SOLUCIONARI Unitat 10

Transcripción

1 SOLUCIONARI Unitat 1 Comencem Donades dues ectes que tenen la mateixa diecció, quants plans hi ha que siguin pependiculas a les dues ectes a la vegada? Hi ha infinits plans, que són paal lels. Donats un punt i un pla que no el contingui, quantes ectes hi ha que passin pel punt i siguin pependiculas al pla? Una única ecta. 4. Detemina la ecta que passa pels punts P(,, 1) i Q(3, 1, 1), i compova que conté el punt R(5, 3, 5). P(,, 1) uuu ýv = PQ = (1,1,) Q(3,1,1) P(,, 1) z + 1 ý: x = y = v(1,1,) ì5 = 3 R(5,3,5) 5+ 1 = 3 î Donats un punt i una ecta que no el conté, quants plans hi ha que passin pel punt i continguin la ecta? Un únic pla. Execicis 1. Detemina tes punts de la ecta: : (x, y, z) = (4,, 5) + l( 3, 1, ) : (x,y,z) = (4,,5)+ 1( 3,1, ) l = A(4,,5) l = 1 B(1, 1,3) l = 1 C(7, 3,7). Esciu les equacions paamètiques de la ecta que passa pel punt P(3,, 4) i té la diecció del vecto u = (, 3, 3). = 3+ l y = 3 l = l 3. Detemina l equació vectoial i les equacions contnues de la ecta que passa pe l oigen de coodenades i pel punt P( 1, 4, ). uuu P( 1,4, ) v = p = OP = (1,4,) ý (,,) equació vectoial: (x,y,z) = l( 1,4, ) "lîr x y z equacions contnues: = = 1 4 McGawHill/Inteameicana de España, S.A.U. 5. Esciu l equació vectoial de cadascuna de les ectes que deteminen els eixos de coodenades. L eix OX: (x, y, z) = l(1,, ), l eix OY: (x, y, z) = m(, 1, ), l eix OZ: (x, y, z) = g(,, 1). 6. Un vecto diecto d una ecta és u = (, 3, 1). Toba els components d un alte vecto diecto d aquesta ecta que sigui unitai. u = = v = u =,(,3, 1) = u 14 æ 3 1 ö = ç,, è ø 7. Sigui u = (3, 5, ) un vecto diecto d una ecta. Esbina el valo que tenen v 1 i v pe tal que el vecto v = (v 1, v, 3) també sigui un vecto diecto de la mateixa ecta. Esciu el vecto com a combinació lineal del vecto v u. u = av (3,5, ) = a( v, v,3) ì av1 = 3 av =5 3a = a = î 3 v v = = a 5 15 = = a 1 Matemàtiques. Batxilleat 115

