Unidad 6 Modelo de redes

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1 Unidad 6 Modelo de redes Objetivos: Al nalizar la unidad, el alumno: Resolverá problemas utilizando el algoritmo de la ruta más corta. Resolverá problemas de flujo máimo. Resolverá problemas de flujo restringido de costo mínimo. Resolverá problemas de aplicación al entorno de los negocios. Resolverá problemas utilizando el algoritmo PERT.

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3 Matemáticas para negocios 215 Introducción La representación grá ca de las vías de comunicación de cualquier región geográ ca es un claro ejemplo de una red, lo cual le con ere relevancia natural por tener la capacidad de proporcionarnos información acerca de los diferentes caminos que podemos utilizar para trasladarnos de un origen hasta un destino preestablecido pero, en general, es necesario obtener aún más información de un diagrama de redes, como encontrar cuál de todas las posibles rutas es la que tiene un recorrido total menor a cualquier otra, es decir, la ruta más corta de todas o, por ejemplo, cuál es la ruta con mayor a uencia o ujo máimo, así como el ujo de costo mínimo. Se puede observar que el denominador común de los términos recién presentados como: más corta y mínimo o máimo, tiene una relación directa con la optimización. Es en este sentido que se presenta tanto la de nición de los modelos de redes, su terminología y construcción, así como casos prácticos para resolver con la metodología presentada a lo largo de este capítulo. En las diferentes secciones del capítulo se estudiarán los problemas mencionados a través de la solución de casos de aplicación, por lo que se sugiere que el lector resuelva de nueva cuenta tales ejemplos, así como la sección de ejercicios y la autoevaluación De nición del modelo En general, una red es la representación grá ca de un proceso, serie de actividades interconectadas o la distribución de puntos geográ cos especí cos, por ejemplo, un mapa carretero o la distribución de una red de computadoras representada en un diagrama, aunque eisten muchos más contetos donde se aplican las redes. Por mostrar una representación de la realidad, las redes se clasi can como un modelo. Es así como se de ne el modelo de redes, el cual cuenta con terminología propia, necesaria para su desarrollo. A continuación se presenta la notación y terminología empleada.

4 216 Unidad 6 Modelo de redes Notación y terminología Red. Conjunto de puntos llamados nodos (o vértices) y líneas que los unen llamadas arcos (o ligaduras, aristas o ramas). Los arcos se etiquetan con los nombres de los nodos en sus puntos terminales, por ejemplo, AB es el arco entre los nodos A y B. Arcos dirigidos. Un arco es dirigido cuando tiene ujo en una sola dirección y ésta se indica con una cabeza de echa al nal del arco o línea en la dirección del ujo. Arcos no dirigidos. Un arco donde se permite el ujo en ambas direcciones. Trayectoria. Sucesión de arcos distintos que conectan dos nodos. Trayectoria dirigida. Una trayectoria dirigida del nodo i al nodo j, es una sucesión de arcos cuya dirección (si la tienen) es hacia el nodo j, de manera que el ujo del nodo i al nodo j, a través de esta trayectoria, es factible. Trayectoria no dirigida. Una trayectoria no dirigida del nodo i al nodo j es una sucesión de arcos cuya dirección (si la tienen) puede ser hacia o desde el nodo j. Red dirigida. Es una red que tiene sólo arcos dirigidos. Red no dirigida. Es una red donde todos sus arcos son no dirigidos. Red conea. Una red conea es una red en la que cada par de nodos está conectado. Se dice que dos nodos están conectados si la red contiene al menos una trayectoria no dirigida entre ellos aparte. Se debe resaltar que no es necesario que la trayectoria sea dirigida aun cuando la red sea dirigida. Capacidad de arco. Es la cantidad máima de ujo (quizás in nito) que puede circular en un arco dirigido. Nodo fuente (o nodo de origen). Tiene la propiedad de que el ujo que sale del nodo ecede al ujo que entra a él. Nodo demanda (o nodo destino). Es el caso contrario al nodo fuente, donde el ujo que llega ecede al que sale de él.

5 Matemáticas para negocios 217 Nodo de trasbordo (o nodo intermedio). Satisface la conservación del ujo, es decir, el ujo que entra es igual al que sale. Esta terminología se utilizará en el desarrollo del algoritmo y ejemplos. Conforme se requiera, se recuperará alguno de los conceptos, ya sea para aplicar algún paso de un algoritmo o eplicar alguna consideración particular de una operación o tipo de red. Ejemplo 1 El siguiente diagrama representa una red: Los nodos 0 y F representan el origen y destino de la red, mientras que los nodos A, B, C, D y E, son nodos de trasbordo, el número en los arcos o líneas puede indicar distancia en kilómetros, por ejemplo, entre nodos adyacentes. Como se mencionó en un principio, los diagramas de redes, además de representar vías de comunicación, también se utilizan para obtener información adicional, por ejemplo, para obtener la ruta más corta entre el nodo origen y el nodo destino. A continuación se presenta el algoritmo de La ruta más corta Problema de la ruta más corta El problema de la ruta más corta tiene por objetivo determinar la ruta mínima entre un origen y un destino determinados utilizando la información disponible en una red y cumpliendo con las especi caciones de distancia, coneiones eistentes, etcétera. El algoritmo analiza la red a partir del origen, identi cando en orden ascendente la ruta más corta hasta cada uno de los nodos desde el origen hasta alcanzar el nodo destino.

