Departamento de Ingeniería Matemática - Universidad de Chile

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1 Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Álgebra Lineal Geometría lineal en à n 2 Definiciones básicas SEMANA 4: GEOMETRÍA Sea à un cuerpo Anotaremos los vectores de à n como columnas, es decir, à n = M n, (Ã) = { n i Ã, i =,,n } Recordar que en à n = M n, (Ã) tenemos una suma (de matrices columna) definida por: y + y si =, y = Ã, entonces + y =, y n y n con ella resulta que (à n, +) es un grupo Abeliano, con neutro = y opuestos = n = n n + y n Agregamos ahora la operación Multiplicación por Escalar definida como sigue: Definición 2 Si = à à n à n (λ,) λ o multiplicación por escalar n, en donde λ = y λ Ã, entonces se define una función λ λ n Se le llama ponderación Observación: Llamaremos vectores columna, o simplemente vectores, a los elementos de à n, y escalares a los elementos de à De aquí el nombre de esta operación Para fijar ideas puede pensar en lo que sigue en à = Ê y n = 2 ó 3, que con seguridad le serán familiares de sus cursos de Cálculo Sin embargo, salvo cuando se diga eplícitamente lo contrario, à puede ser cualquier cuerpo, y n un natural mayor o igual a à n = M n, (Ã) Ponderación 37

2 Proposición 2 Se tienen las siguientes propiedades: ( à n ) = 2 ( λ, λ 2 Ã) ( à n ) λ (λ 2 ) = (λ λ 2 ) 3 ( λ, λ 2 Ã) ( à n ) (λ + λ 2 ) = λ + λ 2 4 ( λ Ã) (,y à n ) λ( + y) = λ + λy 5 ( λ Ã) ( à n ) λ = λ = = Demostración Las demostraciones de estos hechos son cálculos elementales y quedan como un ejercicio muy simple para el alumnos Queda además el lector encargado de verificar que esta última propiedad se puede también obtener como consecuencia de las propiedades a 4, más los hechos de que (à n, +) es un grupo Abeliano y à un cuerpo Ejemplos: Caso à = Ê n = : El conjunto de vectores es à = Ê, la recta real, el + es la suma usual en Ê y la multiplicación por escalar es el producto en Ê n = 2: El conjunto de vectores es à 2 = Ê 2, el plano 2 2 = Un vector representará ambos, un punto del plano y una flecha partiendo del origen que termina en dicho punto La suma de elementos de Ê 2 corresponde entonces a la suma usual de flechas en el plano: y 2 +y Ejercicio y del mismo modo se representa la ponderación: 38

3 = 2 (-) /2 n = 3: La representación de vectores en Ê 3 se hace en el espacio 3-dimensional: 3 La ponderación se representa de modo similar al caso plano, y la suma de vectores también corresponde a la diagonal del paralelógramo definido por los sumandos: 2 3 = 2 y +y 39

4 Observación: A veces conviene (por ejemplo, para mayor claridad de una figura) dibujar un vector como una flecha que parte de algún otro punto distinto del origen A modo de ejemplo consideremos,y Ê 2 y sea v = y Se ve fácilmente que v será una flecha partiendo en el origen que tiene el mismo tamaño y apunta hacia el mismo lado que una flecha que parta en y termine en y Dado ésto, muchas veces no nos molestamos en dibujar v partiendo del origen, sino que sólo dibujamos la flecha de a y 22 Rectas en à n y- A partir de nuestra intuición geométrica rescatamos del concepto de recta (en el plano o en el espacio) dos elementos importantes: que una recta define una dirección de movimiento y que pasa por algún lugar L Direccion p v Pasa por p q y L 2 No pasa por p La misma direcccion Las rectas L y L 2 del dibujo llevan la misma dirección, y lo que las diferencia es que pasan por distintos puntos De hecho L 2 es L desplazada Intentamos entonces definir una recta en à n como sigue: Definición 22 (Recta) Sean d à n \ {} un vector y p à n un punto dado La recta L que pasa por p y va en la dirección de d es el siguiente subconjunto de à n : L = L p,d = {v à n v = p + td, t Ã} Recta 4

