Demostración visual del Teorema de Pitágoras (en un sentido)

Transcripción

1 Demostración visual del Teorema de Pitágoras (en un sentido) Queremos ver que en todo triángulo rectángulo la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los dos catetos es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa. Nuestro triángulo rectángulo es y queremos ver que a 2 + b 2 = c 2 Partiremos de dos grandes cuadrados iguales, pero que contienen distintas piezas en su interior: En primer lugar, vamos a asegurarnos de que el rombo de lado c de la 1ª figura es un cuadrado. Basta con ver, por ejemplo, que el ángulo γ (gamma) es recto. Como α + β + 90º = 180º, α + β = 90º (según se puede ver en el triángulo que está a laizquierda). Por otra parte, vemos que α + β + γ = 180º, luego γ = 180º - (α + β) = 180º - 90º = 90º Con el mismo razonamiento vemos que los cuatro ángulos del rombo de lado c al que nos referimos son ángulos rectos, luego se trata de un cuadrado. Volvamos a los dos grandes cuadrados iniciales, que tenían la misma superficie (área). "Cortamos" la misma pieza con forma de triángulo en las dos figuras:

2 Volvemos a "cortar" otra pieza triangular más: De nuevo volvemos a "cortar" otra más: Por último volvemos a "cortar" otro más: Ahora se tiene que c 2 = a 2 + b 2, es decir, a 2 + b 2 = c 2

3 Demostración del teorema de Pitágoras empleando el Álgebra Podemos demostrar que a 2 + b 2 = c 2 usando el álgebra, si bien hace falta justificar geométricamente que el rombo de lado c que va a aparecer es además un cuadrado. (Esto se puede ver como ya hemos explicado en la "Demostración visual del Teorema de Pitágoras"). Mira la siguiente figura. Tiene dentro cuatro triángulos rectángulos iguales de lados a, b y c: Es un gran cuadrado; cada lado mide a + b, así que el área es: A = (a + b)(a + b) Ahora sumamos las áreas de los trozos más pequeños: Primero, el cuadrado pequeño (inclinado) tiene área A = c² Y hay cuatro triángulos, cada uno con área A =½ab Así que los cuatro juntos son A = 4(½ab) = 2ab Si sumamos el cuadrado inclinado y los 4 triángulos da: A = c² + 2ab El área del cuadrado grande es igual al área del cuadrado inclinado y los 4 triángulos. Esto lo escribimos así: (a + b)(a + b) = c² + 2ab Ahora vamos a operar hasta obtener el Teorema de Pitágoras: Empezamos con: (a + b)(a + b) = c² + 2ab Desarrollamos (a + b)(a + b): a² + 2ab + b² = c² + 2ab Restamos "2ab" de los dos miembros: a² + b² = c² Enunciado completo del Teorema de Pitágoras Podemos resumir el enunciado del Teorema de Pitágoras y su recíproco así: " Un triángulo de lados a, b y c es rectángulo* si y solo si a² = b² + c² " * En el ángulo Â, opuesto al lado a.

4 Demostración de l T. de Pitágoras de Garfield (editada de Wikipedia) James Abram Garfield ( ), el vigésimo Presidente de los Estados Unidos, desarrolló una demostración del teorema de Pitágoras publicada en el New England Journal of Education. Garfield construyó un trapecio rectágulo de bases a y b, y altura (a+b), a partir del triángulo rectángulo de lados a, b y c. Dicho trapecio está compuesto por tres triángulos rectángulos: dos iguales al dado, y un tercero, isósceles de catetos c. Por lo tanto (gírese la figura 90º para verlo mejor): como corresponde a la superficie del trapecio, pero asimismo tenemos una figura compuesta por tres triángulos, dos de ellos iguales, de modo que: igualando obtenemos: multiplicando ambos miembros por 2 y simplificando... desarrollando el 2º miembro... restando 2ab a ambos miembros, finalmente obtenemos: La demostración de Euclides del recíproco del T. de Pitágoras (Editada de "RECÍPROCO DE PITÁGORAS", de D. Mario Dalcín, del Instituto de Profesores Artigas de Montevideo, Uruguay)

5 Otra demostración del recíproco del Teorema de Pitágoras (Editada de "RECÍPROCO DE PITÁGORAS", de D. Mario Dalcín, del Instituto de Profesores Artigas de Montevideo, Uruguay) Vamos a demostrar ahora que si tres números reales a, b y c cumplen que a 2 = b 2 + c 2, entonces el triángulo de lados a, b y c es un triángulo rectángulo en Â. Para ello contaremos con que ya tenemos demostrado que "si un triángulo es rectángulo, la suma de los cuadrados de sus catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa". Tendremos que empezar por justificar que con los n os a, b y c que cumplen a 2 = b 2 + c 2 se puede cerrar un triángulo. Esto es así porque b + c > a, ya que (b + c) 2 = b 2 + c 2 + 2bc = a 2 + 2bc > a 2 Si el triángulo ABC no fuera rectángulo, se podrían dar dos situaciones: que fuera acutángulo o que fuera obtusángulo. Veamos que ambos casos son imposibles. i) Supongamos que el triángulo ABC fuera acutángulo y veamos que esto no es posible. Es decir, el triángulo ABC NO PUEDE SER ACUTÁNGULO. ii) Supongamos ahora que el triángulo ABC fuera obtusángulo y veamos que esto no es posible. Es decir, el triángulo ABC NO PUEDE SER OBTUSÁNGULO. Conclusión: el ángulo CAB tiene que ser RECTO y el TRIÁNGULO ABC es RECTÁNGULO.