Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann

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1 Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Facultad de Ciencias ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO Fis. Salvador Eligio del Castillo Lic. Manuel Antonio Tapia Silva Tacna Perú 2003

2 PROPIEDADES ELÉCTRICAS Y MAGNÉTICAS DE LA MATERIA Extenderemos las ecuaciones del electromagnetismo, que inicialmente se dieron para el vacío, de tal manera de que sean válidas para cualquier otro medio en el que se apliquen. DIELÉCTRICOS Sabemos que en condensadores, la capacidad en presencia de dieléctricos es C = K C 0 Donde K es la constante dieléctrica y C 0 es la capacitancia en el vacío del condensador. El comportamiento de estos materiales se pueden entender el comportamiento de estos materiales. Existen dos modelos que tratan de explicar cualitativamente el comportamiento de estos fenómenos: - Un modelo que corresponde a las moléculas polares que tienen un dipolo eléctrico permanente, tales como el H 2 O, el HCl, etc. - Otras moléculas no tienen un dipolo permanente y se las conoce por dieléctricos no polares, tales como el propano, el metano, etc. En la Figura representamos esquemáticamente una sustancia polar, en la cual los momentos polares no están alineados µ orientados. Si se le aplica un campo eléctrico, tratarán de alinearle, dependiendo su grado de alineación de la magnitud del campo

3 eléctrico y de cuan baja sea la temperatura (a menos temperatura, es mejor la alineación). Las sustancias no polares, como las de la figura Cuando esta molécula es colocada en un campo eléctrico se presenta un momento de dipolo inducido en la dirección del campo eléctrico externo, ya que la fuerza coulombiana sobre los electrones es en dirección contraria al campo eléctrico externo. La variación de temperatura afecta poco la formación del momento del dipolo, ya que éstos son producidos y alineados por el campo eléctrico externo E p LEY DE GAUSS Y LOS TRES VECTORES ELÉCTRICOS El campo eléctrico externo afecta a los dieléctricos orientando a los momentos del dipolo o induciéndolos. Para ver si afecta el campo eléctrico externo al campo eléctrico interno (ó al contrario). Para esto consideremos un condensador de placa plana, de área A y separados una distancia d, al cual se le aplica una diferencia de potencial V 0 entre las placas, apareciendo una carga q en el condensador q E 0 = ε 0 A

4 Si al condensador se lo llena con una sustancia con constante dieléctrica H, entonces De donde V 0 V = K ε 0 E = K Esta ecuación nos muestra que el campo eléctrico en el condensador disminuye en presencia del dieléctrico y esto se debe a la presencia de los momentos de los dipolos inducidos o permanentes que son alineados y a estos fenómenos se le conoce como POLARIZACIÓN. La polarización se define por la expresión P = ε 0 x E Donde x es la susceptibilidad eléctrica y tiene una relación directa con la constante dieléctrica. Físicamente, la polarización se manifiesta por las cargas fue aparecen en la superficie del dieléctrico, dado que E 0 orienta a los momentos del dipolo. La dirección del vector polarización es contraria a E 0 y por consiguiente el campo resultante E en el dieléctrico es menor. A + q q Sup. gaussiana q

5 Supongamos el condensador con dieléctrico de la figura en el que supondremos una superficie gausiana y calculemos el campo eléctrico a partir de la Ley de Gauss; es decir: ε 0 E. da = q encerrada = q q Siendo q la carga libre y q la carga inducida; entonces E = q q ε 0 A Además Entonces ε 0 E = K q E = N ε 0 A de donde q q - q = K ε 0 A ε 0 A ε 0 A Es decir: q = q ( 1 1/k ) De aquí que la carga inducida que siempre será menor que la carga condensador Por consiguiente ε 0 E. da = q q = q/k

