GEODESIA SISTEMAS DE REFERENCIA

Transcripción

1 GEODESIA Pregunta: Dónde puedo encontrar material didáctico sobre geodesia? Respuesta: Sobre temas didácticos de la geodesia, he puesto recientemente un interesante material didáctico en la dirección En esta dirección de internet se pueden encontrar apuntes, programas, datos e interesantes links de internet, para comprender y utilizar correctamente las herramientas de una disciplina tan importante como es la geodesia. Confío en que esta nueva actualización de mi material docente sea interesante y termino diciendo que en la dirección están mis apuntes sobre la asignatura Geodesia, en ficheros PDF comprimidos dentro de ese fichero ZIP. Cada fichero corresponde a un tema del temario "Programa.pdf" que puede capturase desde pinchando el texto "programa docente". Los apuntes están manuscritos sin una presentación bien mecanografiada. No obstante, la letra se puede leer bastante bien. Por ello, confío en que este material pueda ser útil. SISTEMAS DE REFERENCIA Pregunta: Cuál es la compatibilidad de los sistemas de referencia GRS80 y WGS84? Respuesta: Respecto a los sistemas de referencia GRS80 y WGS84, no hay problema pues son completamente compatibles entre sí (Smith and Roman, 2001; Corchete, 2010). Por tanto, se puede usar el programa GEOSAT en combinación con los datos de EGM2008 descargados de su página web. El fallo que da el programa GEOSAT para grados y órdenes mayores que 360, es lógico pues el programa está diseñado para ser usado como herramienta en el cálculo gravimétrico del geoide, tal como está descrito por Corchete (2010). En este caso, se puede ver que GEOSAT se emplea para calcular los efectos de onda larga hasta el grado y orden 360. Esta limitación del programa no es muy grave, pues generalmente los grados y órdenes superiores de un desarrollo en serie geopotencial, suelen ir muy mal para los países que tienen pocos o malos valores de la anomalía de la gravedad, determinados en el terreno. Este desarrollo en serie geopotencial, para altos órdenes y grados, sólo va bien para los países que tienen muchos y buenos valores de la gravedad determinados para todo su territorio: US, Japón, Francia, Reino Unido, Alemania, países nórdicos y en general lo que se llama el primer mundo (países tecnológicamente avanzados). Por ello, muchas veces es preferible usar el programa GEOSAT, que computa el modelo EGM2008 hasta grado y orden 360, en lugar de usar todo el desarrollo completo. CÁLCULO DEL GEOIDE: DATOS Pregunta: Qué importancia tienen los datos de gravedad en geodesia? Respuesta: Es de importancia crucial disponer de una base de datos de gravedad densa y precisa (anomalías de la gravedad), ya que, puede permitir calcular geoides de precisión centimétrica. Por suerte para todos, ya hay muchos organismos mundiales que proporcionan datos de forma gratuita, facilitando la tarea de los investigadores que empiezan a trabajar en este campo científico. En la dirección de internet se puede encontrar una lista de direcciones en la que figuran los organismos internacionales más importantes.

2 Pregunta: Dónde puedo conseguir los datos de gravedad necesarios para calcular el geoide de cualquier región ibérica? Respuesta: Los mejores datos de gravedad para el área ibérica están en posesión del IGN (Instituto Geográfico Nacional, Madrid), por ello, debería bastar con pedirle estos datos al IGN y usarlos para calcular el geoide correspondiente. No obstante, hay dos organismos mundiales que también pueden proporcionar datos de gravedad: National Geophysical Data Center (NGDC) y Bureau Gravimetrique International (BGI); sus direcciones de internet se pueden capturar desde pinchando en el texto "links de geodesia". Allí también se puede encontrar otra información interesante al respecto. Por ejemplo, pinchando en el texto "el geoide IGG2005" se puede capturar una presentación completa sobre el cálculo del geoide, de la cual se puede saltar a las páginas web de distintos organismos mundiales que proporcionan datos. De todas formas, el nuevo modelo geopotencial EGM2008 es ya un modelo muy bueno, esto significa que cualquier modelo de geoide gravimétrico que se calcule debe ser muy preciso para mejorarlo, pues en caso contrario nadie va a utilizar un modelo gravimétrico si se dispone ya de un modelo geopotencial gratuito y más preciso. Yo he comprobado que la precisión del modelo geopotencial EGM2008, es cercana a la precisión de NIBGEO ( en el norte de España y a la precisión que alcanza