5 p + t d L p d Se dice que p es una posición de L y que d es un vector director de L Ejercicio 2: Un par de observaciones importantes: Muchas posiciones definen la misma recta Probar que, dado d à n \ {} fijo, se tendrá q L p,d L q,d = L p,d (Las posiciones de una recta L son sus puntos) 2 Muchos vectores directores definen una misma recta Probar que, dado p à n fijo, se tendrá L p,d = L p,d ( λ à \ {})d = λd (Los vectores directores de una misma recta son los múltiplos no nulos de un vector director dado) El Ejercicio 22 motiva la siguiente definición: Definición 23 (Vectores paralelos) Sean v,w à n El vector v se dice paralelo a w (lo que se anota v w) ssi ( λ à \ {})w = λv Usando esta definición, el Ejercicio 22 puede ser replanteado como d es un vector director de L p,d d d Ejercicio 22: Si A à n y p à n, definimos la traslación de A en el vector p por p + A = {p + A} Mostrar que las rectas que pasan por p à n son eactamente las traslaciones en p de las rectas que pasan por el origen t d posición de L vector director de L Ejercicio paralelo Ejercicio 4

6 2 Sean p,q à n, con p q Mostrar que la recta de posición p y vector director d = q p es la única recta que pasa por ambos puntos, p y q Observación: La ecuación p v = p + λd, p q-p q λ à que describe los puntos (vectores) de la recta L p,d a medida que se varía λ à se llama ecuación vectorial de la recta L p,d 23 Planos en à n Sean p à n y d,d 2 à n \ {} vectores no paralelos Apelando a nuestra intuición en el espacio tridimensional, vemos que por p pasan las dos rectas distintas L = L p,d y L 2 = L p,d2, y ambas están contenidas en un mismo plano Π ecuación vectorial de la recta 42

7 p d 2 sd L p+sd + td 2 Observando la forma como los puntos de este plano se obtienen a partir de p, d y d 2 podemos dar la siguiente definición en à n : Definición 24 (Plano) El plano que pasa por p y tiene vectores directores d y d 2 es el subconjunto de à n : Observación: Π p,d,d 2 = {v à n v = p + sd + td 2, s, t Ã} v = p+sd +td 2, s, t à se llama ecuación vectorial del plano Π p,d,d 2 2 Sea E = [ ] d d 2 la matriz que tiene por columnas a los vectores directores d( y d) 2 Entonces juntando los parámetros s s y t en el vector r = à t 2, la ecuación vectorial queda v = p + Er,r à 2 = p + [ ] ( ) s d d 2, s, t à t 3 Notar la similitud con la ecuación de una recta v = p+td, t à En la recta hay un parámetro libre: t à (dimensión, esto se formalizará mas adelante) y en el plano dos: s, t à (dimensión 2) Ejercicio 23: Se deja como ejercicio para el lector probar las siguientes propiedades: q Π p,d,d 2 Π q,d,d 2 = Π p,d,d 2 (Cualquier punto de un plano sirve como su posición) L 2 Plano ecuación vectorial del plano Ejercicio 43

8 2 Si p à n, y d,d 2,d,d 2 à n \ {}, con d no paralelo a d 2 y d no paralelo a d 2, entonces Π p,d,d 2 = Π p,d,d 2 ( A M 2,2 (Ã) invertible) [ d d 2 ] = [ d d 2 ] A 3 Dado p à n, todo plano que pasa por p es la traslación en p de un plano que pasa por el origen, y si trasladamos en p un plano cualquiera que pasa por el origen, obtenemos un plano que pasa por p 4 Sean p,q,r tres puntos no colineales en à n Probar que si d = q p y d 2 = r p, entonces Π p,d,d 2 es el único plano que pasa por p, q y r 24 Ecuaciones paramétricas y cartesianas de rectas y planos 24 Rectas Sean p = p p n à n y d = d d n à n \ {} Sea L = L p,d Recordemos que la ecuación vectorial de L es v = p + td, t à Si anotamos v = n el punto que recorre L cuando t recorre Ã, resulta: = p + td 2 = p 2 + td 2 n = p n + td n, t à Estas son las llamadas ecuaciones paramétricas de la recta L (Notar que p,, p n, d,,d n son constantes en Ã, las coordenadas de la posición y de la dirección de L) Supongamos, para simplificar la notación, que las primeras k componentes d,, d k de d son no nulas, y el resto todas nulas: d k+ = d k+2 = = d n =, es decir d = recta L son d d k Entonces las ecuaciones paramétricas de la ecuaciones paramétricas 44

