Matemáticas 2º Bachillerato

Transcripción

1 Mtemátics º Bchillerto Tem.- Sistems de ecuciones. Método de Guss.- Ecuciones lineles Se llm ecución linel de n incógnits un ecución del tipo: nn = donde,,,, n, son números reles,,,, n son vriles. Ej: 7 w Es decir, un ecución linel es un ecución polinómic de grdo con un o vris incógnits. Ls incógnits no pueden estr elevds ningún número, no pueden estr en un rí, en el denomindor, ni multiplicds entre sí,, únicmente como se muestr en el ejemplo nterior. Se llm solución de un ecución de n incógnits un conjunto de n números reles (,,,, ) tles que l sustituirlos por ls incógnits se stisce l iguldd. n Ej: (-,,, 6) es un solución de l ecución nterior, que.- Ecuciones equivlentes ( ) 7 6 Dos ecuciones son equivlentes cundo tienen ls misms soluciones (o l mism solución, en el cso de que sólo h un). Si los dos miemros de un ecución los multiplicmos o dividimos por un mismo número distinto de, l ecución resultnte es equivlente l primer. Ej: es equivlente (se h multiplicdo mos miemros por )..- Sistems de ecuciones lineles Se llm sistem linel de m ecuciones con n incógnits un sistem de l orm: nn = nn = m + m + m + + mnn = m - -

2 donde,,,, n son ls incógnits, todos los ij son los coeicientes los i son los términos independientes. Se dice que n números reles ordendos (, stiscen tods ls ecuciones del sistem..- Sistems equivlentes,,, n ) son un solución del sistem si Dos sistems con el mismo número de incógnits, unque no tengn el mismo número de ecuciones, se dice que son equivlentes si tienen ls misms soluciones. Ej: 6 es equivlente que l solución de mos es =, = - Se llmn trnsormciones válids quells que permiten psr de un sistem otro equivlente: Cmir de orden ls ecuciones. Sustituir un o más ecuciones del sistem por ecuciones equivlentes cd un de ells. Sustituir un ecución por l ecución resultnte de sumrle l ecución inicil un cominción linel de ls demás ecuciones. Ej: E E E 6 son equivlentes ñdir un ecución que se cominción linel de ls eistentes, o quitr un ecución que se cominción linel de ls demás..- Discusión de un sistem Un sistem linel puede que no teng solución, que teng un únic solución, o que teng ininits soluciones: Si tiene solución se llm comptile. Si no tiene solución se llm incomptile. Si es comptile tiene un únic solución se llm comptile determindo. Si es comptile tiene ininits soluciones se llm comptile indetermindo. En este cso, dependiendo del número de prámetros, puede ser uniprmétrico, iprmétrico, Si un sistem tiene todos sus términos independientes nulos (son ) el sistem se llm homogéneo. Los sistems homogéneos siempre tienen l solución trivil (,,,, ), por ello, siempre son comptiles. - -

3 Sistems esclondos Son sistems en los que prtir de los vlores de ls incógnits (o incógnit) de un de sus ecuciones, se hll el vlor de otr incógnit en otr ecución. prtir de este nuevo vlor el de los nteriores, se hll el vlor de otr incógnit en otr ecución,, sí sucesivmente. El cso más ácil de reconocer es quel en el que el sistem tiene un incógnit menos en cd ecución. Ej: 7 t t t 8 t t En el primer sistem, conociendo el vlor de t de l tercer ecución podemos hllr el vlor de en l segund ecución, trs esto, con los vlores de, t podemos hllr el vlor de en l primer ecución. En el segundo, conociendo el vlor de t de l tercer ecución podemos hllr el vlor de en l segund ecución, trs esto, con los vlores de t podemos hllr el vlor de en l primer ecución. Un sistem esclondo, si tiene el mismo número de ecuciones que incógnits se denomin sistem tringulr. En un sistem tringulr, de cd ecución se puede hllr un incógnit. Por tnto, siempre son comptiles determindos. Ej: 6 = ; = ; = - L solución del sistem es (-,, ). En cmio, un sistem esclondo no tringulr nunc puede ser comptile determindo, sino que siempre es comptile indetermindo. Ej: L solución serí R, que tmién puede epresrse como:

4 - - Soluciones R,, R,,,, Se puede demostrr que el conjunto de soluciones de un sistem es igul un solución prticulr de dicho sistem más el conjunto de soluciones del sistem homogéneo resultnte de nulr los términos independientes del sistem inicil. Ej: Considerndo el sistem homogéneo resultnte de nulr los términos independientes del sistem del ejemplo nterior: L solución serí R, que tmién puede epresrse como: Soluciones R,, R,, Como se puede ver, l solución del sistem no homogéneo es igul un solución prticulr, que,, es solución prticulr del sistem, más el conjunto de soluciones de su sistem homogéneo socido, R,,. 7.- Método de Guss Consiste en plicr trnsormciones válids un sistem ddo pr poder sustituirlo por uno esclondo. Pueden drse tres csos dependiendo de los tres tipos de sistems: ) 6 E E E E 6 8 E E 6 8 Por ser tringulr, es comptile determindo.

5 - - ) 6 E E E E 7 7 E E 7 Puesto que h slido un ecución inútil, l quitmos se nos qued un sistem esclondo, pero no tringulr, de dos ecuciones. Por tnto, el sistem es comptile indetermindo. c) E E E E E E E Puesto que h slido un ecución imposile no eiste solución l sistem. Por tnto, el sistem es incomptile.

6 Resumen del tem Sistems de ecuciones lineles Sistems equivlentes nn = nn = m + m + m + + mnn = m Dos sistems con el mismo número de incógnits, unque no tengn el mismo número de ecuciones, se dice que son equivlentes si tienen ls misms soluciones. Trnsormciones válids: Cmir de orden ls ecuciones. Sustituir un o más ecuciones del sistem por ecuciones equivlentes cd un de ells. Sustituir un ecución por l ecución resultnte de sumrle l ecución inicil un cominción linel de ls demás ecuciones. ñdir un ecución que se cominción linel de ls eistentes, o quitr un ecución que se cominción linel de ls demás. Discusión de un sistem Sistem comptile: Con solución o Sistem comptile determindo: Un únic solución o Sistem comptile indetermindo: Ininits soluciones Sistem incomptile: Sin solución Sistems esclondos Son sistems en los que prtir de los vlores de ls incógnits (o incógnit) de un de sus ecuciones, se hll el vlor de otr incógnit en otr ecución. prtir de este nuevo vlor el de los nteriores, se hll el vlor de otr incógnit en otr ecución,, sí sucesivmente. Si tiene el mismo número de ecuciones que incógnits se denomin sistem tringulr. El conjunto de soluciones de un sistem es igul un solución prticulr de dicho sistem más el conjunto de soluciones de su sistem homogéneo socido. Método de Guss plicr trnsormciones válids un sistem pr convertirlo en uno esclondo. Esclondo tringulr: sistem comptile determindo. Esclondo no tringulr: sistem comptile indetermindo. Un ecución imposile: sistem incomptile

