UPF, Curs Trimestre 1 Probabilitat i Estadística, Examen Primer Trimestre, Probabilitat

Transcripción

1 UPF, Curs Trimestre 1 Probabilitat i Estadística, Examen Primer Trimestre, Probabilitat Professors: Albert Satorra, Christian Brownlees, Mireia Besalú Nom i Cognoms: DNI: Grup: Signeu aquí 1. Ompliu les dades sol.licitades sense girar aquest full (NO OBRIR EL QUADERNET!) 2. Quan el professor ho indiqui, des-grapeu aquest full, que serà recollit pel professor de l aula 3. No des-grapeu la resta del quadernet 1 Test D, desembre 2015

2 2 Test D, desembre 2015

3 Instruccions sobre el test: 1. Poseu nom i cognom al peu d aquesta pàgina 2. No gireu aquest full fins que el professor ho indiqui 3. NO des-grapeu el quadarnet 4. Aquest examen consta de 26 preguntes de resposta múltiple. Cada pregunta té tres respostes possibles, solament una és correcta. A l hora de decidir entre respondre la pregunta o deixar-la en blanc (no contestada), tingueu en compte que la puntuació de l examen s efectuarà de la forma següent: Resposta correcta: +1.0 Resposta incorrecta: 0.5 Pregunta no contestada: Temps màxim per fer aquest examen: 1 hora i 20 minuts 6. De tot el material entregat solament recollirem el Full de Lectura Òptica 7. Marqueu les respostes en el full de lectura òptica que s adjunta 1. Poseu en el Full de Lectura Òptica: (a) Nom i Cognoms (b) DNI (c) Grup (d) Permuta del Test: Test A 1, Test B 2, Test C 3, Test D 4 3 Test D, desembre 2015

4 UPF, Curs Trimestre 1, Probabilitat i Estadística, Examen de Probabilitat 4 Test D, desembre 2015

5 UPF, Curs Trimestre 1, Probabilitat i Estadística 1. Si P (A) = 0.8, P (B) = 0.6, aleshores, necessàriament: B A A B = Ω A B 2. Tenim dues caixes: Caixa 1 amb una bola blanca i dues negres; Caixa 2 amb tres boles blanques. Triem una caixa a l atzar i extreiem una bola de la caixa escollida. Si la bola escollida ha estat blanca, la probabilitat que precedeixi de la Caixa 1 és: Tenim una caixa amb 10 boles vermelles, 10 boles taronges, 10 boles verdes i 10 boles blaves. Traiem dues boles, sense reemplaçament. Quina és la probabilitat que siguin del mateix color? 9/39 9/40 10/40 4. Si X és una variable aleatòria N(0, 1), quina no és certa: P (X 3) 0 P (X 0) = 0.5 P (X 3 0) 0 5. Si X és una variable aleatòria contínua amb distribució uniforme a l interval (a, 2005), quina és certa? Si la mediana de X és aleshores a = 2004 No hi ha cap valor de a que faci que E(X) = 0 No hi ha cap valor de a que faci que V (X) sigui més petita que 1 6. Sigui X una variable aleatòria que es distribueix segons una Normal amb paràmetres µ = 0 i σ 2 = 1. El valor de E(Y ), on Y = 3 3X 5X 2, és Una companyia d assegurances ven assegurances per accidents de cotxe. La companyia té 1000 clients que pagen una quota anual P d assegurança. El nombre X d accidents és Poisson amb paràmetre λ = 10. En cas de un accident, la companyia ha d abonar una compensació de 1000 euros. Quin ha de ser el valor de P per tal que la companyia tingui un valor esperat de guany de 1000 euros a l any?. 11 euros 10 euros 15 euros 8. Suposeu que X i Y són respectivament les notes estandarditzades (valor esperat zero, variància 1) de dues assignatures A i B de la Facultad d Econòmiques, i que la distribució de (X, Y ) és normal bivariant amb correlació igual a 0.6. En aquest cas, la distribució de la nota de l assignatura B per aquells estudiants amb una nota en l assignatura A igual a X = 1 és Normal amb valor esperat 0.6 i variància Test D, desembre 2015

