Trabajo y energía. Introducción

Transcripción

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2 Tabajo y enegía. Intoducción En los temas anteioes hemos analizado el movimiento de los cuepos (cinemática) y las causas que lo poducen (leyes de Newton). Desde un punto de vista fundamental, con estos conocimientos, podíamos aboda el análisis del compotamiento mecánico de cualquie sistema. Sin embago, es obvio que la aplicación de las leyes de la Cinemática y de Newton a sistemas eales es en geneal muy complicado desde un punto de vista matemático. Esta complicación poviene de dos factoes pincipales: Las magnitudes que definen el movimiento de los cuepos son magnitudes vectoiales y la mayoía de los sistemas están fomados po muchos subsistemas. Esto hace que sea inteesante en desaolla las leyes de Newton paa que la descipción matemática del movimiento sea más simple. esto nos vamos a dedica en este tema y en el siguiente. En este pime tema intoduciemos unas magnitudes Físicas escalaes, el tabajo de una fueza y la enegía, que bajo cietas cicunstancias pemiten analiza matemáticamente el movimiento de los sistemas mecánicos de foma más simple. Po oto lado, en el tema siguiente analizaemos esultados geneales que tienen que ve con sistemas mecánicos fomados po muchos subsistemas (sistemas de patículas). Es inteesante subaya que la ealidad viene dada po las definiciones dadas po la cinemática y las Leyes de Newton. Todo lo que vamos a analiza en este tema es un atificio matemático paa tata de simplifica el análisis de los sistemas mecánicos. 2

3 Tabajo y enegía. Intoducción ESQUEM DE DESRROLLO Intoducción Tabajo ealizado po una fueza Concepto de enegía. Enegía cinética Fuezas consevativas. Enegía potencial Pincipio de la consevación de la enegía mecánica Potencia. 3

4 Tabajo y enegía. Tabajo ealizado po una fueza DEFINICIÓN DE TRBJO DE UN FUERZ: Z 1 2 F Y X El tabajo que una fueza hace sobe un sistema cuando este sufe un desplazamiento infinitesimal viene dado po: W ( ) 12 = F = F cos F = = F cos F ( ) 4

5 Tabajo y enegía. Tabajo ealizado po una fueza DEFINICIÓN DE TRBJO DE UN FUERZ: B m B W = lim F = F d B i i m i = 1 Si extendemos este concepto a la tayectoia seguida po un sistema mecánico paa i de un punto a un punto B podemos defini. Definición de tabajo de una fueza: El tabajo que una fueza ealiza sobe una patícula al tasladase esta ente dos puntos y B es igual a la integal de línea de la fueza a lo lago de la tayectoia que une ambos puntos. Consecuencias diectas de la definición 1.- El tabajo ealizado po una fueza es una magnitud escala y quedaá pefectamente definido con un númeo y las unidades de tabajo que estemos utilizando. 5

6 Consecuencias diectas de la definición Tabajo y enegía. Tabajo ealizado po una fueza 2.- Las unidades del tabajo ealizado po una fueza son el poducto de una unidad de fueza po una unidad de longitud, es deci: [ WB ] = F [ L] En el sistema intenacional las unidades del tabajo son el Newton po meto que ecibe un nombe especial, Julio (J), es deci: 1 J = 1 Nm 3.- Debido a que el tabajo se define a pati del poducto escala de dos vectoes podemos escibi también el tabajo como: W B F d B Fd B = = cos( F d ) po tanto, el tabajo ealizado po una fueza es máximo cuando es tangencial a la tayectoia de una patícula siendo mínimo (ceo) cuando es pependicula a la tayectoia. 4.- Si dividimos la fueza en una componente tangente a la tayectoia y ota nomal a la tayectoia tenemos que todo el tabajo seá debido a la componente tangencial mientas que la componente nomal no efectuaá ningún tabajo, es deci, solo la componente que poduce una vaiación en el módulo de la velocidad va a poduci tabajo. 6