6 218 Unidad 6 Modelo de redes Esto es partir de una red establecida, conea y no dirigida con nodos origen y destino. A cada arco no dirigido se asocia una distancia no negativa. El objetivo es determinar la ruta más corta, es decir, la trayectoria con la mínima distancia total, desde el origen hasta el destino. Algoritmo de la ruta más corta: Objetivo de la n-ésima iteración. Encontrar el n-ésimo nodo más cercano al origen (este paso se repetirá para n=1,2, hasta que el n-ésimo nodo más cercano sea el nodo destino). Datos para la n-ésima iteración. Son los n-1 nodos más cercanos al origen (encontrados en las iteraciones previas), incluida su ruta más corta y la distancia desde el origen (estos nodos y el origen se llaman nodos resueltos, el resto son nodos no resueltos). Candidatos para el n-ésimo nodo más cercano. Cada nodo resuelto que tiene coneión directa por una ligadura con uno o más nodos no resueltos, proporciona un candidato y éste es el nodo no resuelto que tiene la ligadura más corta (los empates proporcionan candidatos adicionales). Cálculo del n-ésimo nodo más cercano. Para cada nodo resuelto y sus candidatos, se suma la distancia entre ellos y la distancia de la ruta más corta desde el origen a este nodo resuelto. El candidato con la distancia total más pequeña es el n-ésimo nodo más cercano (los empates proporcionan nodos resueltos adicionales) y su ruta más corta es la que genera esta distancia. El algoritmo es muy sencillo y su aplicación se facilita aún más si se utiliza una tabla que registra el resultado de las iteraciones y permite la identi cación de las coneiones que forman la ruta más corta de la red. La tabla contiene la siguiente información: Tabla 6.1. Tabla para aplicar el algoritmo de la ruta más corta. n 1... n Nodos resueltos conectados directamente a nodos no resueltos Nodo no resuelto más cercano conectado Distancia total involucrada n-ésimo Distancia nodo más mínima cercano Última coneión

7 Matemáticas para negocios 219 La primera columna indica el número de la iteración. La segunda columna: registra los nodos resueltos (nodos ya utilizados en la trayectoria) para iniciar la iteración actual, después de no considerar los nodos que no se utilizan. La tercera columna: candidatos (nodos no resueltos con la ligadura más corta al nodo resuelto) para el n-ésimo nodo más cercano. La cuarta columna: distancia de la ruta más corta desde el origen a cada uno de estos candidatos. La quinta columna: candidato con la menor distancia al origen. La seta columna: distancia de la ruta más corta desde el origen al último nodo resuelto. La séptima columna: último tramo en esta ruta más corta. En la última columna se puede determinar la ruta más corta desde el nodo origen al destino. El siguiente ejemplo muestra la aplicación de la tabla a la red del ejemplo anterior. Ejemplo 2 Aplicar el algoritmo de la ruta más corta a la red del ejemplo 1. Se comienza por generar una tabla con los siguientes encabezados:

8 220 Unidad 6 Modelo de redes n 1... n Nodos resueltos conectados directamente a nodos no resueltos Nodo no resuelto más cercano conectado Distancia total involucrada n-ésimo Distancia nodo más mínima cercano Última coneión n La primera iteración se registra en la la correspondiente a n = 1 La primera iteración se realiza comparando la distancia eistente entre el nodo 0 y los nodos A y B respectivamente, seleccionando el nodo B como el nodo no resuelto más cercano conectado con una distancia total involucrada de 4 km. Ahora, el n-ésimo nodo más cercano aplica cuando se deba comparar más de un nodo, en este caso el mismo nodo B es el más cercano con una distancia mínima de 4 km, por lo que se establece la última coneión como 0B. Nodos resueltos conectados directamente a nodos no resueltos Nodo no resuelto más cercano conectado Distancia total involucrada n-ésimo nodo más cercano Distancia mínima Última coneión 1 0 B 4 B 4 0B n Ahora toca el turno de la segunda iteración: En esta iteración, el nodo 0 y el nodo B son nodos resueltos, es decir, ya se pasó por ellos, pero están conectados a nodos no resueltos y, por esta razón, se consideran en la segunda iteración. El nodo no resuelto más cercano a 0 y B respectivamente es A y C, el primero con una distancia total de 5 unidades, mientras que la distancia para llegar a C es la suma de las distancias de 0 a B y luego de B a C; siendo mínima la primera, se selecciona como última coneión. Nodos resueltos conectados directamente a nodos no resueltos Nodo no resuelto más cercano conectado Distancia total involucrada n-ésimo nodo más cercano Distancia mínima Última coneión 1 0 B 4 B 4 0B 2 0 B A C 5 4+6=10 A C A

9 Matemáticas para negocios 221 La tabla completa, considerando la misma eplicación que se presentó para la primera y segunda iteración, está dada por: n Nodos resueltos conectados directamente a nodos no resueltos Nodo no resuelto más cercano conectado Distancia total involucrada n-ésimo Distancia nodo más mínima cercano Última coneión 1 0 B 4 B 4 0B 0 A 5 A 2 5 0A B C 4+6=10 C 3 A D 5+4=9 C 9 AB E 9+2=11 E 4 B 11 BE D 9+3=12 D D F 12+7=19 F 19 5 ET E F 11+5=16 F 16 De la última columna se etrae la información para resolver el problema: La ruta más corta desde el nodo destino hacia el nodo origen se determina desde el nal hacia el principio de la última columna, es decir, desde el destino T E B A 0, con una distancia total de 16 kilómetros. Si representamos la ruta más corta sobre el diagrama de la red, queda como: En algunas ocasiones, este algoritmo de solución puede generar más de una ruta más corta y será decisión del responsable del proyecto considerar, de las posibles rutas más cortas, la que mejores bene cios reporte para los involucrados.