7 Tem.- Mtrices.- Deinición Se llm mtri de m ils n columns (o de orden o dimensión m n) un conjunto de mn números reles designdos por ij distriuidos de l siguiente mner: m m... m n n n mn El primer suíndice se denomin índice de il el segundo, índice de column. Mtri il: Mtri ormd por un sol il, es decir, de orden n. Mtri column: Mtri ormd por un sol column, es decir, de orden m. Mtri nul: Mtri ormd solo por ceros. Se represent por un. Mtri cudrd: Mtri donde m = n, es decir, de orden n n, o simplemente de orden n. En un mtri cudrd se denomin digonl principl l conjunto de todos los elementos cuos índices son igules:,,. L sum de todos los elementos de l digonl principl se denomin tr. Mtri unidd o identidd: Mtri cudrd en l cul todos los elementos de l digonl principl vlen, los demás elementos vlen. Se represent por un I. Trnspuest de un mtri: Se llm trnspuest de un mtri un mtri cus ils son ls columns de, cus columns son ls ils de. Se represent por. t,, nn Ej: 6 t 6 Mtri simétric: Mtri cu trnspuest es igul ell mism, es decir, esto ocurr dee ser cudrd. t =. Pr que Ej: t

8 - 8 - Mtri ntisimétric: Mtri que coincide con l opuest su trnspuest, es decir, t = -. Tmién dee ser cudrd. Y su digonl principl dee estr ormd por ceros. Ej: t = - Mtri tringulr superior: Mtri cudrd en l cul todos los elementos situdos por dejo de l digonl principl son. Ej: 7 6 Mtri tringulr inerior: Mtri cudrd en l cul todos los elementos situdos por encim de l digonl principl son. Mtri digonl: Mtri cudrd en l cul todos los elementos situdos tnto por encim como por dejo de l digonl principl son. Ej: 7.- Operciones con mtrices..- Sum de mtrices Dds dos mtrices del mismo orden m n, su mtri sum es otr mtri de orden m n cuos elementos se otienen de sumr los elementos homólogos ls dos mtrices sumndos. Ej: Propieddes de l sum de mtrices:.- Conmuttiv: +B = B+

9 .- socitiv: (+B)+C = +(B+C).- Tiene como elemento neutro l mtri nul: + = + =.- Tod mtri tiene su opuest : +(-) = (-)+ =..- Producto de un esclr por un mtri Dd un mtri de ordn m n un número rel, se deine el producto del número rel por l mtri como otr mtri de orden m n cuos elementos son los mismos elementos de l mtri inicil multiplicdos por el número rel. Ej: Propieddes del producto de un esclr por un mtri:.- socitiv: () = ().- Distriutiv: (+) = + (+B) = + B..- Producto de un mtri il por un mtri column Dee trtrse de un mtri il de orden n un mtri column de orden n :... n... n... n n..- Producto de mtrices Dds ls mtrices, de orden m n, B, de orden n r, se deine el producto B como un mtri C de orden m r cuos elementos son el producto de ls ils de por ls columns de B. Pr que ms mtrices puedn multiplicrse es necesrio que el número de columns de coincid con el número de ils de B, en este cso serí n. Por ejemplo, el elemento de l il column de C se hllrí multiplicndo l tercer il de por l primer il de B. Ej: ( ) 76 ( )

10 - - Como vemos l primer mtri es de orden l segund, de orden. Se pueden multiplicr porque coincide el (columns de l primer ils de l segund), el resultdo es un mtri de (ils de l primer columns de l segund). Propieddes del producto de mtrices:.- No se cumple l propiedd conmuttiv: B B.- socitiv: C B B C ) ( ) (.- Distriutiv respecto de l sum: (B+C) = B+C (D+E)F = DF+EF.- En el cso de mtrices cudrds tiene como elemento neutro l mtri unidd: I = I =.- l contrrio que en números reles, es posile que el producto de dos mtrices no nuls dé l mtri nul. Ej: 7 ) ( ) ( ) ( ) ( No se cumple l le de simpliicción: si B = C esto no signiic que podmos simpliicr l decir que B = C. No se puede simpliicr, B C pueden, o no, ser igules. 7.- t t t B B ) (.- Mtri invers de otr Un mtri cudrd de orden n se dice que tiene invers (o es invertile) si eiste otr mtri cudrd de orden n, -, llmd mtri invers tl que: - = - = I Pr que un mtri teng invers (o se invertile) es necesrio que se cudrd. Pero no tods ls mtrices cudrds son invertiles. Ej: Pr clculr l mtri invers uno de los métodos es el de Guss-Jordn. Consiste en poner l mtri junto l mtri unidd ormndo un únic mtri, medinte el método de Guss otener l mtri unidd donde ntes se encontr l mtri, como consecuenci donde ntes se encontr l mtri unidd hor se encontrrá l mtri invers de. Ej: F F F F F F Como vemos l mtri que prece l derech es l invers, rri est l demostrción de ello.

11 Resumen del tem Mtri il: Mtri ormd por un sol il, es decir, de orden n. Mtri column: Mtri ormd por un sol column, es decir, de orden m. Mtri nul: Mtri ormd solo por ceros. Se represent por un. Mtri cudrd: Mtri donde m = n, es decir, de orden n n, o simplemente de orden n. En un mtri cudrd se denomin digonl principl l conjunto de todos los elementos cuos índices son igules:,, nn. L sum de todos los elementos de l digonl principl se denomin tr. Mtri unidd o identidd: Mtri cudrd en l cul todos los elementos de l digonl principl vlen, los demás elementos vlen. Se represent por un I. Trnspuest de un mtri: Se llm trnspuest de un mtri un mtri cus ils son ls columns de, cus columns son ls ils de. Se represent por. t,, Mtri simétric: Mtri cu trnspuest es igul ell mism, es decir, =. Pr que esto ocurr dee ser cudrd. Mtri ntisimétric: Mtri que coincide con l opuest su trnspuest, es decir, Tmién dee ser cudrd. Y su digonl principl dee estr ormd por ceros. Mtri tringulr superior: Mtri cudrd en l cul todos los elementos situdos por dejo de l digonl principl son. Mtri tringulr inerior: Mtri cudrd en l cul todos los elementos situdos por encim de l digonl principl son. Mtri digonl: Mtri cudrd en l cul todos los elementos situdos tnto por encim como por dejo de l digonl principl son. Operciones Sum: Se sumn los elementos que se encuentrn en l mism posición en ms mtrices. Producto de un esclr por un mtri: Se multiplic el esclr por cd elemento de l mtri. t t = -. Producto de mtrices: Pr hllr el elemento column j de l ª. Mtri invers ij se multiplic l il i de l ª mtri por l Un mtri cudrd de orden n se dice que tiene invers (o es invertile) si eiste otr mtri cudrd de orden n, -, llmd mtri invers tl que: - = - = I Método de Guss-Jordn: Consiste en poner l mtri junto l mtri unidd ormndo un únic mtri, medinte el método de Guss otener l mtri unidd donde ntes se encontr l mtri, como consecuenci donde ntes se encontr l mtri unidd hor se encontrrá l mtri invers de. - -

