FUNDAMENTOS DE NAVEGACIÓN AÉREA. Práctica 1: Cartografía y Rutas.

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1 FUNDAMENTOS DE NAVEGACIÓN AÉREA Práctica 1: Cartografía y Rutas. NOMBRE DEL ALUMNO: En esta práctica se prete repasar los conceptos estudiados de cartografía y rutas. Evaluación: Se pide resolver el problema indicado al final con los datos especificados para cada alumno que se pueden encontrar en enseñanza virtual. 1. Cartografía Arrancar los ordenadores del centro de cálculo con Matlab. Vamos a añadir funcionalidades de cartografía incluyo el paquete gratuito m_map, que se puede encontrar en: La propia página indicada es una guía que vamos a seguir parcialmente, adaptada a nuestras necesidades. Se descarga el archivo zip enlazado al principio. Se añade el directorio donde se haya instalado al path de Matlab. Este paquete nos permite dibujar mapas del mundo usando distintas proyecciones. El primer ejemplo podría ser escribir en Matlab: m_proj('oblique mercator'); Observamos un mapa poco reconocible; se trata de la región noroeste de Estados Unidos y Canadá, de donde son los autores del paquete, en una proyección que no hemos visto en clase (Mercator oblicua). Si quisiéramos dibujar un mapa más reconocible para nosotros, cerramos la anterior figura y escribimos: m_proj('equidistant Cylindrical','longitudes',[-10 5],'latitudes',[35 45]) Para ver la lista de proyecciones disponibles, escribimos:

2 m_proj set; Obtenemos la siguiente lista: Available projections are: Stereographic Orthographic Azimuthal Equal-area Azimuthal Equidistant Gnomonic Satellite Albers Equal-Area Conic Lambert Conformal Conic Mercator Miller Cylindrical Equidistant Cylindrical Oblique Mercator Transverse Mercator Sinusoidal Gall-Peters Hammer-Aitoff Mollweide Robinson UTM De estas, algunas se han visto en clase y otras no. Para informarse rápidamente de las propiedades de estas proyecciones, se puede consultar la lista de Wikipedia donde están casi todas: La guía también explica bastante bien todas las proyecciones disponibles. Una vez seleccionada una proyección, podemos ver sus propiedades con la orden m_proj get Para ver las propiedades de una proyección distinta a la que tenemos podemos usar: m_proj('set','stereographic'); Para ver un mapa global del mundo podemos usar varias proyecciones. Escribimos varios ejemplos, hay que cerrar la anterior figura para cada uno de ellos: m_proj('equidistant Cylindrical'); Probar la Mercator, la Lambert Conformal Conic y la Miller. Si por ejemplo si queremos ver la zona de los polos, es más recomable usar una proyección estereográfica. m_proj('stereographic','lat',90,'long',0,'radius',90); Los otros dos comandos tienen la siguiente función: m_coast dibuja la línea costera con una precisión de ¼ de grado. Se puede conseguir mayor resolución (ver la guía de m_map). También se pueden usar otras opciones. Por ejemplo:

3 m_coast('linewidth',2,'color','r'); usa una línea más gruesa y roja. Para rellenar las zonas de Tierra: m_coast('patch',[.7.7.7],'edgecolor','none'); m_grid get m_grid dibuja las líneas de longitud y latitud. da las opciones disponibles. Por ejemplo, dibujando de nuevo la cilíndrica equidistante: m_proj('equidistant Cylindrical'); m_grid('box','fancy'); El paquete tiene muchas otras posibilidades, descritas en la guía. Básicamente lo usaremos para dibujar rutas. 2. Rutas Explicaremos el cálculo y representación de rutas con un ejemplo. Fijar la proyección cilíndrica equidistante de momento. Vamos a calcular la ruta ortodrómica y loxodrómica entre Bogotá (4º35 56 N 74º04 51 O) y Sidney (33º51 36 S 151º12 40 E). Empezamos definio las coordenadas: phia=4+35/60+56/3600; lambdaa=-(74+04/60+51/3600); phib=-(33+51/60+36/3600); lambdab=151+12/60+40/3600; Pasamos los datos a radianes para más adelante: phia_rad=phia*pi/180; lambdaa_rad=lambdaa*pi/180; phib_rad=phib*pi/180; lambdab_rad=lambdab*pi/180; Ahora representamos las ciudades en el mapa usando la orden m_plot: hold on; m_plot(lambdaa, phia,'b*'); m_plot(lambdab,phib,'r*'); Se ve claro que la ruta debe ir hacia el Oeste. Por si acaso podemos comprobar abs(lambdaa-lambdab) Calculamos la distancia (en nmi) y rumbo ortodrómicos alpha=acos(sin(phia_rad)*sin(phib_rad)+cos(phia_rad)*cos(phib_rad)*cos(lambdab_r ad-lambdaa_rad));

