Soluciones de los ejercicios del examen de Cálculo del 4 de febrero de 2002

Transcripción

1 Solucioes de los ejercicios del exame de Cálculo del de febrero de 00 Problema. (a) Calcular los límites lím (+) ; lím (cos(/)) (b) Estudiar para qué valores de a > 0 es covergete la serie a! (a) Pogamos = (+) + + 3, y = Para calcular el límite lím y podemos aplicar el criterio de Stolz, pues la sucesió {y } es estrictamete creciete y positivamete divergete. Teemos que + y + y = (+) + (+) + ( = (+) + (+) + = + ) y, por tato, lím + y + y = e. Y, e virtud del criterio de Stolz, deducimos que lím y = e. Cometario Los fallos más frecuetes e este facilísimo límite so: Error al escribir +. Error al hacer la diferecia +. No recoocer que la sucesió (+) coverge a e. Cuátas veces habrá aparecido esta sucesió e (+) clase? Disparates isólitos como afirmar que (+)+ (+) es u cociete de poliomios! Auque parezca icreíble, usar la regla de L Hôpital. Pogamos = cos(/), y =, z = (cos(/)) = y. Como e y +, podemos usar el criterio de equivalecia logarítmica y calcular el límite de la sucesió y ( ). Teemos que y ( ) = (cos(/) ) = cos(/) / Naturalmete, esta sucesió coduce a la fució h(x) = cos x x. Sabido es que lím x 0 h(x) =, lo que implica, e virtud de la relació etre límite fucioal y secuecial, que h(/). Por el criterio de equivalecia logarítmica se sigue que z e /.

2 Solucioes de los ejercicios del primer exame parcial (0/0/00) Cometario Los fallos más frecuetes e este facilísimo límite so: No relacioar la sucesió (cos(/) ) co la fució cosx. Cuátas veces lo hemos hecho e clase? Error frecuete al afirmar que lím x 0 cosx x x =. Ua fució egativa co límite positivo! Disparates isólitos como afirmar que ya que cos(/) etoces (cos(/)) =. (b) La serie a es apropiada para el criterio del cociete pues su térmio geeral = a tiee!! factoriales y potecias. Además, como os dice que a > 0, se trata de ua serie de térmios positivos. Como + = (+)+ (+) a = (+) a se sigue que lím + = ae. Luego, si ae < la serie coverge y si ae > la serie diverge. E el caso ae = el criterio del cociete o proporcioa iformació sobre la covergecia de la serie. Cometario Los fallos más frecuetes e esta facilísima serie so: Error al simplificar + No recoocer que la sucesió (+) = (+/) coverge a e. Cuátas veces habrá aparecido esta sucesió e clase? Error grave al aplicar el criterio del cociete que cosiste e afirmar que si + < la serie coverge. Si eso fuera cierto la serie armóica sería covergete. Disparates icreíbles como aplicar e cadea el criterio del cociete y de la raíz: primero se calcula + x+ y después. U uevo criterio cociete-raíz? Problema. Calcular la posició del puto P e la figura para que el águlo θ sea máximo. Cuál es dicho valor máximo de θ? Justifica co detalle lo que haces.

