Ejemplo: El rango (o imagen) de una función f, se designa por Rf o imf y se define como el conjunto siguiente: Df : x - 2 > 0 : x 2 Df = [2, >
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- María Concepción Sandoval Acosta
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1 FUNCIONES REALES FUNCIONES Deinición: Sean A B dos conjuntos no vacíos (pudiendo ser A = B) llamaremos unción deinida en A los valores en B (unción de A en B) a toda relación: A B que tiene la propiedad: (a, (a,, entonces = c Es decir, una unción es un conjunto de pares ordenados de elementos, tal que dos pares distintos nunca tienen el mismo primer elemento. Notación: Si es una unción de A en B se designa por: : A B ó A B ó a A Se lee es una unción de A en B Ejemplos: A a c B ={(a, ) (, ) (c, )} Es unción B Siendo a c diremos: A B M a c d N M N ó ={(,(,(,} Es unción * Toda unción es una relación, pero no toda relación es un unción. Hallar los valores de a para que el conjunto de pares ordenados sea una unción: A = {(,)(-,-)(,a - (-; -(a +, } En una unción pares distintos nunca tienen el mismo primer elemento. Dominio rango de una unción: El dominio de una unción, se designa por D se deine como el conjunto siguiente: D = { A/ tal que (, ) } Es decir son las primeras componentes de los pares ordenados El rango (o imagen) de una unción, se designa por R o im se deine como el conjunto siguiente: R = { B/ tal que (, ) } Es decir son las segundas componentes de los pares ordenados. Si el par ordenado (a, escriiremos: = ( diremos que es imagen de a por (o tamién, que es el valor de en. = {(a, A / = (, a D} Sea la unción: = {(, )(, 4)(7, )(-, 6)(4, )} Hallar: M =() + () +(7) +(-)+() Como () = ; () = 4; (7) = (-) = 6; (4) = M = 8 Regla de Correspondencia: Para que se pueda deinir ien una unción es suiciente conocer su dominio (D), una regla que permita asignar para cualquier D, su imagen (). Hallar el dominio en las siguientes unciones: = {(, )(4, )(6, )(-, )} D = {, 4, 6, - } () = D : - > 0 : D = [, > () = D : D = <-, -> [, > -{} Hallar el rango de las siguientes unciones: = {(, ) (4, 6) (, 7)(7, 6)(-, )} R = {, 6, 7, } Sea () = R = ; R D= <-, > U {0} ; R=[0, > * Tenemos varias ormas de hallar rangos, presentaremos las más conocidas: Cuando tenemos una unción donde su dominio no presenta rango, se despeja en unción de. Cuando tenemos un intervalo como dominio usamos desiguales. Para la unción deinida por: g() = + + / R = ( - ) = 0 Amar, adorar servir
2 9 4()( ) () L ()=k Signiica que = {... (-, ) (-, )(0, 0)(, )...} Si ; luego tamién Pero: 0; 9-8( - ) 0 7/8 Rg = {7/8, > Para la unción deinida por: h() = ; [, ] = = ( - ) + Como: 0 - Al cuadrado: 0 ( - ) F() es unción L, la recta paralela corta a la gráica en solo un punto. F() 0. Función Identidad: - Regla de correspondencia D = R R = R Signiica que F = {...(, )(, ) (, )...} = 6 () () = = = ; = = -; = Gráica: = Sumando tres a cada miemro: ( ) 4 Rh 4 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Deinición: Sea una unción real, la gráica de e el conjunto G, de todos los puntos (, ) en el plano, tal que está en el dominio de e, es la imagen de por, es decir: L G() G() no es unción L, la recta paralela, corta a la gráica en más de un punto. FUNCIONES ESPECIALES Gráica: () = 4. Función Raíz Cuadrada: - Regla de correspondencia: () =. 0 - D = R+; R = R+ Signiica que: = {(0, 0)(, )(, )(, )...} Gráica: = G = {(, ) R / = (), D} * Una gráica cualquiera será unción; si sólo si al trazar una paralela al eje corta a la gráica en un sólo punto.. Función Constante: - Regla de correspondencia () = k D = R R = k Signiica que = {... (0, k) (, k) (, k)...} = {(, k) / () = k} Gráica:. Función Valor Asoluto: - Regla de correspondencia () = ;si 0 Nota: ;si 0 D = R; R = R+ {0}. Función Lineal: Es una unción con dominio todos los reales como regla de correspondencia: () = a +, donde a son constantes cualesquiera. a 0 Amar, adorar servir
