Transformadas de Laplace Funciones de Transferencia

Transcripción

1 Tranformada de aplace Funcione de Tranferencia 1.-Introducción. 2.-Tranformada de aplace. 3.-Tranformada Invera de aplace. 4.-Análii de Circuito en el dominio de aplace Circuito Tranformado Aplicación en el etudio de Tranitorio. 5.-Funcione de Tranferencia. 6.-Tranformada de Fourier.

2 INTRODUCCIÓN f() e la Tranformada Integral de F(t) mediante el núcleo K(,t). A F(t) también e le llama Tranformada Invera de f()

3 INTRODUCCIÓN Tranformada de aplace: Tranformada de Fourier:

4 INTRODUCCIÓN Tranformada de Mellín: Tranformada de Hankel:

5 Ejemplo de Tranformada de aplace Función impulo: (1 (1 Función ecalón: (1 (1 Función rampa: F(t) = t Función eno: F(t) = en(kt)

6 PROPIEDADES inealidad: Tralación: Sutitución:

7 PROPIEDADES Tranformada de la derivada:

8 PROPIEDADES Tranformada de la integral: Derivada de una Tranformada: Integral de una Tranformada:

9 PROPIEDADES Teorema del Valor Inicial (TVI): Teorema del Valor Final (TVF):

10 TRANSFORMADA INVERSA Si f() = [F(t)] F(t) = -1 [f()] a Tranformada de aplace (y u invera) de una función nula e cero. Teorema de erch: Si f() = [F(t)] y exite una G(t) tal que [G(t)] = f() entonce F(t) y G(t) difieren en una función nula. -1 [f(a)] = e -at -1 [f()]

11 TABA DE TRANSFORMADAS N.º f() F(t) 1 1 ))) a ))))))) 2 a 2 )))))))) 2 a 2 1 ))))) a ))))))))))) ( ) 2 a 2 ))))))))))) ( ) 2 a 2 n! )))))) n1 n! )))))))))) ( ) n1 2a )))))))))) ( 2 a 2 ) 2 a )))))))))))) ( 2 a 2 ) 2 en at co at e - t e - t en at e - t co at t n t n e - t t en at t co at

12 Ejemplo de Reolución de Ecuación Diferencial Reolver la iguiente ec. dif. con y(0) = -1; y (0) =2 Aplicando la tranformada de aplace a lo do miembro y coniderando lo valore iniciale dado, reulta: Separando en fraccione imple tendremo: Reolviendo y acudiendo a la tabla de Tranformada:

13 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Aplicando la tranformada de aplace a lo do miembro y coniderando valore iniciale nulo en la función y u derivada reulta: expreión que e equivalente a la que ya vimo del operador D, in má que cambiar el operador diferencial D por la variable compleja. Aí, al er la do expreione equivalente, la función de tranferencia o tranmitancia, e puede exprear también por el cociente de la tranformada de aplace, iempre que e mantengan nula la condicione iniciale de la función y u derivada.

14 DOMINIO DE APACE Circuito lineal Conjunto de definición de t Tranformada de aplace Conjunto de definición de Circuito tranformado Ecuacione diferenciale Ecuacione algebraica Técnica cláica Técnica algebraica Onda olución Tranformada invera -1 Tranformada de la olución

15 DOMINIO DE APACE i(t) I() v S (t) v(t) V S () V() i(t) (a) I() i S (t) v(t) I S () V() (b)

16 CIRCUITOS TRANSFORMADOS Reitencia Bobina Condenador = R () () vr t Ri t v t di t = dt 1 t v t = C i t dt v 0 () () c c c 0 v R (t) i R (t) R I R () V R () R Reitencia Bobina Condenador Reitencia Bobina Condenador = R = ( = 0) 1 c = 0 VR RI V I i t V C I v C = C t = R = ( = 0) v c = 0 VR RI V Z I i t V = Z I C Reitencia Bobina Condenador Z C Z Z R C C = R = = 1 C t v (t) v C (t) i (t) i C (t) C V () V C () I () I C () i (0) v C (0) 1/C

17 CIRCUITOS TRANSFORMADOS i G (t) I G () Reitencia IR = GVR Bobina I ( ) V i = 1 = 0 t Condenador I = C V Cv t = 0 C C c v G (t) i (t) G V G () I () G Reitencia Y Bobina Condenador R C Y Y 1 1 = = = ZR R G 1 1 = = Z 1 = = C Z C v (t) v C (t) i C (t) C V () I C () V C () 1 C i (0) Cv C (0)

18 Ejemplo En la figura 5a e ha repreentado el circuito R erie excitado por tenión, etando la bobina inicialmente magnetizada, de forma que por ella circula una corriente inicial i (0). Encontrar la expreión matemática, en el dominio del tiempo, de la corriente que circula por la bobina.

19 Ejemplo V = = 0 iendo: V R () = RI() y V V R V () = I() - i (t=0) I = V R I = i t = 0 V / i 0 ( R/ ) R / I V / R V / R i t = 0 = R / R / () i = t 0 0 () it V R R.Forzada V R e R. Natural Rt it Rt V V = R R e i t e = 0 Rt R. a Etado Nulo R. a Entrada Nula

20 FUNCIONES DE TRANSFERENCIA T = Tranformada de la repueta a etado nulo Tranformada de la eñal de entrada Funcion de tranferencia de intenidad = T = I 2 V2 Funcion de tranferencia de tenion = T = V 1 I 1

21 TRANSFORMADA DE FOURIER Condicione de Dirichlet: x(t) e abolutamente integrable, eto e, i xt () 2 dt< el número de máximo y de mínimo y el número de dicontinuidade en cualquier intervalo finito e finito.

22 TRANSFORMADA DE FOURIER Tranformada de Fourier: j ft Xf = xte dt j t X = x t e dt 2 Tranformada Invera de Fourier: = () () j ft xt Xfe df 1 j t xt = X e d 2 2 () Epectro (denidad de energía): X(f) 2

23 Ejemplo Determinar la tranformada de Fourier de la onda cuadrada (no repetitiva): xt () Aplicando la definición: = 1 0 para T < t < T para el reto T j2 ft 1 j2 f T Xf = e dt = [ e ] = T j2 f T Al er par, quedaría: en 2 ft f