10 222 Unidad 6 Modelo de redes 6.3. Flujo máimo Cuando se pretende maimizar el ujo a través de una red, considerando como inicio de la red un nodo llamado fuente y como nodo nal un nodo llamado destino y tomando en cuenta que el ujo en los arcos es sólo en la dirección que en el diagrama de la red se indica, se tiene un problema de ujo máimo, en el cual el objetivo es maimizar la cantidad total de ujo de la fuente al destino. Este tipo de problema tiene una amplia gama de aplicaciones dentro de las cuales se pueden mencionar: Maimizar el ujo de cualquier uido a través de una tubería. Maimizar el ujo de vehículos por un sistema carretero. Maimizar el ujo de insumos o productos desde los proveedores hacia los clientes de cualquier tipo de empresa. Para resolver este problema, se requiere una red conea dirigida, identi car los nodos fuente y destino, así como conocer, por lo general, los límites máimos permisibles de ujo en cada uno de los arcos dirigidos de la red. Con el diagrama de la red y los datos mencionados se utiliza un algoritmo para obtener la solución. A manera de introducción al algoritmo de solución, se presentan algunos términos necesarios en la aplicación del mismo. Red residual. Una vez asignados ujos a los arcos de la red original, la red residual es aquella que muestra las capacidades restantes (capacidades residuales) para asignar ujos adicionales. Para indicar la capacidad de ujo se coloca un número en la base del arco.

11 Matemáticas para negocios 223 Ejemplo 3 Suponer que entre un nodo adyacente y un nodo fuente se tiene una capacidad máima de ujo de 9 unidades de algún producto, lo cual está representado por la siguiente gura: Observa que la capacidad residual de la derecha vale cero, pues no se ha realizado asignación de ujo. Entonces si se asigna, por ejemplo, un ujo de 6 unidades al arco 0A, el diagrama de la red cambia a: Este cambio en el diagrama indica que el nodo 0 tiene una capacidad residual de tres unidades y que la capacidad residual del nodo A es de seis unidades. Trayectoria aumentada. Es la trayectoria dirigida desde el nodo fuente hacia el destino en la red residual, donde todos los arcos comprendidos en esta trayectoria tienen capacidad residual estrictamente positiva. Algoritmo de la trayectoria de aumento: 1. Se identi ca una trayectoria de aumento encontrando alguna trayectoria dirigida del origen al destino en la red residual, tal que cada arco sobre esta trayectoria tiene capacidad residual estrictamente positiva (si no eiste una, los ujos netos asignados constituyen un patrón del ujo óptimo). 2. Se identi ca la capacidad residual c* de esta trayectoria de aumento encontrando el mínimo de las capacidades residuales de los arcos sobre esta trayectoria. Se aumenta en c* el ujo de esta trayectoria. 3. Se disminuye en c* la capacidad residual de cada arco en esta trayectoria de aumento. Se aumenta en c* la capacidad residual de cada arco en la dirección opuesta en esta trayectoria. Se regresa al paso 1. A continuación se aplica este algoritmo a la siguiente red, que es la misma del ejemplo 1, pero sobre la red se escribieron los límites máimos permisibles, como las capacidades residuales de los arcos de la red.

12 224 Unidad 6 Modelo de redes Ejemplo 4 Considera los ujos de la siguiente red y determina la trayectoria de aumento para el problema de ujo máimo. Iteración 1. Primero se determina una trayectoria de aumento desde el nodo fuente hacia el destino de la red residual, para este caso la trayectoria de aumento está dada por 0 B C D F, que tiene una capacidad residual igual al min ( 9,12,7, 9) = 7, que corresponde a las capacidades residuales de cada arco. Asignamos el ujo de 7 a esta trayectoria para obtener: Iteración 2. Otra trayectoria de aumento desde el nodo fuente hacia el destino de la red residual para esta segunda iteración es la trayectoria de aumento por 0 B C E F, la cual tiene una capacidad residual igual al min ( 2,5, 6, 6) = 2, que corresponde a las capacidades residuales de cada arco. Asignamos el ujo de 2 a esta trayectoria para obtener:

13 Matemáticas para negocios 225 Iteración 3. Una trayectoria más será 0 A C E F mín (7, 7, 4, 4) = 4. Asignamos el flujo de 4 a esta trayectoria para obtener: Como ya no eisten trayectorias de aumento, el patrón de ujo actual es óptimo. Entonces la solución óptima de este problema de ujo máimo está dada por la siguiente red: Esto quiere decir que el ujo máimo para esta red es de 13 unidades Flujo restringido de costo mínimo En ocasiones, lo que se busca determinar acerca de una red es la manera en la cual distribuir algún tipo de material por los conductos de la misma (arcos) al menor costo posible, calculado éste con el costo unitario de transporte de cada conducto y respetando los límites máimos permisibles de ujo en toda la red. Para el transporte del material por los conductos de la red, desde los puntos de producción hasta los de consumo, se denotan nodos fuentes, nodos de trasbordo donde concurren varias rutas y nodos destino. Para plantear el modelo de ujo de costo mínimo, se considera una red conea dirigida, en donde al menos se incluyen un nodo de producción (fuente) y uno de consumo (destino). La producción total de la red debe ser igual a la demanda total de ésta; esto es un problema balanceado, en caso contrario, se utilizan nodos cticios para lograr el balance. En adelante sólo se considerarán problemas balanceados.