SOSGIS ( en el sur de España. Para más información sobre el modelo EGM2008 se puede consultar la página web que viene reseñada en los "links de geodesia", que antes he mencionado. Pregunta: Qué datos se necesitan para comprobar un geoide? Respuesta: En primer lugar y como punto más importante, para comprobar un geoide debemos utilizar sólo puntos de precisión, es decir, puntos cuya cota ortométrica tenga un error de pocos centímetros. Si no tenemos garantías sobre la precisión de tales puntos, dicha comprobación no sirve para nada. Por supuesto, si dichas alturas tienen error de 1 cm o menor, esos son los datos ideales para realizar tal comprobación, debiendo descartar otros puntos con errores mayores. En este sentido, los vértices geodésicos no nos sirven para comprobar nada, pues su error es del orden de 30 ó 40 cm, dependiendo de unas zonas u otras. Por ello, no podemos usar una medida de altura imprecisa (con un error mayor que 30 cm) para comprobar un modelo de precisión (cuyo error se desea que sea de pocos cm). Para ello, necesitamos usar medidas que sean más precisas que el modelo que queremos comprobar. Respecto a esas medidas, los puntos que cumplen esos requisitos de gran precisión son los puntos GPS/nivelación. Algunos autores han realizado estas medidas, que son muy costosas en tiempo y dinero, en distintas áreas de España para poder validar sus modelos, es decir, para poder comprobar el error en sus modelos de geoide. Afortunadamente, desde hace pocos años esta situación ha cambiado mucho, pues con motivo de una campaña geodésica que se realizó en toda Europa, se obtuvieron una serie de medidas de gran precisión que están disponibles en Estas medidas, por desgracia, corresponden a muy pocos puntos en cada país participante en dicha campaña, pero por suerte sus alturas son de gran precisión. Para más detalles sobre estos datos se puede acudir a En consecuencia, gracias a que estos datos son públicos (y obtenibles desde internet de forma libre y sin coste alguno), los investigadores de toda Europa tienen ahora al menos unos pocos puntos, en cada país participante en esta campaña, para poder validar sus modelos. Concretamente en el área ibérica tenemos disponibles los datos que figuran en la diapositiva 38 del fichero PPT

3 En esta presentación PPT se explica cómo se calcula un geoide y cómo se comprueba su error. Gracias a los pocos puntos de gran precisión que proporciona la red vertical europea, en el área ibérica, todos los investigadores podemos ahora comprobar la fiabilidad de nuestros modelos, ya que disponemos de las medidas de gran precisión necesarias para ello. En este sentido, es posible que ninguna revista internacional con índice de impacto (o de prestigio), acepte ya modelos de geoide calculados en el área ibérica, que no hayan sido comprobados en tales puntos de precisión, con independencia de que también se realice dicha comprobación en otros puntos que sean muy precisos. Tampoco es fácil que una revista internacional con índice de impacto, publique un modelo de geoide en el que no se incluya el modelo digital del terreno SRTM (u otro DTM cuya resolución sea mayor o igual que 90 x 90 metros, nunca menor) y el último modelo geopotencial EGM2008 (obtenido en 2008). Pregunta: Qué podemos esperar de los datos que proporcione el nuevo satélite GOCE? Respuesta: Respecto al lanzamiento de este nuevo satélite, he leído lo siguiente: Los datos recopilados por GOCE tendrán una precisión de 1 a 2 cm en la altitud del geoide y de 1 mgal en la detección de anomalías del campo gravitatorio (las montañas, por ejemplo, suelen provocar variaciones gravitatorias locales que van desde decenas de mgal hasta cerca del centenar). GOCE ofrecerá mejor resolución espacial, de 100 km, en comparación con los cientos o miles de kilómetros de las misiones anteriores. En mi opinión hasta no ver los datos publicados en internet de libre acceso, no se pueden echar las campanas al vuelo. Cuando pueda descargarlos de forma gratuita y utilizarlos, podré decir si son útiles o no y hasta qué punto. No obstante, con la información que veo en el texto anterior, puedo decir que los datos de gravedad que yo estoy utilizando hasta la fecha (anomalías aire-libre), tienen un error que en el mejor de los casos está entre 0.1 y 0.2 mgal. Este error es el mayor error que podemos aceptar en los datos de gravedad, si queremos obtener un geoide de precisión (entre 1 y 5 cm de error en desviación estándar). Yo en este momento puedo decir, que sólo