12 Tem.- Determinntes Los determinntes son sólo plicles mtrices cudrds, son números reles, no mtrices..- Determinntes de orden Dd l mtri se denomin determinnte, se represent por, l número rel deinido por: Ej:.- Determinntes de orden Dd l mtri, su determinnte se hll de este modo: Est órmul se memori medinte un regl mnemotécnic llmd regl de srrus: Los términos positivos son los productos mostrdos en ls línes. Los términos negtivos son los productos mostrdos en ls línes. - -

13 .- Propieddes de los determinntes.- Si un il o column de un mtri es sum de dos, su determinnte puede descomponerse en sum de los determinntes de dos mtrices, del siguiente modo: ' ' ' ' ' '.- Si se multiplic o divide un il o column de un mtri por un número rel, el determinnte de l mtri resultnte es igul l determinnte de l mtri inicil multiplicdo o dividido, respectivmente, por dicho número rel: k k k k.- Si se permutn dos ils o columns entre sí, el determinnte cmi de signo:.- Si un il o column se le sum un cominción linel de ls demás ils o columns, respectivmente, el determinnte no vrí:.- Si un il o column es cominción linel de ls demás ils o columns, respectivmente, el determinnte vle. 6.- Si dos ils o columns son igules o proporcionles el determinnte vle. 7.- Si h lgun il o column ormd tod por ceros el determinnte vle. - -

14 8.- El determinnte de un mtri el de su trnspuest son igules: t 9.- El determinnte del producto de dos mtrices es igul l producto de sus determinntes: B B.- El determinnte de un mtri tringulr, superior o inerior, es igul l producto de los elementos de l digonl principl:.- Menor complementrio djunto de un mtri Dd l mtri cudrd de orden n se llm menor complementrio de ij, se represent por ij, l determinnte de l mtri cudrd de orden n- otenid eliminndo l il i l column j de. Ej: 7 (Se h elimindo l il l column ) 6 Dd l mtri cudrd de orden n se llm djunto de i j ij l número rel ddo por: ij ij, se represent por ij, Es decir, el djunto es igul l menor complementrio con el mismo signo o cmido, según i + j se pr o impr. Ej:

15 .- Desrrollo de determinntes por djuntos Culquier determinnte se puede hllr como sum de cd elemento de un únic il o column multiplicdo por su djunto. Ej:... En el primer cso se h desrrolldo el determinnte por los elementos de su primer il; en el segundo se h desrrolldo por los elementos de su segund column. Los determinntes de orden de orden se resuelven medinte ls órmuls descrits nteriormente, pero prtir del orden se deen resolver por djuntos. Un método stnte útil es l reducción del orden: se utili l ª propiedd de los determinntes pr conseguir que un il o column se todo ecepto un elemento, que se, teniendo en cuent el desrrollo por djuntos, el determinnte inicil se convierte en el djunto del que hemos hlldo. Ej: F F F F F F 6 8 Se h utilido l ª propiedd de los determinntes se h otenido un column tod de ecepto un. hor si desrrollmos por djuntos l primer column de l mtri otenemos que el determinnte inicil es igul ese multiplicdo por su djunto (no import los djuntos de los demás elementos de l column, que l multiplicrlos por desprecen), es decir, que el determinnte inicil es igul l djunto de ese : 6 8 No se cmi el signo porque en este cso: - -

16 6.- Rngo de un mtri Es el número de ils o de columns linelmente independientes (que no son cominción linel de ls otrs) de un mtri. Se puede hllr el rngo de un mtri plicndo el método de Guss. El rngo será el número de ils distinds de ( ). Ej: 6 ª ª ª ª ª ª ª El rngo es. Tmién podrímos her dicho que l tercer il es cominción linel de ls otrs dos, que: ª = ª-ª. Y por tnto, sólo h dos ils linelmente independientes (L.I.) Teniendo en cuent l deinición nterior, el rngo de un mtri es menor o igul que su orden. Será igul que su orden si tods ls ils columns son linelmente independientes. Esto se trduce en que su determinnte no es. Por tnto: Si el determinnte de un mtri de orden n es distinto de, su rngo es n. Su rngo será menor que su orden si h lgun il o column que es cominción linel de ls demás, es decir, si su determinnte es. En ese cso se cogen los menores complementrios de l mtri sólo con que uno de ellos no se el rngo de l mtri es un unidd menos que su orden. Si todos dn se cogen los menores de un orden inerior los nteriores se repite el proceso. Por tnto: Si el determinnte de un mtri de orden n es, se cogen los menores de orden n-, sólo con que uno de ellos se distinto de el rngo es n-. Si no es el cso, se cogen menores de orden n- se repite el proceso. Ej: 6 6, por tnto rng < 7, por tnto rng Esto signiic que rng = En el cso de mtrices de órdenes mores el cálculo del rngo se complic pues, por ejemplo, en un mtri de h 6 menores de orden, de orden de orden. Pr ello se sigue este procedimiento: - 6 -

17 Ej: El rngo será como mucho de, orden del menor más grnde. 6 º.- Se coge un menor de orden que sepmos que no es nulo: Esto nos conirm que ls dos primers ils son linelmente independientes (L.I.) que el rngo es como mínimo de. º.- H que verigur si l ª il es L.D. de ls dos primers. Pr ello cogemos todos los menores de orden donde intervengn todos los elementos del menor de orden utilido ntes los elementos de l ª il: ; ; ; puesto que todos son l ª il es L.D. de ls dos primers. hor el rngo será como mucho de. º.- H que verigur si l ª il es L.D. de ls dos primers. Pr ello cogemos todos los menores de orden donde intervengn todos los elementos del menor de orden utilido ntes los elementos de l ª il: ; ; ; 6 puesto que todos son l ª il es L.D. de ls dos primers. hor no h dud de que: rng =. 7.- Mtri djunt cálculo de su determinnte Dd l mtri cudrd de orden n se llm djunt de ell, se represent por ~, t otr mtri cudrd de orden n cuos elementos son los djuntos de. t ~ - 7 -

18 - 8 - Se cumple que ~ ~ I Ej: t 7 ~ Compromos que se cumple l órmul nterior: ~ I 7..- Determinnte de l mtri djunt Si es de orden n ( por tnto ~ tmién): ~ ~ I ~ ~ I I n n ~ ~ ~ n n

19 Cálculo de l mtri invers Un mtri cudrd es singulr si su determinnte vle. Un mtri tiene invers o es invertile si solo si es cudrd no es singulr (su determinnte dee ser distinto de ). Dd un mtri invertile: ~ ~ I ~ ~ I ~ ~ I I I ~ ~ De quí se deduce que: ~ Ej: ; 7 ~ Determinnte de l mtri invers I I

