Resumen TEMA 4: Dinámica del sólido indeformable con punto fijo

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1 Mecánica Resumen TEMA 4: Dinámica del sólido indeformable con punto fijo. Ángulos de Euler a) Definición. ψ ψ (precesión) ψ y y' x ψ x = N' (nutación) z' z y" y y' x = N' N = Línea de nodos TECNUN, 006

2 Mecánica z' z ϕ (rotación propia) ϕ y" y x ϕ x = N' El triedro xyz está fijo en el espacio. El triedro está vinculado al cuerpo. b) ω del triedro móvil, expresada por sus componentes en el mismo triedro móvil. z ϕ ψ y y" ω = ψ ϕ + sen sen cos ϕ ω = ψ sen cos ϕ sen ϕ ω =ψ cos +ϕ x ψ ϕ N TECNUN, 006

3 Mecánica. Ecuaciones de Euler No hay rozamiento en. El triedro cartesiano es el principal de inercia en (está, por tanto, solidariamente vinculado al cuerpo). dh Las ecuaciones del teorema del momento cinético en : = N suministran las dt ecuaciones del movimiento. Téngase en cuenta que: H = ω E + ω E + ω E 3 está expresado en una base móvil (exige ser derivado aplicando la fórmula de Boure). Haciendo operaciones (hágalas) se llega a las ecuaciones de Euler: dω + ( dt ) ω ω = N dω + ( dt ) ω ω = N dω + ( dt ) ω ω = N Las ecuaciones del teorema del momento lineal permiten determinar la reacción, R, en : M a F R ( F F ) G N = + = ap i i= 3. Giroscopio con movimiento por inercia. nterpretación geométrica El movimiento por inercia se produce cuando el sistema de las fuerzas exteriores se reduce a una sola fuerza, F, que pasa por ( F ; N = 0) TECNUN, 006

4 a) Ecuaciones del movimiento: TEMA 4: Dinámica del sólido indeformable con punto fijo Mecánica dh Si 0 H = cte (tanto en módulo, como dirección y sentido) dt Luego, por H = cte ω + ω + ω = cte () Además: dt = dwap = 0 T = cte (ω + ω + ω ) = cte ω + ω + ω = cte () Añadiendo a estas dos integrales primeras una de las ecuaciones de Euler: dω + ( ) ω ω = 0 dt (3) (), () y (3) son las ecuaciones diferenciales del movimiento (hay que expresar ω, ω, ω en función de los ángulos de Euler). Al resolver el problema que conduce a una ecuación elíptica en ω - hay que hacer una discusión para establecer correctamente los signos de los radicales que aparecen en la ecuación elíptica (hágalo). b) Simplificación del procedimiento: Al ser H = cte podemos tomar la dirección de H (que se determina por las condiciones iniciales) como eje fijo z. z H En los ejes móviles: H = ϕ = ω = ψ ϕ + H sen sen ( sen sen cos ϕ) H = H sen cos ϕ = ω = ( ψ sen cos ϕ sen ϕ) H = H cos= ω = ( ψ cos +ϕ ) De ahí se obtiene que ( obténgalo!): = H ( ) cos ϕ sen ϕ sen sen ϕ cos ϕ ψ= H ( + ) sen ϕ cos ϕ ϕ= H cos ( ) (4) TECNUN, 006

5 c) Caso de que el giroscopio sea simétrico: TEMA 4: Dinámica del sólido indeformable con punto fijo Mecánica Si el elipsoide de inercia fuera de revolución y el eje fuera el eje de revolución: =. Las ecuaciones (4) se convierten en: = 0 = cte H ψ= = cte ϕ= H cos ( ) = cte En un movimiento por inercia del giroscopio simétrico: - el ángulo de nutación permanece constante - y son constantes las velocidades de precesión y de rotación propia (tomando como eje de la precesión la recta soporte de H y como eje de rotación propia el eje de revolución del elipsoide de inercia en el punto fijo). d) nterpretación geométrica: (de Poinsot) H n Propiedad de la normal al elipsoide de inercia en : π P P P es el punto en que ω corta al elipsoide de inercia en el punto fijo. x y z P(x,y,z) = = =λ (5) ω ω ω Ecuación del elipsoide de inercia referido a sus ejes principales: = x + y + z y teniendo en cuenta (5) =λ ( ω + ω + ω ) =λ T λ= T luego: P = ( ω E+ω E +ωe 3) T El vector n normal al elipsoide en P será paralelo a grad P(elipsoide) TECNUN, 006

