Métodos Matemáticos en Física L.4. Método Fourier: Cuerda. Sobre planteamiento general del curso

Transcripción

1 Sobre planteamiento general del curso

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4 CONTENIDOS TEORICOS / CONCEPTOS del CURSO Tipos BASICOS de ecuaciones en MM3 (L2- TEORIA) Origines físicos de estas ecuaciones (hoy y varios clases teóricos mas adelante) Tipos de partes no-homogeneous de ecuaciones ( fuerzas ) y su descripción adecuada (varios ejemplos a lo largo de curso) Methodos de resolucion de PDE (en ejemplos generales asi como muchos particulares) - Separacion de Variables (hoy y en muchisimos ejemplos mas) -Planteamiento de problemas SL, ortogonalidad (teoria y muchos ejemplos) -Descripción p de tipos de condiciones de contorno (L2 +clases teoricas) -Procesos Físicos que determinan las condiciones de contorno -( varios clases teóricos)

5 -Uso de auto funciones ortogonales para resolver PDE no homogéneas -(teoria y muchos ejemplos) Transformación de CC a homogeneas para resolver problemas SL ( en varios ejemplos a lo largo de curso) Cuado y como desglozar soluciones de EPD en dos partes: caso de Variaciones temporales (explicación usando bastantes ejemplos) Soluciones de problemas Laplace con varios contornos no-homogeneos (explicación usando bastantes ejemplos) -Método de Función Green para resolver ecuaciones no homogéneas -( teoria y un par de ejemplos) Transformada Integral de Fourier TIF y Método de TIF para resolver EPD Transformada Integral de Fourier TIF y Método de TIF para resolver EPD (Teoría y muchos ejemplos todo: concentrado en ultimas semanas)

6 Problema OSCILACION de Cuerda Condiciones de contorno Fijos Libres Medio Fijos/libres Descripción ión MATEMATICA Ecuacion de Onda Condiones INICIALES? Solucion Estacionaria? Cuerda Forzada? Describir fuerzas METODO de SOLUCION? -Método de Separación de variables problema Sturm-Louville (SL) para autofunciones Desarrollo de la solucion en series por auto funciones ortogonales de SL -Metodo Funcion Green (solo para problemas no homogeneos) -Metodo trasformada integral Fourier? (solo cuerdas/objetos infinitas) -

7 TEMA 1 Métodos Matemáticos en Física L4A. Método Fourier: Oscilaciones transversales de una Cuerda En parte Según Cap.2 Libro Levanuyk, p Tratamos pequeños desplazamientos u(x,t) de cuerda en dirección transversal Movimientos solo en plano x, u(x,t) u y u u x Solo buscamos dispalzamentos verticales en plano u y (x,t)=u(x,t) 7

8 Sumando efecto de tensiones T(x), T(x+dx) mas fuerzas externas (f) [actuan sobre elemento dx ] Detalles: Cap APL 8

9 Ecuación de las oscilaciones transversales ( pequeñas) de una cuerda En general la densidad de fuerzas externas f(x,t) puede cambiar a o largo de la cuerda 9

10 Ver Movies explicando varios tipos de ondas edu/~drussell/demos/waves/wavemotion html Ondas longitudinales 10

11 Ondas transversales rs s 11

12 Ondas en agua ( liquido) : transversales+longitudinales Puntos azules mueven en circulos direccion RELOJ 12

13 Ondas Rayleigh ( solido): transversales+longitudinales Puntos azules cerca de superficie mueven en elipses CONTRA-RELOJ Puntos mas profundos: en elipses direccion -RELOJ 13

14 Vibraciones propias de una cuerda Esta ecuación se denomina como ECUACION de ONDA ( Ecuación tipo HIPERBOLICO) Condiciones de contorno ( puesto que los extremos son fijos) 14

15 Como hemos visto en capitulo anterior, los movimientos complicados ( osciladores acoplados) pueden ser asociados con modos normales de vibración del sistema. Veamos si en el caso de la cuerda es posible obtener resultados análogos. Veamos si existen movimientos transversales de la cuerda en los que cierto perfil de desplazamientos X se conserva. Es decir, movimientos descritos por una función de la forma: ( T- función solo del tiempo) 15

16 Para que esta función cumpla la ecuación de movimiento de la cuerda, esto es la ecuación de onda: Dividiendo por XT y agrupando: =? 16

17 Como cada de 2 partes es función de distintas variables (x ; t) Esta igualdad solo tiene sentido si: = Signo de se elige para futura conveniencia 17

18 Las soluciones serán o de tipo exponencial ( 0) o lineales l ( =0) Para cumplir condiciones c n de contorno para todos modos en todos momentos del tiempo, buscamos aquellos que satisfacen a: A este tipo de problemas (que resultan en autofunciones ortoganales ) se les denomina problemas de Sturm-Liouville Mas adelante trataremos características mas generales de estos problemas 18

