1: EL CONCEPTO DE CONTROL INVERSO ADAPTATIVO

Transcripción

1 Capítulo 1: EL CONCEPTO DE CONTROL INVERSO ADAPTATIVO

2 INTRODUCCIÓN 1.1. INTRODUCCIÓN Las técnicas de filtrado adaptativo han sido aplicadas con éxito a los sistemas de antenas adaptativas, a problemas de comunicaciones como ecualizaciones de canal y cancelaciones de eco en telefonía a larga distancia, a cancelaciones de interferencias, a estimación espectral, a análisis y síntesis de voz, y a muchos otros problemas de procesos de señal. El propósito del presente estudio es mostrar cómo los algoritmos de filtrado adaptativo pueden ser usados para lograr el control adaptativo de sistemas desconocidos y que posiblemente varíen en el tiempo. El sistema que va a ser controlado, generalmente llamado, puede ser ruidoso, esto es, sujeto a perturbaciones, y además de un tipo desconocido. La y su perturbación interna pueden ser variables en el tiempo de un modo desconocido. En algunos casos, la podría ser inestable. El sistema de control adaptativo para dichas s podría tener ventajas sobre sistemas fijos, ya que los parámetros de los sistemas adaptativos pueden ser ajustados a los requerimientos, desconocidos y variables, de la que va a ser controlada. La adaptatividad encuentra un área natural de aplicación en el campo de control. En este campo ha habido dos líneas de trabajo, el control adaptativo y el proceso de señal adaptativa, y se han desarrollado casi independientemente. En la parte de control se ha estudiado el control adaptativo usando una variable de estado, enganchada por realimentación a través de parámetros variables de redes para regular s desconocidas y controlar su perturbación. En la de señal han estado trabajando en problemas que implican en su mayoría pesos adaptativos de filtros transversales mediante el método del gradiente, y empleando el resultado de los filtros adaptativos a sistemas sin realimentación. La meta de este trabajo no es acortar la distancia entre las dos líneas de trabajo, sino atacar ciertos problemas del control adaptativo desde un punto de vista alternativo, usando la metodología del proceso de señal adaptativo. El resultado es lo que se denomina control inverso adaptativo vo. Se comenzará con una discusión del modelo directo (o identificador) de las características de una desconocida usando los métodos del filtrado adaptativo simple. Luego se mostrará cómo métodos similares, con algunas modificaciones en una configuración diferente, pueden ser usados para el modelo inverso (ecualizador o deconvolución). Los modelos inversos de las 2

3 INTRODUCCIÓN s pueden ser usados para controlar s dinámicas. Después se podrá ver cómo ambos, el modelo directo y el inverso pueden ser usados en el mismo proceso adaptativo para minimizar los efectos de la perturbación de la. En este desarrollo se asumirá que la es observable y controlable, que puede ser representada en términos de una función de transferencia entradasalida, y que la es estable (si es inestable, se habrá estabilizado previamente usando realimentación). La podrá ser de fase mínima o no. 3

4 CONTROL INVERSO 1.2. CONTROL INVERSO Un sistema de control convencional, como el de la Figura 1, usa la realimentación, midiendo la respuesta de la que va a ser controlada, comparando esta respuesta con una respuesta deseada, y usando la diferencia para excitar a un controlador cuya salida, que es la entrada de la, haga que la salida de la siga más cerca a la señal deseada. Comando de entrada (señal deseada) Error Controlador Entrada Planta Salida Figura 1: Sistema convencional de control por realimentación hacia atrás El objetivo de este sistema es que la salida de la siga a la señal de entrada. Cualquier diferencia entre la salida de la y la señal de entrada se recoge en la señal de error, que es medida por el controlador, y es filtrada y amplificada por éste para conducir a la de forma que minimice este error. El uso de la realimentación debe ser hecho con mucho cuidado para prevenir la inestabilidad y lograr una respuesta dinámica satisfactoria. Cuando las características de la son variables en el tiempo o no estacionarias, es a veces necesario diseñar el controlador para que varíe con la. Un objetivo común de hacer esto suele ser minimizar el error cuadrático medio, aunque alcanzar este objetivo generalmente es difícil. Una solución podría ser parametrizar el controlador y variar sus parámetros para minimizar directamente el error cuadrático medio. La dificultad con este enfoque es que, sin tener en cuenta cómo se parametriza el controlador, el error cuadrático medio en función de los parámetros podría ser una función que no tuviera un único extremo. El objetivo del presente trabajo es tomar una alternativa en el tema del control adaptativo. El enfoque que va a ser desarrollado, el control inverso adaptativo, en algunos sentidos implica un control en lazo abierto, y es bastante diferente del control por realimentación de la Figura 1. Se intentará desarrollar una forma del control inverso adaptativo que sea simple, robusta y precisa. 4

5 CONTROL INVERSO Con algunos conocimientos de filtros adaptativos, el control inverso adaptativo es fácil de entender y usar en la práctica. La idea básica del control adaptativo es conducir a la con una señal de un controlador cuya función de transferencia es la inversa de la misma. El objetivo de este sistema es que la salida de la siga al comando de entrada. Como la es generalmente desconocida, es necesario adaptar o ajustar los parámetros del controlador para crear una inversa verdadera. Una señal de error, la diferencia entre la salida de la y el comando de entrada, es usada por el algoritmo adaptativo para ajustar los parámetros del controlador y minimizar el error cuadrático medio. Comando de entrada Controlador Entrada Planta Salida Algoritmo adaptativo Error Figura 2: Concepto básico de control inverso adaptativo Haciendo referencia a la Figura 2, el controlador en este diagrama puede ser visto como un filtro con una entrada y una salida. Este controlador tiene parámetros ajustables. El control de estos parámetros es hecho por medio de un algoritmo adaptativo, el cual es conducido a través de una señal de error. Comparando los dos esquemas mostrados, la minimización del error cuadrático medio se realiza en el primer caso mediante el empleo de la señal de error directamente en el lazo de realimentación, para conformar la señal de entrada; mientras que en el segundo caso la señal de error se emplea en un proceso de realimentación en el que se ajustan los parámetros del controlador, sin que la señal de error se envíe hacia atrás para modificar directamente la señal de entrada. En el primer caso tenemos control por realimentación ( ), y en el segundo caso control por ( ). En ambos casos se emplea la realimentación para asegurar una correcta respuesta del sistema. 5