en el caso del geoide de Hungría, he conseguido datos de gravedad suficientes y bien determinados, es decir, con un error que realmente está entre 0.1 y 0.2 mgal, como máximo. Consecuencia de ello es que el geoide de Hungría, que actualmente tengo enviado a publicar con la referencia Corchete V., The first high-precision gravimetric geoid of Hungary: HGG2009. Geophys. J. Int., submitted for publication. y puesto en internet en tiene un error de 3.6 cm en desviación estándar. Se trata del modelo de mayor precisión que he obtenido hasta la fecha. Dicho esto, somos conscientes de que los datos de gravedad no sólo deben ser abundantes y bien distribuidos, además, deben ser de precisión. Entonces los errores que se mencionan en el texto anterior de 1 mgal, resultan en general excesivos para calcular con ellos un geoide de precisión. No obstante, en áreas en las que no se disponga de otros datos gravimétricos medidos sobre el terreno, estos datos de satélite permitirán empezar a trabajar y obtener modelos de geoide, que quizás puedan mejorar algo el modelo de geoide mundial, que se obtiene desde un modelo geopotencial. Lo que sí es lógico pensar es que poco tiempo después de que se realicen las medidas de gravedad con este satélite, dispondremos de un nuevo modelo geopotencial mejorado, pues estoy seguro que las componentes de onda larga del campo de gravedad terrestre, sí que van a estar muy bien determinadas con estos nuevos datos. En ese sentido la afirmación de que: "Los datos recopilados por GOCE tendrán una precisión de 1 a 2 cm en la altitud del geoide." Me parece excesiva si es para toda la Tierra. No obstante, estoy seguro de que el nuevo modelo geopotencial que se obtenga añadiendo estos nuevos datos, mejorará el modelo geopotencial

4 EGM2008, siendo muy posible que alcance esa precisión alta en algunos países de Europa y en Estados Unidos, Canadá, Australia y Japón; en los cuales ya hay muchas y precisas medidas de gravedad, que junto con estos nuevos datos de gravedad de onda larga, darán como resultado un nuevo geoide geopotencial mucho más preciso. Por ejemplo, ahora mismo ya tenemos EGM2008 que en algunas áreas del mundo tiene precisión centimétrica, como en el caso de Hungría, donde he comprobado que su precisión es de 4.5 cm en desviación estándar. Hay que pensar que hasta hace pocos años, esta precisión era impensable para un modelo geopotencial, en ningún área de la Tierra. Sin embargo, vemos ahora que EGM2008 ya tiene precisión centimétrica en algunos países de Europa y en Estados Unidos, Canadá, Australia y Japón. Por ello, puedo finalizar diciendo que estos avances científicos suponen siempre una gran mejora, que antes o después resulta muy útil. Por otra parte, los organismos que impulsan estos avances científicos, dan ejemplo de generosidad cuando ponen sus datos a disposición de todo el mundo, de acceso libre en internet, cosa que deberían hacer también otros organismos, para impulsar el avance científico y no frenarlo como realmente hacen. Es una pena pensar que hay muchos datos de gravedad, de muchas áreas del mundo, que están en manos de particulares que no permiten usarlos. Espero que el ejemplo de esta misión cunda y veamos más datos de calidad disponibles. Pregunta: Por qué se elimina la contribución de onda larga en los datos de gravedad para calcular un geoide? Respuesta: Respecto a la eliminación de la contribución de onda larga en los datos de gravedad, se busca eliminar lo que ya es bien conocido a través de un modelo geopotencial, porque este efecto no puede determinarse desde los datos de gravedad medidos en un área limitada de la Tierra. Esta corrección se aplica a los datos de gravedad y no a las alturas del DTM, pues se buscan objetivos distintos. Esto está bien explicado en el material docente que se puede consultar en pinchando en el texto "cálculo del geoide". En el cálculo del geoide hay que saber qué corrección hay que aplicar y cuándo aplicarla, según el efecto que deseemos corregir. Entiendo que esto es bastante complicado de saber, pero no queda más remedio que entender bien lo que se hace, cómo lo se hace y cuándo se debe hacer, si se quiere saber calcular bien. En estos casos aprender una receta de memoria no sirve, pues por desgracia, dependiendo de los datos que tengamos que usar, surgirán problemas que pueden cambiar los criterios o modificarlos parcialmente. En resumen, entender bien lo que se hace es lo único que garantiza que se haga bien. Pregunta: Es posible determinar un