9 = p + td k = p k + td k k+ = p k+ Constantes n = p n Despejando t en cada una de las primeras k ecuaciones, e igualando: p d = 2 p2 d 2 = = k p k d k (= t) k+ = p k+ n = p n Este es un sistema de n ecuaciones lineales para las n incógnitas,, n, que son las componentes de un punto cualquiera v = de L Las ecuaciones se llaman ecuaciones Cartesianas de la recta L Cómo quedan las ecuaciones cuando k =? Ejemplos: n = 2: La ecuación Cartesiana (notar que en este caso queda una sola) de L = L ( p d queda: p 2 ), d 2 L p d = 2 p 2 d 2, si d, d 2, 2 = p 2, si d 2 =, y = p, si d = d, d = d = d = 2 2 n = 3: Una recta queda descrita por dos ecuaciones Cartesianas: L p d = 2 p 2 d 2 = 3 p 3 d 3 (en caso que d, d 2, d 3 Escribir las otras posibilidades) L n ecuaciones Cartesianas de L 45

10 242 Planos (caso n = 3) Para simplificar el análisis veremos sólo el caso n = 3 para las ecuaciones Cartesianas de planos Sea Π = Π p,d,d 2 un plano en à 3, donde p = p p 2 à 3 es una posición de Π, y los vectores directores son los p 3 vectores no paralelos en à 3 \ {}, d = d d 2 y d 2 = d 2 d 22 La ecuación vectorial de Π está dada por v = p + sd + td 2, s, t Ã, y descomponiéndola en sus 3 componentes resultan las ecuaciones paramétricas de Π: d 3 = p + sd + td 2 2 = p 2 + sd 2 + td 22, s, t à 3 = p 3 + sd 3 + td 32 Pivoteando, es posible eliminar el parámetro s de dos de estas ecuaciones, y luego también t de una de ellas, de modo que nos quedamos con una ecuación final con sólo, 2, 3 (sin s y t) de la forma A +B 2 +C 3 = D, donde A, B, C, D Ã, con A, B o C Esta es la llamada ecuación Cartesiana del plano Π Observación: Si el plano hubiese estado en à n, con n 3, habríamos obtenido un sistema de n 2 ecuaciones cartesianas para el plano Qué pasa en el caso n = 2? Y qué puede decir de n =? Sabemos del capítulo de Sistemas Lineales que, recíprocamente, un sistema de una ecuación y tres incógnitas, como la ecuación Cartesiana de Π, tiene dos variables libres (digamos 2 y 3 ) y sus soluciones son de la forma: con 2 3 β = y α γ + 2 β + 3 γ d 32, 2, 3 Ã, claramente no paralelos ( por qué?), así el conjunto de soluciones representa un plano en à 3 Tenemos entonces que los planos en à 3 son eactamente los conjuntos solución de ecuaciones cartesianas como la que escribimos arriba para Π Ejemplo: El plano Π Ê 3 que pasa por el punto p = y con vectores directores d = y d 2 = tiene por ecuaciones paramétri- 46

11 = + s t cas 2 = s, s, t Ê de las que se puede fácilmente 3 = t eliminar s y t para obtener la ecuación Cartesiana = Por otra parte, si partimos de esta ecuación, despejando en términos de 2 y 3 resulta = 2 3, por lo que un punto cualquiera v = 2 Ê 3 que satisfaga esta ecuación tendrá la forma = =, 3 3 con 2, 3 Ê tomando valores arbitrarios El lector reconocerá esto como una ecuación vectorial del mismo plano Π - 25 Geometría métrica en Ê n - 25 Definiciones y propiedades básicas ++= 2 3 Incorporaremos ahora a nuestro estudio conceptos como distancia entre puntos, ángulos, perpendicularidad, etc Para ello debemos perder un poco de generalidad y restringirnos al cuerpo à = Ê de los números reales (También se puede hacer todo esto con à =, los números complejos, pero esto lo postergaremos para mas adelante) Definición ( 25 (Producto punto en Ê n ) Sean,y Ê n, con = ) ( y ) n, y = y n Se define el producto punto, y (también se anota producto punto y) como el real,y, y n,y = i y i = t y = y t Ê i= 47

12 Tenemos así una función llamada producto punto <, > : Ê n Ê n Ê (, y), y Proposición 22 Se tienen las siguientes propiedades: (,y Ê n ),y = y, (Simetría) 2 (,y,,y Ê n ) +,y =,y +,y,y + y =,y +, y (Bi aditividad) 3 ( λ R)(,y Ê n ) λ,y =, λy = λ,y (Bi homogeneidad) 4 ( Ê n ),, = = (Positividad) Demostración La demostración de estas propiedades quedan como ejercicio- Ejercicio El número, que aparece en la propiedad 4 es, = n i= 2 i, si = n Jugando con el Teorema de Pitágoras se puede verificar fácilmente que si n = 2 ó n = 3,, corresponde a la longitud de la flecha representada por el vector n = n = 3 Aprovechando estos hechos, y con la esperanza de re obtener el Teorema de Pitágoras en Ê n, para todo n, definimos Definición 26 (Norma Euclidiana) ( La norma Euclidiana (o, simplemente, norma) de un vector = ) Ê n como = n i= 2 i = n 2 norma 48