3 Solucioes de los ejercicios del primer exame parcial (0/0/00) 3 B = (+ 3,) Teemos que θ = π θ θ, es decir A = (0,) β θ θ θ P = (x,0) β θ = (π/ θ )+(π/ θ] ) = β + β y deducimos fácilmete que ( + ) 3 x θ(x) = arctg x+arctg Derivado, teemos θ (x) = +x + / ( + 3 x + ) Simplificado resulta θ (x) = 9+ 3 (+ 3)x x (+x )(+(+ 3 x) ) Los ceros de la derivada so las raíces de x +(+ 3)x 3 9 = 0, que viee dadas por α = 3+ (+ 3) + ( 3+9), β = 3 (+ 3) + ( 3+9) Como ( + 3) + ( 3 + 9) = 3( + 3) = 6( + 3) = 6( 3 + ). Naturalmete, como 0 x + 3, y β < 0 se sigue que α = 3+ 6( 3+) = 3 es el úico cero de la derivada e el itervalo [0,+ 3]. Estudiemos ahora el sigo de la derivada. Como el deomiador de θ (x) es positivo, el sigo de θ (x) es igual al de 9+ 3 (+ 3)x x. Pero 9+ 3 (+ 3)x x = (x α)(x β) que es positivo cuado β < x < α y egativo si x < β o α < x. Deducimos que θ (x) > 0 si 0 x < 3 y θ (x) < 0 si 3 < x + 3. Por tato, la fució θ es creciete e [0, 3] y decreciete e [ 3, + 3]. Cocluimos que e 3 la fució θ alcaza u máximo absoluto e [0, + 3]. El valor máximo es θ( 3) = arctg( 3)+arctg() = π/3+π/ = 7π/ Cometarios Lo primero que sorprede es que casi adie platee bie el ejercicio. E la relació de ejercicios de derivadas teéis más de veite ejercicios resueltos del mismo tipo que este. Dóde está la dificultad para expresar θ como fució de x?

4 Solucioes de los ejercicios del primer exame parcial (0/0/00) La logitud de ua circuferecia de radio R es 360R? Verdad que o? Hasta el más despistado se da cueta de que 360R es mucho más grade que la logitud de dicha circuferecia. No, la logitud correcta es πr. Pero, sabes por qué? Pues porque estás usado como uidad de medida el radio de la circuferecia: la logitud de ua circuferecia es igual a π veces la logitud de su radio y el área de u círculo es π veces el cuadrado de su radio. Ahora viee la preguta del milló: Cómo se mide los águlos cuado la uidad de medida es el radio? Pues se mide e radiaes. Eso lo sabe los iños e la escuela. Bie, ya puedes supoer que si las fórmulas πr y πr que da la logitud y el área de u círculo sólo so válidas cuado medimos águlos e radiaes, tedrás que teer razoes muy fuertes para medir águlos e grados y o e radiaes. Todas las fucioes trigoométricas supoe la medida de águlos e radiaes. Repasa la defiició de las fució seo y coseo y lo que allí está escrito sobre este asuto (primer capítulo del temario de este curso). Bie, te digo todo lo aterior porque o es coveiete usar grados para medir águlos y al mismo tiempo usar las fucioes trigoométricas que supoe medida e radiaes. Eso es lo que hacéis cuado afirmáis que θ = 80 θ θ Qué pita ahí ese 80? Acaso vais a usar grados? Pues etoces teéis que cambiar la fució se x por se(πx/360) y lo mismo co las demás fucioes trigoométricas. Y, por favor, o me digáis que arctg = 5. Recuerda que π/ < arctg x < π/ y π/ < 5. Tedré que volver a repetirlo? Lo repito: E Cálculo sólo usamos radiaes para medir águlos. Muchos o ha apredido a derivar. No sé si todavía está a tiempo de apreder. Co ua sola excepció, iguo ha simplificado bie la derivada. Ta difícil es? Nadie ha calculado los ceros de la derivada. Por supuesto, para facilitar su cálculo se idicó e el exame y se dejó escrito e la pizarra que (+ 3) + ( 3+9) = 6( 3+). Nadie ha hecho bie este ejercicio. Problema 3. Calcular la derivada e el puto x = 0 de la fució f :] π/, π/[ R dada por f(x) = (+sex) /x, f(0) = e Justifica co detalle lo que haces. Defiamos ϕ(x) = log f(x) = log(+sex) ; ϕ(0) =. Teemos, evidetemete, que f(x) = exp(ϕ(x)). x E virtud de la regla de la cadea, como la fució expoecial es derivable e todo R, e todo puto a dode ϕ sea derivable se verificará que tambié es derivable f siedo f (a) = exp (ϕ(a))ϕ (a) = f(a)ϕ (a). Estudiaremos, por tato, la derivabilidad de ϕ e a = 0. Teemos que ϕ(x) ϕ(0) x 0 = log(+sex) x x