mapa digital de anomalías de la gravedad para todo el mundo? Respuesta: Construir un fichero con anomalías de la gravedad para todo el mundo es imposible, porque no hay datos de calidad (medidas de la gravedad) suficientes para ello. Se necesitarían muchas medidas para todos los países (incluyendo el tercer mundo) y otras áreas inaccesibles, de las que actualmente no hay datos (o hay muy pocos datos y suelen ser de mala calidad). Lo que sí puede hacerse es calcular anomalías de aire-libre teóricas que provienen de un modelo geopotencial. Para ello, se puede usar el programa que tengo disponible en Allí se puede ver cómo se calculan las anomalías aire-libre teóricas (Corchete et al., 2005). También hay información más detallada sobre este tema en pinchando donde dice "cálculo del geoide" y "aplicaciones de la geodesia". Por otra parte, para convertir anomalías aire-libre en anomalías de Bouguer, toda la información y un programa de cálculo están en

5 CÁLCULO DEL GEOIDE: PASOS A SEGUIR Pregunta: Por qué es importante determinar un geoide? Respuesta: En la página web puede obtenerse una presentación PPT, pinchando donde dice "el geoide IGG2005". Allí se explica por qué es importante determinar un geoide (diapositivas 5 a 9). En esta presentación está cuantificado el error cometido, cuando usamos las alturas elipsoidales (dadas por GPS) como alturas ortométricas. Pregunta: Cuáles son los pasos que hay que seguir para calcular un geoide? Respuesta: Respecto a los pasos para calcular un geoide los tengo publicados en el artículo Corchete V., Chourak M. and Khattach D., The high-resolution gravimetric geoid of Iberia: IGG2005. Geophys. J. Int., 162, También tengo unos apuntes en español disponibles en No son un artículo sino apuntes docentes, pero están bastante bien estructuradas y sobre todo muy bien acompañadas de referencias importantes. Si alguien estuviera interesado en convertirlas en una publicación docente, por mi parte no hay ningún problema, lo único que le pido a esa persona es que me cite como fuente de esos apuntes. Por mi parte, yo no escribo nunca artículos en español ya que en inglés se llega a un público mucho más amplio, pues sirven también fuera de España. De todas formas, recientemente he realizado la actualización de un documento PDF, dedicado a diversas aplicaciones de la geodesia. Este documento se puede capturar desde pinchando en el texto "Aplicaciones de la Geodesia". En este documento he procedido a incluir algunos temas de interés que antes no figuraban y que me habían solicitado en varias ocasiones. Uno ellos es la traducción al español, de la metodología de cálculo del geoide publicada en inglés en el artículo anteriormente mencionado. También se puede comprobar que en este fichero PDF hay algunos textos que aparecen subrayados en color, éstos son vínculos o links de internet, que al pincharlos nos llevan a interesantes direcciones, en las que hay documentos, programas de ordenador u otra información interesante sobre ese tema. De esta forma, el fichero PDF es un documento activo que al consultarlo, en un ordenador conectado a internet, nos lleva a otras direcciones web en la que podemos obtener más información, si estamos muy interesados en ese tema. Confío en que esta nueva actualización de mi material docente sea interesante y termino diciendo que en la dirección están mis apuntes sobre la asignatura Geodesia, en ficheros PDF comprimidos dentro de ese fichero ZIP. Cada fichero corresponde a un tema del temario "Programa.pdf" que puede capturase desde pinchando el texto "programa docente". Los apuntes están manuscritos sin una presentación bien mecanografiada. No obstante, la letra se puede leer bastante bien. Por ello, confío en que este material pueda ser útil. Pregunta: Pueden utilizarse imágenes en coordenadas UTM para el cálculo del geoide? Respuesta: Para calcular con precisión no conviene usar coordenadas UTM, pues provienen de una proyección de una superficie sobre otra, esto significa que inevitablemente se producen