13 , (raíz cuadrada ) Tenemos así la función norma : Ê n Ê =, Proposición 23 Se tienen las siguientes propiedades: ( Ê n ) = = 2 ( λ Ê)( Ê n ) λ = λ 3 (,y Ê n ) + y + y (Desigualdad Triangular) Desigualdad Triangular Demostración Las demostraciones de y 2 son elementales y se dejan como un ejercicio fácil para el lector La prueba de la Desigualdad Triangular dependerá del siguiente importante Lema: Lema (Desigualdad de Cauchy Schwartz) (,y Ê n ),y y Demostración (Desigualdad de C S) Notar que si = y =, la desigualdad se verifica trivialmente ( ) Supondremos entonces que ambos vectores e y son no nulos Para,y Ê n \ {} fijos, consideremos ahora la función ϕ : Ê Ê definida por ϕ(t) = t y 2 Claramente ϕ(t) para todo t Ê (y además, si y no es un múltiplo de, ϕ(t) > para todo t Ê) Por otra parte, ϕ(t) = t y, t y = 2 t 2 2,y t + y 2 Así, ϕ es una función polinomial de segundo grado en t, con coeficientes a = 2, b = 2,y, c = y 2 (notar que como, la función es efectivamente de segundo grado, y no de un grado menor) Como ϕ(t) para todo t Ê, sabemos que el discriminante b 2 4ac será menor o igual a (a lo más una raíz real de multiplicidad 2), es decir 4,y y 2, de donde,y 2 2 y 2, lo que implica la desigualdad deseada Observación: Notar que si y no es múltiplo de, ϕ(t) > para todo t Ê, luego b 2 4ac <, de donde se desprende que,y < y De aquí que (aún en el caso = y = ) se verifica la igualdad en Cauchy Schwartz ssi alguno de los dos vectores es múltiplo del otro De modo similar se tiene que,y = y ssi alguno de los dos vectores es un múltiplo no negativo del otro Desigualdad de Cauchy Schwartz 49

14 Podemos ahora probar la desigualdad triangular Sean,y Ê n Tenemos: + y 2 = + y, + y = 2 + 2,y + y ,y + y 2 C Sch y + y 2 = ( + y ) 2 Observación: De la observación bajo la demostración de la desigualdad de Cauchy Schwartz podemos concluir que en la desigualdad triangular vale la igualdad ssi alguno de los dos vectores es múltiplo no negativo del otro Usaremos ahora la norma de Ê n para definir la noción de distancia entre puntos de este conjunto Definición 27 Sean p,q dos puntos en Ê n La distancia entre p y q es distancia el número real no negativo d(p, q) = q p d(p, q) Observación: Recordando que q p se puede visualizar como el vector (flecha) que va de p hasta q, resulta que d(p,q) es la longitud de esta flecha, es decir, como esperaríamos, la longitud del trazo recto entre p y q 2 Podemos usar la distancia entre puntos para interpretar la desigualdad triangular Sean p,q,r Ê n tres puntos que forman un triángulo en Ê n Entonces: q p = (q r) + (r p) q r + r p, es decir d(p,q) d(r,q) + d(p,r) En el triángulo pqr esto significa que la longitud del lado pq es inferior o igual a la suma de los otros dos lados ( rq + pr), lo que es un viejo teorema de geometría plana p q-p q p r-p r q-p q-r q 5

15 El producto punto está íntimamente ligado a la noción de ángulo entre vectores Recurramos nuevamente a nuestra intuición geométrica para ver algunos hechos que indican que esta afirmación no es gratuita Situación : Consideremos el siguiente diagrama: y -y -y +y Los vectores e y son no nulos en Ê n, y los hemos dibujado en el plano que pasa por el origen y que los contiene Supongamos que es perpendicular a y (vamos a suponer que esto tiene sentido en Ê n, y que en el plano de, y y se cumplen las propiedades usuales que conocemos de la geometría plana del colegio) Esperamos entonces que el triángulo que tiene por vértices, y y y sea isósceles en (la altura es la flecha ), y así y = + y y, y = + y, + y 2 2,y + y 2 = 2 + 2,y + y 2 4,y =,y = Aprovechemos esto para definir perpendicularidad en Ê n : Definición 28 (Perpendicularidad) Dos vectores,y Ê n se dicen perpendiculares u ortogonales ssi,y = Lo anotaremos como y Ejercicio 24: Probar el Teorema de Pitágoras en Ê n : Sean A,B,C Ê n, con (B C) (C A) Si a = d(c,b) = B C, b = d(a,c) = C A y c = d(b,a) = A B son los tres lados del triángulo ABC (triángulo rectángulo en C, con a, b los catetos y c la hipotenusa), entonces a 2 + b 2 = c 2 A b C c a B perpendicularidad y Ejercicio 5