6 o podemos escribirlo ε 0 K E. da = q (*) siendo q la carga libre o carga del condensador La ecuación (*) es ley de gauss para el campo eléctrico en presencia de medios dieléctricos. Introduzcamos el vector desplazamiento eléctrico, que nos resulte del vector polarización y del campo eléctrico. Hagamos algunos arreglos q q q = + = ε 0 E + p A KA A y definimos D = ε 0 E + P como vector DESPLAZAMIENTO reemplazando: D = ε 0 (1 + x ) E Además como q E = K ε 0 A tendremos que D = K ε 0 E es decir K = 1 + x Es la expresión que nos relaciona la susceptibilidad eléctrica con la constante dieléctrica. De esta expresión se observa que para el vacío

7 X = 0 y K = 1 Se puede expresar la ley de gauss para cualquier medio, en forma más general D. d A = q PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LA MATERIA Veremos las propiedades magnéticas de los materiales, que son consecuencia de los campos magnéticos orbitales y el spin del electrón. Los agrupamos en tres clases, dos de las cuales tienen dipolo magnético permanente y son los paramagnéticos y los ferromagnéticos y los que no tienen dipolo magnético permanente se les llama diamagnéticos. Si a los materiales paramagnéticos se los pone en una región donde exista un campo magnético, sus momentos de dipolo magnético se alinean, pero con un grado de alineación muy bajo. Si introducimos por analogía el campo eléctrico, una constante para los materiales magnéticos, que sea similar a la constante dieléctrica y la denominaremos PERMEABILIDAD RELAIVA H m, la cual se relaciona con otra constante que es la SUSCEPTIBILIDAD MAGNÉICA X m (similar a la susceptibilidad eléctrica) y entonces. K m = 1 + X m Para los materiales paramagnéticos K m es poco mayor que 1, pero a temperaturas muy bajas se logra aumentar el grado de alineación del momento magnético. Los materiales ferromagnéticos, cuando están dentro de un campo magnético, permanecen polarizados aún cuando desaparece el campo magnético. Esta polarización puede desaparecer cuando se eleva la temperatura hasta altos valores. La permeabilidad relativa es mucho mayor que la unidad. Los materiales diamagnéticos, no tienen momentos de dipolo magnético. Se inducen por campos magnéticos externos y de acuerdo a la Ley de Lenz la dirección es contraria a la del campo

8 y por consiguiente, su permeabilidad es menor que la unidad e independiente de la temperatura. LEY DE GAUSS Y LOS TRES VECTORES MAGNÉTICOS Por la ley de gauss para el magnetismo sabemos que el flujo magnético total para una superficie gaussiana es cero. Esto equivale a decir que no existen polos magnéticos aislados; esta es: B. d A = 0 de aquí que B hace la misma función en magnetismo que hace D en electricidad. Introduzcamos el vector intensidad de campo magnético H (que equivale a E en electricidad) y por analogía B = K m µ 0 H Siendo µ 0 la permeabilidad en el vacío; H m la permeabilidad relativa que depende de la temperatura y la presión. Cuando la introduce en una región del espacio donde existe un campo magnético, los momentos de los dipolos magnéticos (ya sean inducidos o permanentes) se alinean con el campo magnético y a ese fenómeno se le denomina MAGNETIZACIÓN. La magnetización depende directamente del vector intensidad del campo magnético. El vector magnetización se define por M = X m H Donde X m es la susceptibilidad magnética que para los materiales diamagnéticos es negativa.

9 La ley de Ampere toma la forma B. d l = µ 0 (I + I m ) donde I es la corriente de conducción e I m la corriente de magnetización. La corriente de magnetización se debe a la orientación de los dipolos magnéticos y se da por la ecuación I m = M. d l Entonces, tendremos que B. d l = µ 0 I + M. d l B - µ 0 M. dl = I µ 0 pero H = B (Si H m = 1 ) => H = B - µ 0 M µ y tendremos B = µ 0 H + µ 0 M de donde: B = µ 0 ( 1 + X m ) H Es decir B = µ 0 K m H (ya que K m = 1 + X m )