14 226 Unidad 6 Modelo de redes El objetivo del modelo es minimizar el costo de transporte, satisfaciendo tanto las demandas de los consumidores como las restricciones de ujo en los conductos de la red. La notación de las variables y los datos involucrados en el desarrollo del modelo son: c ij : costo por unidad de ujo a través del arco que va del nodo i al nodo j. u ij : capacidad de ujo del arco que va del nodo i al nodo j. b : ujo neto generado del nodo i. i Donde b i puede ser positiva si el nodo i es un nodo fuente, negativa si el nodo i es un nodo demanda o cero si el nodo i es un nodo trasbordo. Las variables de decisión son el ujo en los conductos: : ujo en el arco que va del nodo i al nodo j. ij Como el objetivo es minimizar el costo de transporte a través de la red y considerando que las sumas de los ujos se realiza sobre los nodos, la función de costos y las restricciones están determinadas por las epresiones: Z min n Sujeto a: n n = i= 1 j= 1 n c ij ji i j= 1 j= 1 ij ij = b, para cada nodo i. 0 ij uij ; para cada arco del nodo i al nodo j. La primera suma de la primera restricción indica el ujo total que sale del i-ésimo nodo, mientras que la segunda suma indica el ujo total que entra al i-ésimo nodo, por lo que la diferencia de las sumas debe ser igual a la producción o demanda del nodo e igual a cero para los nodos de trasbordo.

15 Matemáticas para negocios 227 Ejemplo 5 Considerar los ujos máimos permisibles y los costos unitarios de los arcos de la siguiente red y determinar el costo mínimo de transporte. Tomando en cuenta que se tienen dos puntos de producción de 500 y 350 metros cúbicos de un corte ligero de crudo y que otros dos puntos consumen 450 y 400 metros cúbicos del mismo corte ligero. Los costos unitarios de transporte y ujos máimos permisibles, así como la producción y consumo de las fuentes y destinos, se muestran sobre la red: A partir de la información de la red se plantea el modelo de ujo restringido de costo mínimo: Z min n Sujeto a: n n = i= 1 j= 1 n c ij ji i j= 1 j= 1 ij ij = b, para cada nodo i. 0 ij uij ; para cada arco del nodo i al nodo j. De forma desarrollada se tiene: Zmin = c c c c c c c c c c5757

16 228 Unidad 6 Modelo de redes Sujeto a: = b = b = 0 + = = = b6 = b u 0 u 0 u 0 u 0 u 0 u 0 u 0 u 0 u 0 u Si se sustituyen los valores conocidos tanto en la función objetivo como en las restricciones, entonces se tiene: Z = min Sujeto a: = = = 0 + = = = 400 =

17 Matemáticas para negocios Resolviendo el modelo con apoyo de un paquete computacional, hoja de cálculo de Ecel, se llega a la siguiente solución: 13 = = = = = 0 36 = = = = 0 57 = 100 Con un costo total mínimo de Z min = $22, De esta solución cabe señalar que los conductos identi cados por los arcos (3,4) y (5,4) no se utilizan en la misma. Entonces, otro resultado importante que puede obtenerse de este algoritmo es identi car las áreas de oportunidad de las redes con las que se trabaja, sin embargo, esto sólo es una propuesta ya que, en realidad, el responsable del proyecto es quien deberá identi car la información relevante para el buen logro de las metas y objetivos planteados Aplicaciones al entorno de los negocios Aplicar los algoritmos de solución a problemas que involucren maimizar un ujo o minimizar el costo total de una serie de operaciones, siempre tendrá remarcada importancia en cualquier tipo de negocio ya que, en la actualidad, debido a la globalización y la tendencia de grandes corporaciones a epandir sus operaciones más allá de sus países de origen, se hace presente la necesidad de herramientas que apoyen, con resultados cuantitativos, la toma de decisiones de casi cualquier índole referida a la empresa.

18 230 Unidad 6 Modelo de redes Cabe mencionar que el hecho de contar con estas herramientas, permitirá distinguir la calidad de las decisiones soportadas en éstas, de las decisiones poco afortunadas tomadas porque parecía lo correcto. Aun así, también debe considerarse que sólo la constante y repetida práctica en la solución de problemas, fortalecerá las habilidades y conocimientos necesarios para aplicarlos en tareas cada vez más complejas. Con el fin de ejempli car una de las posibles aplicaciones de las redes a los negocios se presenta un caso práctico para resolver e interpretar. Ejemplo 6 El diagrama que a continuación se presenta corresponde al ujo de recursos que van desde dos Direcciones generales (fuentes) con disponibilidad de 7.5 millones y 4.5 millones de pesos respectivamente, hacia dos administradores de campañas publicitarias (destinos) con requisitos de 5 y 7 millones cada una. Para este n, las dos direcciones canalizan los recursos a través de tres departamentos que tienen restricciones de ujo de capital. Estos requerimientos y los costos unitarios de las operaciones se indican en el diagrama. Los valores negativos de las variables b 6 y b 7 indican requerimientos. Cada una de las Direcciones generales (nodos 1 y 2 en el diagrama) destina recursos a través de dos departamentos (nodos 3 y 5 para la fuente 1 y nodos 4 y 5 para la fuente 2). Los departamentos (nodos 3, 4 y 5) dirigen recursos hacia los administradores de las campañas publicitarias (nodos 6 y 7). Los departamentos representados por los nodos 3 y 5 envían recursos hacia el administrador ubicado en el nodo 6, y los departamentos designados como nodos 4 y 5 canalizan sus recursos hacia el administrador del nodo 7. Observa que el departamento del nodo 5 también puede recibir transferencias desde los nodos 3 y 4.