6 CONTROL INVERSO Si el control adaptativo de la Figura 2 se realiza para minimizar el error, el controlador se convierte en la inversa de la. La cascada del controlador y la tendrían, de este modo, una función de transferencia combinada de una ganancia unidad. Se asume que la es lineal y que varía lentamente, de modo que es estadísticamente estacionaria. Asimismo se asume que el controlador converge y es también lineal y estadísticamente estacionario. A veces, lo que se quiere no es seguir exactamente a la señal de entrada, sino una versión más relajada de ésta. Para ello se añade el modelo de referencia, así la señal de salida de la debe asemejarse a la señal de salida del modelo de referencia. Un diagrama de bloques de esta situación se muestra en la Figura 3 Comando de entrada Controlador Entrada Planta Salida Algoritmo adaptativo Modelo de referencia Error Figura 3: Control inverso adaptativo con modelo de referencia El ruido y las perturbaciones de la son un problema en el desarrollo del control inverso adaptativo. La falta de realimentación de la salida a la entrada permite que haya un ruido interno a la salida de la. Se han desarrollado varios esquemas para la cancelación de este ruido. El esquema básico aparece en la Figura 4. 6

7 CONTROL INVERSO Perturbaciones de la Ruido sensor Comando de entrada Planta Salida Modelo Ruido y perturbación a la salida de la Ruido y perturbación de la filtrados para su cancelación Modelo de inverso Figura 4: Cancelación del ruido y las perturbaciones de la En control, el ruido de la se suele representar como un ruido aditivo a la entrada de la. El sensor con el que se mide la salida también podría ser ruidoso, y se representa como un ruido aditivo a la salida de la. En la Figura 4 el ruido de la y del sensor están separados de la respuesta dinámica de la. La entrada de la conduce a ésta y a su modelo (que está libre de ruido). La diferencia entre la salida de la y la salida de su modelo es que el ruido aparece sólo a la salida de la. La diferencia entre estas dos salidas da sólo la componente de ruido del sistema, que sirve como entrada al modelo inverso para poder eliminar este ruido de la señal de entrada. Un sistema de control inverso que une los conceptos de modelo de referencia de la Figura 3 y cancelación de ruido de la Figura 4, se muestra en la Figura 5. En la práctica, un sistema de este estilo necesitará procesos adaptativos separados para obtener el modelo de la, el modelo inverso de la y el controlador. 7

8 CONTROL INVERSO Ruido de la Ruido sensor Comando de entrada Controlador Planta Salida Algoritmo adaptativo Modelo Modelo de inverso Modelo de referencia Error Figura 5: Sistema de control inverso con control de referencia y cancelación del ruido La dinámica de la es alterada debido a la realimentación para el control del ruido, por lo que en general hará falta una solución de compromiso para obtener una buena respuesta dinámica y un buen control del ruido al mismo tiempo. 8

9 MEMORIA DESCRIPTIVA 1.3. MEMORIA DESCRIPTIVA A continuación se describe el contenido del resto de capítulos del proyecto: Capítulo 2: Filtros adaptativos. Dentro de este capítulo se presentan los fundamentos de los filtros de Wiener y los filtros LMS adaptativos. Los filtros de Wiener constituyen los mejores filtros de mínimos cuadrados, siendo muy útiles en predicción, interpolación y filtrado de señal y de ruido. Los filtros LMS adaptativos constituyen la base esencial para el control inverso adaptativo, por lo que se revisará con cierto detalle su desarrollo teórico. Capítulo 3: Modelado adaptativo. Se analizará el desallorro de métodos para la obtención adaptativa del modelo directo de una, así como sus posibles fuentes de error, tales como los efectos del ruido en los pesos, el uso de una señal de entrada inadecuada, el ruido de la, etc. Capítulo 4: Modelado de s inversas. El modelo directo de una, obtenido en el capítulo anterior, tiene una función de transferencia similar a la de la que está siendo modelada. El modelo inverso tiene una función de transferencia similar a la recíproca de la función de transferencia de la. Obtener una función de transferencia inversa estable es fácil cuando se parte de una de fase mínima. Hacerlo desde una de fase no mínima requiere que la inversa sea retrasada para obtener una solución óptima. Se verá la resolución de este problema, así como de situaciones en las que se empleen modelos de referencia, o s sujetas a perturbaciones. Capítulo 5: Control inverso adaptativo. En este capítulo se presentarán los modelos propuestos para conjugar las piezas obtenidas en los capítulos anteriores, para diseñar un sistema de control inverso adaptativo, tanto para s libres de ruido como sujetas a perturbaciones. Como aplicación práctica del sistema de control diseñado, se ofrecen los resultados de las 9

10 MEMORIA DESCRIPTIVA simulación del seguimiento de una señal de referencia en una determinada, sometida a diversas condiciones de contorno. Capítulo 6: Conclusiones. Por último, se presentarán las conclusiones a las que se ha llegado después del estudio de este método de control. Adicionalmente, a modo de apéndice, se adjunta al final de este proyecto el listado de todas las simulaciones empleadas en su desarrollo. 10