2 8. Detemina tes punts del pla segent: p: (x, y, z) = (6, 1, 3) + l(, 4, 5) + + µ(1,, 7) (x,y,z) = (6, 1,3) + l(, 4,5) + m(1,, 7) l = m = A(6, 1,3) l =, m = 1 B(7, 1, 4) l = 1, m = C(8, 5,8) 9. Detemina l equació geneal del pla que té el vecto u = (,, 5) com a vecto oientado i que passa pels punts P(,, 3) i Q(1, 1, 4). P(,,3) x 1 = 17x 3y u = (,,5) ý y + 3 8z + 18 = v = (1,3,1) z Esciu les difeents equacions del pla que passa pel punt A(3, 1, ) sabent que els vectos que deteminen la seva oientació són u = (, 5, 3) i v = (4, 1, 3). Equació vectoial: (x, y, z) = (3, 1, ) + + l(, 5, 3) + m(4, 1, 3). Equacions paamètiques: = 3+ l+ 4m y = y = 1 5 l+m = 3 l+ 3 m Equació geneal: x y z = Equació canònica: P(,,3) uuu ýv = PQ = (1,3,1) Q(1,1,4) x y z + + = Demosta que el pla que té pe equació geneal By + Cz + D = és paal lel a l eix OX. By + Cz + D = y = D/B (C/B)z (x, y, z) = (, D/B, ) + l(1,, ) + m(, C, B), el vecto e 1 = (1,, ) que detemina la diecció de l eix OX, és un vecto oientado del pla, pe tant el pla és paal lel a l eix OX. 1. Compova que les equacions vectoials segents: (x, y, z) = (1,, 3) + l(1, 1, ) + µ( 1,, 1) (x, y, z) = (,, 6) + (, 1, 1) + s(, 1, 1) són del mateix pla. (x,y,z) = (1,,3) + l(1, 1,) + m( 1,,1) McGawHill/Inteameicana de España, S.A.U. x y 1 = x + y + z 6 = z 3 1 (x,y,z) = (,,6) + (, 1,1) + s (, 1, 1) x y 1 1 = x + y + z 6 = z Com que dóna la mateixa equacio geneal, és el mateix pla. 13. Detemina un punt i els vectos oientados del pla que té pe equació geneal: x 3y + z 5 = x = 5+ 3y z x = 5+ 3l m y = l ý y = l ýp(5,,); z = m z m = u = (3,1,), v = (,,1) 14. Empant l equació geneal del pla, compova que els punts P(1,, 1), Q(3, 1, ), R(1, 1, ) i S(,, 1) són coplanais. P(1,, 1) uuu ýu = PQ = (, 1,3) Q(3,1,) P(1,, 1) uuu ýv = PR = (, 3,1) R(1, 1,) P(1,, 1) x 1 u = (, 1,3) ý y 1 3 = 4x y v = (, 3,1) z z 5 = S(,, 1) = S és del pla que deteminen els punts P, Q i R, pe tant els quate punts són coplanais. 15. Toba dos vectos associats al pla segent: 3x y + z + 5 = que siguin unitais. 3x y + z + 5 = n = (3,,) n = = æ 3 ö v = n = (3,,) = ç,, n 17 è ø 1 1 u = n = (3,,) = n 17 æ 3 ö = ç,, è ø Matemàtiques. Batxilleat 116

3 16. Toba l equació geneal del pla que passa pel punt ( 3,, 1) i és pependicula a una ecta que té la diecció del vecto u = (, 3, 1). n = u = (,3,1) 3y + z + D = P( 3,,1) D = D = Donat el pla p: 5x + 3y z 8 = i el punt P(3, 4, ), toba l equació de la ecta que passa pe P i és pependicula al pla p. p : 5x + 3y z 8 = v = n = (5,3, ) ý P(3,4, ) x 3 y 4 z + : = = Toba l equació geneal i les equacions paamètiques del pla que passa pel punt (,, 3) i és pependicula a l eix OZ. eix OZ: v = (,,1) n = v = (,,1) z + D = 19. Donada la ecta: p :3y + z + 5 = P(,,3) 3 + D = D = 3 p: z 3 = equació geneal x = l y = m ýequacions paamètiques z = 3 3y + 4z = 5 : î 3 x + y z 1 = toba un punt i un vecto diecto. 3y + 4z = 5 : î3x+ y z 1= x 3y = 54z 13 ýesolent el sistema: x = 3x + y = 1+ z z; y = + z æ13 14 ö d on s obté: Pç,, i v = (5,13,11) è11 11 ø. Esciu les equacions paamètiques i contnues de la ecta de l execici anteio. ì 13 x = 5l Equacions paamètiques: y = + 13l 11 = 11 l McGawHill/Inteameicana de España, S.A.U. Equacions contnues: 1. Toba un punt i un vecto diecto de cadascuna de les ectes y + 1= : = 4 s: x = y 1 = z = 1+ l y + 1= = 1+ y : si y = l y = l = 4 = 4 = 4 P( 1,,4), u = (1,1,) x z s: x = y 1 = z = y 1 = 1/ 1/ sóbté: Q(,1,), v = (1,,1) d on. Esciu la ecta : (x, y, z) = ( 3,, 4) + l(,, 5) com a intesecció de dos plans. Resposta obeta, pe exemple: De x + 3 y + z 4 = = tenim: 5 x+ 3 y + = x y + 1= ý x+ 3 z 4 = 5x + z + 7 = 5 3. Considea les dues equacions segents: ìkx y + z = 5 î kx + y + kz = a) Digues pe a quins valos de k aquestes dues equacions epesenten una ecta. Pequè deteminin una ecta, els dos plans no han de se paal lels. Consideant que són paal les, tenim: k 1 1 = 1 = k = k k 1 Pe tant, si k ¹, els dos plans deteminen una esta. b) Pe a k = 1 és una ecta? En cas afimatiu, esciune les equacions contnues. 1 k = 1¹ x y z = = si és una ecta Matemàtiques. Batxilleat 117