19 Matemáticas para negocios 231 El objetivo del problema es determinar el ujo de recursos a través de la red al menor costo posible. A partir de la información de la red se plantea al modelo de ujo restringido de costo mínimo, con las siguientes variables: c ij : costo por unidad de ujo a través del arco que va del nodo i al nodo j. u ij : capacidad de ujo del arco que va del nodo i al nodo j. b : ujo neto generado del nodo i. i La función de costos y las restricciones están determinadas por las epresiones: Z min n n = i= 1 j= 1 c ij ij Sujeto a: n n = b, para cada nodo i. ij ji i j= 1 j= 1 0 ij uij ; para cada arco del nodo i al nodo j. De forma desarrollada se tiene: Zmin = c c c c c c c c c c4747 Sujeto a: = b = b = 0 + = = = b6 = b u 0 u 0 u 0 u 0 u 0 u 0 u

20 232 Unidad 6 Modelo de redes 0 u 0 u 0 u Si se sustituyen los valores conocidos tanto en la función objetivo como en las restricciones, se tiene: Zmin = Sujeto a: = = = 0 + = = = 5 = Después se determina el valor de las variables de decisión del modelo matemático con apoyo de un procesador de cálculo, hoja de Ecel, para resolver el sistema de ecuaciones del modelo. Para este caso se obtuvieron los siguientes valores de las variables de decisión: 13 = 5 15 = = 1.5 = 25 3

21 Matemáticas para negocios = 0 36 = 5 45 = = 1 56 = 0 = 57 1 El valor de los ujos está dado en millones de pesos. Con un costo mínimo de Z min = $31, Es importante notar que algunos arcos de la red no se utilizaron en la solución del problema, lo cual podría indicar áreas de oportunidad en la estructura de la empresa Algoritmo PERT En 1958 aparece el sistema PERT (evaluación de programa y técnica de revisión), el cual fue desarrollado por Booz, Allen y Hamilton, científicos de la oficina naval de proyectos espaciales y la división de sistemas de armamentos de la corporación Lockheed Aircraft. La técnica demostró tanta utilidad que ha ganado amplia aceptación tanto en el gobierno como en el sector privado. El método PERT fue probado en la construcción del submarino Polaris y se dice que redujo en dos años la conclusión del proyecto. Terminología Actividad. En términos generales, se considera actividad a la serie de operaciones realizadas por una persona o grupo de personas en forma continua, sin interrupciones, con tiempos medibles de iniciación y terminación. Las actividades pueden ser físicas o mentales, como construcciones, trámites, estudios, inspecciones, dibujos, etcétera. Relación entre actividades. Es la forma lógica como se conectan las diferentes actividades del proyecto. Esta relación se puede obtener por antecedentes o por secuencia. Por antecedentes se les preguntará a los responsables de los procesos cuáles actividades deben quedar terminadas para ejecutar cada una de las que aparecen en la lista. Debe tenerse especial cuidado de que todas y cada una de

22 234 Unidad 6 Modelo de redes las actividades tengan por lo menos un antecedente ecepto en el caso de ser actividades iniciales, en cuyo caso su antecedente será cero (0). Si la relación se hace por secuencia, se preguntará a los responsables de la ejecución cuáles actividades deben hacerse al terminar cada una de las que aparecen en la lista. Matriz de secuencia o de precedencia. Es la matriz en donde se coloca cada una de las actividades del proyecto y sus actividades secuenciales o precedentes. En el caso de la matriz de precedencia, está formada por tres columnas, la primera contiene el número de actividad, la segunda las actividades que preceden a la actividad mostrada en la primera columna y la última, una columna de anotaciones, la cual se utiliza para aclarar cualquier detalle del proyecto. La matriz de secuencia tiene también tres columnas, la primera contiene las actividades que conforman el proyecto, la segunda contiene las actividades que están después de la actividad de la primera columna, mientras que la tercera es una columna de anotaciones. Matriz de tiempos. Es la matriz que contiene el tiempo que necesita cada actividad para completarse. Todos los cálculos se hacen con la suposición de que los tiempos de actividad son determinísticos. Para esto se necesita estimar tres tiempos: a) Tiempo pesimista. Es el mayor tiempo posible en que se puede realizar una actividad, esto como consecuencia de un desperfecto de la maquinaria o errores de los operadores, falta de materia prima, etcétera. b) Tiempo optimista. Es el menor tiempo posible en el que se puede realizar una actividad, esto como consecuencia de que todos los factores sean favorables. c) Tiempo más probable. Es el tiempo modal, es decir, es el tiempo que más se repite en la realización de la actividad. Con estos tres tiempos se calcula el tiempo esperado, el cual se obtiene al calcular un promedio ponderado utilizando la siguiente fórmula: tp+ 4tm+ t0 te = 6 La información de los tiempos (ya sea determinístico o estocástico) se añade a la matriz de actividades. Esto se hace creando una nueva columna, la cual contiene