3 Su gráica es un recta: con pendiente a e intercepto Gráica: = - 4m... () De () (): m = - = 4 () = - +4 a > 0 D > 0 (-/ VERTICE {; } raíces iguales de la ecuación cuando = 0 III. = m + m < 0 = m + m > 0 6. Función Cuadrática: Deinición: Es una unción con dominio el conjunto de los números reales cua regla de correspondencia es: () = a + + c; a,, c, ; a 0 Su gráica es una paráola simétrica respecto a una recta vertical, llamada eje de simetría, aierta hacia arria si a > 0 hacia aajo si a < 0. Nota Gráica: a < 0 D > 0 {; } raíces de la ecuación cuando = 0 II. -/a a > 0, D < 0 (-/ -/a -/a (-/ Sea la unción = a + + c D = Discriminante = - 4ac = = - /a m = pendiente de la recta I. a > 0 D > 0 a < 0, D < 0 m = tg Calcular la unción lineal que tenga: ()= además () = (). () = m + () = m + =... () Además: m + = (m + m + = 6m + -/a VERTICE (-/ a < 0 D = 0 = = - /a En esta unción cuando = 0; los valores de son números complejos. Otras unciones Funciones Pares: Son aquellas unciones que se caracterizan por ser simétricas respecto del eje ; se cumple que: i) Si D - D ii) () = (-) D Amar, adorar servir
4 Funciones Impares: Son aquellas unciones que se caracterizan por ser simétricas respecto del origen: i) Si D - D ii) () = -(-) D Indicar que unciones son pares, impares o ni par ni impar: I) F() = 4 + I) F() es par porque: F(-) = (-) 4 + F(-) = 4 + F(-) = F() PRACTICA DE CLASE 0. Si: G = {(6, 4)(, 6),(, ), (, )} Representa una unción su rango dominio son: {6, -6, } ; {,6} {,6,-6} ; {; -6} {4, 6, } ; {, 6, -6} {4, 6,, -6} ; {, 6, -6} {4; -6; } ; {, -6} 0. A partir de: = {(,)(4,) (,8) (7,-6)} Hallar: (4) + () - (7) Si: g = {(-4, ) (,, (8,, (, )} Y además: g() = 0; g(8) = 4.Hallar: (-4) + a Sea = {(, ) / = - } Y además Dom = {-,,, 4} Hallar el rango de {-4, -,, } {-4,,, } {-,,, 7} {-9,,, 7} {-9, -,, 7} 06. Dada; la unción: G = {(, ) N N/ = 0} Indique uno de sus elementos: (4, -8) (, 6) (4,8) (8, 4) (,) 07. Calcular el Dominio de: () = 4 -<-, > <-, > [-, ] <-, -> <; +> Hallar el Dominio de: () - {-} -{} - {,, - } - [, +> {} G() 09. Sea:. Calcule su Dominio [, +> [-, -] [-, > - {-} [-; -> <-, ] - {-} 0. Otener el Dominio de: H() 6 <-, > [-, ] - [-, ] - <-, > - {-, }. Dada la unción: g() 6 Otener su dominio: <-, -] [; +] <-,> [-, ] - [, ] - [-, ]. Hallar el Dominio de: 9 () 4 [, ] [-, ] -{-, } - <-4,. Calcular el rango de: () 6 - {6} - {} - {-} - <-, > - {-6} 4. Hallar el Rango en: g() 6 - {} - {0} < - ; ] - - {-} [, >. Hallar el Rango en: H() - + {-} <-; 0>-{-} + - {} 6. Sean las unciones: 4 () ; g() Luego podemos airmar: Presentan el mismo Rango Sus Rangos se dierencias en un valor (0) = g(0) () = g() Ha correctas Amar, adorar servir
5 7. Otener el Rango en: () = + +7 [,7] [4/, + > [/4; +-> <-: 4/] <-; 4/> 8. Hallar el Rango en: H() = <; +> [0,] <-, > - <-, > 9. Otener el Rango en: () = [, ] 6 [, ] 6 [, ] [0, 6 ] [, ]. Sea: () = ; Hallar el rango <,> [4, 6] [; ]. Hallar el Rango de: () = Si su dominio está dado por: [-, > <4, ] <, 6] [-,-> ; 8 6 ; 6 8. Qué gráicos representan unciones? I) III) II) IV) Sólo I I II Sólo II I III Todos 4. Del gráico: -4 Otener el dominio de () [-, 9] [-, 9> [-4; 8> [-4, > [-4, 8]. Graicar: g() = () - 6. Graicar: h() = Dada la unción: F (, ) / Indique la suma de sus valores etremos: V) 7. Graicar: () = 0 - Amar, adorar servir
6 0. Hallar el rango de: G() = Práctica de clase 0 [0, 6] [0, ] [, ] 6 [, ] [-, ] Del prolema anterior: Si los radicales estuvieran multiplicándose, Cuál sería el Rango? {} - {-} - {-} - {} - {} 08. Calcular el Dominio de: G() = 4 6 [-6, +> <-, -4] <-, 4] <-, -] [-4, +> 0. Qué gráica no representa una unción? 9. Del gráico: - + [0,] [0, ] [, ] 0. De g() = +, <, 6> Hallar su Rango: <, 8> <0, > [, 8] <, > [, ] 8. Graique: 0 () -4 - Hallar (-4) + (4) 4 0. De H = {(, 6), (, 4), (6, ),(9, )} Hallar: () + () + (6) - (9) Dada la unción: () = a + + ; a 0 Si: (o) () Dom. Hallar o a- -a- - - / 06. Hallar el dominio de: g() = 6 - {6} {6} <-, > [, +> - {6} 07. Otener de Dominio de: 6 F() Amar, adorar servir
2-2 (x) (x) (x) 3. Para hallar la ecuación canónica de la parábola, gráfico de la función f(x) = ax 2 + bx + c, se procede de la siguiente manera:
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