10 En el vacío K m = 1 B = µ 0 H Por lo tanto la ley de Ampere lo podemos expresar en presencia de materiales con la intensidad del campo magnético H, a partir de la corriente de conducción. Es decir H. d l = I CAPITULO II FUENTE DE CAMPO MAGNÉTICO LEY DE AMPERE- LEY DE BIOT - SABART LEY DE AMPERE.- Consideramos una línea de corriente infinita. El campo magnético B en un punto A es perpendicular a OA y se da por: B = µ 0 I µ 0 2πr

11 Hallamos la circulación de B alrededor de la trayectoria circular de radio r = OA El campo magnético es tangente a la trayectoria de tal manera que B. dl = B µ 0. dl = B dl Cuyo módulo es una constante. Por consiguiente, la circulación magnética (C) se da por C = B. dl = B dl = B dl = B l = B (2 π r) C = µ 0 I (2 π r) = 2 π r Entonces C = µ 0 I Entonces vemos que la circulación magnética es proporcional a la intensidad de corriente eléctrica I e independiente del medio de la trayectoria. Si trazamos varias circunferencias de diferentes radios, la circulación en cada una de ellas es la misma que en cualquiera de las otras. Ahora consideremos un camino arbitrario L rodeando la corriente I. La circunferencia magnética a lo largo de L es: C = B. dl = = µ 0 I µ 0.dl 2π r

12 C = µ 0 I µ 0.(rdθ µ 0 ) 2π r = µ 0 I (r dθ ) = µ 0 I (2π) 2π r 2π C = µ 0 I Que es el mismo resultado encontrado anteriormente, el cual es válido para cualquier camino que encierra a la corriente rectilínea, independientemente de la posición de la corriente con respecto al camino. Este mismo resultado se obtiene si la corriente tiene cualquier otra forma, tanto como para corriente rectilínea, como curvilínea. Si tenemos varias corrientes I 1, I 2, I 3... enlazadas por la línea L, entonces cada corriente contribuye a la circulación del campo magnético a lo largo de L. La circulación magnética a lo largo de cualquier camino cerrado es proporcional a la corriente neta encerrada en el camino. La ley de Ampere lo establecemos en la forma: La circulación de un campo magnético a lo largo de una línea cerrada que enlaza las corrientes I 1, I 2,...I n, es: C = B. dl = µ 0 I

13 Donde: I = I 1 + I 2 + I I n Es la corriente total enlazada por la trayectoria L. La Ley de Ampere es particularmente útil cuando se desea calcular el campo magnético, producidos por distribuciones de corrientes que presentan cierta simetría geométrica. Ademas vemos que: I = S J. da Donde A es el diferencial de área, J es la densidad de corriente. Entonces podemos expresar la Ley de Ampere como: B. dl = µ 0 J. da La integral de superficie corresponde al área encerrada por la integral de línea cerrada. BOBINA TOROIDAL.- Consiste en un alambre enrollado uniformemente en una superficie en forma de anillo (llamado TORO ). Bobina Toroidal Sea N el número de vueltas, todas igualmente espaciadas. La intensidad de corriente que circula por ellas es I.

14 Por simetría, notamos que las líneas de fuerza son circunferencias concéntricas con el toro. Integramos a lo largo de una circunferencia del toro: C = C B. dl = BL Pero L es el camino que enlaza todas las N vueltas en torno al toro; entonces: BL = µ 0 NI Es decir : B = µ 0 NI L Si el radio de la sección transversal del toro es pequeño comparado con el radio del toro, entonces podemos suponer que L es prácticamente la misma para todos los puntos interiores del anillo. Si r = N/L es el mismo de vueltas por unidad de longitud, concluimos que el campo magnético es el interior del toro es B = µ 0 ni Fuerza del toro (en L o en L ) no circula corriente y el campo magnético es cero. LEY DE BIOT SAVART. Para evaluar el campo magnético por integración directa para una distribución de corriente con respecto a un punto considerado, y se escribe en la forma: db = µ 0 I dl sen θ 4π r 2