23 Matemáticas para negocios 235 el tiempo determinístico de cada actividad o el tiempo esperado de cada una de ellas. La matriz resultante recibe el nombre de matriz de información y se utiliza para construir la red de proyecto. Evento. Se llama evento al momento de iniciación o terminación de una actividad. Red de proyecto. Es la representación gráfica del proyecto, contiene cada una de las actividades a realizar, además de sus interrelaciones y secuencias. En este caso, los nodos de la red son los eventos del proyecto que se conectan a través de los arcos de la red o aristas, los cuales sólo representan la secuenciación del proyecto y en ningún caso su longitud o forma determinan el tiempo que requiere cada actividad. Empecemos eplicando el sistema PERT Lo primero que nos interesa de un proyecto es hacer una estimación del tiempo que necesitaremos para concluirlo. Una forma de realizar esta estimación es utilizando la gráfica de Gantt, la cual es un cronograma de tiempos, en la que el eje vertical contiene las actividades del proyecto y en el eje horizontal anotamos el tiempo. Para graficar cada una de las actividades utilizamos el siguiente algoritmo: 1. Se grafican las actividades iniciales, es decir, aquellas que no tienen actividades precedentes. Para graficar cada una de las actividades se traza una línea horizontal a la altura de donde se etiqueta la actividad, la longitud de la recta es igual al tiempo esperado de la actividad, utilizando la escala del eje horizontal. 2. Se grafican las actividades que tienen como precedente las actividades del paso anterior. La línea horizontal se traza a partir de donde termina la actividad precedente. Si una actividad depende de dos actividades o más, tenemos que igualar la longitud de todas estas actividades a la más larga, para ello trazamos una línea punteada. 3. Si ya no hay más actividades, entonces la gráfica está terminada, el punto del tiempo hasta donde llega la última línea recta es la aproimación de tiempo de terminación del proyecto. Si quedan actividades pendientes regresamos al punto 2.

24 236 Unidad 6 Modelo de redes Ejemplo 7 Se pide a un ingeniero la ampliación de una casa. La matriz de precedencia y de tiempos es la siguiente: Lo primero es calcular el tiempo esperado de cada una de las actividades, para ello utilizamos la fórmula: tp+ 4tm+ t0 te = 6

25 Matemáticas para negocios 237 Trazamos la gráfica de Gantt: De la gráfica se concluye que el tiempo esperado para la terminación del proyecto es de 15 días. Una de las principales deficiencias que tiene esta técnica es que no toma en cuenta la relación entre las actividades. El método PERT soluciona esta deficiencia al tomar en cuenta las relaciones eistentes entre las diferentes actividades y nos proporciona la ruta crítica, es decir, identifica las actividades que repercuten directamente en el proyecto. Algoritmo del método PERT Dada la lista de actividades, la relación de precedencia y los tiempos pesimista, optimista y más probable de las actividades de un proyecto, se hace lo siguiente: 1. Estimar los tiempos esperados de cada actividad. 2. Construir la red de proyectos. Nota. Recuerda que entre dos eventos sólo debe eistir una actividad, en caso contrario se añaden actividades ficticias. 3. Determinar los tiempos para eventos. Esto es, debemos determinar la terminación próima y la terminación lejana de cada evento utilizando las siguientes fórmulas: a) La terminación próima de un evento (TPE j ) es igual a la terminación próima del evento anterior más el tiempo esperado de la actividad (TEA ij ) del evento anterior al evento j.

26 238 Unidad 6 Modelo de redes TPE j = TEP j + TEA ij Si hay dos trayectorias que lleguen a un evento se toma la de mayor tiempo. Al evento inicial se le asigna una terminación próima igual a cero (TPE 0 = 0). b) La terminación lejana de cada evento (TLE i ) se calcula de derecha a izquierda en la red y es igual a la terminación lejana del evento posterior menos el tiempo esperado de la actividad posterior al evento i. TLE i = TLE j TEA ij Si eisten dos trayectorias que lleguen a un evento, consideramos la de menor tiempo. Al evento final se le asigna el valor de la terminación próima del evento final. La notación que se utiliza para epresar estos tiempos es una cruz arriba de cada evento, en la parte superior izquierda se anota la terminación próima y del lado superior derecho la terminación lejana. 4. Calcular los tiempos para las actividades. Terminación próima (TPA), es igual a la terminaciòn próima de la actividad más la duración de ésta. TPA ij = TPE j + TEA ij Con estos tiempos podemos calcular la holgura de cada actividad, la cual se define como: la diferencia entre la terminación próima y la terminación lejana. H ij = TPA ij TLE j 5. La ruta crítica está formada por las actividades que tienen una holgura igual a cero.

27 Matemáticas para negocios Debido a la naturaleza probabilística de los tiempos en cada actividad, no podemos tener un tiempo eacto de terminación T, en su lugar debemos calcular el intervalo donde esperamos que caiga el tiempo. Para ello utilizamos las siguientes fórmulas para calcular la esperanza y la varianza de la variable que mide el tiempo en que se realiza el proyecto: tp to varianza de la i ésima actividad = 6 E( T) = Te ruta crítica var( T) = var i ruta crítica 2 Ejemplo 8 Hallar la ruta crítica del siguiente proyecto: Un ingeniero eléctrico debe hacer una instalación eléctrica en una ampliación realizada a una fábrica. A continuación se presenta la matriz de precedencia y tiempos estimados en días.

28 240 Unidad 6 Modelo de redes 1. Estimamos los tiempos esperados de cada actividad. 2. Construimos la red del proyecto. 3. Calculamos los tiempos de cada evento, utilizando la siguiente tabla.

