto de las raíces cuadradas de los dos primeros: 36xy = 2(3x) (6y). Entonces, el trinomio cuadrado perfecto se factoriza separando las raíces cuadradas por el signo del 2º término, se encierran entre paréntesis y se eleva al cuadrado. O sea, 3x 9x 2 36xy + 36y 2 = (3x 6y) 2 6y 2(3x)(6y) e) 9x 2 4y 4 Solución: Obsérvese que son dos cuadrados perfectos que se están restando, por lo que, se trata de una diferencia de cuadrados. Para factorizarlo, se saca la raíz cuadrada de cada uno de los términos; estas raíces cuadradas se suman y se multiplican por la diferencia de las mismas. Por lo tanto, 9x 2 4y 4 = (3x + 2y 2 ) (3x 2y 2 ) 3x 2y 2 f) (a + b 1) 2 (a b + 1) 2 Solución: Se trata de una diferencia de cuadrados. Entonces, (a + b 1) 2 (a b + 1) 2 = [(a + b 1) + (a b + 1)] [(a + b 1) (a b + 1)] = [a + b 1 + a b + 1] [a + b 1 a + b 1] = [2a] [2b 2] = 2 a. 2 (b 1) = 4 a (b 1) (a + b 1) 2 (a b + 1) 2 = 4 a (b 1) g) 125 a 3 + 8b 3 Solución: Esta es una suma de cubos. Se le saca la raíz cúbica a cada término y luego se aplica: a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 a b + b 2 ). Por tanto,

8 125 a 3 + 8b 3 = (5a) 3 + (2b) 3 = (5a + 2b) [(5a) 2 (5a) (2b) + (2b) 2 ] = (5a + 2b) (25a 2 10a b + 4b 2 ) h) (x 1) 3 (1 x) 3 Solución: Se trata de una diferencia de dos cubos, por lo que se aplica: a 3 b 3 = (a b) (a 2 + a b + b 2 ). Entonces, (x 1) 3 (1 x) 3 = [(x 1) (1 x)] [(x 1) 2 + (x 1) (1 x) + (1 x) 2 ] desarrollando: = [x x] [x 2 2x x x x + 1 2x + x 2 ] Simplificando: = [2x 2] [ 2x + 2x + 1 2x + x 2 ] factorizando y simplificando: = 2 (x 1) (x 2 2x + 1) = 2 (x 1) (x 1) 2, entonces, (x 1) 3 (1 x) 3 = 2 (x 1) 3 i) 27 a a 2 b + 9ab 2 + b 3 Solución. Este caso se reconoce porque el polinomio tiene 4 términos y dos de ellos son cubos perfectos (tienen raíces cúbicas exactas); enseguida se debe ordenar para ver si se trata del cubo de un binomio. En este caso, el polinomio está ordenado y ahora hay que comprobar si se cumplen las condiciones. Se procede así: Se saca la raíz cúbica del 1º y el 4º término: y El 2º término, debe ser el triple del cuadrado de la primera raíz cúbica por la segunda: 3 (3 a) 2. b = 3 (9 a 2 ).b = 27 a 2 b El tercer término, debe ser el triple de la primera raíz por el cuadrado de la segunda: 3 (3 a) (b) 2 = 9ab 2 Como se cumplen todas las condiciones, y además, todos los términos son positivos, se trata del cubo de una suma. Entonces, se suman las raíces cúbicas, se encierran entre paréntesis y luego se eleva al cubo. O sea, 27 a a 2 b + 9ab 2 + b 3 = (3 a + b) 3 3a b 3(3 a) 2.b

9 3(3 a).b 2 j) 8m mn 2 64n 3 48m 2 n Solución: El polinomio tiene 4 términos y dos de ellos son cubos perfectos, entonces, hay que ordenarlo con relación a la letra m: 8m 3 48m 2 n + 96mn 2 64n 3 Como los signos van alternados, se trataría del cubo de una diferencia y se factoriza como en el ejemplo anterior: 2m 8m 3 48m 2 n + 96mn 2 64n 3 = (2m 4n) 3 4n 3(2m) 2 (4n) 3(2m) (4n) 2 k) x 2 7x + 12 Solución: Es un trinomio pero no cuadrado perfecto, sino de la forma x 2 + bx + c. Se abren dos paréntesis y se saca la raíz cuadrada de x 2, la cual se distribuye en cada uno de los paréntesis. Se coloca el signo del segundo término en el primer paréntesis y en el segundo, el producto de los signos del 2º y tercer término. Así: x 2 7x + 12 = (x ) (x ) Ahora se buscan dos números que multiplicados den 12 y sumados (porque tienen signos iguales) den 7. Estos son 4 y 3. Se coloca primero el mayor y en el segundo paréntesis, el menor. Entonces, x 2 7x + 12 = (x 4 ) (x 3) l) 3x 2 5x 2 Solución: Es un trinomio de la forma ax 2 + b x + c. Hay dos maneras de factorizarlo: 1ª forma: Se multiplica y se divide por 3 el polinomio dado, de manera que el primer término quede expresado como un cuadrado perfecto, o sea, (3x) 2 ; en el segundo término se deja indicada la multiplicación, de manera, que se vea la raíz cuadrada del primero, o sea, 5(3x) y en el último término, se hace la multiplicación ordinaria. Por lo tanto, 3x 2 5x 2 = ahora se factoriza como en el ejemplo anterior, resultando,

10 3x 2 5x 2 = Se buscan dos números que multiplicados den 6 y restados (porque tienen signos diferentes) den 5. Los números son 6 y 1. Se factoriza el primer paréntesis para eliminar el 3 que está como denominador. En resumen: 3x 2 5x 2 = (x 2) (3x + 1) 2ª forma: Se abren dos paréntesis y se saca la raíz cuadrada de x 2, la cual se distribuye en cada uno de los paréntesis pero acompañada del 3. Como hay un 3 de más, entonces, se divide por 3: 3x 2 5x 2 = Antes de factorizar como en el ejemplo anterior, se multiplican los números extremos (3.2 = 6) y se buscan dos números que multiplicados den 6 y restados den 5. Los números son 6 y 1, luego se elimina el 3 del denominador. Por lo tanto, 3x 2 5x 2 = (x 2) (3x + 1) entonces, 3x 2 5x 2 = (x 2) (3x + 1) m) 9x 2 a 2 + 2ab b 2 Solución: Se agrupan los tres últimos términos del polinomio, los cuales formarán un trinomio cuadrado perfecto y luego, se obtendrá una diferencia de cuadrados: 9x 2 a 2 + 2ab b 2 = 9x 2 (a 2 2 ab + b 2 ) = 9x 2 (a b) 2 Ejercicios para resolver: 1. x 2 + 4x + 3 = 2. b 2 + 8b + 15 = 3. r 2-12r + 27 = 4. h 2-27h + 50 = 5. x xy + 24y 2 = 6. a 2 + 7a + 10 = 7. a 2 + 7a + 10 = 8. x 2 - x - 2 = 9. s 2-14s + 33 = 10. y 2-3y - 4 = 11. m m + 48 = = [3x + (a b)] [3x (a b)] destruyendo paréntesis:

11 12. x 2 + 5x + 4 = 13. x 2-12x + 35 = 14. b 2-3b - 28 = 15. a 2 + 6a + 8 = Hola jóvenes del 101, 102,103 y 104 le mando esta información para que le den lectura y entendimiento y puedan resolver los ejercicios correspondientes. A demás deben ya tener resuelto hasta la página 58 de su libro. Resolver los ejercicios que se encuentran hasta la página 87 NOTA: TODO ES PARA EVALUACION