El teorema de Pitágoras es uno de los teoremas más conocidos en Geometría. Es válido para triángulos rectángulos.

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1 MATERIAL PARA EL ESTUDIANTE EJEMPLOS DE ACTIVIDADES Actividad 1 El triángulo rectángulo El teorema de Pitágoras es uno de los teoremas más conocidos en Geometría. Es válido para triángulos rectángulos. Al empezar, conviene recordar algunos conocimientos relevantes acerca del triángulo rectángulo. a. Qué podemos decir acerca de los ángulos de un triángulo rectángulo? b. A qué llamamos la hipotenusa de un triángulo rectángulo? c. A qué llamamos los catetos de un triángulo rectángulo? d. Cuál es siempre el mayor de los lados en un triángulo rectángulo?

2 Actividad 2 El cuadrado de un trazo Supongamos que a y b representan la longitud de dos trazos, como muestra la figura. a a. Si la longitud de a fuera 5 cm, qué valor le asignarías a la expresión a 2? (No olvides indicar la unidad de medida correspondiente) b b. Si la longitud de b fuera 9 cm, qué valor le asignarías a la expresión b 2? c. Y qué valor le asignarías a la expresión a 2 + b 2? d. Un amigo de Julián afirma que a 2 + b 2 es lo mismo que (a + b) 2. Estás de acuerdo con él? Explica tu respuesta. e. Supongamos que se sabe que a 2 = 36 cm 2. Es posible, a partir de esa información, determinar el valor de a? Explica tu respuesta.

3 Actividad 3 Un estudio empírico a. En una hoja de papel de forma rectangular traza una recta de modo que se forme un triángulo rectángulo, como muestra la figura. b. Mide la longitud de la hipotenusa y la de los catetos en este triángulo rectángulo. c. Con ayuda de una calculadora, calcula los cuadrados de estos tres valores. d. Suma los cuadrados de los catetos y compara esta suma con el cuadrado de la hipotenusa. Qué observas? e. Compara y comenta tus resultados con tus compañeras y compañeros.

4 Actividad 4 Un enunciado para el teorema de Pitágoras a. En el recuadro se da un enunciado para el teorema de Pitágoras. Concuerda este teorema con los resultados que obtuviste en la actividad anterior? b. Cuánto debe ser el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 cm y 8 cm respectivamente? TEOREMA DE PITÁGORAS Si un triángulo es rectángulo, entonces la suma de los cuadrados de sus catetos es igual al cuadrado de su hipotenusa. c. Se podría saber cuánto debe medir la hipotenusa de este triángulo? Explica tu respuesta. d. Si se conoce la longitud de los dos catetos de un triánglo rectángulo, cómo se puede determinar la longitud de la hipotenusa aplicando el teorema de Pitágoras? Refuerza tu respuesta con un ejemplo. Puedes hacer los cálculos con ayuda de una calculadora. e. Si se conoce la longitud de la hipotenusa y de un cateto de un triánglo rectángulo, cómo se puede determinar la longitud del otro cateto aplicando el teorema de Pitágoras? Refuerza tu respuesta con un ejemplo.

5 Actividad 5 Aplicaciones del teorema de Pitágoras (I) a. Con ayuda del teorema de Pitágoras, demuestra que la diagonales de un rectángulo son iguales entre sí. b. En la figura se ha dibujado un cuadrado y se ha trazado una de sus diagonales. Con ayuda del teorema de Pitágoras, demuestra que el cuadrado de la diagonal es exactamente igual al doble del cuadrado del lado. c. Si se sabe que el lado del cuadrado mide 10 cm, sería posible calcular la longitud de la diagonal aplicando el teorema de Pitágoras? Explica tu respuesta.

6 Actividad 6 Aplicaciones del teorema de Pitágoras (II) Considera el siguiente problema: Hasta qué altura llega una escala de 3,2 m de largo si se afirma en una pared vertical de modo que el pie de la escala queda a 0,6 m de la pared? a. Haz un esquema de la situación e identifica algún triángulo rectángulo que pudiera ser de utilidad. b. Qué datos de este triángulo se conocen? Qué dato se quiere conocer? c. Podemos aplicar aquí el teorema de Pitágoras? d. Resuelve el problema y responde la pregunta planteada. Para efectuar los cálculos puedes ayudarte con una calculadora. Se quiere colgar una lámpara a 40 cm de la pared (ver figura). Para sujetar mejor la lámpara, se coloca una cuerda que se afirma en la pared a 20 cm por sobre la base de la barra que sostiene la lámpara. e. Alcanzará una cuerda de 50 cm para el tramo que va desde la pared hasta el extremo de la barra? f. Explica cómo aplicaste el teorema de Pitágoras en este caso. 40 cm 20 cm

7 Actividad 7 El teorema recíproco del teorema de Pitágoras El teorema de Pitágoras afirma que si un triángulo es rectángulo, entonces la suma de los cuadrados de sus catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. El recuadro muestra el enunciado del teorema recíproco del teorema de Pitágoras. Este teorema también es verdadero. TEOREMA RECÍPROCO DEL TEOREMA DE PITÁGORAS Si en un triángulo la suma de los cuadrados de dos de sus lados es igual al cuadrado del tercer lado, entonces el triángulo es rectángulo. a. Explica con tus palabras la diferencia entre el teorema de Pitágoras y su teorema recíproco. b. Se cumple que = 5 2? c. Si se construyera un triángulo cuyos lados midieran 3 cm, 4 cm y 5 cm, qué características debería tener ese triángulo según el teorema recíproco del teorema de Pitágoras? d. Con ayuda del teorema recíproco del teorema de Pitágoras determina si un triángulo cuyos lados miden 5 cm, 12 cm y 13 cm es un triángulo rectángulo. e. Con ayuda del teorema recíproco del teorema de Pitágoras determina si un triángulo cuyos lados miden 20 cm, 21 cm y 29 cm es un triángulo rectángulo.