29 Matemáticas para negocios Una vez que calculamos los tiempos de los eventos, calculamos los tiempos para las actividades, para ello utilizamos la siguiente tabla: 5. De la tabla anterior concluimos que la ruta crítica está formada por los eventos A, B y E, es decir: RC = A + B + E Por lo tanto el ingeniero debe tener especial cuidado en: La colocación de los ductos para el cableado. Colocación de cables. Colocación de contactos y arrancadores. Para que, de esta manera, el proyecto se lleve a buen término. El tiempo esperado para la terminación del proyecto es: E(T) = = 6.5 días V( T) = + + = Por lo tanto, el tiempo esperado para la terminación del proyecto es de 6.5 días, con una desviación estándar de 0.5 días. La variable tiempo de terminación se puede ajustar a una distribución normal con media 6.5 y desviación estándar de 0.5 días. Si tomamos el intervalo formado por la media menos la desviación estándar y la media más la desviación estándar, sabemos que dentro de este intervalo tendremos 68.27% de los datos, es decir, tenemos 68.27% de probabilidad de que el tiempo de terminación esté dentro del intervalo [6,7].

30 242 Unidad 6 Modelo de redes Ejercicios El problema de la ruta más corta 1. Determina con el algoritmo de la ruta más corta, la ruta a seguir desde el origen A hasta el destino G. Las distancias están dadas en kilómetros sobre los arcos de la red. 2. Determina con el algoritmo de la ruta más corta, la ruta a seguir desde el origen A hasta el destino H. Las distancias están dadas en kilómetros sobre los arcos de la red. Eiste sólo una ruta más corta para este ejercicio?

31 Matemáticas para negocios El siguiente diagrama representa las posibles rutas que se pueden seguir para llegar del origen A al destino K. Las distancias representan kilómetros entre cada nodo. Utiliza el algoritmo de la ruta más corta e indica la ruta y la distancia mínima que se recorre sobre la misma. Flujo máimo 1. Considera los ujos de la siguiente red y determina la trayectoria de aumento para el problema de ujo máimo.

32 244 Unidad 6 Modelo de redes 2. Determina la trayectoria de aumento para el problema de ujo máimo asociado al siguiente diagrama: 3. Cuál es el ujo máimo en la siguiente red? Flujo restringido de costo mínimo 1. El siguiente diagrama corresponde a una red con ujos máimos permisibles y costo unitario señalados en cada arco de la red. Utiliza el diagrama para:

33 Matemáticas para negocios 245 a) Obtener el modelo matemático de ujo restringido de costo mínimo. b) Resolver el sistema de ecuaciones resultante del modelado. c) Indicar el valor de cada ujo y el costo del modelo. 2. El siguiente diagrama corresponde a una red con ujos máimos permisibles y costo unitario señalados en cada arco de la red. Utiliza el diagrama para: a) Obtener el modelo matemático de ujo restringido de costo mínimo. b) Resolver el sistema de ecuaciones resultante del modelado. c) Indicar el valor de cada ujo y el costo del modelo.

34 246 Unidad 6 Modelo de redes 3. El ujo de capital dentro de una empresa, necesario para llevar a cabo dos proyectos de reingeniería, tiene dos fuentes de nanciamiento (b 1 y b 2 ), las cuales activan los procesos en los diferentes departamentos de la empresa (nodos 1 a 10), los departamentos generan insumos necesarios para la reingeniería pero esto involucra un costo. Así las cosas, es necesario determinar el ujo restringido de costo mínimo de acuerdo con los datos presentados en la siguiente red: Aplicaciones a los negocios Caso práctico Un gran corporativo, desde su país de origen, desea nanciar dos de sus sucursales más importantes ubicadas en diferentes países cada una, para esto requiere utilizar una estrategia que le permita satisfacer las necesidades de nanciamiento de cada sucursal, las cuales ascienden a $5,000, y $4,000, respectivamente. Debido a la cantidad total requerida, el corporativo tomará el dinero de dos fuentes distintas, cada una dispone de $4,500, Debido a las regulaciones de transferencias internacionales de recursos, el corporativo utilizará tres agencias del mercado de dinero para realizar las operaciones y así cumplir con los niveles máimos permisibles de traslados de dinero establecidos para cada agencia y país. Cada una de las fuentes puede transferir dinero a dos de las tres agencias (sólo una de las tres agencias es común), y sólo dos agencias pueden transferir fondos a la tercera agencia (esta agencia es común a las dos primeras). Cada agencia tiene un máimo permisible de transferencia de dinero para poder garantizar los

35 Matemáticas para negocios 247 costos que maneja, razón por la cual no deberá eceder tal límite. Una vez que las agencias han realizado las operaciones de recibir el dinero de las fuentes y las transferencias permitidas entre las agencias, se deben determinar los ujos que cada una de las tres agencias enviará a cada una de las dos sucursales. Los ujos de capital máimos permisibles, así como el costo asociado a cada transferencia y las operaciones permitidas entre agencias, están dados en las siguientes tablas: Tabla 6.2. Indica el ujo máimo y costos desde las fuentes a las agencias: Fuente Agencia Flujo máimo en millones Costo unitario por millón transferido F1 A A F2 A A Tabla 6.3. Indica el ujo máimo y costos desde las agencias a la agencia común: Agencia Agencia Flujo máimo en millones Costo unitario por millón transferido A1 A A3 A Tabla 6.4. Indica el ujo máimo y costos desde las agencias los destinos: Agencia Destino Flujo máimo en millones Costo unitario por millón transferido A1 D A2 D A2 D A3 D El gerente responsable de la operación debe determinar la cantidad a transferir desde las fuentes a cada agencia, así como el ujo entre agencias (si es que éste eiste) y satisfacer los requerimientos de nanciamiento de las dos sucursales al menor costo posible. Resuelve el problema con apoyo de un procesador de cálculos.