7 Consecuencias diectas de la definición Tabajo y enegía. Tabajo ealizado po una fueza 5.- En un movimiento cicula con velocidad angula constante, la fueza neta aplicada al sistema no ealiza tabajo alguno. 6.- Si la componente tangencial de la fueza actúa en el sentido en el que tiene luga el movimiento, es deci, el sistema se acelea, el poducto escala esultante y, po tanto, el tabajo, es positivo. Cuando la componente tangencial de la fueza actúa en sentido contaio al movimiento, es deci, el sistema se decelea, el poducto escala esultante y, po tanto, el tabajo, es negativo. 7.- El tabajo que ealiza una fueza depende, en geneal, de la tayectoia seguida po la patícula paa i desde hasta B. 8.- El tabajo que ealiza una fueza tangencial en todo punto a la tayectoia y de módulo constante paa lleva una patícula de un punto a oto punto B es B B B W = F d =± Fd =± F d =± FL donde L es la longitud total de la tayectoia seguida. B Ejecicio.- Si una patícula ecoe 6 m bajo la acción de una fueza constante, calcula: a) Tabajo ealizado po la fueza si es de 8 N y foma un ángulo de 60º con la hoizontal; b) Valo de la fueza hoizontal necesaia paa que el tabajo sea de 18 J. 7

8 CONCEPTO DE ENERGÍ Tabajo y enegía. Concepto de enegía. Enegía cinética. Según lo visto en el apatado anteio, el tabajo está elacionado con la capacidad que tiene una fueza de poduci un cambio en el módulo de la velocidad que tiene el sistema. De una foma más geneal nos podemos plantea la capacidad que tiene un sistema de poduci una vaiación en el movimiento de oto sistema. Esta ampliación del concepto de tabajo nos va a lleva al concepto de enegía. Podemos defini el concepto de enegía de difeentes maneas equivalentes ente sí. quí vamos a utiliza dos definiciones equivalentes Definición 1.- Capacidad de un sistema paa hace un tabajo sobe oto sistema. Definición 2.- Tabajo almacenado, o tabajo latente, en un sistema que puede convetise en tabajo bajo condiciones adecuadas. En cualquiea de las dos definiciones está clao que la enegía está elacionada con la capacidad de un sistema paa ealiza un tabajo sobe sí mismo o sobe oto sistema. La difeencia ente ambas estiba en que la pimea definición deja abieta la posibilidad de conveti toda la enegía almacenada en un sistema en tabajo, mientas que la segunda, al equei las condiciones adecuadas, indica que difícilmente toda la enegía del sistema podá convetise en tabajo. La pimea definición seía más adecuada en sistemas micoscópicos mientas que la segunda lo seía en sistema macoscópicos (po ejemplo en Temodinámica). 8

9 Tabajo y enegía. Concepto de enegía. Enegía cinética. En ambas definiciones queda clao que puesto que la enegía es en ealidad la capacidad de un sistema paa ealiza un tabajo, el patón de la enegía es el mismo que el del tabajo que en el sistema intenacional hemos visto que es el julio. Es impotante señala que, al contaio que de lo que ocuía con las fuezas, la enegía no es un estado físico eal, ni una "sustancia intangible" sino sólo una magnitud escala que se le asigna al estado del sistema físico, es deci, la enegía es una heamienta o abstacción matemática de una popiedad de los sistemas físicos. Finalmente nótese, que al esta ligado al tabajo, el concepto de enegía está elacionado con el concepto de fueza. Esto último hace que, al igual que ocuía en el caso de las fuezas, aunque podamos habla de muchos tipos de enegía todos ellos pueden explicase en vitud de los cuato tipos fundamentales de inteacciones. 9

10 Tabajo y enegía. Concepto de enegía. Enegía cinética. Enegía cinética Vamos a supone un cuepo o sistema mecánico que se mueve desde un punto a un punto B y sobe el que actúa una fueza neta F. Po definición tendemos que el tabajo que ealiza la fueza neta sobe el sistema en dicho desplazamiento seá: B W B B = F d En vitud de la segunda ley de Newton, la fueza neta actuando sobe un cuepo tiene que se igual a la masa inecial del cuepo po su aceleación: B B Bdv B d WB = ma d = m a d m d m dv = = dt = dt = m dv v = m v dv = m = v = v v B B B v v m 2 B m 2 2 ( B ) 10