20 Resumen del tem Determinntes de orden Determinntes de orden Regl de srrus: Los términos positivos son los productos mostrdos en ls línes. Los términos negtivos son los productos mostrdos en ls línes. Propieddes de los determinntes ' '.- ' ' ' ' k.- k k k.- - -

21 .-.- Si un il o column es cominción linel de ls demás ils o columns, respectivmente, el determinnte vle. 6.- Si dos ils o columns son igules o proporcionles el determinnte vle. 7.- Si h lgun il o column ormd tod por ceros el determinnte vle. 8.- t 9.- B B.- Menor complementrio djunto de un mtri Dd l mtri cudrd de orden n se llm menor complementrio de represent por ij, l determinnte de l mtri cudrd de orden n- otenid eliminndo l il i l column j de. ij, se Dd l mtri cudrd de orden n se llm djunto de i j ij l número rel ddo por: ij Desrrollo de determinntes por djuntos ij, se represent por ij, Culquier determinnte se puede hllr como sum de cd elemento de un únic il o column multiplicdo por su djunto. Un método stnte útil es l reducción del orden: se utili l ª propiedd de los determinntes pr conseguir que un il o column se todo ecepto un elemento, que se, teniendo en cuent el desrrollo por djuntos, el determinnte inicil se convierte en el djunto del que hemos hlldo. - -

22 Rngo de un mtri Es el número de ils o de columns linelmente independientes (que no son cominción linel de ls otrs) de un mtri. Si el determinnte de un mtri de orden n es distinto de, su rngo es n. Si el determinnte de un mtri de orden n es, se cogen los menores de orden n-, sólo con que uno de ellos se distinto de el rngo es n-. Si no es el cso, se cogen menores de orden n- se repite el proceso. Mtri djunt cálculo de su determinnte t ~ ~ ~ Se cumple que I 7..- Determinnte de l mtri djunt Si es de orden n ( por tnto ~ tmién): n ~ n Cálculo de l mtri invers Un mtri tiene invers o es invertile si solo si es cudrd no es singulr (su determinnte dee ser distinto de ). Dd un mtri invertile: ~ Determinnte de l mtri invers - -

23 Tem.- Resolución de sistems medinte determinntes.- Mtri de un sistem Ddo un sistem linel de m ecuciones con n incógnits: nn = nn = m + m + m + + mnn = m se llm mtri del sistem los coeicientes de ls incógnits: m m... m n n mn mtri mplid del sistem l mtri del sistem ñdiéndole l column de los términos independientes: * m m... m n n mn m.- Teorem de Rouché Ddo un sistem linel de m ecuciones con n incógnits: Si rng = rng * el sistem es comptile o Si rng = rng * = n el sistem es comptile determindo o Si rng = rng * n el sistem es comptile indetermindo. En este cso: nº prmetros = n rng Si rng = rng * - el sistem es incomptile No son posiles más csos: puesto que está incluid en * el rngo de * será igul o mor l rngo de. Y puesto que * siempre tiene column más que tn sólo puede tener un rngo unidd mor que el rngo de. - -

24 .- Regl de Crmer L regl de Crmer tn sólo puede utilirse cundo rng = rng * es decir, cundo es comptile. Según l regl de Crmer:... n... n n... n m m m mn n m m m... mn... n t m m m m n... n... n... n m m m... mn m m m... mn m m m... mn Es decir, t column se h sustituido por los términos independientes, t, siendo column se h sustituido por los términos independientes, Pueden drse los siguientes csos: l mtri cu primer l mtri cu segund rng = rng * = n = m: en este cso se puede plicr Crmer directmente. rng = rng * = n < m: en este cso sorn ecuciones. Se eliminn ls L.D. se dejn únicmente ls L.I. (l hcer esto tendremos n = m) se plic Crmer. rng = rng * = m < n: en este cso psmos n m incógnits l prte derech de l iguldd, psándo considerrse como prámetros, se plic Crmer. rng = rng * < n demás rng = rng * < m: en este cso sorn ecuciones. Se eliminn ls L.D. se dejn únicmente ls L.I. (l hcer esto tendremos rng = rng * = m, nos encontrremos en el tercer cso). Luego psmos n m incógnits l prte derech de l iguldd, psándo considerrse como prámetros, se plic Crmer. Ej: *

25 rng = rng * * rng * = Como rng = rng * = n, según el teorem de Rouché el sistem es comptile determindo. Como rng = rng * = n < m podemos plicr Crmer si eliminmos l últim ecución ( que hemos comprodo que ls primers son L.I. con el determinnte nterior): Solución: Ej: * rng = rng * = Como rng = rng * < n, según el teorem de Rouché el sistem es comptile indetermindo. Como rng = rng * = m < n podemos plicr Crmer si psmos como prámetros - incógnits l prte derech de l iguldd. No podemos psr l como prámetro que l nuev mtri tendrí rngo. El sistem qued sí:

26 - 6 - Solución: R.- Resolución de sistems homogéneos Puesto que en todo sistem homogéneo los términos independientes son nulos, el rngo de * siempre coincide con el rngo de. Por ello, no es necesrio estudir l mtri *, que estos sistems son siempre comptiles. De ser comptiles determindos su únic solución será l trivil. Y si son comptiles indetermindos tendrán ininits soluciones, entre ells l trivil. Ej: rng < rng = Como rng < n el sistem es homogéneo, según el teorem de Rouché el sistem es comptile indetermindo. Como rng = rng * (el sistem es homogéneo) < n demás rng = rng * < m podemos plicr Crmer si eliminmos l ecución que depende de ls otrs (en este cso l tercer) psmos como prámetros - incógnits l prte derech de l iguldd.

27 - 7 - Solución: R.- Form mtricil de un sistem de ecuciones Ddo un sistem linel de m ecuciones con n incógnits: nn = nn = m + m + m + + mnn = m éste se puede escriir en orm de producto de mtrices: m m mn m m m n n donde l primer mtri es, l mtri de ls incógnits es X, l mtri de los términos independientes es B: B X Un ve preprmos el sistem (como hcímos pr poder plicr Crmer), tendremos que es un mtri cudrd no singulr ( por tnto invertile). sí que podemos hcer esto: B X B X B X I B X Ej: * Este ejemplo se h resuelto ntes. l preprrlo pr poder utilir Crmer se qued sí:

28 - 8 - sí que en este cso: B Clculmos l invers de : Y hor podemos clculr X: B X Solución: R 6.- Discusión de sistems con prámetros como coeicientes Ddo un sistem como éste: k, dependiendo del vlor del prámetro k el sistem puede ser comptile determindo, comptile indetermindo o incomptile. Ej: En el sistem nterior: k * k k k k k ; por tnto tenemos dos csos: º Cso: k = - * rng = ; rng * = Como rng rng *, según el teorem de Rouché el sistem es incomptile. º Cso: k - k rng = ; rng * = Como rng = rng * = n, según el teorem de Rouché el sistem es comptile determindo.