6 Mecánica grad P(elip) = xpe+ ype + zpe3 = = (ω E+ ω E + ω E3) = H = n T T luego el vector normal al elipsoide en P es paralelo a P es la proyección de P sobre H (que es cte): H (que es cte). H / P' = P = ( ) ( ω E+ω E +ωe3) (ω E+ ω E + ω E3) = H T H T = = cte H Luego el plano π, perpendicular a H que contiene siempre a P, es un plano fijo en el espacio y por ser perpendicular a n - es tangente al elipsoide de inercia del punto fijo. En consecuencia este elipsoide al moverse el giroscopio con movimiento por inercia es siempre tangente al plano fijo π, con la particularidad de que el punto de tangencia, P, tiene velocidad siempre nula. Por tanto puede decirse que en el movimiento por inercia el elipsoide de inercia en el punto fijo gira y pivota sobre un plano fijo. Qué son la polodia y la herpolodia? Si el elipsoide de inercia fuera de revolución, demuestre que la polodia y la herpolodia son dos circunferencias. 4. Giroscopio de Lagrange a) Características: giroscopio simétrico ( = ). El peso es la única fuerza aplicada. b) Ecuaciones del movimiento: (aplicando el formalismo de Lagrange) = T + ψ + ϕ + ψ sen ( cos ) (hállela) V = Mglcos ψ ϕ = = + ψ + ϕ+ψ, coord. cíclicas L T V sen ( cos ) Mgl cos sistema esclerónomo TECNUN, 006

7 Mecánica Luego: L = cte ϕ+ψ ( cos ) = B ϕ L = cte ψ + ϕ + ψ sen ( cos ) cos = A ψ + = T V E + ψ + ϕ + ψ sen ( cos ) + Mgl cos = E Estas tres integrales primeras son las ecuaciones diferenciales del movimiento. c) Movimiento unidimensional equivalente: B ϕ+ψ = ϕ+ψ ( cos ) B cos = A B cos ψ + ϕ+ψ = ψ= sen ( cos ) cos A sen luego: + = (A B cos ) B T V E Mgl cos = E sen ó bien: (A B cos ) + + Mgl cos = E' sen movimiento unidimensional equivalente en la que: que es la ecuación del (A B cos ) = + = V ef ( ) Mgl cos E' + V ef ( ) sen Vef () ' E Si: ' a) E' = E ( y son los valores absidales de durante el movimiento) 0 0 π ' E 0 ' E ' b) E' = E Movimiento imposible. ' 0 0 c) E' = E = = cte (a este movimiento se le llama estacionario y ' dvef en él E0 = Vef = 0 ) min d = 0 TECNUN, 006

8 Mecánica d) nterpretación geométrica: (de acuerdo con los valores de E, A y B) Consideramos la trayectoria del punto de corte del eje de rotación propia con una superficie esférica cuyo centro sea el punto fijo. ) E' = E ' A B cos Si A > B como ψ=, ψ no sen cambia de signo durante el movimiento. Si B > A existirá un ángulo 3 tal que cos = B(cos ψ= 3 - cos ) sen 3 A B por lo que: En estas circunstancias pueden suceder cuatro posibilidades: a) < 3 b) > 3 en estos dos casos ψ tampoco cambia de signo y la trayectoria en la superficie esférica es similar al caso de A > B c) < < 3 3 ψ cambia de signo cuando = 3 y la trayectoria es la dada por la figura de la izquierda. TECNUN, 006