6 deformaciones, es decir, que se introducen errores que se trasladan luego a cualquier computación posterior. Como antes, mi consejo es el mismo: ir a la fuente, utilizar las coordenadas geodésicas directamente y no sus proyecciones, con esto se evita añadir errores innecesarios. Pregunta: Cómo se puede crear un programa para calcular la ondulación del geoide? Respuesta: No es necesario crear un programa que calcule la ondulación del geoide, usando como datos la latitud y la longitud, pues los modelos geopotenciales desarrollados para toda la Tierra, permiten calcular la ondulación del geoide, para cualquier punto de la Tierra. Basado en estos desarrollos el programa permite hacer este cálculo. Los decimales tienen que estar separados con punto y no con coma, pues el programa está escrito en lenguaje FORTRAN, eso significa que las comas no las entiende como separador de decimales. Para calcular la altura ortométrica H de un punto, se tendría que aplicar la fórmula H = h - N, donde N es la ondulación del geoide (calculada con el programa), H es la altura ortométrica y h es la altura elipsoidal. Si la altura h es errónea el valor de H también será falso. La ondulación del geoide también se puede obtener calculando un modelo de geoide gravimétrico. Para ello, hay que usar datos de gravedad como se indica en la pregunta 2. Si no se tienen los conocimientos suficientes para ello, se debe contar con la ayuda de un experto, pudiendo tardar varios años en entender y programar estos complicados cálculos. Pregunta: Computación de los efectos de onda larga en el geoide Respuesta: Respecto a la computación de los efectos de onda larga en el geoide, la única forma de calcularlos bien es utilizando un modelo geopotencial, considerando sólo los bajos grados y órdenes del desarrollo en serie correspondiente (Corchete et al., 2010). Pregunta: Cuál es el objetivo de un filtrado? Respuesta: No es fácil explicar conceptos complicados de análisis espectral en pocas palabras, pero voy a intentar trasladar una idea intuitiva que ayude a comprender. En primer lugar, el objetivo de un filtrado es eliminar información inútil o errónea de una colección de datos. Con esta definición general, un filtro puede ser cualquier proceso que permita llevar a cabo esta tarea. Más concretamente y en el caso del cálculo del geoide, el objetivo de filtrar el DTM para quedarnos con la onda larga, es conseguir un DTM suavizado con el que se pueda aplicar la reducción RTM, en los términos que se indican en las respuestas anteriores. Se elige 60 minutos de arco como longitud de onda de corte, tras probar muchos valores y comprobar que con este corte la reducción RTM sale mejor, es decir, que aplicada a los datos de gravedad da el mejor modelo de geoide. Para comprender cómo funciona este filtrado 2D podemos situarnos en la página Aquí se puede observar en la Figura 1 un mapa de valores sin filtrar, es decir, los datos originales. Esta imagen podría ser perfectamente el DTM original que se usa para calcular un geoide. Cuando se aplica un filtro pasa-baja, deja pasar las longitudes de onda más largas que la longitud de onda de corte, eliminando las longitudes de onda más cortas que están presentes en los datos. Los resultados de este filtro se pueden ver en la Figura 3, en la cual se ve una imagen más suavizada de los datos originales representados en la Figura 1, en la que las contribuciones de las longitudes de onda corta han sido eliminadas. En un DTM la aplicación de un filtro de onda larga (con el corte en 60 minutos de arco) elimina los efectos de las ondas más cortas, quedando un DTM más suavizado que el original. La base teórica de estos filtrados la puedes consultar en en el nivel avanzado, pinchando donde dice "filtros básicos".

7 CÁLCULO DEL GEOIDE: CORRECCIÓN DEL TERRENO Pregunta: En qué caso puede utilizarse la FFT para calcular la corrección del terreno? Respuesta: Para determinar la corrección del terreno c, en la reducción RTM, hay que usar la fórmula dada por Torge (1989), calculando c por integración tal como viene indicado por Torge (1989). No se puede aplicar la FFT porque hay términos negativos y positivos (Torge, 1989; Corchete et al., 2005). En la reducción de Helmert sí se puede aplicar la FFT, pues en sólo se consideran las masas por encima del geoide, esto significa que c es siempre positiva. Cuando hay que contabilizar la topografía y la batimetría no se puede usar "nunca" la FFT, pues la FFT se aplica de un golpe y no se puede contabilizar cambios de signo, por eso hay que integrar de forma numérica. Afortunadamente, la integral que hay que hacer es muy sencilla, pues la densidad se considera constante, entonces se reduce a una integral puramente geométrica, cuya fórmula dada por Torge (1989), está demostrada y obtenida explícitamente por Nagy (1966). Esta fórmula es muy interesante, puesto que para calcular c se divide toda el área de estudio en prismas, calculando luego la atracción de cada prisma en un