29 Resumen del tem Mtri de un sistem Mtri del sistem: m m... m n n mn Mtri mplid del sistem ( * ): se ñde l column de los términos independientes. Teorem de Rouché Si rng = rng * el sistem es comptile o Si rng = rng * = n el sistem es comptile determindo o Si rng = rng * n el sistem es comptile indetermindo. Si rng = rng * - el sistem es incomptile Regl de Crmer L regl de Crmer tn sólo puede utilirse cundo rng = rng *. t t rng = rng * = n = m: en este cso se puede plicr Crmer directmente. rng = rng * = n < m: en este cso sorn ecuciones. Se eliminn ls L.D. se dejn únicmente ls L.I. (l hcer esto tendremos n = m) se plic Crmer. rng = rng * = m < n: en este cso psmos n m incógnits l prte derech de l iguldd, psándo considerrse como prámetros, se plic Crmer. rng = rng * < n demás rng = rng * < m: se eliminn ls ecuciones L.D. nos encontrmos en el tercer cso. Resolución de sistems homogéneos El rngo de * siempre coincide con el rngo de. Por ello, no es necesrio estudir l mtri *, que estos sistems son siempre comptiles. Form mtricil de un sistem de ecuciones X B Discusión de sistems con prámetros como coeicientes Se verigu los csos pr los cules pr cules no se estudin por seprdo

30 Tem.- Vectores en el espcio.- Operciones con vectores..- Sum de vectores Ddos dos vectores, u u, u u v v, v v componentes:, u v u,,, l sum v, u v u v u v es otro vector de Ej:,,,,8,, Geométricmente pr sumrlos se coloc el origen del segundo vector en el etremo del primero. L sum será el vector que tiene por origen el origen del primer vector, como etremo, el etremo del segundo vector: Si se trt de un rest ( u v ), no h más que sumrle u L sum de vectores cumple: Propiedd conmuttiv: u v v u u v w u Propiedd socitiv: v w el opuesto de v ( v )...- Producto de un vector por un número rel Ddo un vector v v, v v tiene de componentes:, un número rel, el producto v v, v, v v, v v, v es otro vector que Ej:,,,,8 Este nuevo vector tiene l mism dirección que v, mismo sentido o sentido opuesto dependiendo de si es positivo o negtivo, el módulo es: v v Si se otiene el vector cero ( ). El producto de un vector por un número rel cumple: Propiedd socitiv: v v Propiedd distriutiv: v v v v w v w - -

31 ..- División de un segmento en prtes igules Ddo el segmento B, si queremos dividirlo en n prtes igules necesitmos n- puntos interiores: M n B M n B M n B M B n n n B n ; M B n n n B n ; B n B M ; n n n M m n m n B donde n es el número de prtes en que se quiere dividir el segmento, m es el número de punto interior, es decir, el primer punto interior se consigue con n =.,, B,, Ej: Si tenemos los puntos queremos dividirlos en prtes igules necesitmos puntos internos. El tercero de ellos serí: M.- Cominciones lineles B B,,,,,, Ddos los vectores,,,, w los números reles,, c,, k se llm cominción linel de los vectores l vector:..- Dependenci e independenci linel c... kw Un conjunto de vectores es lire o sus vectores son linelmente independientes (L.I.) cundo ninguno de ellos es un cominción linel de los demás. En cso contrrio el conjunto de vectores es ligdo o sus vectores son linelmente dependientes (L.D.) Pr verigur si un conjunto de n vectores es lire o ligdo se orm un mtri con tles vectores. Si el rngo de tl mtri es n signiic que son vectores L.I. En R los conjuntos de vectores lires tienen como máimo vectores, que los vectores de R tienen componentes por tnto l mtri tendrí solo columns...- Bse en R Un conjunto B es un se de,, R si está ormdo por tres vectores lires. - -

32 Ej:,,,,,,,, B es un se de R, que: rng B = Y que tod se de de dimensión. R está ormd por tres vectores se dice que R es un espcio vectoril Si los tres vectores son perpendiculres se dice que l se es un se ortogonl. Y si demás los tres vectores son unitrios tenemos un se ortonorml...- Coordends de un vector respecto de un se Dd un se B,,, culquier vector v se puede poner de orm únic como cominción linel de sus elementos: v c los números,, c se los llm coordends de v respecto de B se epres v B,, c. L se más utilid es l llmd se cnónic, ormd por los vectores,, j,,, k,,..- Producto esclr de vectores Ddos dos vectores, u u, u u v v, v v l número rel:,, u v u v cos v i,, se llm producto esclr de mos u, v uv uv u Ej:,,,, Propieddes del producto esclr.- Conmuttiv: u v v u.- socitiv: u v u v.- Distriutiv: u v w u v u w.- Si u v, entonces u v u v cos9º. Del mismo modo, si u v, entonces u v. - -

33 .- plicciones del producto esclr..- Módulo de un vector Se llm módulo de un vector u u, u u rel:,, lo representmos por u, l número u u u u De quí deducimos que tmién es: u u u, que u u u u u Se cumple que u u..- Ángulo entre vectores prtir de l órmul nterior deducimos que: cos u, v u v u v Ej: cos,,,,,8,,,,8 8 9 '7 89 rccos '7 8º El ángulo que ormn mos vectores es: ' 9' 8'..- Vector normlido o unitrio Un vector u se dice que es unitrio o que está normlido si sólo si u Pr hllr el vector unitrio en un dirección concret se coge un vector que teng tl dirección se divide entre su módulo: v unitrio u u Ej:,,8 8 v 8 unitrio,, Lo compromos:

34 ..- Proección ortogonl de un vector sore otro Ddos los vectores v u B, lo representmos por v u pro v C se llm proección ortogonl del vector u sore l vector B'. Se cumple que: B' pro v cos B u u pro u v u u v u u v cos u v v pro u v u cos ó pro u v u v v Y el vector es: pro u v u v v v v.- Producto vectoril Ddos dos vectores no nulos,, de mos l vector:,,,, se llm producto vectoril i j k El módulo es: sen, L dirección es perpendiculr los dos vectores. El sentido es el correspondiente según l regl de Mwell. - -

35 ..- Propieddes del producto vectoril.- Distriutiv: uv w uv uw.- nticonmuttiv: uv vu.-.- El producto vectoril entre dos vectores L.D. es nulo:.- u v uv uv 6.- El cudrdo del módulo del producto vectoril de dos vectores es igul l determinnte ormdo por mos vectores su producto vectoril: 7.- El módulo del producto vectoril de dos vectores es igul l áre del prlelogrmo determindo por tles vectores: Áre 6.- Producto mito Ddos tres vectores,,,, c c, c c, mito de ellos, se represent por producto vectoril de los otros dos:,,, se llm producto,, c, l producto esclr del primero por el,, c c c c c Por trtrse de un determinnte, ls propieddes del producto mito son ls misms que ls de los determinntes. Un plicción del producto mito es que ddo un prlelepípedo ormdo por tres vectores (todos ellos con el origen en uno de sus vértices), el volumen de tl prlelepípedo viene ddo por el producto mito de los tres vectores. - -