36 248 Unidad 6 Modelo de redes Algoritmo PERT Califica como verdadera (V) o falsa proposiciones: (F) cada una de las siguientes 1. Las actividades de la ruta crítica son las que limitan la duración del proyecto. 2. Las actividades que están en la ruta crítica tienen un tiempo de holgura diferente de cero. 3. PERT utiliza tiempos determinísticos de cada actividad. 4. La terminación lejana de una actividad es igual a la terminación lejana del evento en que termina la actividad. 5. La ruta crítica está formada por las actividades que tienen una holgura igual a cero.

37 Matemáticas para negocios 249 Autoevaluación 1. Es un conjunto de puntos y líneas que unen ciertos pares de puntos. Los puntos se llaman nodos (o vértices): a) Diagrama. b) Grafo. c) Red. d) Flujo máimo. 2. A una red en la que cada par de nodos está conectado, se le conoce como: a) Red conea. b) Red convergente. c) Red de proyecto. d) Red de ujo. 3. La trayectoria con la distancia mínima total desde el origen hasta el destino, es el objetivo del algoritmo de: a) Flujo máimo. b) La ruta más corta. c) Flujo restringido. d) Transporte. 4. Cuántas columnas de datos se utilizan en la tabla para aplicar el algoritmo de la ruta más corta? a) Seis. b) Siete. c) Cinco. d) Ocho.

38 250 Unidad 6 Modelo de redes 5. Cuál es la capacidad residual después de aplicar un ujo de 6 unidades al siguiente diagrama? a) b) c) d) 6. El ujo que se asigna a una trayectoria de aumento corresponde al valor: a) Del mínimo de la capacidad residual de la trayectoria. b) Del ujo total de la capacidad residual de la trayectoria. c) Del ujo requerido en la trayectoria de aumento. d) Del máimo de la capacidad residual de la trayectoria. 7. Qué modelo tiene por objetivo minimizar el costo de transporte satisfaciendo tanto las demandas de los consumidores como las restricciones de ujo en los conductos de la red? a) Modelo al costo de transporte. b) Modelo de ujo restringido a costo factible. c) Modelo de costo mínimo. d) Modelo de ujo restringido a costo mínimo.

39 Matemáticas para negocios Qué variables se utilizan en la función objetivo del modelo de ujo restringido a costo mínimo? Las variables de costo por unidad de ujo, capacidad de ujo y ujo neto generado pertenecen al modelo: a) Costo por unidad de ujo y capacidad de ujo en el arco. b) Costo por unidad de ujo y ujo neto generado. c) Costo por unidad de ujo y ujo máimo en el arco. d) Costo por unidad de ujo y ujo en el arco. 9. Qué valores puede tomar la variable b i : ujo neto generado del nodo i? a) Positiva o cero. b) Negativa o cero. c) Positiva, negativa o cero. d) Positiva, negativa y cero. 10. Un problema balanceado es aquel que cumple la condición de que: a) El ujo máimo de la red debe ser igual a la demanda total de la misma. b) La producción total de la red debe ser igual a la demanda total de la misma. c) El ujo total de la red debe ser igual a la demanda total de la misma. d) La producción total de la red debe ser igual a la oferta total de la misma. 11. Después de aplicar el método de PERT obtenemos los siguientes tiempos de holgura para cada actividad del proyecto. La ruta crítica está formada por las actividades: a) A + B + C +D + E b) A + D c) C + D + E d) B + C + E

40 252 Unidad 6 Modelo de redes Respuestas a los ejercicios El problema de la ruta más corta 1. La ruta más corta desde el nodo destino hacia el nodo origen, es G E C D A, con una distancia total de 10 kilómetros. 2. La ruta más corta desde el nodo destino hacia el nodo origen, es H G E B A ó H F E B A, con una distancia total de 20 kilómetros para ambas rutas. 3. La ruta más corta desde el nodo destino hacia el nodo origen, es K J I G F C D A, con una distancia total de 47 kilómetros Flujo máimo 1. El ujo máimo es 12 unidades.

41 Matemáticas para negocios El ujo máimo es de 5 unidades. 3. El ujo máimo es de 22 unidades.

42 254 Unidad 6 Modelo de redes Flujo restringido de costo mínimo 1. El valor de las variables de decisión y del costo mínimo está dado por: 14 = = = = = 0 37 = = 0 46 = = 175 = Con un costo total mínimo de Z min = $11, = = = = = 0 37 = = 0 46 = = 300 = Con un costo total mínimo de Z min = $8,312.50

43 Matemáticas para negocios = = = = = 0 36 = = 0 48 = = = = = = = = 100 = = Con un costo total mínimo de Z min = $13, Aplicación a los negocios Caso práctico Fuente Agencia Flujo solución en millones Costo del ujo por millón transferido F1 A A2 0 0 F2 A A Subtotal 9825

44 256 Unidad 6 Modelo de redes Agencia Agencia Flujo solución en millones Costo del ujo por millón transferido A1 A2 0 0 A3 A Subtotal 500 Agencia Destino Flujo solución en millones Costo del ujo por millón transferido A1 D A2 D A2 D A3 D Subtotal Total $22, En la tabla se muestran los ujos solución para cada transferencia, lo cual implica un costo total mínimo de $22,375.00, por el proceso de nanciar dos sucursales, a partir de dos fuentes de recursos nancieros, utilizando tres agencias del mercado de dinero para este n. Algoritmo PERT 1. V 2. F 3. F 4. V 5. V Respuestas a la autoevaluación 1. c) 2. a) 3. b) 4. b)

45 Matemáticas para negocios c) 6. a) 7. d) 8. d) 9. c) 10. b) 11. d)

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