punto. Pregunta: Pueden utilizarse imágenes fotográficas para calcular la corrección del terreno? Respuesta: Yo no utilizo imágenes, sino los propios valores de altura con los que se generan dichas imágenes. Como norma, nunca se debe utilizar un producto derivado, si se tiene disponible la fuente de la que ha sido obtenido. En consecuencia, si se quiere utilizar un modelo digital del terreno (DTM), hay que ir directamente a la fuente, así se evita cualquier error de manipulación que hayan podido sufrir esos datos. Las imágenes de la topografía provienen de DTMs, como son el modelo SRTM o ETOPO1, la descripción breve de estos modelos están en mis artículos (ver referencias al final del documento). Es necesario incorporar ETOPO1 a SRTM porque éste último no tiene batimetría. Estos modelos se pueden capturarlos desde mi página web donde pone SRTM y NGDC. En el caso del modelo ETOPO1 te puedes traer un fichero ASCII, pero en el caso de SRTM te traes ficheros ZIP que contienen un área de 1ºx1º en formato binario. Esto significa que después de descomprimir el fichero ZIP se obtiene un fichero binario, que tienes que saber convertir en ASCII. Este tema tampoco es sencillo, pero por desgracia, ya sabemos que en el cálculo del geoide nada lo es realmente. CÁLCULO DEL GEOIDE: CORRECCIÓN RTM Pregunta: Por qué se restauran los efectos de onda corta en la corrección RTM, después de haberlos eliminado? Respuesta: Después de eliminar los efectos de onda corta y de onda larga de los datos de gravedad, hay que restaurar los efectos de onda corta (la información de onda larga no se restaura porque ya está en el término geopotencial, término N1 de la fórmula (1.3) del fichero "Gravimetric.pdf", capturable desde ), porque son información importante que hay en los datos y no se puede obtener un geoide de precisión sin ella. Si se trabaja directamente con los datos interpolados, sin restaurar la información que hemos quitado, obtendremos un geoide suavizado que puede ir bien en algunos casos, pero le faltará el grado de detalle que tiene un geoide de precisión, porque no tendrá la información de onda corta que le hemos quitado. Por ello, no es necesario recuperarla.

8 CÁLCULO DEL GEOIDE: EFECTO INDIRECTO Pregunta: Dónde puedo encontrar información acerca del efecto indirecto en el cálculo del geoide? Respuesta: Sobre el cálculo del efecto indirecto se puede consultar el apéndice IV del fichero "Gravimetric.pdf", que puede capturarse pinchando "cálculo del geoide" en la página En este fichero PDF van incluidas referencias que se citan a lo largo de las demostraciones, para que se puedan seguir desde la bibliografía original. CÁLCULO DEL GEOIDE: INTEGRACIÓN E INTERPOLACIÓN Pregunta: Durante el cálculo del geoide, se pueden utilizar los datos de gravedad sin emplear la FFT para calcular las integrales? Respuesta: Usar la FFT nos permite calcular más rápido y con gran precisión, calcular las integrales sin la FFT se puede hacer también pero no se gana nada. Por otra parte, los procesos de integración numérica de esas integrales, hay que calcularlos también con un ordenador, esto supone que también se cometen errores numéricos, que dependen mucho del algoritmo de cálculo que se utilice. De todos los modos, si calculamos las integrales sin la FFT tendríamos el mismo problema, quitar información de los datos supone quitar información del geoide que resulta al final del cálculo. El no usar la FFT no permite usar los datos brutos tampoco (sin quitar la información de onda corta), pues se trata de un problema de escasez de datos y no de un problema de integración. Los países afortunados que tienen una auténtica alfombra de datos (puntos de gravedad observada), no necesitan en absoluto ningún truco para mejorar su información (como la corrección RTM), tienen tantos datos que éstos les dan una información completa para las cortas longitudes de onda, sin necesidad de tener que aplicar ninguna reducción. Estos países son: Alemania, Reino Unido, Francia, Suiza, Holanda, Bélgica, países nórdicos (Dinamarca, Suecia y Noruega), Austria, Canadá, USA, Australia, Sudáfrica y Japón. Como puede verse son el primer mundo, los países más avanzados del planeta. Para los demás, no queda más remedio que inventar trucos para poder trabajar. Pregunta: Cómo se debe llevar a cabo la interpolación de los datos de gravedad para calcular un geoide? Respuesta: Por desgracia la interpolación de anomalías de la gravedad no puede hacerse de cualquier manera, según cómo se haga podemos tener