4 orth_distance=alpha*180/pi*60 chi=acos((cos(phia_rad)*sin(phib_rad)- sin(phia_rad)*cos(phib_rad)*cos(lambdab_rad-lambdaa_rad))/sin(alpha)); De modo que ya tenemos la distancia, pero el curso no es correcto. Lo corregimos por ir hacia el Oeste y lo escribimos por pantalla en grados: chi=2*pi-chi; orth_initial_course=chi*180/pi Repetimos con la loxodrómica, tenio en cuenta que cruzamos el meridiano 180º y que B está al Este y al Sur de A, escribiéndolo por pantalla en grados: chi_lox=atan((lambdab_rad-2*pi-lambdaa_rad)/log((tan(pi/4-phia_rad/2)/tan(pi/4- phib_rad/2)))); chi_lox=chi_lox+pi; loxo_course=chi_lox*180/pi Finalmente calculamos la distancia loxodrómica en nmi: loxo_angle_distance=(phib_rad-phia_rad)/cos(chi_lox); loxo_distance=loxo_angle_distance*180/pi*60 Es importante comparar la ortodrómica y la loxodrómica y ver si los resultados tienen sentido. Ahora vamos a usar la cartografía para dibujar las rutas. Elegimos cien puntos para cada una de ellas y empezamos por la ortodrómica. N=100; %Predefine the vectors which we will compute phi_ort=zeros(n,1); lambda_ort=zeros(n,1); Oeste. Ahora calculamos los puntos que conforman la ortodrómica, recordando que está va hacia el distance=alpha/n*i; phi_ort(i)=asin(cos(chi)*sin(distance)*cos(phia_rad)+cos(distance)*... sin(phia_rad)); lambda_ort(i)=lambdaa_rad+2*pi-acos((cos(distance)-... sin(phia_rad)*sin(phi_ort(i)))/(cos(phia_rad)*cos(phi_ort(i)))); if lambda_ort(i)>pi lambda_ort(i)=lambda_ort(i)-2*pi; if lambda_ort(i)<-pi lambda_ort(i)=lambda_ort(i)+2*pi; phi_ort(i)=phi_ort(i)*180/pi; lambda_ort(i)=lambda_ort(i)*180/pi; Para representar, es importante tener en cuenta que el cruce por 180º estropea la representación. Para ello metemos un NaN (que Matlab no representa) justo en el cruce: -1 if abs(lambda_ort(i)-lambda_ort(i+1))>180 lambda_ort=[lambda_ort(1:i);nan;lambda_ort(i+1:)]; phi_ort=[phi_ort(1:i);nan;phi_ort(i+1:)];

5 m_plot(lambda_ort,phi_ort); Repetimos el proceso con la loxodrómica: phi_lox=zeros(n,1); lambda_lox=zeros(n,1); distance=loxo_angle_distance/n*i; phi_lox(i)=distance*cos(chi_lox)+phia_rad; lambda_lox(i)=lambdaa_rad+tan(chi_lox)*log((tan(pi/4-phia_rad/2)/tan(pi/4- phi_lox(i)/2))); if lambda_lox(i)>pi lambda_lox(i)=lambda_lox(i)-2*pi; if lambda_lox(i)<-pi lambda_lox(i)=lambda_lox(i)+2*pi; phi_lox(i)=phi_lox(i)*180/pi; lambda_lox(i)=lambda_lox(i)*180/pi; -1 if abs(lambda_lox(i)-lambda_lox(i+1))>180 lambda_lox=[lambda_lox(1:i);nan;lambda_lox(i+1:)]; phi_lox=[phi_lox(1:i);nan;phi_lox(i+1:)]; m_plot(lambda_lox,phi_lox); Vamos a estudiar ahora como aproximar la ortodrómica por varios segmentos loxodrómicos, por ejemplo 3. Para ello tenemos que calcular dos puntos intermedios, a alpha/3 y 2*alpha/3 de distancia del punto A. phi1=asin(cos(chi)*sin(alpha/3)*cos(phia_rad)+cos(alpha/3)*sin(phia_rad)); lambda1=lambdaa_rad+2*pi-acos((cos(alpha/3)- sin(phia_rad)*sin(phi1))/(cos(phia_rad)*cos(phi1))); if lambda1>pi lambda1=lambda1-2*pi; if lambda1<-pi lambda1=lambda1+2*pi; phi2=asin(cos(chi)*sin(2*alpha/3)*cos(phia_rad)+cos(2*alpha/3)*sin(phia_rad)); lambda2=lambdaa_rad+2*pi-acos((cos(2*alpha/3)- sin(phia_rad)*sin(phi2))/(cos(phia_rad)*cos(phi2))); if lambda2>pi lambda2=lambda2-2*pi; if lambda2<-pi lambda2=lambda2+2*pi; m_plot(lambda1*180/pi, phi1*180/pi,'k*'); m_plot(lambda2*180/pi,phi2*180/pi,'k*'); Vio los puntos en el mapa, tenemos que calcular ahora tres loxodrómicas. De A a 1, de 1