16 Situación 2: Queremos usar nuestra intuición geométrica para descubrir una relación que nos permita definir el ángulo entre dos vectores de Ê n Consideremos el diagrama siguiente: Todo transcurre en el plano que pasa por y tiene a e y como vectores directores El punto λy es la proyección ortogonal del punto sobre la recta que pasa por y tiene a y como vector director, θ será el ángulo de la flecha y a la (si todo esto tiene sentido en Ê n ) La cantidad λy es la distancia de a su proyección Las relaciones trigonométricas que esperaríamos que se cumplan dicen: cosθ = λy y y = λ y Nos gustaría eliminar λ de esta fórmula Para ello notemos que como (λy ) y, entonces λy,y =, de donde λ y 2,y =, y así λ = λ =,y (El dibujo sugiere que λy apunta hacia el mismo lado y 2 que y Analizar lo que pasa si no Notar que θ > π 2 en dicho caso) Luego cosθ =,y y Usamos esto para definir el ángulo entre vectores de Ên : Definición 29 (Ángulo entre vectores) Sean,y Ên \ {} Definimos el ángulo entre e y como aquel número θ [, π] tal que Observación: cosθ =,y y Notar que la desigualdad de Cauchy Schwartz asegura que, así la definición anterior tiene sentido,y y 2 Esta definición entrega de manera trivial la famosa fórmula,y = y cosθ ángulo 52

17 26 Aplicación a Rectas en Ê 2 y Planos en Ê 3 26 Rectas en Ê 2 ( ) ( ) Sea d = Ê 2 Definamos el nuevo vector d 2 = Ê 2 2 Es un ejercicio fácil verificar que las siguientes propiedades se satisfacen: d = d 2 d es ortogonal a d 3 ( d ) = d 4 Si d, entonces ( v Ê 2 ) [v d ( λ Ê) v = λd ] 5 Si d, entonces ( v Ê 2 ) [v d ( t Ê) v = td] d Sea ahora p Ê 2 y L = L p,d = { v Ê 2 v = p + td, t } Ê Tenemos que v L v = p + td, t Ê ( t Ê)v p = td v p d v p,d = Si llamamos n = d (o cualquier otro vector paralelo a éste), hemos concluido que v L v p,n =, es decir, L = { v Ê 2 v p,n = } La ecuación v p,n = se llama ecuación normal de L El vector n (es decir, d o cualquier otro paralelo a él) se dice vector normal a L d d ecuación normal de L vector normal a L 53

18 L n p v-p De la( ecuación ) normal ( de) L sale fácilmente ( ) una ecuación Cartesiana Sean n p n =, p = y v = Desarrollando: n 2 p 2 2 v p,n = v,n p,n = n + n ( n p n 2 p 2 ) =, es decir a + b 2 + c =, con a = n, b = n 2 y c = p,n (2) Ejercicio 25: Concluya que si (2) es una ecuación Cartesiana de una recta de Ê 2, entonces un vector director de esta recta es d = ( b a ) 262 Planos en Ê 3 Sean d,d 2 vectores no nulos y no paralelos en Ê 3 Más adelante se prueba que eiste un vector n = d d 2 Ê 3 con las propiedades: n = d d 2 senθ, con θ el ángulo entre d y d 2 2 n d n d 2 3 ( v Ê 3 ) [v d v d 2 ( λ Ê)v = λn] 4 ( v Ê 3 ) [v n ( s, t Ê)v = sd + td 2 ] d v Ejercicio Con estas propiedades, sea Π = Π p,d,d 2 el plano en Ê 3 que pasa por un Π p,d,d 2 punto p Ê 3 y de vectores directores d y d 2 Entonces el lector puede demostrar fácilmente que para cualquier v Ê 3, v Π v p,n = Nuevamente, n (o cualquier vector paralelo a n) se dirá vector normal a Π, vector normal a Π n 54

19 y la ecuación v p,n = se llamará ecuación normal de Π De modo similar al caso de rectas en Ê 2, la ecuación normal conduce directamente a( la ecuación Cartesiana A + B 2 + C 3 + D = para Π AB ) (Donde n = y D = p,n ) C n p d 2 v-p d v ecuación normal de Π 55