36 Resumen del tem Operciones con vectores Sum de vectores: u v u v, u v u v, Propiedd conmuttiv: u v v u u v w u Propiedd socitiv: v w Producto de un vector por un número rel: v v, v, v v, v v, Propiedd socitiv: v v Propiedd distriutiv: v v v v w v w División de un segmento en prtes igules: Producto esclr de vectores u v u v cos v u, v uv uv u M m n m n B Propieddes del producto esclr.- Conmuttiv: u v v u.- socitiv: u v u v.- Distriutiv: u v w u v u w.- Si u v, entonces u v u v cos9º. Del mismo modo, si u v, entonces u v. plicciones del producto esclr Módulo de un vector: u u u u u u cos Ángulo entre vectores: u, v u v u v Vector normlido o unitrio: v unitrio u u Proección ortogonl de un vector sore otro pro u v u cos ó pro u v u v v - 6 -

37 pro u v u v v v v Producto vectoril i j k Módulo: sen, Propieddes del producto vectoril.- Distriutiv: uv w uv uw.- nticonmuttiv: uv vu.-.- El producto vectoril entre dos vectores L.D. es nulo: u v uv u v Áre Producto mito,, c c c c c Volumen c - 7 -

38 Tem 6.- Puntos, rects plnos en el espcio.- lguns plicciones de vectores..- Coordends del vector que une dos puntos Ddos los puntos P p, p p q, q q, Q,, ls coordends del vector PQ restndo l punto etremo el punto origen: se hn PQ Q P q p, q p q p,..- Comproción de que tres puntos están linedos Tres puntos P, Q R o ormn un triángulo o están linedos. Si están linedos los vectores PQ PR tendrán l mism dirección, es decir, serán L.D.; si son L.I. es porque los tres puntos ormn un triángulo...- Simétrico de un punto respecto de otro.- Ecuciones de l rect El punto simétrico del punto P respecto l punto Q es otro punto P que se encuentr en l dirección que une l punto P con el punto Q un distnci de Q igul l del punto P l punto Q: PQ QP' Q P P' Q P' Q P Un rect viene determind por dos puntos de ell, por lo que todos los demás puntos de l rect deerán estr linedos con estos dos...- Ecución vectoril Si dos puntos de l rect son P Q, ddo otro punto X de l rect, éste estrá linedo con ellos, es decir, PQ PX deen ser L.D.: PX PQ l vector PQ se le llm vector director o vector de dirección se represent por v : PX v X P v X P v..- Ecuciones prmétrics X P v,, p, p, p v, v, v p v, p v p v, - 8 -

39 p v p v p v..- Ecución continu Si despejmos de ls tres ecuciones nteriores: p v ; ; p v p v p v p v p v..- Ecución implícit o generl L ecución generl de un plno es: B C D. Por ello, l ecución implícit o generl de un rect es: B C D ' B' C' D' que un rect es l intersección de dos plnos. Pr hllr el vector director de un rect dd en orm implícit: v, B, C', B', C' unque, en generl, el vector director de un rect puede ser culquier que cumpl el sistem homogéneo socido l ecución de l rect, ecepto l solución trivil. Es decir, culquier vector que se solución de: es vector director de l rect. B C ' B' C' Puesto que, B, C', B', C' es ortogonl tnto, B, C como ', B', C', los dos productos esclres que representn ls dos ecuciones del sistem nterior dn cero. Y ello v, B, C ', B', C' es un vector director. signiic que Pr hllr un punto de l rect simplemente se d un vlor concreto un de sus coordends (generlmente ) se resuelve el sistem de dos ecuciones con dos incógnits resultnte

40 - - Ej: Psr orm vectoril l ecución de l rect 7 r El vector director de l rect cumple: Tomndo el vector director es 9,, Si tommos un punto con ls otrs coordends del punto serín: ; por tnto un punto de l rect es,, Y l ecución en orm vectoril qued sí: 9,,,,,,.- Ecuciones del plno Un plno viene deinido por tres puntos no linedos o por un punto dos vectores directores L.I.. mos csos son el mismo, pues con tres puntos no linedos se pueden otener dos vectores L.I. cogiendo uno de los tres puntos estmos en el segundo cso...- Ecución vectoril Si tres puntos del plno son P, Q R, ddo otro punto X del plno se cumplirá que: PR PQ PX los vectores PQ PR se les llm vectores directores o vectores de dirección se representn por u v : v u PX v u P X v u P X..- Ecuciones prmétrics v u P X,,,,,,,, v v v u u u p p p,,,, v u p v u p v u p

41 p u p u p u v v v..- Ecución implícit o generl Tl como se h dicho en el prtdo. l ecución generl de un plno es: B C D nálogmente ls rects, los vectores directores de un plno pueden ser dos culquier que cumpln el sistem homogéneo socido l ecución del plno, ecepto l solución trivil. Es decir, dos vectores culquier que sen solución de: B C L ecución nterior se puede escriir sí:,,, B, C, esto signiic que los vectores directores del plno deen ser dos vectores L.I. ortogonles l vector, su ve el vector es ortogonl culquier vector director del plno, con ello, es ortogonl todo el plno. Este vector (o culquier que se L.D.) se llm vector socido l plno se represent por n, siendo el plno., B, C, B, C Pr hllr un punto del plno se d un vlor dos de sus coordends se resuelve l ecución resultnte. Ej: Psr orm generl l ecución del plno,,,,,, 7, 8, trs esto psr orm prmétric prtir de l generl sin tener en cuent l orm vectoril. El vector socido, B, C es ortogonl los dos vectores directores. Un orm de hllrlo es relindo el producto vectoril de mos:,, 7, 8,,, 8 El plno es de l orm: 8 D Un punto del plno es,, por lo que: 8 D D El plno en orm generl es: 8 ó Los vectores de dirección del plno cumplirán l ecución: - -