11 Tabajo y enegía. Concepto de enegía. Enegía cinética. W = m v v 2 Si definimos la enegía cinética como: EC = 2 2 ( ) B B 1 2 podemos intepeta el esultado obtenido en diciendo que el tabajo ealizado po la fueza neta actuando sobe un sistema es igual a la vaiación de su enegía cinética. Ejecicio.- Un objeto de 5 kg de masa se levanta mediante una cueda que ejece una tensión de 75 N y hace que el objeto ascienda 3 m, patiendo del eposo. Detemina: a) Tabajo ealizado po la tensión; b) Tabajo ealizado po la gavedad; c) Velocidad final del objeto. Ejecicio.- Una patícula de 5 kg de masa, patiendo con una velocidad inicial de 12 m/s, ecoe 3 m en una tayectoia ectilínea bajo la acción de una fueza dada po F=Cx 3, donde C=2 N/m 3. Detemina el tabajo ealizado po la fueza y la velocidad final de la patícula. mv W = E ( B) E ( ) B c c 2 11

12 Fuezas consevativas y no consevativas Tabajo y enegía. Fuezas consevativas. Enegía potencial. Supongamos que un sistema se mueve desde un punto a un punto B del espacio bajo la acción una fueza neta. Como hemos visto esta fueza en geneal (salvo que dicha fueza sea nomal a la tayectoia) va a ealiza un tabajo sobe el sistema dado po: W B B = F d Como hemos visto de esta definición se deivaban una seie de cuestiones impotantes de las que aquí destacaemos la dependencia, en geneal, del tabajo de la tayectoia seguida po el sistema paa i desde el punto al punto B. Esta consecuencia de la definición de tabajo de una fueza es geneal, sin embago existen fuezas paa las cuales el tabajo ealizado no depende de la tayectoia seguida sino solamente de los puntos inicial y final. Esta popiedad pemite distingui o hace una selección de los difeentes tipos de fuezas existentes en la natualeza: a).- Fuezas de tipo consevativo: aquellas en las que el tabajo que ealizan paa pasa de un punto a oto es independiente de la tayectoia seguida y depende sólo de los puntos inicial y final. b).- Fuezas de tipo no consevativo: aquellas en las que el tabajo que ealizan paa pasa de un punto a oto depende de la tayectoia seguida. 12

13 Tabajo y enegía. Fuezas consevativas. Enegía potencial. El tabajo ealizado po las fuezas de tipo no consevativo es en geneal difícil de evalua, depende del tipo conceto de fueza, y, en cualquie caso, no pueden obtenese esultados teóicos geneales inteesantes paa el mismo. quí vamos a analiza las fuezas de tipo consevativo y vamos a ve que, en geneal, el cálculo del tabajo que ealizan va a se mucho más sencillo. Puesto que, po definición, el tabajo de las fuezas consevativas es independiente de la tayectoia dependiendo sólo de los puntos inicial y final, debe de pode escibise como la difeencia de una función escala evaluada en dichos puntos, es deci: B W = F d = E ( ) E ( ) esto significa que la integal debe de tene una función pimitiva. demás, po la definición de integal, dicha función escala debe de menos la función pimitiva de la integal del poducto escala de la fueza po difeencial de d : ( Ep ) = F d + K la función E ( p ) se le denomina enegía potencial y como se veá a lo lago de este cuso las fuezas gavitatoia y electostática son consevativas y podemos defini, po tanto, una enegía potencial gavitatoia y una enegía potencial electostática. B p p B 13