6 Valor esperat 1 i variància 0.36 Valor esperat 0 i variància Considereu els resultats X 1,..., X 1000 de 1000 tirades d una moneda (no trucada); aleshores, la variable X = X i /1000 té distribució aproximada normal amb valor esperat igual a 0.5 i variància 0.25/1000 normal amb valor esperat igual a 0.5 i variància 0.25/ 1000 binomial amb n = 1000 i p = Considereu Y = wx 1 + (1 w)x 2 on X 1 i X 2 són variables independents amb la mateixa variancia. El valor de w pel que la variància de Y és mínima és la variància de Y no varia amb w 11. Considereu esdeveniments A 1, A 2, A 3 d un experiment aleatori. Aleshores A i A j = per i j, implica que P (A 1 A 2 A 3 ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) + P (A 3 ) A 1 A 2 A 3 = implica que A i A j = per i j A 1 A 2 A 3 = implica que els esdeveniments A 1, A 2, A 3 són independents. 12. Suposeu dues variables aleatòries independents amb distribució binomial: X binomial de paràmetres n = 10 i p = 0.4, Y binomial de paràmetres n = 6 i p = 0.4. La distribució de la variable Z = X + Y és binomial de paràmetres n = 16 i p = 0.4, binomial de paràmetres n = 16 i p = 0.8, la distribució de Z no és binomial 13. Suposeu dues variables aleatòries X i Y amb distribució normal bivariant i tals que E(XY ) = E(X)E(Y ). En aquests cas, les dues variables són independents incorrelacionades però no necessariament independents els valors esperats de X i Y són iguals 14. En la tirada de tres daus de sis cares, la probabilitat d obtenir com a màxim un 6 és més gran que 0.9 més petita que 0.5 cap de les anteriors 15. Suposeu dues variables aleatòries independents X 1 i X 2 cada una amb distribució N (1, 2) (2 és la variància). La variància de la variable Y = 3(X 1 + X 2 ) és Suposeu una variable uniforme contínua a l interval [0, 0.5]. La seva funció de densitat de probabilitat f(x) a x [0, 0.5] és constant igual a 2 constant igual a 1 constant igual a un valor necessariament més petit o igual a 1 6 Test D, desembre 2015

7 17. Si X té distribució uniforme a [2, 3] i Y = 4 + 2X, aleshores Y tindrà distribució uniforme a [8, 10] Y te distribució normal El valor esperat de Y és D una variable aleatòria X ens diuen que E(X) = 4 i E(X 2 ) = 16, aleshores La variable X és una constant igual a 4 aquests valors de l esperança no són possibles La variància és més gran que l esperança 19. Si Y = 3 2X i V (X) denota la variància de X, aleshores V (Y ) = 4V (X) V (Y ) = 4V (X) V (Y ) = 3 2V (X) 20. Una persona triada a l atzar de la població és sotmesa a un test d una malaltia rara. Suposeu els esdeveniments següents: A = La persona té la malaltia, B = El test dona +. Considerem P (A B), s a dir, la probabilitat de tenir la malaltia quan el resultat del test ha estat positiu. Les dades tècniques del test asseguren que P (B A) = 0.9 i P (B Ā) = 0.1, i se sap que la prevalència de la malaltia a la població és 0.1 (P (A) = 0.1). En aquest cas, P (A B) (probabilitat de tenir la malaltia suposant que el test ha estat positiu) és Si C(X, Y ) denota la covariància entre les variables X i Y, aleshores: C(3 + 4X, Y ) = 3 + 4C(X, Y ) C(3 + 4X, Y ) = 16C(X, Y ) C(3 + 4X, Y ) = 4C(X, Y ) 22. Si ρ(x, Y ) denota la correlació entre les variables X i Y ; aleshores, si Z = 3 4X ρ(z, Y ) = 3 4ρ(X, Y ) ρ(z, Y ) = ρ(x, Y ) ρ(z, Y ) = 4ρ(X, Y ) 23. Suposeu dues variables X i Y totes dues amb variància 2 i covariància també igual a 2 aquest cas no es pot donar mai la correlació entre les dues variables és igual a 1 la correlació entre les dues variables és igual a Si X té distribució normal, aleshores la variable Y = e X té distribució normal lognormal exponencial 25. Si X és una variable amb distribució normal la variable Y = 3 4X tindrà distribució pot tenir distribució no normal normal el valor esperat de Y és 3 7 Test D, desembre 2015

8 26. Si X és una variable amb distribució normal estandarditzada (valor esperat 0 i variància 1) i Y = X 2, aleshores E(Y ) serà: 1 0 amb aquesta informació no podem determinar E(Y ) 8 Test D, desembre 2015

9 9 Test D, desembre 2015

10 10 Test D, desembre 2015