4 Substituim pe k = 1: x = l y =1 lý z =7 4. Donada la ecta: ì x y + z = 5 îx + y z = obtenim: no es poden esciue les equacions contnues pequè el 3 component del vecto diecto és zeo. y + z 1= : îx y + 5z + 3 = a) Detemina n un punt Q i un vecto diecto u. x y = 1z ý x =7 9 z, y =44z x y = 35z x =79l y =44 lý Q( 7, 4,); u = (9,4,1) z = l b) Esciu l equació geneal del pla que passa pel punt P( 4,, 3) i té pe vectos oientados u i PQ uuu. P( 4,,3) uuu ý v = PQ = (3,,3) Q( 7,4,) P( 4,,3) x u = (9, 4,1) ý y + 4 = v = (3,,3) z x 15y + 3z 11= c) Compova que és el mateix pla que hem obtingut a l exemple 4. Compaant les dues equacions geneals, s obseva que efectivament és el mateix pla. 5. A pati de l expessió del feix de plans, detemina l equació geneal del pla que passa pe l oigen de coodenades i conté la ecta segent: = 1+ z îy = 3z z+ 1= :, escivim, el feix de plans: îy + 3z = a(x z + 1) + b(y + 3z ) = McGawHill/Inteameicana de España, S.A.U. Imposem que passi pe l oigen: O(,,) a b = a= b b(x z + 1) + b(y + 3z ) = (x z + 1)+ y + 3z = x z + + y + 3z = p: x + y + z = 6. Esciu l equació del feix de plans que contenen la ecta que passa pels punts P(5, 7, 4) i Q(4, 3, 1). Compova que el sistema definit pe tes plans qualssevol del feix és compatible indeteminat amb un gau de llibetat i que la solució d aquest sistema és la ecta PQ. Resposta obeta, pe exemple: y 7 x 5 = 4x y 13 = 4 ý z 4 x 5 = 5x z 1= 5 a(4x y 13) + b(5x z 1) = a= 1, b= 4 x y 13 = a=, b= 1 5x z 1 = ý és el sistema a = 1, b = 1 x + y z 8 = Efectivament és un sistema compatible indeteminat amb un gau de llibetat, ja que ang M = ang M =. La esolució del sistema dóna: (x,y,z) = (5,7,4) + + l(1,4,5) que és la ecta que passa pe P i Q. Acabem P(5,7,4) uuu ýpq = (1,4,5) Q(4,3, 1) v = uuu PQ = (1,4,5) y 7 z 4 ý x 5 = = P(5,7,4) Justifica la cetesa o la falsedat de cadascuna de les afimacions segents: a) Els plans segents: Ax + By + Cz + D = i (x, y, z) = = (x, y, z ) + l(a, B, C) + +µ(v 1, v, v 3 ) són pependiculas. Veitat. Un dels vectos oientados del segon pla és el vecto associat del pime. b) La ecta (x, y, z) = (x, y, z ) + l(u 1,u,u 3 ) i el pla Ax + By + Cz + D = són pependiculas si els vectos u = (u 1, u, u 3 ) i v = =(A, B, C) són linealment dependents. Veitat. Si u i v són linealment dependents, vol di que tenen la mateixa diecció, Matemàtiques. Batxilleat 118