14 Tabajo y enegía. Fuezas consevativas. Enegía potencial. Enegía potencial gavitatoia En pime luga vamos a compoba que la fueza o inteacción gavitatoia es una fueza consevativa paa ello vamos a calcula el tabajo ealizado po dicha fueza cuando nos movemos desde un punto con un vecto posición a un punto con un vecto posición B. El tabajo ealizado po la fueza gavitatoia vendá dado po: B dθ ˆ d u duˆ B B B GmT m W ˆ B = F d = F d = u 2 d = B GmT m = ˆ 2 u ( ˆ ˆ du + d Θ u ) = B 1 = Gm 2 ( ˆ ˆ ˆ ˆ Tm du u + dθu u ) = B B = GmTm d = Gm 2 Tm GmTm = B 14

15 Tabajo y enegía. Fuezas consevativas. Enegía potencial. Enegía potencial gavitatoia Podemos calcula fácilmente el valo de la enegía potencial gavitatoia evaluando la integal indefinida F d GmT m dθ ˆ d u duˆ E ˆ p() = F d + K = u 2 d + K = GmT m = ˆ 2 u ( ˆ ˆ du + d Θ u ) + K = 1 = Gm 2 ( ˆ ˆ ˆ ˆ Tm du u + dθu u ) + K = 1 GmT m = GmTm d = + K 2 Lo habitual es toma el oigen de enegía potencial gavitatoia, es deci, E p =0 en, en cuyo caso la constante de integación se anula y la enegía potencial gavitatoia tomaía la foma: E p GmT m () = 15

16 Tabajo y enegía. Fuezas consevativas. Enegía potencial. Enegía potencial gavitatoia Supongamos ahoa que queemos calcula la difeencia de enegía potencial gavitatoia ente dos puntos muy póximos a la supeficie de la tiea. h B h h B R T R T h R T GmT E ( ) E ( ) = m h h = mgh ( ) p p B 2 B RT 16

17 Enegía potencial elástica Tabajo y enegía. Fuezas consevativas. Enegía potencial. Como vimos en el tema anteio cuando se ejece una fueza modeada de tacción o compesión sobe un sólido la defomación, elongación o contacción, que sufe es, en pimea apoximación, diectamente popocional a la fueza a tavés de una constante que depende de las popiedades del mateial y que se denomina constante elástica del mateial. x F F kx El tabajo ealizado po esta fueza seá igual a 2 2 ( 2 1 ) 2 B x2 x2 WB = F dx = kx dx = k xdx k x x x = 1 x = x1 Po lo tanto la enegía potencial elástica seá igual a: E ( x ) = P kx 2 2 x 2 x k 17

18 Tabajo y enegía. Pincipio de consevación de la enegía mecánica. Pincipio de consevación de la enegía mecánica Vamos a considea un sistema sobe el cual está actuando un conjunto de fuezas que podemos sepaa, según la definición que hemos dado, en consevativas y no consevativas: n m ( consevativas) ( no consevativas) Fi Fj ma Fneta i1 j1 El tabajo ealizado po estas seá igual a: i1 B n m ( consevativas) ( no consevativas) Fi F j d i1 j1 B n m ( consevativas) ( no consevativas) Fi d Fj d i1 j1 n B F d F d F neta d n B B ( consevativas) ( no consevativas) i i i1 El tabajo ealizado po la fueza neta hemos visto que es igual a la vaiación de la enegía cinética, es deci B F d = E neta c ( B ) E c ( ) 18

19 Tabajo y enegía. Pincipio de consevación de la enegía mecánica. Po oto lado, el tabajo ealizado po cada una de las fuezas consevativas puede escibise como la difeencia de evalua una función potencial al inicio y al final de la tayectoia consideada, es deci: De donde: Definiendo la enegía mecánica como: F d E ( ) E ( B) n B n ( consevativas) i P i Pi i1 i1 F d E ( B) E ( ) E ( B) E ( ) n B n ( no consevativas) i c c Pi Pi i1 i1 n n E ( B) E ( B) E ( ) E ( ) c Pi c Pi i1 i1 E E E E B E F d n n B ( no consevativas) mecanica ( ) c ( ) P ( ) ( ) ( ) i mecanica mecanica i i1 i1 Si sobe el sistema no actúan fuezas no consevativas tenemos: Emecanica cte 19