valores distintos, aunque los datos que utilicemos sean siempre buenos. Las anomalías aire-libre que ofrecen distintos organismos internacionales, pueden estar calculadas en puntos distintos de un mismo territorio. Por ello, aunque los valores de una y otra base datos sean buenos, la interpolación de unos y otros da valores distintos, para el mismo territorio. Ello es debido a que, aunque el valor de la anomalía es bueno, cuando se calcula en puntos distintos tiene distinto valor. Por ello, si la interpolación no se lleva a cabo muy bien, el error que se comete durante el proceso de interpolación hace que el resultado sea distinto. El problema de la interpolación de datos de gravedad para el cálculo del geoide, no es un simple problema de interpolación matemática como muchos piensan, pues en este problema se introducen graves errores que no son debidos sólo al método de interpolación elegido, sino a la ausencia de datos en algunas zonas del área de estudio. En esas zonas las longitudes de onda corta no pueden determinarse con los datos de gravedad disponibles, por ello, se produce un error considerable en el cálculo del geoide, pues está ausente o distorsionada esa información de longitud de onda corta. Para evitar la pérdida de información de onda corta debido a esa escasez de datos, se aplica lo que se llama método RTM, que se puede leer en

9 pinchando donde dice "cálculo del geoide" y "aplicaciones de la geodesia". Esta distribución irregular de los datos de gravedad puede verse muy bien en la figura 1a de Corchete and Pacino (2007). Pregunta: Cómo se puede llevar a cabo el cálculo de la integral de Stokes, la corrección topográfica y el efecto indirecto? Respuesta: La integral de Stokes, la corrección topográfica y el efecto indirecto; se pueden calcular usando la Transformada de Fourier Rápida (en inglés FFT), tal como viene indicado en pinchando donde dice "cálculo del geoide". Allí se explica con detalle cómo se pueden escribir estas integrales, de forma que sean calculables usando la FFT. MODELOS GEOPOTENCIALES Pregunta: A qué se refieren los términos grado y orden en un desarrollo en armónicos esféricos del campo gravitatorio terrestre? Respuesta: El grado y orden se refieren al desarrollo en armónicos esféricos del campo gravitatorio terrestre. Los armónicos esféricos son funciones matemáticas que pueden utilizarse para describir muchas otras funciones, una de las funciones que podemos describir es la función que representa el campo de gravedad de la Tierra. Este problema es complicado y entenderlo bien requiere conocimientos de matemáticas avanzadas. En la página web pinchando donde dice cálculo del geoide, se puede capturar una monografía en la que trata este tema en las páginas 15 y 28. También pinchando donde dice aplicaciones de la geodesia, en la página 35. También hay otras publicaciones interesantes de geodesia y gravedad en Pregunta: Dónde puedo conseguir un modelo geopotencial? Respuesta: Tengo puesto en internet un programa de ordenador que permite utilizar fácilmente, el último modelo geopotencial EGM2008 (obtenido en 2008) Pregunta: Qué precisión puedo esperar de un modelo de geoide geopotencial? Respuesta: Los modelos de geoide desarrollados por satélite tienen una precisión limitada, pues para ajustar con precisión los altos grados y órdenes de los desarrollos geopotenciales, se necesita utilizar una gran cantidad de medidas de gravedad terrestres (anomalías aire-libre medidas sobre la superficie de la Tierra), lo cual origina un grave problema pues los datos de gravedad disponibles para toda la Tierra, no están bien distribuidos por toda la superficie terrestre ni son todos de la misma calidad y precisión. Por ello, se calculan geoides gravimétricos locales o regionales que son más precisos. Concretamente, el modelo EGM2008 comparado con el modelo de geoide que he desarrollado para el territorio de Argentina, tiene menos precisión mi modelo GAR que se puede descargar desde Respecto a este último modelo, Corchete and Pacino (2007) han realizado una comparación de los valores que da este geoide, con los de la red de nivelación de Argentina. En la Figura 3b de esta publicación, se puede ver que hay una gran parte de Argentina que se ajusta con un error menor que