5 i pe tant la ecta té la diecció d un vecto pependicula al pla, aleshoes, la ecta és pependicula al pla. c) Si u és un vecto diecto d una ecta;, un vecto associat a un pla i u n n =, la ecta i el pla són pependiculas. Fals. Si u n =, o bé la ecta i el pla són paal lels o el pla conté la ecta. d) Si A B C ¹ i A B C D =, el pla: Ax + + By + Cz + D = talla els eixos de coodenades només a l oigen. Veitat. Es dedueix que D =, pe tant el pla passa pel l oigen.. Els punts P(p 1, p, p 3 ), Q(q 1, q, q 3 ) i R( 1,, 3 ) defineixen un pla si no estan alineats. Justifica que la seva equació geneal es pot expessa aix: x p1 q1 p1 1 p1 y p q p p = z p q p p Consideem els vectos oientados: uuu u = = (q 1 p 1, q p, q 3 p 3 ) i v PQ = PR uuu = ( 1 p 1, p, 3 p 3 ) Amb el punt P(p 1, p, p 3 ) i el punt X(x, y, z) que és un punt qualsevol del pla, tenim el vecto PX uuu = (x p 1, x p, x p 3 ) que és un vecto uuu del pla, pe tant el vecto PX és combinació lineal dels vectos i, és a di, els vectos PX uuu u v, u i v són linealment dependents, d on tenim que D( PX uuu, u, v ) =. 3. Demosta que el pla d equació Ax + By = conté l eix OZ. Ax + By = (x, y, z) = l( B, A, ) + m(,, 1) Pe l equació vectoial tenim que el vecto e 3 = = (,, 1), que és el vecto que detemina l eix OZ, és un vecto oientado del pla, pe tant el pla és paal lel a l eix OZ, a més el pla passa pe l oigen, ja que D =, aleshoes el pla passa pe l eix OZ. 4. Esciu l equació canònica i geneal del pla que passa pels punts P( 3,, ), Q(, 4, ) i R(,, 5). Indica n dos vectos oientados. x y z Equació canònica: + + = McGawHill/Inteameicana de España, S.A.U. Equació geneal: x 15y + 1z + 6 = u = PQ uuu = (3, 4, ) i v = PR uuu = (3,, 5) 5. Donades les equacions: = 3+ 3y 3m y = 3l+ m = m "li m Î R a) Compova que es tacta d un pla. De les equacions paamètiques es dedueix: u = (3,3,) i v = (3,, ) que són dos ectes linealment independents, pe tant deteminem un pla. b) Toba n els punts de tall amb els eixos de coodenades. P(3,,) de les equacions paamètiques, és el punt on talla l eix OX. x y 1 = x y 5z 6 = z Pe toba els altes dos punts: x = z = y = 3 Q(, 3,) talla l eix OY x 6 = y = z = 6,, 5 R æ ç ö talla l eix è 5 ø OZ 6. Donats els punts P(1,, 3), Q(1, 1, 1) i R(,, 4), busca les equacions paamètiques de la ecta que passa pel punt P i és pependicula al pla que passa pels tes punts. P(1,,3) uuu ý u = PQ = (,1,) Q(1,1,1) P(1,,3) uuu ý v = PR = (1,,1) Q(,,4) P(1,,3) x 1 1 u = (,1, ) ý y 1 = v = (1,,1) z 3 1 5x + y z 6 = = 1+ 5l w = n = (5,, 1) ý y = + l P(1,,3) = 3 l Matemàtiques. Batxilleat 119

