Transferencia de Momentum

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1 Transferencia de Momentum Última.

2 Contenido Factor de fricción pérdidas por fricción ecuación de Bernoulli: Ejemplo Para que sirve lo que se estudió? v l t v v p g t v G t 0

3 Factor de fricción BSL. C6 Transporte en la interfase en sistemas isotérmicos. Antecedentes: Sistemas en flujo laminar; Conceptos básicos de flujo turbulento fluctuaciones variables (velocidad) promediadas en el tiempo necesidad de emplear relaciones semi-empíricas. Tipo de sistemas (1) Flujo en canales (tubos, extrusores, dados ): relacionar la caída de presión con el gasto volumétrico este tema si se va a tratar, porque en muy común en IQ; () Flujo alrededor de objetos (sedimentación, secado, flujo transversal en cambiadores de calor, aviones): relacionar la velocidad cerca del objeto con la fuerza de arrastre este tema no se va a tratar, porque es menos común en IQ; sin embargo, se estudia aplicando los principios ya estudiados.

4 Factor de fricción Antecedentes continua: Es posible predecir el comportamiento de un flujo laminar (solución analítica o numérica del balance de momentum), para los casos antes mencionados: (1) y (). Desafortunadamente, eso no es posible en régimen turbulento; sin embargo, el problema se ha resuelto utilizando ecuaciones semejantes a las de flujo laminar, que contemplan además relaciones empíricas (ver la clase anterior).

5 Preparación y uso de cartas de factor de fricción 6.1 Definición de factor de fricción f Sistema: (1) Flujo en canales (tubos, extrusores, dados ): relacionar la caída de presión con el gasto volumétrico. Sistema: Fluido: Newtoniano e incompresible; Equipo: tubo cilíndrico (radio R, diámetro D) de sección transversal constante R ; Operación: isotérmica y estado estacionario. Definiciones: F es la fuerza total que ejerce el fluido sobre las superficies sólidas del tubo; F s es la fuerza que ejerce el fluido sobre el tubo cuando el fluido no se mueve; F k es la fuerza asociada al movimiento del fluido (comportamiento cinético del fluido); F k apunta en la misma dirección que la velocidad media del fluido <v>;

6 6.1 Definición de factor de fricción f continua: Factor de fricción f: se define de acuerdo con la siguiente relación: F k =AKf A es un área característica del sistema; K es la energía cinética por unidad de volumen, también es característica del sistema; Una vez establecidos A y K, el factor de fricción f queda definido y, evidentemente, es característico del sistema. Nota: F k =AKf es una definición, no es una ley Considerando las siguientes definiciones de la superficie mojada del tubo cilíndrico A ; y función de la velocidad promedio K, se tiene: 1 A RL... K v Como: Fk 1 Fk RL v f AKf

7 Considerando que se trata de un fluido de densidad constante, que fluye en estado estacionario, y suponiendo que el análisis se hace en una posición en donde el flujo esta completamente desarrollado (lejos de entradas y salidas), la fuerza que se requiere para mantener en el fluido un gradiente de presión p 0 -p L, y llevar el fluido desde una altura h 0 a otra h L (tubo en posición vertical cabeza) es la siguiente: Fk p0 pl g h0 hl R definiendo: p gh... i 0,L F i i i k 0 L 1 Además, por definición: Fk RL v f... D R R 1 D DL v f Fk 0 L 0 L 1 D f es llamado factor de fricción de f 1 4 Fanning hay otras formas de definir el v L factor de fricción basta conocerlas y respetarlas

8 0 L 1 D Como: f 1 v 4 L D Para conocer f, basta conocer los valores de: 0 L ; ; ; v L Sea un fluido incompresible fluye en el interior de un tubo cilíndrico, en condiciones isotérmicas y de estado estacionario. Para determinar el factor de fricción f de sistemas con las características de este se hacen determinaciones experimentales (datos empíricos) en un equipo como el que se muestra en el esquema siguiente:

9 En este experimento conocen las medidas de interés (radio R y longitud L) y temperatura del equipo; la densidad y viscosidad del fluido. Suponiendo que se deja que el sistema alcance el estado estacionario y que, en una zona en donde el flujo está completamente desarrollado (lejos de entrada y salida), se hacen mediciones de la velocidad promedio del fluido <v> y de la presión en los planos z=0 y z=l (p 0 y p L, respectivamente); en principio, se tienen los datos empíricos necesarios para determinar f: porque: f p p 1 D 0 L 1 4 L v

10 6. Factor de fricción para flujo en tubos continua Para fundamentar teóricamente este enfoque, se considera el de flujo de un fluido Newtoniano en las siguientes condiciones de flujo: 1) Flujo laminar; ) Flujo turbulento. Independientemente del tipo de flujo, de acuerdo con la definición de factor de fricción f y los otros conceptos antes revisados, se tiene: como: 1 D k 0 L DL v f F 0 Como: h 0 h L no hay efecto de campo: f L 1 4 L v p p 1 D También, independientemente del tipo de flujo, laminar o turbulento, la fuerza que ejerce el fluido sobre las paredes del tubo es de la forma: F k L 0 0 rr Rddz Newtoniano: F k v L z r 0 0 rr Rddz