6 a 2, y de 2 a B. Observamos que 1 está al sur de A, 2 está al sur de 1, pero B está al norte de 2! También, el único cruce por 180º sucede de 2 a B. Calculamos primero las loxodrómicas: chi_loxa1=atan((lambda1-lambdaa_rad)/log((tan(pi/4-phia_rad/2)/tan(pi/4- phi1/2)))); chi_loxa1=chi_loxa1+pi; loxo_coursea1=chi_loxa1*180/pi loxo_angle_distancea1=(phi1-phia_rad)/cos(chi_loxa1); loxo_distancea1=loxo_angle_distancea1*180/pi*60 chi_lox12=atan((lambda2-lambda1)/log((tan(pi/4-phi1/2)/tan(pi/4-phi2/2)))); chi_lox12=chi_lox12+pi; loxo_course12=chi_lox12*180/pi loxo_angle_distance12=(phi2-phi1)/cos(chi_lox12); loxo_distance12=loxo_angle_distance12*180/pi*60 chi_lox2b=atan((lambdab_rad-2*pi-lambda2)/log((tan(pi/4-phi2/2)/tan(pi/4- phib_rad/2)))); loxo_course2b=chi_lox2b*180/pi loxo_angle_distance2b=(phib_rad-phi2)/cos(chi_lox2b); loxo_distance2b=loxo_angle_distance2b*180/pi*60 total_approx_loxo_distance=loxo_distancea1+loxo_distance12+loxo_distance2b Comparar la distancia suma de los tres segmentos con la loxodrómica y ortodrómica directa. Finalmente representamos la ruta aproximada calculando los puntos de las tres loxodrómicas y uniéndolos: phi_loxa1=zeros(n,1); lambda_loxa1=zeros(n,1); distance=loxo_angle_distancea1/n*i; phi_loxa1(i)=distance*cos(chi_loxa1)+phia_rad; lambda_loxa1(i)=lambdaa_rad+tan(chi_loxa1)*log((tan(pi/4- phia_rad/2)/tan(pi/4-phi_loxa1(i)/2))); phi_loxa1(i)=phi_loxa1(i)*180/pi; lambda_loxa1(i)=lambda_loxa1(i)*180/pi; phi_lox12=zeros(n,1); lambda_lox12=zeros(n,1); distance=loxo_angle_distance12/n*i; phi_lox12(i)=distance*cos(chi_lox12)+phi1; lambda_lox12(i)=lambda1+tan(chi_lox12)*log((tan(pi/4-phi1/2)/tan(pi/4- phi_lox12(i)/2))); phi_lox12(i)=phi_lox12(i)*180/pi; lambda_lox12(i)=lambda_lox12(i)*180/pi; phi_lox2b=zeros(n,1); lambda_lox2b=zeros(n,1); distance=loxo_angle_distance2b/n*i; phi_lox2b(i)=distance*cos(chi_lox2b)+phi2; lambda_lox2b(i)=lambda2+tan(chi_lox2b)*log((tan(pi/4-phi2/2)/tan(pi/4- phi_lox2b(i)/2))); if lambda_lox2b(i)>pi lambda_lox2b(i)=lambda_lox2b(i)-2*pi;

7 if lambda_lox2b(i)<-pi lambda_lox2b(i)=lambda_lox2b(i)+2*pi; phi_lox2b(i)=phi_lox2b(i)*180/pi; lambda_lox2b(i)=lambda_lox2b(i)*180/pi; phi_lox_approximate=[phi_loxa1;phi_lox12;phi_lox2b]; lambda_lox_approximate=[lambda_loxa1;lambda_lox12;lambda_lox2b]; for i=1:3*n-1 if abs(lambda_lox_approximate(i)-lambda_lox_approximate(i+1))>180 lambda_lox_approximate=[lambda_lox_approximate(1:i);nan;lambda_lox_approximate(i +1:)]; phi_lox_approximate=[phi_lox_approximate(1:i);nan;phi_lox_approximate(i+1:)]; m_plot(lambda_lox_approximate,phi_lox_approximate); Ejercicio en clase: Repetir este procedimiento con la ruta Ciudad de México-Islamabad. Ejercicio fuera de clase (a entregar): será asignado próximamente.