19 NOTA 1 Si <0, 0 la solución general se escribe de manera 19

20 L.4. Metodo Fourier: Cuerda Para cumplir condiciones de contorno: C 1 =0 Solo tendremos solución trivial 20

21 NOTA 2 Si =0, 0 la solución general se escribe de manera También tendremos solución trivial 21

22 CLASE ( solo se permite uso de apuntes) Hallar TODOS soluciones posibles del problema si >0 22

23 NOTA 3 Solo si >0, tendemos soluciones tipo onda La solución general se escribe de manera Tendremos soluciones no-triviales para 23

24 Tendremos conjunto de autovalores Y conjunto de auto funciones que forman el conjunto de soluciones no triviales del problema de Sturm-Liouville 24

25 NOTA 4 El subconjunto de soluciones que se obtiene con n < 0 no es esencialmente distinto del que se obtiene con n > 0: Dicho de otro modo, con n > 0 se obtienen todas las funciones asociadas con un determinado valor de 25

26 Entonces se ve que el conjunto de movimientos de la cuerda en los que se conservan determinados perfiles de desplazamiento es un conjunto de oscilaciones armónicas ( n > 0) de tipo: A,, son constantes arbitrarias, Frecuencias angulares ( frecuencias propias) de estas oscilaciones n son: k n son números de onda 26

27 Formula D`Alembert ( mas adelante) representa 2 soluciones ( ondas propagantes) que habitualmente se propagan en medios infinitos en direcciones opuestas En medios restringidos soluciones son ondas estacionarias. Necesitamos buscar vibraciones i propias de una cuerda ( FIJA en AMBOS EXTREMOS) como superposición de oscilaciones armónicas 27

28 Supongamos condiciones iniciales

29 L.4. Metodo Fourier: Cuerda Multipliquemos la primera ecuación (1) por la función por Y integraremos entre 0 L 29

30 = L/2 ( n=m) = 0 ( n m) =L/2* nm función de DELTA de Krönicker 30

31 RESUMEN ESQUEMA de BUSQUEDA de SOLUCION 31

32 L4 NOTA 1: para la solución del problema no-estacionaria usando método se separación de variables es (como realizada arriba) importante presencia de condiciones del contorno 1er, 2-do o 3-er tipo homogéneas En el caso contrario opcion es realizar cambios para llegar a valores de contorno de tipo cero 32

33 L3 L.3. Método Fourier: Cuerda NOTA 2: Suponemos que es necesario solucionar siguiente problema ( Ec. Onda nohomogenea) 33

34 L4 Según principio i i de superposición ió (sistemas lineales) l Podemos buscar la solución con superposición p de soluciones de problemas (I) y (II) PROBL. u 1 u=u 1 +u 2 PROBL. u 2 34

35 L4 L.4. Metodo Fourier: Cuerda NOTA 3: para la solución de ecuación no-homogénea de condiciones del contorno tipo cero (homogéneas) tt 2 u a u f x t xx En muchos casos (, ) se puede buscar la solución usando método de desarrollo por Funciones propias (Autofunciones) Por ejemplo, en caso anterior: n uxt (, ) Q ( t) sen( x) n L 35 n 1

36 NOTA 4 sobre funciones propias y Coordinadas Normales: Expresando la solución como: Sumamos la solución por todos posibles vibraciones harmónicas de cuerda X n que cumplen condición de ortogonalidad: (TEORIA: mas adelante L4G) 36

37 Otro punto de vista a método SL: Sustituyendo solución en ecuación de onda Con X n hallados de problema SL (que permite disminuir numero de derivadas parciales) obtendremos: 37

38 Multiplicando por sen(k m x) )y integrando entre 0 L = 0 Se ve que para cada a una de nodos os normales (m) se cumple ecuación de oscilador harmónico: Debemos identificar por tanto los coeficientes Q m con las coordenadas normales del sistema. 38

39 En la física resulta bastante habitual descomponer un movimiento complicado en varios movimientos más sencillos. Por ejemplo, el movimiento de una partícula en el espacio se describe a partir de tres movimientos: uno a lo largo de cada eje de coordenadas. 39

40 Análisis espectral de sonidos: un poco de música La frecuencia principal de una cuerda: Resto de frecuencias propias: 40

41 Caso particular de desplazamiento inicial: 41

42 Los coeficientes A n de serie: Amplitud de harmónicos para x 0 =L/2 42

43 Caso de oscilaciones forzadas de una cuerda: Resolvemos el problema usando coordinadas normales Buscamos solución u(x,t) en forma 43

44 Multiplicando por X m y integrando entre 0 L Llegamos a Ec. diferencial a resolver: Con 44