11 1) Flujo laminar Sea el caso de un fluido Newtoniano e incompresible fluye con flujo laminar, dentro de un tubo cilíndrico, en condiciones isotérmicas y de estado estacionario. Esquema Q D=R Coordenadas cilíndricas r θ L z Anteriormente, se dedujo que los perfiles de velocidad y esfuerzos son: v z 1 L4μ R p0 pl R r r rz w R

12 1) Flujo laminar Continua el caso de un fluido Newtoniano e incompresible que fluye laminarmente, dentro de un tubo cilíndrico, en condiciones isotérmicas y de estado estacionario La velocidad promedio esta dada por: v R 0 R 0 0 como: f p p D p p 1 1 L 1 D 4 L v v 4 L 0 L 0 v R p0 pl R r v 1 z rdr rdr 4L R 0 p0 pl R R 8L rdr rdr 1 definiendo: Re f 16 Re Dv

13 1) Flujo laminar de un fluido Newtoniano e incompresible que fluye laminarmente, dentro de un tubo cilíndrico, en condiciones isotérmicas y de estado estacionario relación entre el factor de fricción y el número de Reynolds: f 16 Re

14 ) Flujo turbulento Sistema análogo al de flujo laminar: fluido Newtoniano e incompresible, que fluye dentro de un tubo cilíndrico, en condiciones isotérmicas y estado estacionario, pero ahora el fluido fluye con flujo turbulento,. Esquema: Q Coordenadas cilíndricas r z D=R θ L La ecuación que modela la fuerza que actúa sobre la pared como resultado del flujo del fluido en la dirección-z F k es de la misma forma que la utilizada en el caso de flujo laminar: v L L z Fk Rd dz Rd dz r 0 0 r R 0 0 r R v z pero ahora, y deben ser aquellas de flujo turbulento r

15 A diferencia de lo que ocurre en el flujo laminar, en el flujo turbulento, F k puede ser función del tiempo; esto se debe a las fluctuaciones de velocidad y a la destrucción ocasional de la capa límite que moja a la pared; para obtener valores promedio de las funciones de interés, es necesario considerar distancias con escala de tiempo relativamente grande. L 1 v Como: k... donde: z F RL v f F k Rd dz r 0 0 rr L v z 1 f t Rd dz RL v r 0 0 r R El factor de fricción de flujo turbulento f(t) puede expresarse en términos de la siguientes cantidades adimensionales: r z v vz t 0 D v z z r ; z ; vz ; t ; ; Re D D v D v z t z L D 1 D 1 v f t z L Re r 0 0 r 1 ddz

16 Como: f t Re 1 D L D v z L r 0 0 r 1 ddz Para flujo laminar se concluyó que: f t Re 16 Para flujo turbulento, el producto f Re dependerá de la rugosidad de los tubos y de las condiciones de flujo. Formalmente, las funciones: puede obtenerse resolviendo la ecuación de continuidad y el balance de momentum adimensionales, aplicando las condiciones límite (CL) adecuadas; para el sistema de flujo de un fluido en tubo cilíndrico: v 0 1 D v Dt CL1: v r para: z 0 v v r,,z,t ; Re r,,z,t ; Re l v 0 0 CL 3: r 0 y z 0 v CL : z 0

17 v z r es función de: además: f t r,,z,t, Re 1 D 1 z L Re r 0 0 r El efecto de L/D es importante cuando el análisis del flujo se hace cerca de la entrada o salida del tubo. En la mayoría de los casos, la región de interés es aquella en donde el flujo esta completamente desarrollado, lo cual ocurre lejos de entradas o salidas, y en esa región no hay un efecto importante de L/D, y entonces se tiene: L D como: vz vz r v Por lo tanto, al resolver la intergral se tiene: 1 ddz f f t,l D, Re al promediar en un intervalo de t se tiene: f f L D, Re por otro lado: f f f Re 1 D Experimentalmente, fijar Re, y medir: 0 L 1 4 L v D,,, v L 0 L

18 Para un sistema con flujo completamente desarrollado y bien definido (i.e. fluido, tubo y condiciones de proceso), se puede obtener el valor de f, conociendo el valor de Re (Re=D<v>ρ/μ) y determinando L v experimentalmente los valores de: 0 y f 1 D 0 L 1 4 L v f 16 Re f f Re

19 Z Ecuación de Bernoulli 144P v 144P v h g Z 1 g L

20 Crane, Engineering Flow of Fluids Through Pipes Valves Fittings

21 Qué se estudia en el curso de Transferencia de Momentum? Para que sirve el haber estudiado Transferencia de Momentum en la primera parte del Plan de Estudios de Ingeniería Química? v vv g P 0 t v G t 0 Sigan disfrutando su estancia en la Facultad de Química de la U.N.A.M.!

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