9 Mecánica =3 d) = 3 ψ no cambia de signo pero es cero cuando = Este último movimiento, aunque parezca muy particular, es el que aparece cuando se hace girar el giroscopio alrededor del eje de revolución, inicialmente en reposo, con una ω y luego se abandona libremente a sus enlaces. Con estos requisitos resulta que, * llamando al ángulo formado por los ejes z (fijo en el espacio) y (eje de revolución, que es el de rotación propia): A = ω cos B = ω E' = Mglcos * * ( por qué?) A por tanto: cos 3 = = cos 3 = B * * luego: * ω (cos cos ) V ef ( ) = + Mglcos sen y de aquí se deduce ( hágalo!) que * = y además que siempre (en este caso particular) > (demuéstrelo). Lo que manifiesta que una trayectoria como la mostrada en la figura siguiente no es posible: e) Movimiento estacionario: Se llama movimiento estacionario aquél en el cual E = valor mínimo de V ( ). ef Las ecuaciones del movimiento del giroscopio de Lagrange son: TECNUN, 006

10 ( ϕ+ψ cos ) = B ψ sen + B cos = A TEMA 4: Dinámica del sólido indeformable con punto fijo Mecánica = (A B cos ) E' + V ef( ) donde V ef( ) = + Mgl cos sen Llamando 0 el ángulo para el cual el V ef es mínimo: dv ef d 0 = 0 y además: E' = V ef ( =0 ) De esta última ecuación se deduce (hágalo) que: 4 Mgl sen = (A Bcos )(B A cos ) (a) por lo que para un valor predeterminado de 0 es posible prefijar arbitrariamente una de las dos constantes A ó B: esto es, que existen infinitas posibilidades de obtener un movimiento estacionario en el que = 0. Si prefijamos B resulta que: A Bcos 0 = ψ sen A Bcos = (B ψ cos ) sen 0 0 Por lo que la ecuación (a) se convierte en: (haga las operaciones) Mgla 0ψ (B ψ cos 0) y de aquí se deduce que: B 4 ψ= Mgl cos 0 / ± ( ) (b) cos B 0 Lo que manifiesta que existen dos velocidades de precesión asociadas a ese movimiento estacionario: una rápida (la que corresponde al signo + ) y otra lenta. El valor de la rotación propia ϕ asociado a cada una de estas velocidades se obtiene fácilmente pues: ( ϕ + ψ cos ) = B finalmente, las E valen: E' = ψ sen + Mgl cos f) Movimiento estacionario con grandes velocidades de rotación propia: Si ϕ fuera muy grande B >>> 4Mglcos 0. La ecuación (b) podría reducirse a: TECNUN, 006

11 Mecánica B ψ= Mgl cos 0 ± ( ) cos B 0 ( por qué?) de aquí: B ϕ ψ = ψ = max max cos ( - ) cos 0 0 ( por qué?) : Mgl N ψ min = = ϕ ϕ sen 0 ( por qué?) donde N = mgl sen 0 es el momento del peso del giroscopio respecto del punto fijo. 5. Momento giroscópico Definición: Es el momento producido por las fuerzas de inercia del giroscopio en el punto fijo. dh dh N = N = 0 dt dt luego el momento giroscópico dh M : M = dt Determinación del momento giroscópico en el caso de un giroscopio de Lagrange con movimiento estacionario ( = 0 ). Como en este movimiento estacionario tanto ψ como ϕ son constantes: M [( ) sen cos sen ] = ψ ψ ϕ donde E es el versor correspondiente a la línea de nodos. ( por qué?) E Si ϕ >>> ψ se podría prescindir del primer término y entonces: M = ψϕ sen y como: N + M = N = ψ ϕ ψ N sen 0 = ϕ sen anterior. 0 que coincide con ψ min del apartado TECNUN, 006

12 Mecánica 6. Sólido libre Si se eligen como parámetros: - las tres coordenadas cartesianas del centro de masas: x G, y G, z G - y los tres ángulos de Euler que definen la posición de un triedro con origen en G: trirrectángulo y atado al sólido, respecto al triedro cartesiano paralelo al inercial de referencia El problema se descompone en dos, el movimiento del centro de masas, que se determina por la ecuación F= Ma G, y el movimiento del sólido respecto a unos ejes con origen en G que se trasladan permanentemente. Este último movimiento es el de un sólido con punto fijo (G), que se resuelve mediante las ecuaciones ya estudiadas anteriormente. FN DEL TEMA 4 TECNUN, 006