6 7. Indica les condicions que han de compli en cada cas els coeficients A, B, C i D de l equació geneal del pla, de manea que aquest: a) Sigui paal lel al pla deteminat pe OX i OZ. Pla paal lel a l eix OX A = Pla paal lel a l eix OZ C = Pla paal lel Pla paal lel a l'eix a l'eix OX A = ý OX i OZ: Pla paal lel A = C = a l'eix OZ C = b) Talli els tes semieixos de coodenades positius en punts equidistants de l oigen. Punt de tall amb l eix OX: y = z = D x =± A Punt de tall amb l eix OY: x = z = D y =± B Punt de tall amb l eix OZ: x = y = D z =± C Pe tant: D D D D D D ± = ± = ± = = A B C A B C 8. Toba l equació geneal del pla que passa pel punt P( 4,, 3) i conté la ecta d equació: (x, y, z) = (1,, ) + l(, 1, ) P( 4,,3) (x,y,z) = (1,, ) + l(,1,) Q(1,, ), u = = (,1,) uuu PQ = (5,, 5) v = (1,, 1) P( 4,,3) x u = (,1,) ý y + 1 = v = (1,, 1) z 3 1 x 4y + z 7 = 9. Detemina els valos de a que fan que els dos plans d equacions: ax + y + z 3 = i (a + )x + ay + az = 5 siguin paal lels. McGawHill/Inteameicana de España, S.A.U. ax + y + z 3 = ý ( a + ) x + ay + az 5 = a 1 pequè siguin paal leles: = a+ a d on a = a + a a = a 1 =, a = 1 1. Toba l equació canònica del pla que passa pel punt ( 3, 1, 4) i és pependicula als plans: x 5y + 3z + 5 = i 7x y + 3z = 1 x 5y + 3z + 5 = u = n1 = (,5,3) ý són 7x y + 3z 1= v = n = (7,1,3) els vectos oientados. P( 3,1,4) x u = (, 5,3) ý y = 4x 5y v = (7, 1,3) z z + 61 = 61 y = z = x = 4 61 x y z x = z = y = ý + + = x = y = z = Esciu les equacions contnues de la ecta que passa pel punt P(, 3, 5) i té la mateixa y + z+ 4 = diecció que la ecta îx + 3y + 6z = 1 ho escivim en foma de sistema: x y = 4z ý esolent, s obté: x+ 3y = 16z y = 4 z 5 Podem pende com a vecto diecto de la ecta: u = (1,,5) P(, 3,5) x y + 3 z 5 ý = = u = (1,,5) Toba l equació geneal del pla que conté la ecta: ìx + y 3z = 6 îx y + z = 1 x = z, 5 consideant que un dels vectos que dete Matemàtiques. Batxilleat 1

7 mina l oientació del pla és un vecto diecto de la ecta: y x = = ( z+ 1) 3 x+ y 3z = 6 x + y = 6+ 3z ý ý ( xyz,, ) = x y + z = x y = z æ1 6 ö = ç,, + l (1,1,1) è 5 5 ø y y z+ 1 x = = ( z + 1) x = = v = = (, 3,1) æ1 6 ö 1 P ç,, x 1 è ø 6 x + 5y u = (1,1,1) ý y z 54 = v = (, 3,1) z Considea la ecta que passa pel punt de coodenades (1, 1, ) i té el vecto de components (1, 1, 1) com a vecto diecto. Considea el vecto v de components (1, 1, a) i digues si pe a algun valo de a existeix un pla que conté i és pependicula a v. En cas afimatiu, esciu l equació catesiana del pla. : (x,y,z) = (1,1,) + l(1,1,1) v = (1,1, a) ý han de se otogonals, pe tant u = (1,1,1) v u = v u = (1,1, a) (1,1,1) = a = + a v u = + a = a = Pe tant, tenim: n = v = (1,1, ) x + y z + D = P(1,,) D = D = x + y z + = x + y z = 13. Donats el pla p: x + y z + 1 = i la ecta: ì4x + 3y + z 4 = : îx y 4z 1 = esciu l equació vectoial del pla que és pependicula al pla p i conté la ecta. p : x + y z + 1 = u = n = (1,1, ) ì4x+ 3y + z 4 = : escivim el sistema i el îx y 4z 1 = esolem: 4x + 3y = 4z ý( xyz,, ) = (4, 4,) + l(1,,1) x y = 1+ 4z P(4, 4,) ( xyz,, ) = (4, 4,) + l(1,1, ) + u = (1,1, ) ý + m(1,,1) v = (1,,1) McGawHill/Inteameicana de España, S.A.U. Matemàtiques. Batxilleat 11

8