42 Puesto que en tl ecución no prece l, ést puede vler culquier vlor por tnto l solución trivil sí es válid en este cso: Si tommos sle, de modo que un vector director es,,, sí que otro vector director es.,,. Pr hllr un punto del plno considermos puede vler culquier vlor. Un punto del plno es :,,.. En cunto l El plno en orm prmétric es:.- Prlelismo..- Entre dos rects Dos rects son prlels si sus vectores directores son L.D., o si el vector director de un de ells cumple ls ecuciones de dirección de l otr rect...- Entre dos plnos Dos plnos son prlelos si sus vectores socidos son L.D., o si los vectores directores de uno de ellos cumplen l ecución de dirección del otro plno...- Entre un rect un plno Un rect es prlel un plno si su vector director es ortogonl l vector socido l plno, o si cumple l ecución de dirección del plno..- Perpendiculridd..- Entre dos rects Dds dos rects, r s, un punto de cd rect, P r, sus vectores directores, puede demostrr que tles rects son coplnris (pertenecen l mismo plno) si el determinnte ormdo por sus vectores directores el vector P P, v, v r s r s P s P r s v r P es nulo, es decir, si v s, se Dos rects son perpendiculres si demás de que sus vectores directores son ortogonles, ls rects son coplnris. (Dos rects perpendiculres son dos rects ortogonles que se cortn, que dos rects pueden ser ortogonles pero no perpendiculres, en tl cso serín dos rects ortogonles que se crun). - -

43 ..- Entre dos plnos Dos plnos son perpendiculres si sus vectores socidos son ortogonles...- Entre un rect un plno Un rect es perpendiculr un plno si su vector director es L.D. l vector socido l plno. 6.- Posiciones reltivs 6..- Entre dos rects Dos rects pueden ser coincidentes (ser l mism rect), prlels, o puede que se corten en un punto o que se crucen sin tocrse. Si se resuelve el sistem ormdo por ms rects: Sistem comptile determindo: Ls rects se cortn en un punto. Sistem comptile indetermindo: Ls rects son coincidentes. Sistem incomptile: o Ls rects tienen l mism dirección: Ls rects son prlels. o Ls rects no tienen l mism dirección: Ls rects se crun. Otr orm de encontrr l posición reltiv de dos rects es ver si los vectores directores son L.D. o L.I. Si los vectores son L.D. se coge un punto de un rect se comprue si cumple o no l ecución de l otr rect, siendo en este cso coincidentes o prlels, respectivmente. Si son L.I. se verigu si ls rects son coplnris o no, en cuo cso se cortn o crun, respectivmente Entre dos plnos Dos plnos pueden ser coincidentes, prlelos o puede que se corten ormndo un rect. Si se resuelve el sistem ormdo por mos plnos: Sistem comptile indetermindo: o Uniprmétrico: Los plnos se cortn en l rect que es solución del sistem. o Biprmétrico: Los plnos son coincidentes (l solución del sistem es igul los dos plnos) Sistem incomptile: Los plnos son prlelos. Otr orm de encontrr l posición reltiv de dos plnos es ver si los vectores socidos son L.D. o L.I. Si los vectores son L.D. se coge un punto de un plno se comprue si cumple o no l ecución del otro plno, siendo en este cso coincidentes o prlelos, respectivmente. - -

44 Si son L.I. los plnos se cortn Entre un rect un plno L rect puede cortr l plno en un punto, estr incluid en el plno, o ser prlelo él. Si se resuelve el sistem ormdo por l rect el plno: Sistem comptile determindo: L rect cort l plno en un punto. Sistem comptile indetermindo: L rect está incluid en el plno. Sistem incomptile: L rect el plno son prlelos. Otr orm de encontrr l posición reltiv de dos plnos es ver si el vector director de l rect es o no ortogonl l vector socido l plno. Si los vectores son ortogonles se coge un punto de l rect se comprue si cumple o no l ecución de plno, estndo en este cso l rect incluid en el plno o prlel él, respectivmente. Si no son ortogonles l rect cort l plno. 7.- H de plnos Se llm h de plnos de rist r todo el conjunto de plnos que se cortn en l rect r. Si l rect tiene por ecución: de rist r es: B C D r, l ecución del h de plnos ' B' C' D' B C D ' B' C' D' Pr cd vlor de se otiene uno de los plnos que ps por l rect r. - -

45 - - Resumen del tem 6 Ecuciones de l rect Ecución vectoril: v P X Ecuciones prmétrics: v p v p v p Ecución continu: v p v p v p Ecución implícit o generl: ' ' ' ' D C B D C B El vector director de un rect es culquier que cumpl: ' ' ' C B C B Ecuciones del plno Ecución vectoril: v u P X Ecuciones prmétrics: v u p v u p v u p Ecución implícit o generl: D C B Los vectores directores de un plno son dos culquier que cumpln: C B El vector C B,, se llm vector socido l plno. Prlelismo Entre dos rects: Dos rects son prlels si sus vectores directores son L.D. Entre dos plnos: Dos plnos son prlelos si sus vectores socidos son L.D. Entre un rect un plno: Un rect es prlel un plno si su vector director es ortogonl l vector socido l plno.

46 Perpendiculridd Rects coplnris: P P, v, v r s r s Entre dos rects: Dos rects son perpendiculres si demás de que sus vectores directores son ortogonles, ls rects son coplnris. Entre dos plnos: Dos plnos son perpendiculres si sus vectores socidos son ortogonles. Entre un rect un plno: Un rect es perpendiculr un plno si su vector director es L.D. l vector socido l plno. Posiciones reltivs Entre dos rects: se mirn los vectores directores: Si los vectores son L.D. se coge un punto de un rect se comprue si cumple o no l ecución de l otr rect, siendo en este cso coincidentes o prlels, respectivmente. Si son L.I. se verigu si ls rects son coplnris o no, en cuo cso se cortn o crun, respectivmente. Entre dos plnos: se mirn los vectores socidos: Si los vectores son L.D. se coge un punto de un plno se comprue si cumple o no l ecución del otro plno, siendo en este cso coincidentes o prlelos, respectivmente. Si son L.I. los plnos se cortn. Entre un rect un plno: se mir el vector director de l rect el vector socido l plno: Si los vectores son ortogonles se coge un punto de l rect se comprue si cumple o no l ecución de plno, estndo en este cso l rect incluid en el plno o prlel él, respectivmente. Si no son ortogonles l rect cort l plno. H de plnos Si l rect tiene por ecución: de rist r es: B C D r, l ecución del h de plnos ' B' C' D' B C D ' B' C' D' - 6 -

47 Tem 7.- Geometrí métric.- Ángulos..- Entre dos rects Es el ángulo que ormn sus vectores directores, es decir: cos r, s cosv, v r s vr vs v v r s (El vlor soluto es pr que el ángulo hlldo se gudo.)..- Entre dos plnos Es el ángulo que ormn sus vectores socidos, es decir: cos, cosn, n n n n n..- Entre un rect un plno Es el ángulo complementrio l ángulo que ormn el vector director de l rect el vector socido l plno, es decir, si es el ángulo que ormn el vector director de l rect el vector socido l plno es el ángulo que ormn l rect el plno: Por ser ángulos complementrios: sen cos vr n v n r sen vr n v n r.-distncis..- Entre dos puntos Simplemente h que hllr el módulo del vector que une los dos puntos...- Entre un punto un rect Ddo un punto P un rect r, l distnci del punto l rect es: PQvr dp, r, siendo Q un punto culquier de l rect r. v r - 7 -