15 dl es un diferencial de longitud del conductor con corriente I, aportando en db y r es el vector distancia. Entre el punto P, donde se desea determinar el campo magnético, y el diferencial de longitud dl, θ es el ángulo entre el vector distancia r y la dirección de dl. La dirección de B, se da por dl x r. En forma vectorial: B = µ 0 I dl x r 4π r 3 Campo Magnético para puntos sobre el Eje Axial de una Espira de Radio a, con corriente I. En la figura dl r entonces

16 db = µ 0 I dl sen 90 4π La componente que contribuye al campo es a lo largo de z; por consiguiente: B = µ 0 t dl sen φ 4π r 2 sen φ = a (a 2 + z 2 ) 1/2 reemplazando 2πa B = U 0 I a dl 4π r 3 0 de donde = U 0 I a (2 π a) 4π r 3 B = U 0 I a 2 2 (a 2 +z 2 ) 3/2 y en el centro de la espira Z = 0 B = U 0 I 2a

17 CAPITULO III LEY DE FARADAY (FARADDAY - HENRY) En este principio se basan el generador eléctrico, el transformador y muchos otros dispositivos de uso diario. Supongamos que se coloca un conductor eléctrico en forma de circuito, dentro de una región que hay campo magnético. Si el flujo magnético φ B varía con el tiempo a través del conductor; se puede observar una corriente en el circuito, mientras el flujo varía. La presencia de la corriente eléctrica nos indica la existencia o inducción de una fuerza electromotriz actuando en el circuito. Al medir esta fuerza inducida, encontramos que depende de la rapidez de la variación del flujo magnético. (dφ B ) dt Por ejemplo, si colocamos un conductor cerrado cerca de un imán, aparece en el conductor (circuito), una fuerza electromotriz, cuando se mueve, ya sea el circuito o el imán (uno con respecto al otro), de tal manera que cambia el flujo magnético a través del circuito. El valor absoluto de la fem inducida depende de la rapidez con que varía el campo por área (flujo). Si el imán o el circuito varían rápidamente. Cuanto mayor sea la rapidez de variación del flujo, mayor será la fuerza electromotriz inducida. El sentido de fem inducida cambia según que el campo aumente o disminuya. E = fem = - dφ dt Esta es la ley de Faraday ( o Faraday - Henry) que se puede expresar:

18 "En un campo magnético vaiable se induce una fem en cualquier circuito cerrado, la cual es igual a menos la derivada del flujo magnético con respecto al tiempo a través del circuito (rapidez de variación de flujo). Su unidad : fem : voltio = weber/m 2 LEY DE LENZ.- Se anuncia: "La corriente inducida en un circuito, tendrá una dirección que se oponga a la causa que la produce". Esto es consecuencia directa de la Ley de Conservación de la Energía y al principio de acción y reacción. Se refiere al signo de la fuerza electro motriz inducida, que es opuesto a la rapidez de variación del flujo. Campo magnéticos inducidos por campos magnéticos variables con el tiempo. Recordemos que cuando se quiere mover una unidad de carga a lo largo de una trayectoria cerrada L, el trabajo es: W = F. dl La fuerza no es conservativa ó W = E. dl ε = E. dl y se denomina fem (ε) y tiene las unidades de una diferencia de potencial. Pero ε = - dφ B dt entonces E. dl = - dφ B dt Pero φ B = B. da A ó E. dl = - d B. n da dt

19 n es el vector unitario normal a la superficie. Por consiguiente, podemos decir: "Un campo magnético dependiente del tiempo, implica la existencia de un campo eléctrico tal que, su circulación a lo largo de un camino arbitrario cerrado, es igual a menos la derivada con respecto al tiempo del flujo magnético, a través de una superficie, limitada por el camino". BIBLIOGRAFÍA 1. Alonso Finn : Física vol. II Campo y Ondas. 2. Cantú L. L. Electricidad y Magnetismo, para estudiantes de Ciencia e Ingeniería. 3. Kip. Fundamentos de Electricidad y Magnetismo. 4. Reitz - Milford - Christy. Fundamentos de la Teoría Electromagnética. 5. Hayt Jr. W. Teoría Electromagnética.