10 10 cm, lo cual es comparable al propio error de los datos de nivelación, con los cuales se hace la comparación. MODELOS DE GEOIDE Pregunta: Dónde puedo conseguir un modelo de geoide? Respuesta: El organismo mundial denominado International Geoid Services tiene publicados en la dirección de internet los geoides de todos los países del mundo, que han sido suministrados por los distintos autores que trabajan en esta línea de investigación. También es posible encontrar algunos de estos modelos con instrucciones en español, conectando con mi página web en la cual se encuentran sólo los modelos que yo he desarrollado. MODELOS DIGITALES DEL TERRENO (DTMs) Pregunta: Qué resolución tiene que tener un modelo digital del terreno (DTM) para ser útil en geodesia? Respuesta: Respecto a los modelos digitales del terreno (DTM), con la resolución de 90 x 90 metros o similar, es más que suficiente para calcular las correcciones del terreno, pues estás son debidas sobre todo a las grandes distribuciones de masa, siendo los aspectos de detalle de esta masa poco importantes. Para comprender esto hay que recordar que la gravedad es una fuerza muy débil, que sólo resulta de gran magnitud cuando las masas implicadas son enormes. Por ello, las correcciones del terreno asociadas a la pequeña corrección de masa, que supone emplear DTM con resolución mucho mayor que 90 x 90 metros, resultan, en términos de atracción gravitatoria, prácticamente despreciables. ALTURAS ELIPSOIDALES Y ORTOMÉTRICAS Pregunta: En qué aplicaciones se podría trabajar con alturas elipsoidales (como las obtenidas con GPS) en lugar de alturas ortométricas? Respuesta: Respecto al uso de las alturas elipsoidales en lugar de las alturas ortométricas, la clave esta en el tamaño de la zona de aplicación. Para regiones pequeñas menores que 5 km x 5 km, probablemente la mejora que supone incorporar un geoide es pequeña (aunque puede ser importante en medidas de precisión), pues podemos considerar que en ese pequeño dominio el elipsoide y el geoide son prácticamente superficies paralelas. No obstante, para mayores dominios el error se irá incrementando en la medida en que el geoide y el elipsoide sean superficies de distinta forma. En terrenos montañosos sucede que el geoide es más complejo que en terrenos llanos, en los que su ondulación es más suave. Esto puede verse bien en la figura del geoide ibérico que aparece en la diapositiva 34 del fichero PPT Aquí vemos que las regiones montañosas tienen un geoide más ondulado que las llanas. Esto hace que el intervalo en el que podemos usar las alturas elipsoidales en lugar de las alturas ortométricas, con precisión, sea mayor en terreno llano. Por otra parte, si no se dispone de un buen modelo de geoide, aplicar esta corrección a las alturas elipsoidales para convertirlas en ortométricas, puede introducir mayor error que dejarlas tal cual. En resumen, hay que decir que no existen reglas fijas, por ello, las mejoras que se produzcan deben ser testadas en puntos que tengan alturas precisas, para

11 comprobar la eficacia del método empleado. Mi consejo personal es que usen siempre las alturas elipsoidales corregidas con un modelo de geoide (salvo que no haya ningún modelo que proporcione buenos valores), pues están son entonces verdaderas cotas ortométricas útiles en la ingeniería. Pregunta: Qué fiabilidad tiene los datos NAP? Respuesta: Yo no utilizaría en ningún caso los datos de la red NAP, hasta que el IGN haya emitido algún informe de revisión o de validación de tales datos, pues estos datos contienen errores muy graves en algunos puntos, que no sabemos hasta que medida han afectado al resto de los puntos. Este tema está bien explicado en el artículo on-line redactado por Manzano et al. (2010). REFERENCIAS Corchete V., Chourak M. and Khattach D., The high-resolution gravimetric geoid of Iberia: IGG2005. Geophys. J. Int., 162, Corchete V. and M. C. Pacino, The first high-resolution gravimetric geoid for Argentina: GAR. Phys. Earth Planet. Inter., 161, Corchete V., The high-resolution gravimetric geoid of Italy: ITG2009. Journal of African Earth Sciences, 58, Corchete V., Chourak M. and Khattach D., A Methodology for Filtering and Inversion of Gravity Data: an Example of Application to the Determination of the Moho Undulation in Morocco. Engineering, 2, Manzano F., Fernández C. and Corchete V., Detección de errores graves en la Rnap de España a través de modelos fiables de geoide. Mapping, 138, (on-line). ISSN: Nagy D., The gravitational attraction of a right rectangular prism. Geophysics, 31, N. 2, Smith D. A. and Roman D. R., GEOID99 and G99SSS: 1-arc-minute geoid models for the United States. Journal of Geodesy, 75, Torge W., Gravimetry. Walter de Gruyter. Berlin-New York.