48 ..- Entre un punto un plno Ddo un punto P un plno, l distnci del punto l plno es: PQ n dp,, siendo Q un punto culquier del plno. n Si el plno viene ddo en orm generl: B C D, l distnci es: d P, p Bp, siendo, p p..- Entre dos rects Eisten dos csos: B Cp C D p ls coordends del punto P., Dos rects prlels: Se coge un punto de un rect se hll su distnci l otr rect. Dos rects que se crun: dr s, Pr Ps v,, r v v v r s s..- Entre un rect un plno prlelo ell Simplemente se coge un punto de l rect se hll su distnci l plno..6.- Entre dos plnos prlelos Simplemente se coge un punto de un plno se hll su distnci l otro plno..- Proecciones ortogonles Es l somr que producirí un punto sore un rect o plno, o un rect sore un plno, si se proectr lu perpendiculr (ortogonl) l rect o plno...- Proección ortogonl de un punto sore un rect Es el punto intersección de l rect con el plno perpendiculr ell que ps por el punto...- Proección ortogonl de un punto sore un plno Es el punto intersección del plno con l rect perpenciculr l mismo que ps por el punto...- Proección ortogonl de un rect sore un plno Es l rect intersección del plno con el plno perpendiculr l mismo que contiene l rect. (L rect no dee ser perpendiculr l plno, de lo contrrio su proección ortogonl sore el plno serí l propi intersección de l rect con el plno)

49 Es sencillo hllr tl proección si se hlln ls proecciones ortogonles de dos puntos de l rect sore el plno..- Punto genérico Punto genérico de un rect o un plno es un punto ddo por sus coordends, donde ésts están dds en unción de un prámetro (rects) o dos prámetros (plnos), que representn todos los puntos de l rect o plno según se el cso. Se puede utilir en muchos csos pr resolver prolems sore ángulos, distncis o proecciónes. Ej: Hllr l proección ortogonl de sore l rect r,,,,,, P,, El punto genérico de l rect r será: P,,,, g El punto P (proección del punto P) cumplirá: PP' v r H que hllr pr qué el punto genérico se convierte en P : PP g P g P,,,,,, PP g v r PPg v r,,,, 7 Esto se cumple si, sí que: P ',,,,.- Medid de áres volúmenes..- Áre de un prlelogrmo Como hemos visto en el tem : Áre..- Áre de un triángulo Áre..- Volumen de un prlelepípedo Como hemos visto en el tem : Volumen c..- Volumen de un tetredro Volumen c

50 Resumen del tem 7 Ángulos Entre dos rects: cosr, s cosv, v Entre dos plnos: cos, cosn, n r s vr vs v v r n n s n n vr n Entre un rect un plno: sen vr n Distncis PQvr Entre un punto un rect: dp, r v r Entre un punto un plno: dp, Entre dos rects que se crun: dr s, p r Bp Pr Ps v,, r v v v s B s Cp C D Proecciones ortogonles Es l somr que producirí un punto sore un rect o plno, o un rect sore un plno, si se proectr lu perpendiculr (ortogonl) l rect o plno. Punto genérico Punto genérico de un rect o un plno es un punto ddo por sus coordends, donde ésts están dds en unción de un prámetro (rects) o dos prámetros (plnos), que representn todos los puntos de l rect o plno según se el cso. Medid de áres volúmenes Áre de un prlelogrmo: Áre Áre de un triángulo: Áre Volumen de un prlelepípedo: Volumen c Volumen de un tetredro: Volumen c 6 - -

51 Tem 8.- Funciones. Límites continuidd.- Funciones Se llm unción rel de vrile rel tod plicción de un suconjunto D (suconjunto de los números reles R) en el conjunto R. : D R De modo que cd número rel del conjunto D le corresponde un único número rel, llmdo imgen, del nterior. Dd un unción, l vrile depende de l vrile, de modo que l se llm vrile dependiente, l es l vrile independiente. l conjunto D donde está deinid l unción, se le llm dominio de l unción, l conjunto ormdo por tods ls imágenes se le llm rngo o recorrido. D, D imgen de D Dominio de l unción D recorrido de l unción.- Cálculo del dominio en un unción..- Funciones polinómics Son quells cu epresión es un polinomio: P En este cso, culquier número rel tiene imgen, es decir, l epresión polinómic tiene vlor pr culquier número rel, luego el dominio de un unción polinómic es:..- Funciones rcionles D R Son quells cu epresión es un cociente de polinomios: P Q El dominio estrá ormdo por quellos vlores que no nulen el denomindor:..- Funciones irrcionles D R/ Q Son quells cu epresión present un rdicl: n P Q - -

52 El dominio estrá ormdo por quellos vlores que no nulen el denomindor ni que hgn negtiv l rcción P Q : P D R / Q Q Ej: 9 9 D R / 9 9 Como dee ser : D,,.-Vlor soluto entorno de un punto..- Vlor soluto Se llm vlor soluto de un número rel, se represent por, : si si Se puede demostrr que:.- Si R :.- Si R : ó - -

53 - - Ej: 9 9, 9 9, 9 si si 9, 9, si si,,,, si si si..- Entorno de un punto Se llm entorno de centro rdio r, se represent por E r o por r E,, l intervlo ierto de centro rdio r: r r E r, Si E r r r, r r r r r.- Límite de un unción en un punto Se dice que tiende un límite inito l cundo tiende, se represent por l lim, si se cumple: l l si,, / Es decir: se dice que l lim si pr culquier entorno de l eiste un entorno de tl que ls imágenes del entorno de pertenecen l entorno de l.

54 Si los vlores de se cercn únicmente por su derech, se deine el límite de cundo tiende por l derech : lim l, l l / si, Si los vlores de se cercn únicmente por su iquierd, se deine el límite de cundo tiende por l iquierd : lim l, l l / si, Fijémonos que: lim l lim lim l..- Operciones con límites initos lim g lim lim g lim g lim lim g lim lim g si lim g lim g g Si, lim lim g lim Si n es impr o si n es pr, lim n n lim Si, lim log log lim.- Cálculo de límites Si k R lim k k lim Si k R lim k k lim lim P P P P lim Q Q P k o Si lim Q eiste, o es P o Si lim Q el límite. se clculn los límites lterles pr verigur si tl límite no o. P se simpliic l rcción lgeric Q después se hll - -

55 Ej: lim Ej: lim 9 9 lim lim Como lim lim 9 9 no eiste lim. 9 Ej: lim lim 6 lim 9 lim Límites en el ininito Cundo un unción cumple lgun de ests propieddes se dice que horiontl. l es un síntot 6..- Límite de un cociente de polinomios lim g o si es de mor orden si g es de mor orden Cociente de coeicientes de mor grdo si g son del mismo orden Ej: 6 lim 7.- Ininitos. Comprción de ininitos Se dice que un unción lim es un ininito en, se represent por,, si - -