5 Solucioes de los ejercicios del primer exame parcial (0/0/00) 5 Aplicado la regla de L Hôpital, teemos que cosx ϕ(x) ϕ(0) lím = lím +sex cos x sex cosx sex = lím = lím = x 0 x 0 x 0 x x 0 (+sex)x x 0 x Por tato ϕ (0) = /, y f (0) = e/. Cometarios E clase hemos hecho varios ejercicios casi iguales a este. E los ejercicios resueltos de derivadas teéis tambié ejercicios muy parecidos. A pesar de eso, pocos habéis hecho bie este ejercicio. Los errores más corrietes so los siguietes. Tratar de calcular directamete el límite de f (x). Eso es mucho más de lo que pide el ejercicio ( por qué?) y los cálculos so más difíciles. Quie haya itetado hacerlo así es casi seguro que se habrá equivocado o al calcular la derivada de f o al tratar de calcular el límite lím x 0 f (x). Además, supuesto que ese límite exista, hay que justificar por qué eso implica que f es derivable e 0. No simplificar al calcular el límite. E especial, o simplificar después de aplicar la regla de L Hôpital. Aplicar equivalecias asitóticas e ua suma. Problema. Calcular el volume del sólido de revolució obteido al girar alrededor del eje OX la regió del plao compredida bajo la curva y = x(x x+) ( x < + ) Se trata de calcular la itegral π + x(x x+) dx. Es claro que x x+ = +(x ) o tiee raíces reales. El deomiador tiee raíces imagiarias múltiples y podemos usar el método de Hermite. Para ello escribimos: x(x x+) = A x + Bx+C x x+ + d ( ) Mx+N dx x = A x+ x + Bx+C M + N Nx Mx x + x+ (x x+) = = A+( 8A+C+M + N)x+(8A+B C N)x +( A B+C M)x 3 +(A+B)x x(x x+) Se deduce fácilmete que A =, B =, C + M + N =, C + N = 3, C M =, de dode, M =, C = 3, N = 0. Por tato t t x(x x+) dx =logt + x+3 x x+ dx+ x t x x+ = =logt + arctg(x ) t log(x x+) t + t t t + = ( ) t t =log + arctg(t )+ t t + t t +

6 Solucioes de los ejercicios del primer exame parcial (0/0/00) 6 Deducimos que + π x(x dx = π lím x+) t + t x(x dx = π(π ) x+) Problema 5. Dar, segú proceda, ua breve justificació o u cotraejemplo de los siguietes euciados: (a) Toda fució cotiua e u itervalo está acotada superiormete. (b) E todo puto dode ua fució derivable alcaza u míimo relativo la derivada es ula. (c) Ua fució cuya image es u itervalo es cotiua. (d) Etre dos ceros cosecutivos de la derivada de ua fució tiee que haber al meos u cero de la fució. (a) Evidetemete falso. Basta cosiderar f :]0, ] R dada por f(x) = /x. (b) Cierto. Por hipótesis hay u itervalo ]a ρ, a + ρ[ tal que para todo x ]a ρ, a + ρ[ se verifica que f(a) f(x). Como f es derivable, deducimos que y luego f (a) = 0. f f(x) f(a) (a) = x a lím 0 x a x>a f f(x) f(a) (a) = x a lím 0 x a x<a (c) Evidetemete falso. Ejemplo f : R R f(0) =, f() = 0, f(x) = x para todo x 0,. (d) Evidetemete falso. Basta cosiderar f(x) = se x+. Teemos que f(x) > 0 para todo x pero f (x) = cos x que se aula e kπ+π/ para todo k Z.