Soluciones Examen de Estadística Ingeniería Superior de Telecomunicación

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1 Soluciones Examen de Estadística Ingeniería Superior de Telecomunicación 7 de Septiembre, 25 Cuestiones 2 horas C. A partir de los procesos estocásticos X(t e Y (t incorrelados y de media cero, con funciones de autocorrelación R X (t, t2 y R Y (t, t2 respectivamente, se forma el proceso Z(t X(t+ Y (tt. a Calcular la función de correlación de Z(t La función de autocorrelación de X(t es R X (t, t2 E[X(tX(t2] y análogamente para Y (t. Además, por tratarse de procesos incorrelados, C XY (t, t2 o, de forma equivalente, E[X(tiY (tj] µ X (tiµ Y (tj. Por tanto, R Z (t, t2 E[Z(tZ(t2] E[(X(t + Y (tt(x(t2 + Y (t2t2] R X (t, t2 + tt2r Y (t, t2 b El proceso formado, es estacionario en sentido débil? La media es independiente del tiempo porque es nula pero la correlación no depende solamente de la distancia entre dos tiempos considerados. Por tanto, el proceso NO es estacionario en sentido débil C2. Se dispone de dos urnas. La urna U contiene el 7 % de bolas blancas y el 3 % de bolas negras, y la urna U 2, el 3 % de bolas blancas y el 7 % de bolas negras. Se selecciona una de estas urnas al azar y se toman diez bolas una tras otra con reemplazamiento. El resultado es : B bnbbbbnbbb, donde b indica bola blanca y n indica bola negra. a Cuál es la probabilidad de que esta muestra provenga de U? Seleccion de la urna : como hay 2 urnas y se toma al azar : P (U P (U 2 2 El suceso está compuesto por la ocurrencia conjunta de sucesos independientes, ya que el resultado de una extracción con reemplazamiento no modifica las probabilidades de las siguientes. Como se verifica P (b U,7 P (n U,3 P (B U P (bnbbbbnbbb U P (b U.P (n U.P (b U...P (b U (P (b U 8 (P (n U 2 (,7 8 (,3 2

2 De la misma manera, P (B U 2 (,3 8 (,7 2 la probabilidad buscada es P (U B. Aplicando el Teorema de Bayes : P (B U P (U P (U B P (B U P (U + P (B U 2 P (U 2 ( (,7 8,3 2 ( 2 (,7 8 (,3 2 ( 2 + (,38 (,7 2 ( 2,994 C3. Sean X, Y dos variables aleatorias continuas, uniformemente distribuidas en el triángulo OAB con O (, A (, B (, Sea f la función de densidad conjunta de X y Y definida por k si (x, y OAB f (x, y si no a Calcular k. para que f sea función de densidad El dominio D OAB es el triángulo formado por las rectas de ecuaciones : x, y, x + y. x (x, y D y x + y D f (x, y dxdy ( y k 2 b Calcular las densidades marginales de X e Y. kdx dy Para x, f X (x x 2( x f (x, y dy se puede deducir por simetría de x e y en el problema que : para y, f Y (y 2( y c Calcular las densidades condicionales de X Y y de Y X. Para { y < x y 2

3 tenemos f (x y f (x, y f Y (y y por simetría de x e y en el planteamiento del problema, para { x < y x concluimos que d Son X e Y independientes? f (y x x Tenemos y por lo tanto f X (x f Y (y 4 ( x ( y f (x, y 2 f (x, y f X (x f Y (y y concluimos que X y Y no son independientes. e Calcular Pr(X + Y <,5 Sea E el recinto definido por x + y <,5. La intersecion de E y D es : D E x y x + y x + y <,5 x,5 y,5 x + y,5 por lo tanto Pr(X + Y <,5 f (x, y dxdy D E,5 (,5 y,25 f (x, y dx dy C4. La resistencia de ciertos componentes eléctricos fabricados en un proceso es una v.a. que sigue una distribución Normal de media 36 ohmios y varianza.64 ohmios 2. Dicho componente se considera defectuoso para montarlo en cualquier sistema cuando su resistencia es de 35 ohmios. Se pide: 3