20 Tabajo y enegía. Pincipio de consevación de la enegía mecánica. Ejecicio.- Si una patícula de 200 g se suspende de un hilo de 80 cm de longitud y se sepaa 45º de la vetical, detemina: a) Velocidad cuando pasa po la posición de equilibio; b) tensión del hilo en esa posición. Solución: a) 2.16 m/s b) 3.17 N Ejecicio.- Una patícula de masa m desliza sin ozamiento po la pista de la figua. Detemina: a) Valo mínimo de la altua H desde la que hay que dejala cae paa que complete la tayectoia cicula de adio R; b) Velocidad de la patícula en esa posición. Solución: a) H=2.5R b) gr 20

21 Tabajo y enegía. Pincipio de consevación de la enegía mecánica. Ejecicio.- Una patícula se deja en libetad en la pate supeio de un plano inclinado de 30º y 4 m de altua. Si el coeficiente de ozamiento es 0.2, detemina su velocidad al llega al suelo. Solución: 7.23 m/s. Ejecicio.- Un objeto de 3 kg se deja libe a una altua de 5 m sobe una ampa cuva y sin ozamiento, como en la figua. Si el objeto se desliza po la ampa y choca conta un muelle de constante elástica k=400 N/m, detemina: a) Velocidad del bloque antes de choca conta el muelle; b) Distancia x que compime al muelle antes de queda momentáneamente en eposo. Solución: a) 10 m/s b) 0.87 m Ejecicio.- Un bloque de 2 kg se deja en libetad sobe un plano inclinado de 30º a una distancia de 4 m de un muelle de constante 100 N/m. Detemina: a) Máxima compesión del muelle en ausencia de ozamiento; b) Máxima compesión del muelle cuando el coeficiente de ozamiento es µ=0.2; c) Distancia que subiá el bloque cuando abandone el muelle si µ=0.2. Solución: a) 1 m b) 0.79 m c) 2.32 m 21

22 Potencia Tabajo y enegía. Potencia. Supongamos que queemos subi una caja pesada a una cieta altua: L h W mgh Fminplano mg sin F F minpolea Fminplano minpolea mg plicamos F>F minpolea >F minplano y calculamos la aceleación y el tiempo que tadamos en subi la caja en cada caso: a t plano plano F mg sin m 2mh F mg sinsin t polea F mg sin sin( ) 1 t plano F mg t t polea plano a t polea polea F mg m 2mh F mg 22

23 Potencia Tabajo y enegía. Potencia. La potencia que desaolla un sistema es igual a la vaiación de la enegía especto al tiempo: Las dimensiones de la potencia seán la enegía o el tabajo divido po unidad de tiempo, que en el sistema intenacional seán el julio patido po segundo, y a esta unidad se le denomina watio (W): P W t P dw dt J s 1 W = 1 Es muy usual, sin embago, utiliza paa esta magnitud oto patón de medida, el caballo de vapo (HP o CV), cuya elación con el vatio es la siguiente: 3 1 W = HP 1 HP = 1 CV = 746 W Es inteesante hace nota que a veces se utiliza la potencia po unidad de tiempo paa expesa la enegía, así, po ejemplo, es muy usual habla del kilovatio hoa. Sin embago esta cantidad equivale a una enegía o tabajo y no hay que confundila con una unidad de potencia. J s 23

24 Potencia Tabajo y enegía. Potencia. Teniendo en cuenta la definición de potencia y teniendo en cuenta la definición de tabajo se obtiene: dw F d d P F Fv dt dt dt Ejecicio.- Un pequeño moto mueve un ascenso que eleva una caga de ladillos de peso 800 N a una altua de 10 m en 20 s. Cuál es la potencia mínima que debe suminista el moto? Ejecicio.- Un automóvil acelea a máxima potencia de 0 a 96 km/h en 6.5 s. Suponiendo que la potencia es constante en todo el poceso de aceleación Cuánto tiempo necesitaá paa acelea de 80 km/h a 112 km/h? 24