4 a Proporción de componentes defectuosos ( P r(x < 35 P r Z < P r(z <,25 P r(z >,25,64 P r(z,25,8944,56,56 % b Se toma una muestra aleatoria de 4 componentes, cuĺ es la probabilida de que haya al menos 35 componentes no defectuosos?. Y Número de componenetes no defectuosos Y B(4,,8944 Como n > 3 y npq 37,7 > 5 aproximamos a una Normal: Y N(4,8944, 4,8944,56 N(357,76, 6,4 ( P r(x 35 P r Z ,76 6,4 P r(z,26 P r(z,26,8962 c Un sistema acopla 2 componentes en serie, calcular la probabilidad de que el sistema funcione. La probabilidad de que funcione el sistema es la probabilidad de que funcionen los dos componentes, por lo tanto: P r(funcione el sistema,8944 2,7999 Y si se acoplan en paralelo? La probabilidad de que no funcione el sistema es la probabilidad de que no funcionen ninguno de los dos componentes, por lo tanto: P r(funcione el sistema P r(no funcione el sistema (,8944 2,9888 4

5 Problemas h 3 P. El tiempo de funcionamiento hasta que se avería el transmisor de señal de un satélite de telecomunicaciones sigue una distribución exponencial de media días. Para que el lanzamiento del satélite y la inversión realizada sea rentable se exige que la duración sea, al menos, de años. Calcular la probabilidad de que un transmisor elegido al azar, resulte rentable. Si la media de funcionamiento son días, λ /, averías/día. La probabilidad se puede calcular utilizando una distribución de Poisson con λ expresada en averías/ años o bien, directamente, con la exponencial asumiendo que todos los años son de 365 días: P r(t > ,e,x dx e,3645,694 2 Si una instalación industrial fabrica transmisores, cuál es la probabilidad de que los diez cumplan las especificaciones. Se trata de una variable, Y Número de transmisores que cumplen las especificaciones, que sigue una distribución binomial: Y B(,,694. Así, se calcula la probabilidad ( P r(y,694 (,694 (,26 3 Cuál es la probabilidad de que haya al menos una avería en un año? X Número de averías al día, X P (/ NNúmero de averías al año, Y P (365/ P r(n P r(n e,365,358 4 Mantener un servicio de reparaciones para los transmisores cuesta euros anuales, cuánto debe cobrar como mínimo dicho servicio por reparación para obtener beneficios en un año (es decir que el beneficio esperado en año sea positivo? X Número de averías al día, X P (/ NNúmero de averías al año, Y P (365/ BeneficioTarifa N Beneficio EsperadoTarifa E[N] > Tarifa> / ,26 euros/avería. P2. Se dispone de una muestra aleatoria simple de tamaño n de una variable aleatoria X cuya función de densidad es: f(x 2 θ3 x 2 e θx, x >, θ > 5

6 Determinar el estimador máximo verosímil de θ. l(θ x,..., n 2 n θ3n n i x 2 i e θp n i xi L(θ x,..., n n ln 2 + 3n ln θ + 2 dl dθ Comprobamos que es máximo: i n ln x i θ i 3n n θ x i ˆθ 3n n i x i d 2 L dθ 2 3n θ 2 < siempre (en particular para ˆθ 2 Demostrar que la varianza asintótica de ˆθ es V (ˆθ ˆθ 2 3n. V (ˆθ ( d2 L dθ 2 ˆθ 2 ˆθ 3n 3 Calcular un intervalo de confianza asintótico al nivel de confianza del 95 % para para una muestra de tamaño n 25 y 25 i x i 432 ˆθ ± z α/2 V (ˆθ ˆθ 3 25, V (ˆθ, ,4 n i x i Por lo tanto el intervalo de confianza al 95 % es:,736 ±,96,4 (,62,,86 4 A la luz del apartado anterior, se podría rechazar la hipótesis nula del contraste H : θ H : θ con un nivel de significación α,5? El valor no está dentro del intervalo de confianza, por lo tanto rechazaríamos la hipótesis nula. 5 Cuál debería ser el tamaño de la muestra para reducir la longitud del intervalo anterior a la mitad? ˆθ L 2,96 V (ˆθ 2,96 3n ˆθ L 2 2,96 L 3n2 2,96 ˆθ 3n 2 3n 3n 2 n 2 4n 6

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